数学终极押题猜想（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦中考高频考点，以“考情分析+方法提炼+分层精练”构建系统性押题体系，融合数学眼光、思维与语言，实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数与整式|原创题+4道精练题|符号辨析与运算严谨性，科学记数法情境化|从概念辨析到时代数据应用，构建代数基础保分盘| |几何图形直观|改编题+7道精练题|逆向空间构建，翻折轴对称转化|三视图与图形变换结合，强化空间观念与几何直观| |规律探究|原创题+9道精练题|数形结合抽象，归纳推演逻辑|从图形表象到代数模型，培养推理能力与创新意识| |函数与几何综合|改编题+10道精练题|k几何意义，面积割补转化|函数与图形性质融合，提升数形结合与模型观念| |统计与决策|原创题+5道精练题|数据权重与阶梯积分，统计量实际应用|多维图表分析，发展数据意识与理性决策能力|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 目 录 押题猜想一 实数、整式与科学记数法的易错重点 2 押题猜想二 几何图形的直观想象与基本性质 3 押题猜想三 代数式规律与图形规律探究 6 押题猜想四 反比例函数比例系数的几何意义与数形结合 10 押题猜想五 图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算 14 押题猜想六 分式化简求值与条件等式的巧妙结合 18 押题猜想七 真实情境下的代数方程综合应用 20 押题猜想八 尺规作图的实践操作与图形性质综合 22 押题猜想九 与解直角三角形相关的综合应用 26 押题猜想十 多维统计图表分析决策与概率综合应用 29 押题猜想十一 一次函数与不等式组在最值问题中的应用 34 押题猜想十二 特殊多边形背景下的几何变换与证明 36 押题猜想十三 抛物线在跨学科真实情境中的综合应用 39 押题猜想十四 阅读理解与“新定义”的代几综合 45 押题猜想十五 二次函数背景下的代几综合 49 押题猜想十六 圆的综合及隐蔽轨迹下的动态几何探究 53 押题猜想一 实数、整式与科学记数法的易错重点 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【原创题】计算： 分析有理·押题有据 本猜想紧扣历年中考命题高频区。零指数幂与绝对值去符号是经典的易错陷阱，直击考生的符号辨析能力与运算严谨性；特殊角三角函数则是初高衔接的核心算理。此外，将科学记数法融入“新质生产力”等时代热点数据，高度契合《新课标》“情境式命题”的导向。此四点组合，构建了整卷必考的保分基本盘。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2025·北京·中考真题）计算：． 4．（2026·重庆·一模）先化简，再求值： ，其中． 押题猜想二 几何图形的直观想象与基本性质 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】1．（2020·河北·中考真题改编）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ） A．仅主视图不同 B．主视图、左视图相同 C．主视图、俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 2．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 本猜想直击新课标“空间观念”与“几何直观”两大核心素养。三视图与截面图历来是中考客观题的必考点，近年命题愈发倾向真实生活实物情境，侧重考查学生的逆向空间构建能力。此外，平行线与翻折操作相融合，是图形变换的经典载体，其核心在于利用轴对称性质进行角度与线段的等量转化。两者“一静一动”，稳抓图形与几何的基础得分。 终极猜想·精练通关 1．（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北承德·期末）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 3．（2026·河北石家庄·一模）图①是铜制“方斗”，作为我国古代重要的计量器具，它蕴含着丰富的数学文化与几何智慧．图②是其几何示意图，可抽象为底面是正方形的正四棱台，箭头表示主视方向．则该“方斗”的三视图中，形状相同的是（ ） A．主视图与俯视图 B．左视图与俯视图 C．主视图与左视图 D．主视图、左视图、俯视图均相同 4．（2026·重庆铜梁·一模）如图，将边长为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 7．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，，，，过点D作，交于点E，且，．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长为___． 押题猜想三 代数式规律与图形规律探究 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】1．（2025·重庆·模拟预测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，有1根，有3根，有7根……照此规律摆下去，的火柴棒根数是（ ）根 A．23 B．63 C．127 D．129 分析有理·押题有据 本猜想聚焦中考选填压轴的高频区分区。图形排列考查“数形结合”思想，要求学生完成从直观表象到代数模型的抽象跨越；数字递推则直击“从特殊到一般”的归纳推演逻辑。此类规律探究题作为拉开梯度的“试金石”，高度契合《新课标》对抽象能力与推理素养的考查要求，是优等生冲刺高分的必争之地。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A．32 B．28 C．24 D．20 2．（2026·重庆·一模）已知整式，其中n，，为正整数，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M共有7种； ②满足条件的所有整式M中一次项系数的最大值为6； ③不存在这样的整式M，使得当时，M的值为奇数． 其中正确的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 3．（20-21九年级上·江苏连云港·月考）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图中的数1，5，12，22…，由于这些数能够表示成五边形，所以将它们称为五边形数，按照此规律，第40个图形表示的五边形数是_____． 4．（广东省梅州市学艺中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题）下面是用棋子摆成的“小屋子”、摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第5个这样的“小屋子需要______枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要______枚棋子． 5．（25-26九年级上·福建南平·期中）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第次操作后得到个整式，，；第次操作后得到个整式，，，…其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第次操作后得到的各整式之和是__________． 6．（2026·河南信阳·一模）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，，则第18个图案需要用矩形的个数为___________． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则___________． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第26个图案需要火柴棍的根数为______． 9．（2026·甘肃平凉·一模）以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放．第1幅图中“●”的个数为3，第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15……以此类推，则第7幅图中“●”的个数为_____． 三、解答题 10．（2026·安徽阜阳·一模）如图，这是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，⋯⋯依次递推． (1)第3层有6个正方形和________个正三角形． (2)第层有6个正方形和_________个正三角形．（用含的式子表示） (3)若第层有6个正方形和2034个正三角形，求的值． 押题猜想四 反比例函数比例系数的几何意义与数形结合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 分析有理·押题有据 本猜想直击全国中考客观题压轴高频区。反比例函数中比例系数 k 的几何意义，是考查“数形结合”思想的核心载体。命题常以双曲线与一次函数交点为基点，融合矩形、等腰三角形等特殊多边形，通过面积的分割与等量转化来求解参数。此类题型弱化繁琐计算，高度聚焦对坐标、线段与面积转换的抽象推演能力，具备极强的选拔区分度。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A． B． C．6 D．5 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，已知点、在反比例函数 的图像上， 轴， 轴，若的面积为，则的值为( ) A． B． C． D． 5．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 8．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 9．（2026·福建泉州·一模）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 10．（2026·山东泰安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 押题猜想五 图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 分析有理·押题有据 本猜想精准锚定《新课标》对图形的运动与几何直观的融合考查要求。图形变换背景下的面积求解，是全国各地中考客观题的顶级试金石。此类命题往往打破常规规则图形的壁垒，要求考生利用轴对称或中心对称性质，通过割补、等积代换将不规则阴影面积转化为标准扇形或多边形面积。该考点极具选拔性，不仅检验扇形与弧长公式的基础算理，更深度探测考生化繁为简、化归转化的高阶空间推演能力。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·一模）如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·一模）如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 7．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 8．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 9．（2026·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①；②是的切线；③；④当时，与的面积比为；⑤当时，若，则阴影部分图形的面积为．上述结论中，正确结论的序号有___________． 10．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 押题猜想六 分式化简求值与条件等式的巧妙结合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】已知，非零实数a，b满足：a＝﹣3b﹣2ab，则（﹣2）． 分析有理·押题有据 本猜想紧扣中考代数解答题的必考阵地。分式混合运算是检验运算基本功的“试金石”，而“排除分母为零的陷阱值”则是拉开分差的核心易错点，直击学生运算的严谨性。此外，结合条件等式进行整体代入，巧妙融入了高阶的代数变形技巧。该题型兼顾基础保分与思维防错，是稳固代数解答题基本解题能力的关键。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 2．（2026·山东日照·一模）简答： (1)； (2)先化简：，然后选取一个合适的的值代入求值，其中满足不等式组的整数． 3．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 4．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 5．（2025·贵州·中考真题）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 6．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 押题猜想七 真实情境下的代数方程综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2025·山东聊城·三模）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 分析有理·押题有据 本猜想深度呼应《新课标》中“模型观念”与“应用意识”的培养目标。中考对代数方程的考查已全面摒弃机械解方程，转而要求学生在复杂的工程、经济或社会情境中，自主抽象出等量关系，构建分式方程或一元二次方程模型。其中，分式方程的“分母不为零”验根，以及一元二次方程根的“实际意义取舍”，是命题人设置区分度的核心“防雷区”。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 2．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 3．（2026九年级上·重庆·专题练习）某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 4．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 押题猜想八 尺规作图的实践操作与图形性质综合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2026·四川广安·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有___（填序号）． 分析有理·押题有据 本猜想直击《新课标》中“尺规作图”模块的进阶要求，即从“单纯作图”全面升级为“依痕说理”。全国高频命题手法是保留角平分线、中垂线等典型作图圆弧，要求考生自主识别隐含的等量关系，进而推演构建出平行四边形或菱形的核心模型。此类试题将实践操作、几何直观与图形性质相关的综合应用，直接检验学生从作图表象透视几何本质的能力，是拉开中档题梯度的绝佳载体。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 6．（2026·河南周口·一模）如图，在中，是的中点． (1)点为上一点，，两点均在上，请用无刻度的直尺和圆规作出（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若与相切于点，，求的半径． 7．（2026·福建泉州·一模）如图，内接于，点为直径的延长线上一点． (1)在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 8．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截， ． (1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 押题猜想九 与解直角三角形相关的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】1．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 分析有理·押题有据 本猜想深度契合《新课标》“真实情境”命题导向，例如以无人机测量与工程测绘真实场景为高频载体。基础层面直击仰俯角、坡度模型的构建；拔高层面则打破单一模块壁垒，巧妙交汇解直角三角形、相似形判定、圆周角定理及平行四边形性质等综合应用。这种“度量计算+几何推演”的综合考法，能全面检验学生的几何直观与模型观念，是拉开试卷区分度的核心压轴区。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 二、解答题 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在四边形中，，且，过点、、作交于点，连接，，，设，交于点，且满足． (1)求证：； (2)若，，求圆的半径； (3)若，求的值（用含的代数式表示）． 5．（2026·江西九江·一模）如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，米，伞骨米， (1)求点到地面的距离 (2)有一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角为．太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离（精确到0.1米） （参考数据：） 6．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 7．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 押题猜想十 多维统计图表分析决策与概率综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【原创题】在某现代化农业科技示范园拟采购一批大载重植保无人机用于低空农业作业。为验证实际作业效能，园区对入围的甲、乙两款无人机进行了连续10次的独立满负荷飞行测试。 以下为两款无人机单次有效喷洒面积的原始测试数据（单位：亩）：甲款无人机：18, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 26；乙款无人机：19, 19, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 23, 23 整理数据得到如下统计分析表： 无人机型号 平均数 中位数 众数 方差 甲款 21 20 4.6 乙款 21 21 1.8 （1）直接写出表中 的值； （2）园区技术部设定，单次有效喷洒面积不低于21亩的测试评定为优质作业。请分别计算两款无人机在此次测试中达到优质作业标准的频率； （3）示范园制定了设备引进的综合评估方案，无人机的综合得分由平均作业效能与作业稳定性两项指标按 的权重比例构成。平均作业效能的单项得分为其测得的平均数数值；作业稳定性单项得分的计分规则为：方差小于2得28分，方差在 之间得24分，方差大于5得20分。请计算两款无人机的综合得分，并结合数据给出推荐采购的型号。 分析有理·押题有据 本题对标新课标"数据分析与决策"考点，切合2026年中考"复杂情境+多维规则赋分"命题方向。题目突破传统均值、方差计算模式，将统计量（均值、方差）转化为农业植保情境下的"单项权重"与"阶梯积分"。考生须具备扎实的数据处理能力，并理解统计量在实际工程验收、设备采购等决策场景中的应用价值，有效区分学生的数学建模与信息提取素养。 一、填空题 1．（2025·北京·一模）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下 （数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 二、解答题 2．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 3．（2026年安徽巢湖市部分学校中考一模九年级数学试卷）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)_________， _________； (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 4．（2026·广东佛山·一模）统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力． 现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： (1)根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 第二组 2 b 2 第三组 4 求a，b，c，d的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 5．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 2．（2026·四川巴中·一模）某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周锻炼时间（单位：）进行统计，按锻炼时间分为：：；：；：；：四组，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为______，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球．甲乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制．比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补赛．班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求出甲、乙两人各分得乒乓球的数量． 押题猜想十一 一次函数与不等式组在最值问题中的应用 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】某物流公司决定升级其智能配送网络，计划购进A、B两款载重物流无人机。已知B款无人机的单价是A款的1.5倍。如果用24万元单纯购买A款无人机，其数量比用30万元单纯购买B款无人机的数量多10架。 （1）求A、B两款无人机的单价分别是多少万元； （2）该公司计划首批购进A、B两款共100架，且总采购预算不超过52万元，要求购进的B款数量必须严格大于A款数量的 。 ① 共有多少种符合预算与数量限制的采购方案？ ② 受飞控系统协议限制，每名飞手单独执行任务时，刚好能满负荷操控4架A款，或刚好能满负荷操控3架B款。为使人员效能最大化，要求购进的这100架无人机能恰好被分配给若干名飞手，且每名飞手都能达到满负荷操控状态。已知A款日均可投递50个包裹，B款日均可投递80个包裹。请设计出使日均总投递量最大的终极采购方案，并求出该最大投递量。 分析有理·押题有据 本题紧扣新课标真实情境建模导向，聚焦"分式方程+不等式+一次函数"代数综合考查。命题创新引入"整除约束"条件，突破"求得范围后直接取端点"的惯常思路。考生须运用数论中倍数特征进行筛选，将大量常规方案缩减至有限几种后，再进行函数最值决策。该设计有效规避模式化解题套路，深入考查多重约束条件下的信息提取与数学统筹能力，是拉开中高分段考生差距的重要题型。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 2．（广西壮族自治区南宁市2025-2026学年上学期期末综合试题）某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共个，已知A品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个；B品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个. (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠元（）出售，B品牌保温杯售价不变，此时总利润的最大值为元，求的值． 押题猜想十二 特殊多边形背景下的几何变换与证明 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 分析有理·押题有据 本猜想选择无坐标系背景的纯几何探究证明题，命题定式往往以正方形或等边三角形等高对称图形为基底，嵌套旋转、折叠或垂直平分等变换动作。此类试题彻底剥离代数坐标计算的辅助，强制要求考生识别“手拉手”、“半角”等隐蔽几何模型，凭借扎实的全等与相似推演能力打破线段与角度的僵局，是体现纯粹数学演绎之美的压轴标杆。 终极猜想·精练通关 1．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 3．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 4．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 5．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 押题猜想十三 抛物线在跨学科真实情境中的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】智能消防机器人在现代高层灭火与危险环境救援中发挥着核心作用。某型号智能消防机器人在平整的场地上进行精准喷水演练。如图所示，以喷水口 在地面上的垂直投影点 为坐标原点，地面水平线为 轴，建立平面直角坐标系。已知喷水口 距地面的高度 为 ，喷出的水流轨迹可视为某条抛物线的一部分，当水流达到最大高度 时，距离 轴的水平距离为 。 （1）求水流轨迹所在抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）在机器人正前方 处有一堵竖直的模拟演练墙，墙壁上距离地面高度 处设置了一个着火点 。保持机器人的位置与喷水参数不变，水流能否准确命中着火点 ？请说明理由； （3）为了增加演练难度，高层内攻演练要求水流能穿过前方墙壁上的一个矩形排烟窗进入室内扑灭暗火。已知该排烟窗所在的墙壁与 轴的水平距离保持 不变，排烟窗的下边缘距地面 ，上边缘距地面 。为了保证水流能越过窗台并深入室内，演练设定水流在穿过该排烟窗时必须处于下降阶段。若消防机器人沿 轴正方向向前直线移动 （），水流轨迹的抛物线形状及顶点相对于机器人的位置保持不变，求 的取值范围，使得水流能顺利按要求穿过该排烟窗。 分析有理·押题有据 新课标导向下，中考数学的阅读量与信息干扰项成倍增加。本猜想以硬核物理定律、前沿科技工程或宏观社会经济数据为命题背景。试题通过长篇幅的阅读材料与实物图表呈现，要求考生完成从真实情境到数学模型的转化，建立一次函数、反比例函数或二次函数，并解决实际生活中的最值统筹问题。此类题型考查的是高阶数学抽象能力，在考场上能敏锐捕捉到底层的函数增减性或方程本质。这是拉开普通学生与优等生差距的第一道分水岭。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·天津河西·一模）要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 5．（2026·河南周口·一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 6．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 二、解答题 7．（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 8．（2026·陕西西安·一模）我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，经过实验发现仿青蛙机器人起跳后的运动路线可以看作抛物线，且路线的最高点距离地面，落地点距离起跳点．以仿青蛙机器人起跳点为原点O，以起跳点和落地点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，完成下面问题： (1)写出仿青蛙机器人运动路线的函数表达式； (2)如图所示，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．在起跳点O和落地点之间的水平地面上，距离起跳点（）竖直放置一个高度为的挡板（）．请通过计算判断仿青蛙机器人能否安全通过？如果不能，实验员计划将起跳点向前移动一段距离，以便使仿青蛙机器人由新的起跳点起跳后能刚好安全通过挡板，请帮助实验员计算最少应向前移动多少距离（平移后抛物线的形状不变）． 9．（2026·山西大同·一模）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离（单位：）与飞行高度（单位：）的变化规律如下表： 水平距离 0 1 2 3 4 … 高度 0 10 16 18 16 … (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度与飞行的水平距离的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离处有一高为的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 10．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上． 信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴． 信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴． 请解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计） 押题猜想十四 阅读理解与“新定义”的代几综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【原创题】在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，我们规定点 为点 的“正交伴随点”。例如：点 ，其正交伴随点 的坐标为 。 （1）已知点 的“正交伴随点” 的坐标为 ，求点 的坐标； （2）若点 在一次函数 的图象上运动，证明其“正交伴随点” 也在一条直线上运动，并求出该直线的函数解析式； （3）已知 的圆心在坐标原点，半径为 。点 是 上的动点，随着 的运动，其“正交伴随点” 形成的轨迹记为图形 。已知直线 ，若在直线 上存在点 ，在图形 上存在点 ，使得线段 的长度 ，直接写出实数 的取值范围，并写出推导过程。 分析有理·押题有据 本题契合新课标素养导向，紧扣中考新定义压轴命题方向。以正交伴随点为情境，着重考查考生在陌生情境下的概念理解与知识迁移能力。设问梯度分明，从规则辨析入手，逐层递进至轨迹方程求解，最终导向动态最值问题。该设计有效规避机械刷题思维，精准区分学生的逻辑推理与数形结合素养，是选拔高阶思维考生的关键题型。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 2．（25-26九年级上·四川·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 3．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ① ② ③ ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    4．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 5．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 押题猜想十五 二次函数背景下的代几综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 。 （1）求该抛物线的函数表达式及点 的坐标； （2）点 是该抛物线上的一个动点（不与点 重合）。若 ，求出所有符合条件的点的坐标； （3）将原抛物线向右平移 个单位长度（ 为实数，当 时表示向左平移），得到新的抛物线 。若抛物线 与线段 有且只有一个公共点，直接写出 的取值范围，并写出推导过程。 分析有理·押题有据 聚焦新课标代数几何综合两大核心考查路径：一是将几何特殊角转化为一次函数斜率，侧重数形转化能力；二是动抛物线与定线段交点问题，需借助判别式与端点边界锁定临界范围。该命题路径将动态几何代数化，有效规避模式化解题，着重考查学生的方程思想与临界意识，符合2026年中考注重本质考查的选拔导向。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、解答题 2．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 3．（重庆市忠县后乡三校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 4．（2024年山西省大同市多校中考一模数学试题）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线． (1)求点B的坐标及直线的表达式； (2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点F．使得?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 6．（25-26九年级下·重庆·开学考试）直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 押题猜想十六 圆的综合及隐蔽轨迹下的动态几何探究 试题前瞻·能力先查 限时：18min 【原创题】在如图，在正方形 中，边长为 。以边 为直径，在正方形内部作半圆 （点 为 的中点）。动点 在该半圆弧上运动（包括端点 ）。 （1）求点 运动的轨迹长度； （2）连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 。①当点 运动到半圆弧的中点时，求线段 的长；② 在点 的整个运动过程中，求线段 长度的最大值与最小值，并写出严密的推导过程。 分析有理·押题有据 中考几何压轴命题正从繁杂计算向空间变换思维回归。例如，本题以正方形与半圆为载体，将极值探究融入旋转变换之中。核心考查隐蔽轨迹挖掘，要求学生运用瓜豆原理，透过线段旋转表象识别关联点的圆轨迹，进而转化为定点到定圆距离的极值模型。该设计切中课标对几何直观与图形建构的高阶要求，是高分段选拔的关键题型。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 2．（2026·广东广州·一模）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 3．（2026·陕西铜川·一模）探究不同情况下圆上一点与圆外一点之间距离的关系，并完成以下问题 【问题提出】 (1)如图①，是的弦，，点，分别是优弧和劣弧上的点，则的度数为___________，的度数为___________； (2)如图②，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段的最小值； 【问题解决】 (3)如图③是布景搭建区域的示意图，其中，，．为实现布景视觉平衡，作关于的对称图形，形成四边形区域．布景师在边，上分别设置道具摆放点E，F，使得，并在道具牵引线与的交点P处设置定位标记．为保障布景牵引装置的运行安全，需知道标记P到顶点C的最短距离．请根据以上信息，求标记P到顶点C的最短距离． 4．（2026·陕西西安·一模）【问题探究】 （）如图①，在四边形中，，对角线相交于点，若的面积为，则的面积为______； （）如图②，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，求面积的最大值； 【问题解决】 （）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场，其中米，，．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点和点处的射灯发出的光线夹角始终等于，且光线在的内部运动．点处的射灯发出的光线与交于点，且光线始终与光线平行．请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2026年中考数学终极押题猜想 口考情为骨 密押为赛门 目录 押题猜想一实数、整式与科学记数法的易重点… .2 押题猜想二几何图形的直观想象与基本性质… 3 押题猜想三代数式规律与图形规律探究… .6 押题猜想四反比例函数比例系数的几何意义与数形结合， .10 押题猜想五图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算， .14 押题猜想六分式化简求值与条件等式的巧妙结合… 18 押题猜想七真实情境下的代数方程综合应用… 20 押题猜想八尺规作图的实践操作与图形性质综合… .22 押题猜想九与解直角三角形相关的综合应用…。 26 押题猜想十多维统计图表分析决策与概率综合应用… 29 押题猜想十一一次函数与不等式组在最值问题中的应用.34 押题猜想十二特殊多边形背景下的几何变换与证明… 36 押题猜想十三抛物线在跨学科真实情境中的综合应用… .39 押题猜想十四阅读理解与“新定义”的代几综合 .45 押题猜想十五二次函数背景下的代几综合.… .49 押题猜想十六圆的综合及隐藏轨迹下的动态几何探究… .53 1/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想一 实数、整式与科学记数法的易错重点司 试题前瞻·能力先查◆一 限时：3min 【原创题】计算：-(2026-列+() ·分析有理押题有据· 本猜想紧扣历年中考命题高频区。零指数幂与绝对值去符号是经典的易错陷阱，直击考生的符号辨析 能力与运算严谨性；特殊角三角函数则是初高衔接的核心算理。此外，将科学记数法融入“新质生产力等时 代热点数据，高度契合《新课标》“情境式命题的导向。此四点组合，构建了整卷必考的保分基本盘。 ●终极猜想·精练通关●一 一、单选题 1.(2025·广东·中考真题)依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024-2026年)》，预计 2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为(（) A.3×10 B.3×1010 C.30×1010D.3×101 2.（2025·四川成都·中考真题)下列计算正确的是（) A.x+2y=3xy B.(3)2=x C.(x-y)2=x2-y2 D.2xy·3x=6x2y 二、解答题 3。(2025·北京·中考真题)计算：-3到+V27+(目3-2sim30. 4.(2026·重庆·一模)先化简，再求值： x3x-1)-(3x-1)06x+1)+÷食-名)，其中x=2cos60°--2 2/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想二 几何图形的直观想象与基本性质 试题前瞻·能力先查·一 限时：5min 【原创题】1.(2020河北中考真题改编)如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比 较两个几何体的三视图，正确的是（) 正面 正面 A.仅主视图不同 B.主视图、左视图相同 C.主视图、俯视图相同 D.主视图、左视图和俯视图都相同 2.(2025河北中考真题)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E.将 △CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C处，下列结论一定正确的是() D 2 C A. ∠1=45°-0 B.∠1=q C.∠2=90°-0 D.∠2=20 ◆分析有理·押题有据 本猜想直击新课标“空间观念”与“几何直观两大核心素养。三视图与截面图历来是中考客观题的必考点， 近年命题愈发倾向真实生活实物情境，侧重考查学生的逆向空间构建能力。此外，平行线与翻折操作相融 合，是图形变换的经典载体，其核心在于利用轴对称性质进行角度与线段的等量转化。两者“一静一动”，稳 抓图形与几何的基础得分。 3/56 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●终极猜想·精练通关。 1.（2025·四川成都·中考真题)下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（) B 2.(25-26九年级上·河北承德·期末)2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争 胜利80周年阅兵式上，东风一5C液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全 球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风一5C液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图， 下列说法正确的是() 正面 A. 主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 3.(2026·河北石家庄·一模)图①是铜制“方斗”，作为我国古代重要的计量器具，它蕴含着丰富的数 学文化与几何智慧.图②是其几何示意图，可抽象为底面是正方形的正四棱台，箭头表示主视方向.则该 “方斗”的三视图中，形状相同的是() 主视方向 图① 图② A.主视图与俯视图 B.左视图与俯视图 C.主视图与左视图 D.主视图、左视图、俯视图均相同 4.(2026·重庆铜梁·一模)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G 处，再将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H,则FH的 4/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长为() 4 D G A.2 11 B. c. D. 二、填空题 5.(2025·山东潍坊·中考真题)如图，在ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的 对应点B'恰好落在边DC上；将△ADB沿AB折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上.若∠C=a, 则∠CBE= (用含α的式子表示) D B 6.(2026·湖北襄阳·一模)如图，在△ABC中，AB=4√3，点D、E分别为线段BC、AC上一点，EC=10, 将△CDE沿DE折叠，使得点C落在点F处，且∠BFC=90°.若EF‖AB,则AE的长为 A E B D 7.(2026·安徽马鞍山·一模)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AB=DC,∠B=∠C=80°，过点 D作DE II AB,交BC于点E,且DE=4,CE=2.将△DCE沿DE折叠，点C的对应点C恰好落在AB 上，则AC的长为一 5/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想三 代数式规律与图形规律探究 试题前瞻·能力先查。 限时：5min 【原创题】1.(2025·重庆·模拟预测)如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，a1有1根，ā2有3 根，a有7根…照此规律摆下去，a7的火柴棒根数是（)根 01 (i A.23 B.63 C.127 D.129 —●分析有理押题有据◆一 本猜想聚焦中考选填压轴的高频区分区。图形排列考查“数形结合”思想，要求学生完成从直观表象到代 数模型的抽象跨越；数字递推则直击“从特殊到一般”的归纳推演逻辑。此类规律探究题作为拉开梯度的“试 金石”，高度契合《新课标》对抽象能力与推理素养的考查要求，是优等生冲刺高分的必争之地。 ·终极猜想·精练通关。 一、单选题 1.（2025·重庆·中考真题)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个 圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是 () ● ①② ③ ④ A.32B.28C.24D.20 6/56 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.（2026·重庆·一模)已知整式M=anx+a-1x-1+…+a1x+a,其中n,a0,a1,…,an为正整数， 且a≤a(i=0,1,…,n-1),a0+a1+…+an=8.下列说法： ①当n=1时，满足条件的所有整式M共有7种； ②满足条件的所有整式M中一次项系数a1的最大值为6； ③不存在这样的整式M,使得当x=一1时，M的值为奇数. 其中正确的个数为() A.0个B.1个C.2个D.3个 二、填空题 3.(20-21九年级上·江苏连云港·月考)如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种图形来研究数.例 如：图中的数1,5,12,22…，由于这些数能够表示成五边形，所以将它们称为五边形数，按照此规律， 第40个图形表示的五边形数是 12 22 4.(广东省梅州市学艺中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题)下面是用棋子摆成的“小屋 子”、摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第5个这 样的“小屋子需要」 枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要 枚棋子 ● ● ● ●●● ① ② ③ ④ 5.（25-26九年级上·福建南平·期中)在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强 设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式-和-n按如下规律进行操作：第1次操作后得到3 个整式-m,-n,-n+m;第2次操作后得到4个整式-m,-n,-n+m,m…其操作规则为：每次操作所 增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头 差”游戏.则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是 7/56 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.（2026·河南信阳·一模）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设 计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…，则 第18个图案需要用矩形的个数为 足 第1个 第2个 第3个 ① 7.(2026·陕西宝鸡·一模)如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两 端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,15，…，我 们把第一个数记为a1,第二个数记为a2,第三个数记为a3,…,第n个数记为an,则a7= 1 2 4 6 15101051 61520八1561 8.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个 小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第26个图案需要 火柴棍的根数为 X☒☒X☒ 3 9.（2026·甘肃平凉·一模)以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放.第1幅图中“●”的个数为3， 第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15…以此类推，则第7幅图中“●”的个数 为 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 8/56 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 10.（2026·安徽阜阳·一模)如图，这是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周 围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正 方形和18个正三角形，…依次递推 (1)第3层有6个正方形和 个正三角形 (2)第n层有6个正方形和个正三角形.（用含n的式子表示） (3)若第n层有6个正方形和2034个正三角形，求n的值， 9/56 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想四 反比例函数比例系数的几何意义与数形结合 试题前瞻·能力先查◆一 限时：5min 【改编题】(2025·北京·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的 动点，四边形OACB是矩形，函数y=k>O)的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重 合).给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形： ④△MON可能是等边三角形. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③B.①④C.②③D.②④ ·分祈有理·押题有据· 本猜想直击全国中考客观题压轴高频区。反比例函数中比例系数k的几何意义，是考查“数形结合” 思想的核心载体。命题常以双曲线与一次函数交点为基点，融合矩形、等腰三角形等特殊多边形，通过面 积的分割与等量转化来求解参数。此类题型弱化繁琐计算，高度聚焦对坐标、线段与面积转换的抽象推演 能力，具备极强的选拔区分度。 ◆终极猜想·精练通关· 10/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2025·山东德州·中考真题)在平面直角坐标系中，函数y=一的图象是（） 2.(2025·江苏宿迁·中考真题)如图，点A、B在双曲线y1=(x>0)上，直线AB分别与x轴、y轴交 于点C、D,与双曲线y2=2(K<0)交于点E,连接OA、OB,若SAAOC=20,AB=3BC,AD=DE,则k2 的值为() C八 A.-10B.-11C.-12D.-13 3.(2026·浙江杭州·一模)如图，△AOB的两点A,B在反比例函数y=2(x>O)的图象上，过B作BD⊥y 轴于点D,交OA于点E.若E为AO的中点，则△AEB的面积是() A￥ B. C.6D.5 4.(2026·江苏扬州·一模)如图，已知点Am,1)、B(-2,n)在反比例函数y=K<0)的图像上，AC‖ x轴，BC‖y轴，若△ABC的面积为16，则k的值为() B A.-10B.-6C.6D.10 11/56 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026·浙江嘉兴·一模)如图，在直角坐标系中，O是原点，点A在反比例函数y=(k为常数，k>0, x>0)的图象上，点C在x轴上，且A0=AC,延长AC交反比例函数y=(x>0)的图象于点B,记 点A,B的横坐标分别为a,b.当a,b的值变化时，下列代数式的值不变的是() A.+B.6-aC.b2-a2 D. ab 6(2026江苏无锡一模)如图，A是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点，延长OA至点B,使AB=20A, 过点B作BC‖x轴，交该反比例函数图象于点C,过点A作AD∥OC,交BC于点D,若四边形OADC的 面积为4，则k的值为() B A-2B.-C-D.-3 二、填空题 7.(2025·山东德州·中考真题)已知点P(a,b)在双曲线y1=上，点M(6a,b),N(a,c)在双曲线y2=上， 若b-c=2,则N的坐标为 8.（2026·广东东莞·一模)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,4), B(3,0),其两个锐角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=的图象上，则△APB的面积 珠 是 12/56 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026·福建泉州·一模)已知双曲线y=4与函数y=k-b1的图象有两个交点，则b的值是 10.（2026·山东泰安·一模)如图，点A1,A2,A3…在反比例函数y=>0)的图象上，点B1,B2,B,…,B。 在y轴上，且∠B1OA1=∠BB1A2=∠BB2A3=…,直线y=X与双曲线y=交于点A1,B1A1⊥OA1,B,A2⊥ B1A2,B3A3⊥B2A3,…,则B2026的坐标是一 y B4 B2 B A2 A 13/56 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 押题猜想五 图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算 试题前瞻·能力先查●一 限时：5min 【改编题】(2026·湖南娄底·一模)如图，∠CAB=30°，点O是AB上一点，半径长为6的⊙0与AC 相切于点D,交AO于点E.则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π) D B ●分析有理·挥题有据● 本猜想精准锚定《新课标》对图形的运动与几何直观的融合考查要求。图形变换背景下的面积求解， 是全国各地中考客观题的顶级试金石。此类命题往往打破常规规则图形的壁垒，要求考生利用轴对称或中 心对称性质，通过割补、等积代换将不规则阴影面积转化为标准扇形或多边形面积。该考点极具选拔性， 不仅检验扇形与弧长公式的基础算理，更深度探测考生化繁为简、化归转化的高阶空间推演能力。 …终极猜想精练通关◆一 一、单选题 1.（2026·河南周口·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2,以边AB的中 点O为圆心的半圆与AC相切，切点为D,连接OC,与半圆交于点E,则图中阴影部分的面积为() A. +万B.25-C.+9D.8+9 2.(2026·山西日梁·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2,以B为圆心、 14/56 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC的长为半径画弧交AB于点D,以A为圆心、AC的长为半径画弧交AB于点E,则阴影部分的面积为 () A C A. 号-25B吕+9C号+23D.日-9 12+2 3.(2026·浙江温州·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4,BD为AC边上 的高，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB,BC于点E,F,则正的长为() A. B.C.D. 4.(2026·浙江·一模)如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC,CD 交于E,F两点，若BE与EF的长之比为1：2，则BD的长为() A.TB.mC.9mD.m 二、填空题 5.(2025·四川成都·中考真题)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙0上的三个点.若四边形OABC 为平行四边形，连接AC,则图中阴影部分的面积为 15/56 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.（2025·河南·中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”，如 图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于 点E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 D B 7.(2025·福建·中考真题)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点0且与边AB,CD分别相 交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为 F 8.(2026·江苏盐城·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4V2,∠ACB=90°，D是AB的中 点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上（点C不与点E,F重合），半径DE,DF 分别与AC,BC相交于点G,H,则阴影部分的面积为 B 9.(2026·吉林长春·一模)如图，AB是⊙Q的直径，AD是一条弦，延长AD至点C,使DC=AD,连 接BC,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.给出下面五个结论： ①OD=BC;②DE是⊙O的切线；③LADE>90°+∠A;④当CE:EB=2:1时，△DEC与△ABC的 面积比为2：5；⑤当DE‖AB时，若AB=3,则阴影部分图形的面积为m-号上述结论中，正确结论的 序号有」 16/56 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D E 10.（2026·河南·一模)如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的 ⊙O切AC于点A,交BC于点D,则图中阴影部分的面积为 B D 17/56 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想六 分式化简求值与条件等式的巧妙结合日 ·试题前瞻·能力先查。一 限时：5min 【原创题】已知，非零实数a,b满足：a=·3b-2a加，则（片-品）÷品=(-2). ◆分析有理·押题有据◆一 本猜想紧扣中考代数解答题的必考阵地。分式混合运算是检验运算基本功的“试金石”，而“排除分母为 零的陷阱值”则是拉开分差的核心易错点，直击学生运算的严谨性。此外，结合条件等式进行整体代入，巧 妙融入了高阶的代数变形技巧。该题型兼顾基础保分与思维防错，是稳固代数解答题基本解题能力的关键。 ·终极猜想·精练通关。 一、解答题 1.(2025·四川凉山·中考真题)(1)解不等式：-号≤1： (2)先化简，再求值：1一高÷二，求值时请在-2≤×≤2内取一个使原式有意义的x(父为整数). 2.（2026·山东日照·一模)简答： (1)27-2tam60°+(m-3)°-W3-2: ②先化简：（二-3-m)÷二，然后选取一个合适的m的值代入求值，其中m满足不等式组 -33≤3的整数. 2 12m-3>-4 3.(2025·青海西宁，中考真题)先化简，再求值：品÷（侣-月，其中m满足m(m+④-4 4.(2025·四川眉山·中考真题)先化简，再求值： (之+)÷÷其中xy满足x+22+-川=0 5.（2025·贵州·中考真题)(1)计算：-3引-21×6+√4； (2)先化简：÷-D再从-1,02中选取一个使原式有意义的数代人求值 18/56 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2025·山东东营·中考真题)(1)计算：2sin60°+(3.14-π)°-V27+(月 (2)先化简，再求值：=”÷(a+2+),其中a是使不等式号≤1成立的正整数。 19156 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想七 真实情境下的代数方程综合应用 试题前瞻·能力先查·一 限时：5min 【改编题】（2025·山东聊城·三模)为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设 施进行全面更新改造，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标.每施工一天，需付甲 工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是() A.方案①B.方案②C.方案③D.方案①和方案③ ●分析有理·押题有据。一 本猜想深度呼应《新课标》中“模型观念”与“应用意识的培养目标。中考对代数方程的考查已全面摒弃 机械解方程，转而要求学生在复杂的工程、经济或社会情境中，自主抽象出等量关系，构建分式方程或一 元二次方程模型。其中，分式方程的“分母不为零”验根，以及一元二次方程根的“实际意义取舍”，是命题人 设置区分度的核心“防雷区”。 ·终极猜想·精练通关◆一 一、解答题 1.（2025·重庆·中考真题)列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3 天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个. (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每 天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品 每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创 20156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 产品增加的数量 2.(2026·重庆·模拟预测)2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世 界超级摩托车锦标赛(WSBK)中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在WSBK顶级赛事中夺冠.张 雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响.某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售。 (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台， 共耗资25万元.求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在(1)的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投人40万元分别进行采购，因技术升级，甲型 摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元.则所购甲型摩托车的数量是所购乙 型摩托车的数量的号，求a的值， 3.（2026九年级上·重庆·专题练习)某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出A,B两块地种植桃树， A地共收获5000kg桃子；B地比A地多种50棵、共收获6000kg桃子，此时，B地每棵桃树的产量比A地 低20% (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在A地每多种4棵桃树， A地每棵桃树的平均产量就会减少1kg.如果要使A地的总产量比去年增加8%，且尽量节约成本，那么A 地应多种多少棵桃树？ 4.(2025·山东东营·中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒 玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少 50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100 个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方 案？ 21/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想八 尺规作图的实践操作与图形性质综合1 试题前瞻·能力先查·一 限耐：5min 【改编题】(2026·四川广安·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，以 任意长为半径画弧，交AB于点M,交AC于点N,再分别以M、N为圆心，以大于，N的长为半径画弧， 两弧交于点P,连接AP并延长AP交BC于点D.则下列说法：①AD平分∠BAC;②∠ADC=30°；③点 D在AB的垂直平分线上；④若AN:NC=V2-1,则AM:MB-3-2V2;⑤△ABC是轴对称图形.其中 正确的说法有（填序号). ·分析有理·钾题有据·一 本猜想直击《新课标》中“尺规作图”模块的进阶要求，即从“单纯作图”全面升级为“依痕说理”。全国高 频命题手法是保留角平分线、中垂线等典型作图圆弧，要求考生自主识别隐含的等量关系，进而推演构建 出平行四边形或菱形的核心模型。此类试题将实践操作、几何直观与图形性质相关的综合应用，直接检验 学生从作图表象透视几何本质的能力，是拉开中档题梯度的绝佳载体。 …终极猜想·精练通关— 一、单选题 1.(2025·山东济南·中考真题)如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别载取CM,CN,使CM=CN,分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作 弧，两弧在∠ACB内交于点O,作射线CO交AB于点D, ②分别以点C和D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q,作直线PQ交AC于点E, 交BC于点F 22156 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据以上作图，若AD=4,DB=2,BC=3V2,则线段AE的长为() A.5B.号 3 C.5D.42 2.(2025·黑龙江哈尔滨·中考真题)如图，△ABC中，AB=AC=10,点F为AB的中点，以点A为 圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于MN的长的一半为 半径画弧，两弧交于点D,画射线AD交BC于点E,连接EF,则EF的长是() B X A.5B.52C.8D.53 3.(2025·天津·中考真题)如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当 长为半径画弧，与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC 相交于点G;③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H;④作射线BH,与CD 相交于点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是() D B A.∠ABN=∠AB.BN⊥ACC.CM=ADD.BM=BD 二、解答题 4.(2025·江苏无锡·中考真题)如图，AC为正方形ABCD的对角线. 23156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)尺规作图：作AD的垂直平分线I交AD于点E,在1上确定点F,使得点F到∠BAC的两边距离相等； (不写作法，保留痕迹) (2)在(1）的条件下，求∠FA的度数.（请直接写出∠EFA的度数) 5.(2026·江苏扬州·一模)如图，∠PAQ的边AQ上有一点B. P A B Q (1)用无刻度直尺和圆规在射线AP上求作点C,使得∠ACB=90°；（保留作图痕迹，不写作法）】 (2)在（1)的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段AC的延长线上求作点O,使以点O为圆心，OC长为半 径的圆与AQ相切，切点为D;(保留作图痕迹，不写作法) (3)在(1)、(2)的条件下，若AB=5,simA=,求o0的半径长 6.(2026·河南周口·一模)如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点. B (1)点O为AC上一点，A,D两点均在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规作出⊙O(保留作图痕迹，不写作 法)； (2)连接OD,若CD与⊙0相切于点D,AC=4,求⊙O的半径. 7.(2026·福建泉州·一模)如图，△ABC内接于⊙O,点P为直径AB的延长线上一点 24/56 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B (I)在直径AB下方，求作⊙O的切线PD,切点为D;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若点D为BC中点，AC=2,PB=6,求⊙0的半径. 8.(2026·山东滨州·一模)如图，直线AB,CD被BC所截，AB∥CD. A (1)请在图中作出⊙O,使其与AB,BC,CD都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.） (2)在(1)题所作的图中，若⊙O分别与AB,BC,CD相切于点E,F,G,⊙O的直径为6cm,设BE=x, CG=y,求y与x的函数关系式. 25156 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想九与解直角三角形相关的综合应用 试题前瞻·能力先查·一 限时：5min 【原创题】1.(2025·湖北武汉·中考真题)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体过 程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则 A,B之间的距离是 m.（tan22°取0.4) 229 459 水面 B ·分祈有理·押题有据◆ 本猜想深度契合《新课标》“真实情境命题导向，例如以无人机测量与工程测绘真实场景为高频载体 基础层面直击仰俯角、坡度模型的构建；拔高层面则打破单一模块壁垒，巧妙交汇解直角三角形、相似形 判定、圆周角定理及平行四边形性质等综合应用。这种“度量计算+几何推演的综合考法，能全面检验学生 的几何直观与模型观念，是拉开试卷区分度的核心压轴区 ○终极猜想·精练通关、一 1.(2026·河南周口·一模)定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形 斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”·如图，AB=33,∠ACB=30°，△ABC 和△DOE为对角直角三角形（∠A=∠DOE=90°），O为BC的中点，AB与OD交于点M,OE与AC 交于点N.若M为边AB的三等分点，则CN的长为 二、解答题 2.(2025·江苏南京·中考真题)如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A,B之间的距离为40k, 灯塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行，当甲航 26156 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.(参 考数据：√3≈1.73) 》东 3.（2026·浙江杭州·一模)如图，在ABCD中，以AD为直径作⊙O,交BC于点E,F,交CD于点G.过 点E作EH⊥AD于点H,交OO于点P,连接PG,交AD于点Q. 图1 图2 (1)如图1，若AE=EF,FG=GD. ①求∠P的度数 ②求证：PQ=√3QG. (2)如图2，AD=2AB,点E为BC中点，若tanLEPG=子，CG=3,求PG的长 4.(2026·福建泉州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，且AB‖CD,过点A、C、D作 ⊙O交BC于点E,连接AE,AC,ED,设AC,ED交于点F,且满足∠BEA=∠AED. B (I)求证：∠ACD=∠ADC; (2)若EC=2,EF=1,求圆的半径r; (3)若铝=n血>V回，求器的值（用含n的代数式表示）. 27156 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.（2026·江西九江·一模)如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄AE与地面EF垂直，AE=2.68米，伞骨 AB=AC=2米，∠BAC=140°，BC EF A B2--------- E (1)求点C到地面的距离 (2)有一高度为80cm的小桌子（GF=80cm),已知此时太阳光线与水平方向的夹角为60°.太阳光刚好照 到桌面边缘点D处，求点D到AE的距离（精确到0.1米）》 （参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73) 6.（2026·江苏无锡·一模)在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物AB的高 度.如图，在建筑物AB旁有一小山坡CD,测得山坡CD的坡度i(即tana)为1：√3，CD=32m,在D A 处测得A处的仰角为75°，在C处测得A处的仰角为30°. (I)求∠DAC的度数； (2)求建筑物AB的高度.（计算过程和结果中的数据不取近似数） 301C 75%a B D 7.(2026·江苏连云港·一模)水晶公园是市民休闲时的一个好去处.如图，小明和他的综合实践活动小 组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度AB,他们选定了两个观测点C,D,观测点D在点A的 北偏东45方向上，观测点C在点B的北偏西22.6°方向上，点B在点A的正东方，又测量得BC=260, CD=120m,∠ADC=90°，求水晶公园的东西最大宽度AB.(结果精确到1m参考数据：sin2.6°≈， c0s2.6°≈号，tan226°≈，V2≈1.414) D 22.6° 西A B东 28156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 抑题猜想十 多维统计图表分析决策与概率综合应用 试题前瞻·能力先查· 限时：12min 【愿创题】在某现代化农业科技示范园拟采购一批大载重植保无人机用于低空农业作业。为验证实际作业 效能，园区对人围的甲、乙两款无人机进行了连续10次的独立满负荷飞行测试。以下为两款无人机单次 有效喷洒面积的原始测试数据（单位：亩）：甲款无人机：18,19,20,20,20,21,21,22,23,26；乙款无人机： 19,19,20,21,21,21,21,22,23,23 整理数据得到如下统计分析表： 无人机型号 平均数 中位数 众数 方差 甲款 21 a 20 4.6 乙款 21 21 b 1.8 (1)直接写出表中a,b的值； (2)园区技术部设定，单次有效喷洒面积不低于21亩的测试评定为优质作业。请分别计算两款无人机 在此次测试中达到优质作业标准的频率； (3)示范园制定了设备引进的综合评估方案，无人机的综合得分由平均作业效能与作业稳定性两项指标 按3：7的权重比例构成。平均作业效能的单项得分为其测得的平均数数值；作业稳定性单项得分的计分 规则为：方差小于2得28分，方差在2~5之间得24分，方差大于5得20分。请计算两款无人机的综 合得分，并结合数据给出推荐采购的型号。 ◆分析有理·押题有据◆一 本题对标新课标"数据分析与决策"考点，切合2026年中考"复杂情境+多维规则赋分"命题方向。题目突 破传统均值、方差计算模式，将统计量（均值、方差）转化为农业植保情境下的"单项权重"与"阶梯积分”。 考生须具备扎实的数据处理能力，并理解统计量在实际工程验收、设备采购等决策场景中的应用价值，有 效区分学生的数学建模与信息提取素养， 一、填空题 1.(2025·北京一模)某校“π节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、 描述和分析，下面给出了部分信息， 29156 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a.教师评委打分： 85,86,88,90,90,91,92,94 b.学生评委打分的频数分布直方图如下 (数据分4组：第1组80≤x<85,第2组85≤x<90,第3组90≤x<95,第4组95≤x<100) 频数 28 12 6------ 0 8085 9095100扩分 平均数 中位数 众数 教师评委 89.5 90 m 学生评委 90.2 2 93 c.评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数m=,n的值位于学生评委打分数据分组的第组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为8，则收89.5（填“>“=” 或“<”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）·对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数 和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入 决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 则这三位选手中排序最靠前的是，表中k(k为整数)的值 为一 二、解答题 30156 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025广东广州中考真题)为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬'的 演讲比赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进入决赛的 前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选 手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度设计三项成绩的比，并解释设计的理由， 3.(2026年安徽巢湖市部分学校中考一模九年级数学试卷)为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战 争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的 文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选 手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)a= b= (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照5：3：2的比例确定，以此计算三名选手的平均 成绩（百分制）并确定谁是第一名， 4.(2026广东佛山一模)统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进 而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力. 现有三个小组，每组20人.一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 人数 人数 人数 10 10 10 8 8 6 0 得分 23 得分 0123 得分 第一组 第二组 第三组 31156 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 b 2 c 第三组 2.85 4 d 1.61 求a,b,c,d的值 (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子的高度总是1,2,3,6,8.因柱子排列顺序不同， 导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化.重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱 子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式 人数 人数 10 10 8 8 6 6 4 2 0 0 0 234得分 0 234得分 图1 图2 5. (2025四川广元中考真题)我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项 目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）·为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分 学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： 个人数/人 2 B类 10 A类 32% 8 6 E类 6 C类 D类 A类B类C类D类E类项目 (1)抽取的学生人数是 扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是 补全条形统计 图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请 用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率。 2.(2026四川巴中.一模)某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周 锻炼时间（单位：h)进行统计，按锻炼时间分为：A:0≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12 四组，并绘制了如下不完整的统计图.请根据图中提供的信息，完成下列问题： 32/56 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图 个人数 20 吕夫军级 8 14 A 20% 10 B 8642 B C D组别 图① 图② (1)此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中B”组对应的圆心角的度数为 并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数 (3)乒乓球比赛中，“D”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球.甲 乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制.比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补 赛.班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求 出甲、乙两人各分得乒乓球的数量 33/56 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想十一一次函数与不等式组在最值问题中的应用 ● 试题前瞻·能力先查●一 限时：15min 【原创题】某物流公司决定升级其智能配送网络，计划购进A、B两款载重物流无人机。已知B款无人机 的单价是A款的1.5倍。如果用24万元单纯购买A款无人机，其数量比用30万元单纯购买B款无人机的 数量多10架。 (1)求A、B两款无人机的单价分别是多少万元； (2)该公司计划首批购进A、B两款共100架，且总采购预算不超过52万元，要求购进的B款数量必 须严格大于A款数量的。①共有多少种符合预算与数量限制的采购方案？②受飞控系统协议限制， 每名飞手单独执行任务时，刚好能满负荷操控4架A款，或刚好能满负荷操控3架B款。为使人员效能 最大化，要求购进的这100架无人机能恰好被分配给若干名飞手，且每名飞手都能达到满负荷操控状态。 已知A款日均可投递50个包裹，B款日均可投递80个包裹。请设计出使日均总投递量最大的终极采购 方案，并求出该最大投递量。 ·分析有理·押题有据◆一 本题紧扣新课标真实情境建模导向，聚焦"分式方程+不等式+一次函数"代数综合考查。命题创新引入” 整除约束"条件，突破"求得范围后直接取端点"的惯常思路。考生须运用数论中倍数特征进行筛选，将大量 常规方案缩减至有限几种后，再进行函数最值决策。该设计有效规避模式化解题套路，深入考查多重约束 条件下的信息提取与数学统筹能力，是拉开中高分段考生差距的重要题型。 ○终极猜想·精练通关、一 一、解答题 1.(2025山东济南中考真题)随着“体重管理年三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某 健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型 健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相 同. 34/56 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元 (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身 器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 2.(广西壮族自治区南宁市2025-2026学年上学期期末综合试题)某超市计划购进A、B两种品牌的保温 杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售 价为45元/个 (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯x个， 这批保温杯的总利润为W元，求W的最大值； (3)在(2)的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠m元(0<<10)出售，B品牌保温杯售价不变， 此时总利润W的最大值为1750元，求m的值. 35156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想十二 特殊多边形背景下的几何变换与证明 试题前瞻·能力先查· 限时：15min I改编题】在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上，连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转180°-2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF‖AB,交直线BC于点F. D C(D) B 图1 图2 E (1)如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC; (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明 →分析有理押题有据◆一 本猜想选择无坐标系背景的纯几何探究证明题，命题定式往往以正方形或等边三角形等高对称图形为 基底，嵌套旋转、折叠或垂直平分等变换动作。此类试题彻底剥离代数坐标计算的辅助，强制要求考生识 别手拉手”、“半角等隐蔽几何模型，凭借扎实的全等与相似推演能力打破线段与角度的僵局，是体现纯粹 数学演绎之美的压轴标杆。 。终极猜想·精练通关、 1.(2025·青海·中考真题)如图，在△ABC中，点O,D分别是边AB,BC的中点，过点A作AE∥BC 交DO的延长线于点E,连接AD,BE (1)求证：四边形AEBD是平行四边形： 36156 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状，并证明. 2. (2025·湖北武汉·中考真题)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长 线上，DE=CF,射线AE交对角线BD于点G,交线段DF于点H G G H B C 备用图 (1)求证：DH=GH, (2)求证：AG·EH=EG·GH, ③若器=n,直接写出的值（用含n的式子表示）： 3. (2025·广东广州·中考真题)宽与长的比是一（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩 形纸片ABCD,长AD=V5+1.如图1，折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为AF,连接EF, 然后将纸片展开. D G 图1 图2 (1)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形； (3)如图2，点G为AE的中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点H处，折痕为FP,过点P 作PQ⊥EF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由. 4.(2026·广东佛山·一模)已知：正方形ABCD的边长为6，点E为AB边上的动点（不与点A、B重 合)，记AE=x,△ADE的外接圆与对角线AC交于点F,连接DF、EF. 37156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G E B 图1 图2 图3 (I)由图1，试说明△DEF是等腰直角三角形 (2DE与AC交于点G,将△EFG沿EF翻折得到△EFM. ①如图2，连接DM交EF于点N.当x=3时，求tan∠EDM的值并证明MF2=MD·MN. ②如图3，设S=SAADG-SAFM.求S与X之间的函数关系式. 5.(2026·江苏盐城·一模)问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时， 得到矩形A'BCD',点A、B、D的对应点分别为点A'、B、D',设直线AD与直线A'D'交于点E. D 4(E) B 图① 图② (1)猜想证明：猜想DE与DE的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点B恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A'恰好落在AD的延长 线上（即点A'与点E重合），连接A'C,求证：四边形A'DBC是平行四边形； (3)问题解决：在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，设直线CE与直线A'B相交于点F,若AB=4, BC=3,当A'、B、D三点在同一条直线上时，请直接写出A'D的值. 38156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 口押题猜想十三 抛物线在跨学科真实情境中的综合应用 试题前瞻·能力先查·一 限时：15min 【原创题】智能消防机器人在现代高层灭火与危险环境救援中发挥着核心作用。某型号智能消防机器人在 平整的场地上进行精准喷水演练。如图所示，以喷水口A在地面上的垂直投影点O为坐标原点，地面水 平线为x轴，建立平面直角坐标系。已知喷水口A距地面的高度OA为1m,喷出的水流轨迹可视为某 条抛物线的一部分，当水流达到最大高度5m时，距离y轴的水平距离为4m。 （1)求水流轨迹所在抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2在机器人正前方m处有一堵竖直的模拟演练墙，墙壁上距离地面高度3m处设置了一个着火点P。 保持机器人的位置与喷水参数不变，水流能否准确命中着火点P?请说明理由； (3)为了增加演练难度，高层内攻演练要求水流能穿过前方墙壁上的一个矩形排烟窗进人室内扑灭暗火。 已知该排烟窗所在的墙壁与y轴的水平距离保持7m不变，排烟窗的下边缘距地面2.75m,上边缘距 地面4。为了保证水流能越过窗台并深入室内，演练设定水流在穿过该排烟窗时必须处于下降阶段。 若消防机器人沿x轴正方向向前直线移动m(m>0)，水流轨迹的抛物线形状及顶点相对于机器人 的位置保持不变，求m的取值范围，使得水流能顺利按要求穿过该排烟窗。 ◆分析有理哩·押题有据◆一 新课标导向下，中考数学的阅读量与信息干扰项成倍增加。本猜想以硬核物理定律、前沿科技工程或 宏观社会经济数据为命题背景。试题通过长篇幅的阅读材料与实物图表呈现，要求考生完成从真实情境到 数学模型的转化，建立一次函数、反比例函数或二次函数，并解决实际生活中的最值统筹问题。此类题型 考查的是高阶数学抽象能力，在考场上能敏锐捕捉到底层的函数增减性或方程本质。这是拉开普通学生与 优等生差距的第一道分水岭。 终极猜想·精综通关、— 一、单选题 1.（25-26九年级上·江苏南通·期末)老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培.通过观察， 同学们发现：洒水少了，发芽率p低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率p.通过实验与分析，同学们进一 39156 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 步发现：在温度一定的条件下，发芽率p与洒水量v（单位：L)近似地满足二次函数关系p=v2+bv+c (a、b、c为常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量 为() P 0.5 0.2 22.5 5 v/L A.3.5L B.3.75L C.4L D.4.25L 2.（25-26九年级上·甘肃平凉·期中)如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其载面图可看作抛物线的一部分（如 图2)，大棚跨径OA=l2m,顶端C到墙体B0的距离为4m,顶端C到OA的距离为6m,则大棚与墙的 交点B到原点O的距离OB为() 图1 图2 A.3m B.m C.4m D.m 3.（2026天津河西一模)要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管OA,并在水管顶端 A处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱.若喷出水柱的高度y（单位：m)与水平距离x（单位：m)之间 的关系是y=-x-1)2+3,有下列结论： ①水柱落地处距池中心O的距离为3m; ②水管0A的长度为2.25m; ③水柱到达最高点时的高度为3m. 其中，正确的结论是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4.（2026山东枣庄一模)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单 位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的 路程是80m;③当t=5时，h=20;④当h=35时，t=2.其中正确的有() 40156 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ah/m 40 0 1 23456ts A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 5.(2026河南周口一模)如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧.从 小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度v(单位：c/s)与弹簧被压缩的长度x(单位： cm)之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示.已知P(2,n)为该抛物线的顶点，有一条平行 于x轴的直线v=b,且b= :当小球的速度v不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是() O↓v v/(cm/s) -v=b .10000 777777777 777777777 O引2 6 x/cm 图1 图2 A.2-√2<x<2+ B.0≤x≤2-√2或2+V2≤x≤6 C.2-2≤x≤6 D.2-V2≤x≤2+V2 6.（2026浙江宁波模拟预测)冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是载面示意图）.一 名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物 线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意 图)【注：AB的长为25米，∠AB0=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着 陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为y=x2+bx+c,平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交 于点C,D,则下列所作技术分析正确的是() 图1 起跳点 着陆坡 图2 图3 图4 41156 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.着陆坡的水平宽度OB=18.75米 B.点A的坐标为(0,12) c.b=-20a- D.当cD的最大值为10米时，a=-君 二、解答题 7.(2025山西·模拟预测)综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领 域实现广泛应用.当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力），物资的运动路径可 近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为y=h一是x2.其中，h表 示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米），ⅴ表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/ 秒)，取g为10米/秒2 2 60 040 实践探究：如图，1号无人机在空中以ⅴ=20米/秒的速度向平坦地面投放物资A,2号无人机在1号无人机 竖直上方100米处以v=10米/秒的速度，投放物资B,已知1号，2号无人机及物资A,B的落点在同一竖 直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛 物线y1,物资B的运动路径即为抛物线y2: 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线y1的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题， ①若1,2号无人机同时投放物资A,B,请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，1,2号无人机需同时投放物资A,B,且物资落点不变，为避免A,B两物资相撞， 在保持1,2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解 决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求2号无人机投放物资B的水平初速度ⅴ的 取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）. 8.(2026陕西西安一模)我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，经过 实验发现仿青蛙机器人起跳后的运动路线可以看作抛物线，且路线的最高点距离地面60c,落地点距离起 42/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 跳点160c.以仿青蛙机器人起跳点为原点O,以起跳点和落地点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，完 成下面问题： VA B衣 (1)写出仿青蛙机器人运动路线的函数表达式； (2)如图所示，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物竖直方向上的距离不少于2c,才能安全通过.在 起跳点0和落地点之间的水平地面上，距离起跳点120cm(OB=120cm)竖直放置一个高度为46cm的挡 板(AB=46c).请通过计算判断仿青蛙机器人能否安全通过？如果不能，实验员计划将起跳点向前移动 一段距离，以便使仿青蛙机器人由新的起跳点起跳后能刚好安全通过挡板，请帮助实验员计算最少应向前 移动多少距离（平移后抛物线的形状不变）· 9.(2026山西大同一模)燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐.春节期间，小明在小区指定烟花 燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离x(单位：)与 飞行高度h(单位：m)的变化规律如下表： 水平距离xm 0 3 4 高度h/m 0 10 16 18 16 (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度h与飞行的水平距离x的函数解析式（不要求写 出自变量的取值范围)； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离6m处有一高为3m的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的 过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数 关系式为：h=-(k-6)2+45,喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能 h/m个 的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离. 花灯 灭火器m 43156 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.(2026山东青岛一模)图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行 装饰，11、12为阁楼屋梁，装饰木条DF、DE分别与11、12平行，且均与抛物线窗户ABC有唯一交点.同时， 用相同木条在窗户上方与木条DE、DF之间搭建支架QP、QM、MN,其中点P、N在抛物线上，点M、Q 分别在木条DF、DE上. 信息一：窗户水平宽度AB为1.6米，竖直高度OC为0.6米（其中C为抛物线顶点).建立如图2所示的 平面直角坐标系，O为原点，AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴 信息二：l和l,关于y轴对称，且关系式为y=-x+1,QP1x轴，N1x轴，MQ∥x轴. 请解答下列问题： F BE 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条DE所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条DF、DE和支架PQ、QM、MN,请你通过计算 判断3米长的木条是否够用.（木条裁剪过程中的损耗不计）》 44156 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 押题猜想十四 阅读理解与“新定义”的代几综合司 试题前瞻·能力先查◆一 限时：20min 【原创题】在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P区，y),我们规定点P'(-y,x)为点P的“正交伴 随点”。例如：点M(2,3),其正交伴随点M的坐标为（-3,2)。 (1)已知点A的“正交伴随点”A'的坐标为(2，-3)，求点A的坐标； （2)若点P在一次函数y=2x+1的图象上运动，证明其“正交伴随点”P也在一条直线上运动，并 求出该直线的函数解析式； (3)已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为4。点P是⊙O上的动点，随着P的运动，其“正交伴 随点”P形成的轨迹记为图形G。已知直线1y=x+华，若在直线1上存在点M,在图形G上存在 点N,使得线段MN的长度d≤m,直接写出实数m的取值范围，并写出推导过程。 ●分析有理·押题有据。一 本题契合新课标素养导向，紧扣中考新定义压轴命题方向。以正交伴随点为情境，着重考查考生在陌 生情境下的概念理解与知识迁移能力。设问梯度分明，从规则辨析入手，逐层递进至轨迹方程求解，最终 导向动态最值问题。该设计有效规避机械刷题思维，精准区分学生的逻辑推理与数形结合素养，是选拔高 阶思维考生的关键题型。 ●终极猜想·精练通关。 一、解答题 1.(2025辽宁抚顺一模)新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(p,q),若点T(k,y), 满足x=a+p,y=b+q,那么称点T是点A,B的合作点”，例如：A(-1,2),B(3,4),当点T(k,y)满足x=-1+ 3=2,y=2+4=6时，则点T(2,6)是点A、B的“合作点”. 45/56 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知点A(2,-4),B(-2,8),点T是点A,B的“合作点”，求出点T的坐标： (2)若点A(a,b)是抛物线y=-x2上一动点，点B(1,1),点Tx,y)是点A、B的“合作点”，试求出T中的y 关于x的函数解析式； (3)把(2)中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数y,设新函数y与平面直角坐标系中的y 轴交于点C,点P是新函数y图象上一动点，它的横坐标为m.过点P作PM⊥y轴于点M,当点P与点M 都不与点C重合时，以PM、CM为边作矩形PMCN,设矩形PMCN的周长为l. ①求1与m的函数解析式； ②若对于1的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出1的取值范围。 2.(25-26九年级上·四川期中)定义：点M(m,)关于原点的对称点为M,以MM为边作等边△MMN, 则称点N为M的“完美三角点”. BM (图1) (图2) (1)若M(2,3),求点M的“完美三角点的坐标 (②)若M点是双曲线y=区>0)上一动点，当点M的“完美三角点”点N在第四象限时， ①如图1，请问点N是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说 明理由 ②如图2，已知点A(1,3),B(2),点C是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、C、F、N这四个 点为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的纵坐标yn的取值范围 3.(25-26九年级上，北京期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0,2),直线1过点(a,0)且垂直于x 轴，点M关于直线I的对称点为点M.对于坐标平面内的点N和图形W做如下定义：若W上存在点P使 △MPN是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则称点N是M关于1和图形W的对垂点”. 已知正方形ABCD的顶点A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1): (1)若a=2,下列点中， (填序号)点是M关于1和A的“对垂点” ①(2，-2)②(5，-1)③(3,5)④(0,4) (2)若a=2,以点(0，t)为圆心，2为半径的圆上存在N是M关于1和线段AB的对垂点”，则t的取值范围 是 (3)直线y=1上存在两个M关于1和正方形ABCD的“对垂点”，则a的取值范围是 46/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B 4.(25-26九年级上·北京·月考)在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P内的一点M,若存在点N使得线段MN 的中点恰好在⊙P上，则称点N是点M关于⊙P的“关联点”；特别地，当点N是点M关于OP的“关联点” 且△PMN为直角三角形时，则称点N是点M关于⊙P的直角关联点” y A A O 备用图 (1)如图，已知点A(0,1),⊙0的半径为2. ①在点B1(5.,0),B,(-号)，B,0,-4)中，点A关于。0的“关联点"是 ②若点B是点A关于⊙O的“直角关联点'，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标： ③若直线y=kx+bk>0)上有且只有一个点是点A关于o0的“关联点”，且该点恰好为点A关于⊙O的“直 角关联点”，直接写出k的值： (2)已知oP的半径为3，若存在半径为r的oT,对于oT上的任意一点Q,都存在⊙P上的点C与⊙P内一 点D,满足CD=1,且点Q为点D关于oP的“直角关联点”，直接写出r的取值范围， 5.(2025·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个 不同的点M,N,对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ≤∠MAN,则称点A 是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平 角) (1)如图，⊙0的半径为1. 47156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①在点A(0),A,(0),A(2,0)中，点 是⊙0的关联点且其与⊙0的关联角度小于90°，该点与 ⊙0的关联角度为 ②点B(1,)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD,BD上所有的点都是oO的关联点，则m的 最小值为 (2)已知点E(1,3),F(4,3),Tt,0),⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的 关联角度的最大值为a.若90°≤a≤180°，直接写出t的取值范围 48156 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想十五 二次函数背景下的代几综合 试题前瞻·能力先查· 限时：15min 【原创题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B3,0)两点， 与y轴交于点C。 (1)求该抛物线的函数表达式及点C的坐标： (2)点P是该抛物线上的一个动点（不与点C重合）。若∠ACP=∠BCO,求出所有符合条件的点P 的坐标； (3)将原抛物线向右平移m个单位长度(m为实数，当m<0时表示向左平移)，得到新的抛物线G。 若抛物线G与线段AB有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围，并写出推导过程。 ◆分析有理·钾题有据· 聚焦新课标代数几何综合两大核心考查路径：一是将几何特殊角转化为一次函数斜率，侧重数形转化 能力；二是动抛物线与定线段交点问题，需借助判别式与端点边界锁定临界范围。该命题路径将动态几何 代数化，有效规避模式化解题，着重考查学生的方程思想与临界意识，符合2026年中考注重本质考查的选 拔导向。 φ终极猜想·精练通关·一 一、单选题 1.(2026河北石家庄一模)如图，抛物线y=x2-5x-6与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点D为 直线BC上一点，且横坐标为7，将线段CD沿y轴上下平移，当线段CD与抛物线有唯一交点时，设点C 的纵坐标为a,则a的取值范围是() 49156 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-6<a≤1或a=-15 B.-7<a≤1或a=-9 C.-6≤a≤2或a=-15 D.-7<a≤2或a=-9 二、解答题 2.(2025·天津.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0,b>0). (1)当a=-1,b=2,c=3时，求该抛物线顶点P的坐标 (2)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点. ①当a=-2时，若点D在抛物线上，∠CAD=90°，AC=AD,求点D的坐标； ②若点B(m,O),∠CAB=2∠ABC,以AC为边的ACEF的顶点F在抛物线的对称轴1上，当CE+CF取 得最小值为26时，求顶点E的坐标 3.(重庆市忠县后乡三校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x 轴交于点A(-3,0),点B(1,0),与y轴相交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P是第二象限内抛物线上一动点，连接AC,D是线段AC的中点，连接AP,DP,求△APD面积的最 大值及此时点P的坐标 (3)在(2)中，△APD面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线AC的方向平移2√2个单位长度，得到 新抛物线y1·点M为新抛物线y1对称轴上一点，点N为平面内一点，若以A,P,M,N为顶点的四边形是 矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个写出求解过程。 4.(2024年山西省大同市多校中考一模数学试题)综合与探究 如图，抛物线y=x2-2x-6与x轴交于点A和B,点A在点B的左侧，交y轴于点C,作直线BC. 50156 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 备用图 (I)求点B的坐标及直线BC的表达式； (②)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E若器-音求点D的坐标 (3)抛物线上是否存在点F.使得∠BC℉=15°？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由 5.(2025·重庆.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(6,0)两点， 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 点（点E在点D的下方），且DE=4,连接BD,PE.当器取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最 小值： (3)在(2)中器取得最大值的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2V2个单位长度得到抛物 线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若∠NAB=∠OPM-45°，请直接写出所有符 合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程 6.(25-26九年级下·重庆·开学考试)直线l1:y=x+3与抛物线y=-x2+bx+c分别交于x轴上的A点和y 轴上的B点. 51156 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式 (2)点C为点B关于x轴的对称点，P为直线11上方抛物线上一点，将直线11向下平移2个单位长度得到直线 l2,M为直线l上任意一点，过点M作MN⊥2于点N;当△PAB面积取得最大值时，求PM+MN+NC 的最小值； (3)记抛物线与x轴的另一交点为点D,将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新 抛物线y'.点H为新抛物线上的一动点，若满足∠HAB=45°+∠OBD,则求所有符合条件的点H的横坐 标，并写出其中一种情况的解答过程. 52/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一押题猜想十六 圆的综合及隐蔽轨迹下的动态几 何探究 试题前瞻·能力先查。 限时：18min 【原创题】在如图，在正方形ABCD中，边长为4。以边AB为直径，在正方形内部作半圆O(点O为 AB的中点)。动点P在该半圆弧上运动（包括端点A,B)。 (1)求点P运动的轨迹长度； (2)连接OP,将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OQ。①当点P运动到半圆弧的中点时， 求线段CQ的长；②在点P的整个运动过程中，求线段CQ长度的最大值与最小值，并写出严密的推导 过程。 ●分析有理押题有据●一 中考几何压轴命题正从繁杂计算向空间变换思维回归。例如，本题以正方形与半圆为载体，将极值探 究融入旋转变换之中。核心考查隐蔽轨迹挖掘，要求学生运用瓜豆原理，透过线段旋转表象识别关联点的 圆轨迹，进而转化为定点到定圆距离的极值模型。该设计切中课标对几何直观与图形建构的高阶要求，是 高分段选拔的关键题型。 终极清想·精练通关。 一、解答题 1.(2026湖南湘潭.一模)综合探究 D D D E E M 6 B 图1 图2 图3 图4 53/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)【问题发现】 如图I,已知点E为正方形ABCD对角线AC上一动点（不与点A、C重合），连接BE,将线段BE绕点 B顺时针旋转90°到BF处，连接CR.请写出AE与CF的数量关系，并给出证明过程. (2)【类比探究】 如图2，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合）·在Rt△BEF 中，∠EBF=90°，∠EFB=∠ACB,连接CP.请探究此时AE与CF的数量关系，并给出探究过程， (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形ABCD中，∠ACB=60°，点E为射线AC上一动点，点M为△BEC的外接圆的圆心，连 接BM,CM,若AC=8,则当∠BMC=90°时，请直接写出线段AE的长， 2.(2026广东广州一模)如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点（不与点B,C重合），连 接AE,将线段AE绕，点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接CF A D B 公 图1 (1)猜想证明：求证：∠FCD=45°； (2)类比探究：如图2，若将正方形ABCD改为矩形ABCD,点E是BC所在直线上一动点（不与点B,C 重合)，其中AB=6,AD=8,其他条件不变 ①当点F恰好落在矩形的对角线BD上时，求BE的长； ②直接写出点D到点F距离的最小值 B 图2 3. (2026陕西铜川一模)探究不同情况下圆上一点与圆外一点之间距离的关系，并完成以下问题 54/56 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图① 图② 图③ 【问题提出】 (①)如图①，AB是0O的弦，∠AOB=100,点P1,P,分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠APB的度数 为 ∠APB的度数为 (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是CD上 的一个动点，连接AP,求线段AP的最小值； 【问题解决】 (3)如图③是布景搭建区域Rt△ABC的示意图，其中∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=4m.为实现布景视 觉平衡，作△ABC关于AC的对称图形△ADC,形成四边形ABCD区域.布景师在边DC,BC上分别设 置道具摆放点E,F,使得DE=CF,并在道具牵引线BE与DF的交点P处设置定位标记.为保障布景牵 引装置的运行安全，需知道标记P到顶点C的最短距离.请根据以上信息，求标记P到顶点C的最短距离 4.(2026陕西西安一模)【问题探究】 (I)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,若△ABC的面积为9，则△BCD 的面积为 图① (2)如图②，半圆O的直径AB=8,点C是半圆O上的一个动点，求△ABC面积的最大值； O B 图② 【问题解决】 (3)如图③，某公园有一个三角形的演艺广场ABC,其中AB=20米，∠ACB=90°，∠CAB=60°.在 演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点A和点B处的射灯发出的光线夹角∠AMB始终等于45°，且光 55/56 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 线AM在∠BAC的内部运动.点C处的射灯发出的光线与AM交于点N,且光线CN始终与光线BM平行.请 探究四边形BMCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形BMCN面积的最大值；若不存在，请说 明理由 M 图③ 56156 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 目 录 押题猜想一 实数、整式与科学记数法的易错重点 2 押题猜想二 几何图形的直观想象与基本性质 5 押题猜想三 代数式规律与图形规律探究 13 押题猜想四 反比例函数比例系数的几何意义与数形结合 21 押题猜想五 图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算 33 押题猜想六 分式化简求值与条件等式的巧妙结合 45 押题猜想七 真实情境下的代数方程综合应用 51 押题猜想八 尺规作图的实践操作与图形性质综合 56 押题猜想九 与解直角三角形相关的综合应用 67 押题猜想十 多维统计图表分析决策与概率综合应用 85 押题猜想十一 一次函数与不等式组在最值问题中的应用 95 押题猜想十二 特殊多边形背景下的几何变换与证明 99 押题猜想十三 抛物线在跨学科真实情境中的综合应用 113 押题猜想十四 阅读理解与“新定义”的代几综合 127 押题猜想十五 二次函数背景下的代几综合 146 押题猜想十六 圆的综合及隐蔽轨迹下的动态几何探究 165 押题猜想一 实数、整式与科学记数法的易错重点 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】计算： 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，主要涉及算术平方根的求解、零指数幂的性质以及负整数指数幂的计算。解题的关键是熟练掌握并准确应用相关的基础运算法则。 【解答】 解：原式 ． 分析有理·押题有据 本猜想紧扣历年中考命题高频区。零指数幂与绝对值去符号是经典的易错陷阱，直击考生的符号辨析能力与运算严谨性；特殊角三角函数则是初高衔接的核心算理。此外，将科学记数法融入“新质生产力”等时代热点数据，高度契合《新课标》“情境式命题”的导向。此四点组合，构建了整卷必考的保分基本盘。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿．故选：D． 2．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： 【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；故选：D． 二、解答题 3．（2025·北京·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 4．（2026·重庆·一模）先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【分析】根据分式的加减乘除运算法则和因式分解，化简即可，再根据特殊角的三角函数值，计算出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 押题猜想二 几何图形的直观想象与基本性质 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】1．（2020·河北·中考真题改编）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ） A．仅主视图不同 B．主视图、左视图相同 C．主视图、俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】D 【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案． 【详解】第一个几何体的三视图如图所示： 第二个几何体的三视图如图所示： 观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同， 故选D． 2．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 分析有理·押题有据 本猜想直击新课标“空间观念”与“几何直观”两大核心素养。三视图与截面图历来是中考客观题的必考点，近年命题愈发倾向真实生活实物情境，侧重考查学生的逆向空间构建能力。此外，平行线与翻折操作相融合，是图形变换的经典载体，其核心在于利用轴对称性质进行角度与线段的等量转化。两者“一静一动”，稳抓图形与几何的基础得分。 终极猜想·精练通关 1．（2025·四川成都·中考真题）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键． 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得． 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北承德·期末）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 3．（2026·河北石家庄·一模）图①是铜制“方斗”，作为我国古代重要的计量器具，它蕴含着丰富的数学文化与几何智慧．图②是其几何示意图，可抽象为底面是正方形的正四棱台，箭头表示主视方向．则该“方斗”的三视图中，形状相同的是（ ） A．主视图与俯视图 B．左视图与俯视图 C．主视图与左视图 D．主视图、左视图、俯视图均相同 【答案】C 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，主视图与左视图相同，选C． 4．（2026·重庆铜梁·一模）如图，将边长为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由翻折的性质，得，根据，可得，证明，可求出的长度，最终可求出的长． 【详解】解：由翻折的性质， 可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】这是一个几何折叠问题，涉及到三角形的折叠、平行线性质以及直角三角形的相关知识．根据折叠可知 ，进而可得，结合可得四边形 为平行四边形，由此得出，再证明得出，由此即可求解． 【详解】解∶如图，延长 、 交于点 ，延长 交于点 ， 将 沿 折叠至 ，则； 是 的垂直平分线 ∴ 又∵ ，即 ∴， 又∵， ∴四边形 为平行四边形，， ∴ ， ∵，由折叠可知：， ∴，∴ ∵ ， ∴． 7．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，，，，过点D作，交于点E，且，．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长为___． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质、折叠的性质、平角的定义以及三角形的内角和定理，得出，，进一步得出，利用相似三角形的性质得出，进一步得出，再判定四边形为平行四边形，得出，即可解答． 【详解】解： ． 由折叠得，，，． ， ， ， ， ． 又 ， ， ，即， ． ，， 四边形为平行四边形， ， ． 押题猜想三 代数式规律与图形规律探究 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】1．（2025·重庆·模拟预测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，有1根，有3根，有7根……照此规律摆下去，的火柴棒根数是（ ）根 A．23 B．63 C．127 D．129 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 先根据前四个图形中火柴棒的个数得变化特点得出规律，进而得出答案． 【详解】解：因为图中有1根火柴棒； 因为图中有根火柴棒； 因为图中有根火柴棒； 因为图中有根火柴棒， 因为图中有根火柴棒． 故选：C． 分析有理·押题有据 本猜想聚焦中考选填压轴的高频区分区。图形排列考查“数形结合”思想，要求学生完成从直观表象到代数模型的抽象跨越；数字递推则直击“从特殊到一般”的归纳推演逻辑。此类规律探究题作为拉开梯度的“试金石”，高度契合《新课标》对抽象能力与推理素养的考查要求，是优等生冲刺高分的必争之地。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 2．（2026·重庆·一模）已知整式，其中n，，为正整数，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式M共有7种； ②满足条件的所有整式M中一次项系数的最大值为6； ③不存在这样的整式M，使得当时，M的值为奇数． 其中正确的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题目给定条件，对三个说法逐一验证，利用枚举和奇偶性性质推导即可． 【详解】解：验证①：当时，，满足， ∵为正整数， ∴，解得， ∴可取1，2，3，4，共4种不同整式，故①错误； 验证②：要使最大，需其余系数和最小，所有系数均为正整数，且最小为1（，其余）， 当时，共3个系数， 满足，，取最小，， 得，符合所有条件， 若，则其余系数和为，但至少有2个其余系数，和至少为，矛盾，故②正确； 验证③：当时，设为偶数次项系数和，为奇数次项系数和， 则，且， ∵，8和均为偶数， ∴必为偶数，不可能为奇数，故③正确， 综上所述，正确的说法有2个． 二、填空题 3．（20-21九年级上·江苏连云港·月考）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图中的数1，5，12，22…，由于这些数能够表示成五边形，所以将它们称为五边形数，按照此规律，第40个图形表示的五边形数是_____． 【答案】2380 【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1＋4＝5，第3个五边形数为1＋4＋7＝12，第4个五边形数为1＋4＋7＋10＝22，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第n个五边形数为，把n＝40代入计算即可． 【详解】第一个图形有1个， 第二个图形有5＝2＋3个， 第三个图形有12＝3＋4＋5个， 第n个图形五边形数为 故第40个图形表示的五边形数是：个 故答案为：2380． 4．（广东省梅州市学艺中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题）下面是用棋子摆成的“小屋子”、摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第5个这样的“小屋子需要______枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要______枚棋子． 【答案】 / 【分析】先数出已知每个图形中棋子的个数，得到后面一个“小屋子”比前面一个“小屋子”多6枚棋子，进而得出结论即可． 【详解】解：由图可知： 第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子； 第2个这样的“小屋子”需要枚棋子； 第3个这样的“小屋子”需要枚棋子； 第4个这样的“小屋子”需要枚棋子； 第5个这样的“小屋子”需要枚棋子； ∴第个这样的“小屋子”需要（枚）棋子． 5．（25-26九年级上·福建南平·期中）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式和按如下规律进行操作：第次操作后得到个整式，，；第次操作后得到个整式，，，…其操作规则为：每次操作所增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏的第次操作后得到的各整式之和是__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数式的规律探究，根据题意得到规律是解题的关键．先逐步分析前面几次的操作，可发现规律，操作所得整式的和每六次一循环，然后根据，即可得出第次操作对应周期中的第次操作后的和． 【详解】解：初始整式为和，和为． 第次操作后，得到整式、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、、、，和为； 第次操作后，得到整式、、、、、、、，和为； 此后每次操作，所得整式的和循环一次． 因为，余数为， 所以第次操作后得到的各整式之和与第次操作后相同，为． 故答案为：． 6．（2026·河南信阳·一模）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，，则第18个图案需要用矩形的个数为___________． 【答案】 【分析】根据规律得出第个图案中矩形的个数：，算出第18个图案中矩形的个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第个图案中矩形的个数：， ∴第18个图案中矩形的个数为：． 7．（2026·陕西宝鸡·一模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则___________． 【答案】28 【分析】根据题意，依次得出，，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， 所以． 当时，． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第26个图案需要火柴棍的根数为______． 【答案】162 【分析】观察图形，得出规律第个图案需要火柴棍的根数为根，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：第①个图案需要火柴棍的根数为根， 第②个图案需要火柴棍的根数为根， 第③个图案需要火柴棍的根数为根， …， ∴第个图案需要火柴棍的根数为根， 故第26个图案需要火柴棍的根数为根． 9．（2026·甘肃平凉·一模）以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放．第1幅图中“●”的个数为3，第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15……以此类推，则第7幅图中“●”的个数为_____． 【答案】63 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：∵第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为， …… ∴第n幅图形中“●”的个数为：， ∴第7幅图中“●”的个数为． 三、解答题 10．（2026·安徽阜阳·一模）如图，这是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，⋯⋯依次递推． (1)第3层有6个正方形和________个正三角形． (2)第层有6个正方形和_________个正三角形．（用含的式子表示） (3)若第层有6个正方形和2034个正三角形，求的值． 【答案】(1)30 (2) (3)170 【分析】（1）根据图案分别数出正方形的个数和正三角形的个数即可； （2）根据图案特点可知每个位置的正三角形的个数分别是1,3,5,7，再乘以6可得答案； （3）根据（2）列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：第1层有6个正方形和个正三角形； 第2层有6个正方形和个正三角形； 第3层有6个正方形和个正三角形； （2）解：第1层有6个正方形和个正三角形； 第2层有6个正方形和个正三角形； 第3层有6个正方形和个正三角形； 第4层有6个正方形和个正三角形； 第n层有6个正方形和个正三角形； （3）解：根据题意，得， 解得， 所以第170层有6个正方形和2034个正三角形． 押题猜想四 反比例函数比例系数的几何意义与数形结合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 分析有理·押题有据 本猜想直击全国中考客观题压轴高频区。反比例函数中比例系数 k 的几何意义，是考查“数形结合”思想的核心载体。命题常以双曲线与一次函数交点为基点，融合矩形、等腰三角形等特殊多边形，通过面积的分割与等量转化来求解参数。此类题型弱化繁琐计算，高度聚焦对坐标、线段与面积转换的抽象推演能力，具备极强的选拔区分度。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴，故选：C． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（ ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 4．（2026·江苏扬州·一模）如图，已知点、在反比例函数 的图像上， 轴， 轴，若的面积为，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的面积为，得出①，根据点、在反比例函数 的图像上，得出②，求得，则，即可求解． 【详解】解：∵点、， 轴， 轴， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴① 又∵点、在反比例函数 的图像上， ∴② 将②代入①得， 解得：（舍去）或 ∴ ∴ 5．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，，作轴于点，作轴于点，推出 ，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，，， 作轴于点，作轴于点，则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，为定值． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 7．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 8．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 9．（2026·福建泉州·一模）已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 【答案】4 【分析】由函数得，且，与双曲线联立，根据一元二次方程的根与交点的关系即可求解． 【详解】解：由函数得，且， 联立，则， ∴， ∵， ∴必有两个不相等的实数根， ∵时，，且双曲线的图象在第一、三象限， ∴与的图象在第一象限必有一个交点； 联立，则， ∴， ∵与的图象在第一象限有一个交点， ∴要使总交点数为2， ∴与的图象必有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，则，解得， 当时，，符合题意； 当时，则，解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，． 10．（2026·山东泰安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______． 【答案】 【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形， 联立，得，解得：， ∴， ∴， 设，则有 解得或（舍去） ∴ 设，则有 解得或（舍去） ∴ 同理可得 ∴ ∴ 当时，， ∴ 故答案为：． 押题猜想五 图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2026·湖南娄底·一模）如图，，点是上一点，半径长为的与相切于点，交于点．则图中阴影部分的面积为_______．(结果保留根号和) 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质得到，结合求出的长度，再分别计算的面积和扇形的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ， ， ． 故答案为： 分析有理·押题有据 本猜想精准锚定《新课标》对图形的运动与几何直观的融合考查要求。图形变换背景下的面积求解，是全国各地中考客观题的顶级试金石。此类命题往往打破常规规则图形的壁垒，要求考生利用轴对称或中心对称性质，通过割补、等积代换将不规则阴影面积转化为标准扇形或多边形面积。该考点极具选拔性，不仅检验扇形与弧长公式的基础算理，更深度探测考生化繁为简、化归转化的高阶空间推演能力。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据阴影部分的面积等于，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵以边的中点O为圆心的半圆与相切， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴ ． 2．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，得出，，通过面积的计算得出，结合扇形公式进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点，对各区域面积进行标注，如下图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（2026·浙江温州·一模）如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质求出，再利用等面积法求出，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ，，， ， ， ， 为边上的高线， ， 即， ， ． 4．（2026·浙江·一模）如图，菱形的边长为2，以A为圆心，长为半径作弧，分别与，交于E，F两点，若与的长之比为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，，先证，设，则，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据，可得，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，，，交于点G，连接交于点O，连接，， 由题意知， ，， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 设， 则， ， 与的长之比为， ， ， ， 菱形中， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 5．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 7．（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 8．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 9．（2026·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①；②是的切线；③；④当时，与的面积比为；⑤当时，若，则阴影部分图形的面积为．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②/②① 【分析】连接，根据中位线的性质即可判断①；证明，即可判断②；根据等边对等角可得，进而判断③；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断④；据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线 ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确； ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误； ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故④错误． 当时， ∴ ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴ ∴，故⑤错误． 10．（2026·河南·一模）如图，等腰直角三角形中，，，以为直径的切于点A，交于点D，则图中阴影部分的面积为______ 【答案】 【分析】连接，推导出是等腰直角三角形，且，得到，再求出扇形的面积与的面积，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵ ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， 扇形的面积为， 的面积为 ∴． 押题猜想六 分式化简求值与条件等式的巧妙结合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】已知，非零实数a，b满足：a＝﹣3b﹣2ab，则（﹣2）． 【答案】﹣2． 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出a+3b＝﹣2ab，再代入求出答案即可． 【解答】解： • ， ∵a＝﹣3b﹣2ab， ∴a+3b＝﹣2ab， ∴原式2． 故答案为：﹣2． 分析有理·押题有据 本猜想紧扣中考代数解答题的必考阵地。分式混合运算是检验运算基本功的“试金石”，而“排除分母为零的陷阱值”则是拉开分差的核心易错点，直击学生运算的严谨性。此外，结合条件等式进行整体代入，巧妙融入了高阶的代数变形技巧。该题型兼顾基础保分与思维防错，是稳固代数解答题基本解题能力的关键。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 2．（2026·山东日照·一模）简答： (1)； (2)先化简：，然后选取一个合适的的值代入求值，其中满足不等式组的整数． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【分析】（1）先化简二次根式和绝对值、代入锐角三角函数值、计算零次幂，然后计算加减法即可； （2）先把括号内通分，然后将除法转化为乘法，分子分母能因式分解的因式分解，并约分化简；解不等式组后根据分式有意义的条件确定的取值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为， 为整数， ，，，， ，，， ，，， 取， 当时，原式． 3．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 4．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 5．（2025·贵州·中考真题）（1）计算：； （2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当时，原式． 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算绝对值和乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把两个分式通分，再约分化简，接着根据分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式；当时，原式． 6．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 押题猜想七 真实情境下的代数方程综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2025·山东聊城·三模）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和，根据甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成建立方程可求出完成这项工程的天数，再分别计算出方案①和方案③的费用即可得到答案． 【详解】解：设完成这项工程的规定日期是天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴完成这项工程的规定日期是天； ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③． 故选：C． 分析有理·押题有据 本猜想深度呼应《新课标》中“模型观念”与“应用意识”的培养目标。中考对代数方程的考查已全面摒弃机械解方程，转而要求学生在复杂的工程、经济或社会情境中，自主抽象出等量关系，构建分式方程或一元二次方程模型。其中，分式方程的“分母不为零”验根，以及一元二次方程根的“实际意义取舍”，是命题人设置区分度的核心“防雷区”。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 2．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元 (2) 【分析】（1）设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 3．（2026九年级上·重庆·专题练习）某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式． （1）设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为，根据地共收获桃子，列方程求解即可； （2）设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵，根据地的产量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为， 根据题意得：， 即，解得， （棵）； （棵）； 答：果农去年共种了棵桃树； （2）解：去年地有棵桃树，总产量kg，每棵产量， 今年地总产量增加，即， 设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵， 根据题意得：， 整理得， ， 或， 尽量节约成本， ． 答：地应多种棵桃树． 4．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 押题猜想八 尺规作图的实践操作与图形性质综合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【改编题】（2026·四川广安·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法：①平分；②；③点在的垂直平分线上；④若，则；⑤是轴对称图形．其中正确的说法有___（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据尺规作图的痕迹可判断是的平分线；根据直角三角形两锐角互余求出的度数，结合角平分线定义求出和的度数，进而求出的度数；根据等角对等边得出，利用线段垂直平分线的判定定理判断点的位置；设为，利用已知比例表示出和的长，进而表示出和的长，计算比值即可；根据轴对称图形的定义判断是否为轴对称图形． 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，是的平分线，故①正确． ，， ． 平分， ． ，故②错误． ，， ． ． 点在的垂直平分线上，故③正确． 若，设，则． ． 由作图可知． 在中，， ． ． ，故④正确． ，，， 的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误． 综上所述，正确的说法有①③④． 分析有理·押题有据 本猜想直击《新课标》中“尺规作图”模块的进阶要求，即从“单纯作图”全面升级为“依痕说理”。全国高频命题手法是保留角平分线、中垂线等典型作图圆弧，要求考生自主识别隐含的等量关系，进而推演构建出平行四边形或菱形的核心模型。此类试题将实践操作、几何直观与图形性质相关的综合应用，直接检验学生从作图表象透视几何本质的能力，是拉开中档题梯度的绝佳载体。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 二、解答题 4．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数．（请直接写出的度数） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键. （1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可. （2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求. （2）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵平分， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴． 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)6 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 6．（2026·河南周口·一模）如图，在中，是的中点． (1)点为上一点，，两点均在上，请用无刻度的直尺和圆规作出（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，若与相切于点，，求的半径． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）用尺规作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，以为半径作圆即可； （2）根据圆的基础知识设，则，由切线的性质得到，根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余得到，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的半径为． 7．（2026·福建泉州·一模）如图，内接于，点为直径的延长线上一点． (1)在直径下方，求作的切线，切点为；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径为 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，在直径下方交于点，最后连接，即为所求； （2）设与交于点，的半径为，由题意可知，垂直平分，证明，根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设与交于点，的半径为， 点为中点， 垂直平分，即， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， 解得， 的半径为． 8．（2026·山东滨州·一模）如图，直线，被所截， ． (1)请在图中作出，使其与，，都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） (2)在（1）题所作的图中，若分别与，，相切于点，，，的直径为，设，，求与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线的性质，作与的角平分线，其交点即为圆心，再以到的距离为半径作圆，即可得到与、、都相切的． （2）先根据切线长定理得到线段相等关系，再通过作辅助线构造矩形和直角三角形，最后利用勾股定理建立等式，化简得出与的函数关系式． 【详解】（1）解：分别作和的角平分线，两条角平分线交于点． 过点作于，以为圆心，为半径作圆，即为所求． （2）解：如图，连接，，过点作． ∵分别与，，相切于点，，， ， ∴，， ∴，，点，，共线． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形． ∴，， ∴， 在中，， ∴， 化简得，． ∴与的函数关系式为 押题猜想九 与解直角三角形相关的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【原创题】1．（2025·湖北武汉·中考真题）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 分析有理·押题有据 本猜想深度契合《新课标》“真实情境”命题导向，例如以无人机测量与工程测绘真实场景为高频载体。基础层面直击仰俯角、坡度模型的构建；拔高层面则打破单一模块壁垒，巧妙交汇解直角三角形、相似形判定、圆周角定理及平行四边形性质等综合应用。这种“度量计算+几何推演”的综合考法，能全面检验学生的几何直观与模型观念，是拉开试卷区分度的核心压轴区。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南周口·一模）定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”．如图，，，和为对角直角三角形（），O为的中点，与交于点M，与交于点N．若M为边的三等分点，则的长为______． 【答案】4或5 【分析】在中，解直角三角形得，过点O作于点P，作于点Q，根据、O为的中点得、是的中位线，从而得，，根据M为边的三等分点，分两种情况讨论，分别为和，分别证明，求出，根据计算即可． 【详解】解：在中，， 过点O作于点P，作于点Q， ∵，O为的中点， ∴，是的中位线，， ∴，， 分两种情况：①如图1，当时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当时，，， ∴， 同理易证得， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为4或5． 二、解答题 2．（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，以为直径作，交于点，，交于点．过点作于点，交于点，连接，交于点． (1)如图1，若，． ①求的度数． ②求证：． (2)如图2，，点为中点，若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据圆周角定理得到、，进而得到，从而求出，利用圆周角定理得到，据此求解即可； ②连接、、、、，根据平行四边形和垂径定理易得到，进而得到，证得是等边三角形，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，易证明，在中，，从而得出结论； （2）连接、、，易证四边形是平行四边形、四边形是菱形，进而得到、，根据，设、，证明，进而得到、及，利用勾股定理求出的值，根据证得，进而得到，利用求解即可． 【详解】（1）①解：连接、、， ，， 、， ， 即， ， ， ， ； ②证明：连接、、、、， ， ， 为的直径， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， 是等腰三角形， ， 由①知，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：连接、、、， 四边形是平行四边形， 、， 为的中点、为的中点， 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形， 、， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 、， 在中，， ， 解得， 、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在四边形中，，且，过点、、作交于点，连接，，，设，交于点，且满足． (1)求证：； (2)若，，求圆的半径； (3)若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)2 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理得到，从而得出结论； （2）过点作，交于点，由（1）知，进而得到是等腰三角形，从而得到为的直径，根据，得到，进而得到，根据相似三角形的性质得到，据此求解即可； （3）过点作，交于点，连接，设、，则，易证明四边形是矩形，进而得到、，易证明，进而得到，求出，再证得，进而得到，求出，根据圆周角定理得到，在中，，在中，，进而求出，由（2）知，，则，据此求出长，再证明，进而得到，从而求出的值． 【详解】（1）证明：、， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点， 由（1）知， 是等腰三角形， ， ， 为的直径， 、， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； （3）解：如图，过点作，交于点，连接， 设、， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由（2）知：， ， 、是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 、， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 解得， 、， ， ， ． 5．（2026·江西九江·一模）如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，米，伞骨米， (1)求点到地面的距离 (2)有一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角为．太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离（精确到0.1米） （参考数据：） 【答案】(1)2米 (2)1.2米 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，在中求出米，从而可求出米，即点到地面的距离； （2）求出米，过点作于点，于点，则四边形、是矩形，得米，，，求出米，米，求得米，从而可得解． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴于点， ∴四边形是矩形， ∴； ∵米，于点，， ∴， ∴， 在中，（米）， ∵米， ∴（米） ∴米． （2）解：在中，（米）， 过点作于点，于点，则四边形、是矩形， ∴米，，， ∵米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴米． 6．（2026·江苏无锡·一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物的高度．如图，在建筑物旁有一小山坡，测得山坡的坡度i（即）为，，在D处测得A处的仰角为，在C处测得A处的仰角为． (1)求的度数； (2)求建筑物的高度．（计算过程和结果中的数据不取近似数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，由三角形内角和定理得，在中，，可得，从而可求出； （2）过点作于点，过点作于点，求出，再求出，，可得，进而得出，即可求出． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴ ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 又， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·江苏连云港·一模）水晶公园是市民休闲时的一个好去处．如图，小明和他的综合实践活动小组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度，他们选定了两个观测点，，观测点在点的北偏东方向上，观测点在点的北偏西方向上，点在点的正东方，又测量得，，．求水晶公园的东西最大宽度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】最大宽度 【分析】过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出、、、的长度，最终即可求出最大宽度的长度． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： 根据题意，可知，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴． 押题猜想十 多维统计图表分析决策与概率综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：12min 【原创题】在某现代化农业科技示范园拟采购一批大载重植保无人机用于低空农业作业。为验证实际作业效能，园区对入围的甲、乙两款无人机进行了连续10次的独立满负荷飞行测试。 以下为两款无人机单次有效喷洒面积的原始测试数据（单位：亩）：甲款无人机：18, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 26；乙款无人机：19, 19, 20, 21, 21, 21, 21, 22, 23, 23 整理数据得到如下统计分析表： 无人机型号 平均数 中位数 众数 方差 甲款 21 20 4.6 乙款 21 21 1.8 （1）直接写出表中 的值； （2）园区技术部设定，单次有效喷洒面积不低于21亩的测试评定为优质作业。请分别计算两款无人机在此次测试中达到优质作业标准的频率； （3）示范园制定了设备引进的综合评估方案，无人机的综合得分由平均作业效能与作业稳定性两项指标按 的权重比例构成。平均作业效能的单项得分为其测得的平均数数值；作业稳定性单项得分的计分规则为：方差小于2得28分，方差在 之间得24分，方差大于5得20分。请计算两款无人机的综合得分，并结合数据给出推荐采购的型号。 【答案】 （1），； （2）甲款达到优质作业标准的频率为 ，乙款为 ；（3）甲款综合得分23.1分，乙款综合得分25.9分，推荐采购乙款。 【解析】 （1）甲款的10个数据已按从小到大排列，第5和第6个数据分别是20和21。中位数 。 乙款的数据中，21出现了4次，频数最高。众数 。 （2）依题意，优质作业即单次喷洒面积。甲款满足条件的数据有：21, 21, 22, 23, 26，共5次。频率为 。 乙款满足条件的数据有：21, 21, 21, 21, 22, 23, 23，共7次。频率为。 （3）计算两款无人机的综合得分： 甲款的平均数为21，方差为4.6（介于2与5之间，作业稳定性得分为24分）。 甲款综合得分 （分）。 乙款的平均数为21，方差为1.8（小于2，作业稳定性得分为28分）。 乙款综合得分 （分）。 比较两款机型，两者的平均作业效能相同，但乙款的方差较小，飞行作业更稳定，且最终综合得分 。 推荐采购乙款无人机。 分析有理·押题有据 本题对标新课标"数据分析与决策"考点，切合2026年中考"复杂情境+多维规则赋分"命题方向。题目突破传统均值、方差计算模式，将统计量（均值、方差）转化为农业植保情境下的"单项权重"与"阶梯积分"。考生须具备扎实的数据处理能力，并理解统计量在实际工程验收、设备采购等决策场景中的应用价值，有效区分学生的数学建模与信息提取素养。 一、填空题 1．（2025·北京·一模）某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下 （数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】(1)①90,3② (2)甲，89 【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键． （1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； （2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可． 【详解】（1）解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， （分）； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②，， 故答案为：； （2）解：（分），（分） ∴， 所以甲排在乙的前面， 由于丙中间，， 所以， 解得， ， ①当时， ， ， 此时，，， 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当时，， 此时，，， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，． 故答案为：甲，． 二、解答题 2．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； (2)甲排名第一，乙排名第二； (3)设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平均数即可求解； （）利用加权平均数即可求解； （）改变权重即可． 【详解】（1）解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分）， ∴， ∴甲排名第一，乙排名第二； （3）解：设计三项成绩的比为，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一） 3．（2026年安徽巢湖市部分学校中考一模九年级数学试卷）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)_________， _________； (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 【答案】(1)74；82 (2)乙选手是第一名． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ； （2）解：甲选手：； 乙选手：； 丙选手：； ∵， ∴乙选手是第一名． 4．（2026·广东佛山·一模）统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力． 现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： (1)根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 第二组 2 b 2 第三组 4 求a，b，c，d的值； (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】（1）根据平均数，众数，方差，中位数的定义进行计算即可； （2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，即应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 【详解】（1）解：； 第二组中分的人数最多，有人，故； ； 根据第三组数据，中位数在第和人处，故； 则；；；； （2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分， 即将人对应分，人对应分，人对应分，人对应分，人对应分； 要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 5．（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率． 【答案】(1)50人；；补全条形统计图见解析 (2)80人 (3)；列表法见解析 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率． （1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可； （2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可； （3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的， ∴抽取的学生人数为（人）． ∵D类有人， ∴D类人数占总人数的比例为， 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为． ∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人， ∴C类人数为（人），补条形统计图如下． 故答案为：50人；． （2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为， ∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）． 答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人． （3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲\乙 A B C A B C 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、． ∴他们两人填报同一项目的概率为． 答：他们两人填报同一项目的概率是． 2．（2026·四川巴中·一模）某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周锻炼时间（单位：）进行统计，按锻炼时间分为：：；：；：；：四组，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为______，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“”组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球．甲乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制．比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补赛．班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求出甲、乙两人各分得乒乓球的数量． 【答案】(1)80，，图见解析；(2)210人 (3)甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个 【分析】（1）用A组人数除以所占百分数可得抽取学生总数，用B组人数除以抽取学生总数，再乘以360度可得B组对应的圆心角的度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）画出树状图，根据比赛规则找出甲获胜的情况有几种，进而得出概率，即可求解． 【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）， 扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数为：， “”组八年级人数为：（名）， 补全后的条形统计图如下： （2）解：（名） 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为210人； （3）解：由题意画树状图如下： 由图可知，共有8种等可能的情况，根据5局3胜制规则，乙获胜的情况有1种（即第三、四、五局乙连胜），甲获胜的情况有7种， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲分得乒乓球的数量为：， 乙分得乒乓球的数量为：， 即甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个． 押题猜想十一 一次函数与不等式组在最值问题中的应用 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】某物流公司决定升级其智能配送网络，计划购进A、B两款载重物流无人机。已知B款无人机的单价是A款的1.5倍。如果用24万元单纯购买A款无人机，其数量比用30万元单纯购买B款无人机的数量多10架。 （1）求A、B两款无人机的单价分别是多少万元； （2）该公司计划首批购进A、B两款共100架，且总采购预算不超过52万元，要求购进的B款数量必须严格大于A款数量的 。 ① 共有多少种符合预算与数量限制的采购方案？ ② 受飞控系统协议限制，每名飞手单独执行任务时，刚好能满负荷操控4架A款，或刚好能满负荷操控3架B款。为使人员效能最大化，要求购进的这100架无人机能恰好被分配给若干名飞手，且每名飞手都能达到满负荷操控状态。已知A款日均可投递50个包裹，B款日均可投递80个包裹。请设计出使日均总投递量最大的终极采购方案，并求出该最大投递量。 【答案】 （1）A款单价 万元，B款单价 万元； （2）① 共有35种采购方案；② 购进A款40架，B款60架，最大投递量为6800个。 【解析】 （1）设A款无人机单价为 万元，则B款为 万元。 根据题意列分式方程：。 解得 。 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意。 此时B款单价为 万元。 答：A款无人机的单价为 万元，B款单价为 万元。 （2）① 设购进B款无人机 架，则A款为 架。 根据题意列不等式组： 解不等式①， 得 ； 解不等式②，得 。 。 为正整数， 可以取 ，共计 种方案。 答：共有35种符合预算与数量限制的采购方案。 ② 设日均总投递量为 个。 由题设的系统协议限制可知， A款数量 必须是 4 的倍数， B款数量 必须是 3 的倍数。 （为正整数）， ，即 必须同时是 4 的倍数。 又 必须是 3 的倍数，且 3 和 4 互质， 必须是 12 的倍数。 结合①中得出的区间 ， 符合条件的 值只能为 。 总投递量函数模型构建为：。 一次项系数 ， 随 的增大而增大， 当取最大有效整数 时， 取得最大值。 此时A款数量为 （架）。 最大总投递量 （个）。 答：终极采购方案为购进A款40架，B款60架，此方案下的最大投递量为6800个。 分析有理·押题有据 本题紧扣新课标真实情境建模导向，聚焦"分式方程+不等式+一次函数"代数综合考查。命题创新引入"整除约束"条件，突破"求得范围后直接取端点"的惯常思路。考生须运用数论中倍数特征进行筛选，将大量常规方案缩减至有限几种后，再进行函数最值决策。该设计有效规避模式化解题套路，深入考查多重约束条件下的信息提取与数学统筹能力，是拉开中高分段考生差距的重要题型。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 2．（广西壮族自治区南宁市2025-2026学年上学期期末综合试题）某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共个，已知A品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个；B品牌保温杯的进价为元/个，售价为元/个. (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠元（）出售，B品牌保温杯售价不变，此时总利润的最大值为元，求的值． 【答案】(1)购进品牌个，品牌个 (2)元 (3) 【分析】本题考查了利润=售价-进价的运用，总利润种保温杯的利润种保温杯的利润的运用，熟练掌握一元一次方程的应用及一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，根据题意列出一元一次方程，计算即可求解； （2）设设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，由题意得，总利润，由，可得，即且为整数，当时，最大，代入即可求出最大值； （3）根据题意，列出优惠后的利润为 ，分两种情况讨论即可求出的值． 【详解】（1）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个， 由题意得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得， 则， 答：购进品牌个，品牌个． （2）解：设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元， 总利润 ， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴，且为整数， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元 ． （3）解：优惠后， ① 当时，随增大而增大，时最大， 即，解得； ② 当时，随减小而增大，时最大， ，不符合题意； 综上所述，． 押题猜想十二 特殊多边形背景下的几何变换与证明 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 分析有理·押题有据 本猜想选择无坐标系背景的纯几何探究证明题，命题定式往往以正方形或等边三角形等高对称图形为基底，嵌套旋转、折叠或垂直平分等变换动作。此类试题彻底剥离代数坐标计算的辅助，强制要求考生识别“手拉手”、“半角”等隐蔽几何模型，凭借扎实的全等与相似推演能力打破线段与角度的僵局，是体现纯粹数学演绎之美的压轴标杆。 终极猜想·精练通关 1．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段比例关系的推导，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质及外角的定义得出，由等角对等边即可证明； （2）通过证明和，利用相似三角形的性质证明即可； （3）设，根据比例关系得出，，再根据全等关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 5．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 4．（2026·广东佛山·一模）已知：正方形的边长为6，点E为边上的动点（不与点A、B重合），记，的外接圆与对角线交于点F，连接、． (1)由图1，试说明是等腰直角三角形． (2)与交于点G，将沿翻折得到． ①如图2，连接交于点N．当时，求的值并证明． ②如图3，设．求S与x之间的函数关系式． 【答案】(1)证明见详解 (2)①，证明见详解；② 【分析】（1）利用正方形的性质和圆周角定理可得出，从而证得结论； （2）①利用折叠的性质可得到，从而求得，再证明，利用相似三角形对应边成比例得出线段间的数量关系，从而利用正切的定义求得结果；过点M作于H，通过一线三垂直证得，利用相似三角形对应边成比例及已知条件求得，此时证得点D，M，B三点共线，最后通过证明即可得出结论； ②利用相似三角形的性质可得出面积之比为线段之比的平方，由此得出，再证明，得出，分别表示出各线段的表达式，最后由分别代入相关数据后通过计算化简即可求得结果． 【详解】（1）证明：在正方形中，平分， ∴， 在对应的圆周角中，， 在对应的圆周角中，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）解：①证明：由折叠可得， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， 如图，过点M作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴点D，M，B三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 5．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E． (1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理，等角的余角相等，解题关键是根据旋转证明三角形全等. （1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧和点，在的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形与四边形都是矩形， ∴， ∴， 即， 根据旋转的性质可得：， ∵，， ∴， ∴． （2）如图：连接，    根据旋转的性质可得：， ∵四边形是矩形， ∴，，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，当点，在的同一侧时，    根据旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， 当点，在的异侧时，如图：    同理可得， ∴， 综上，的值为或． 押题猜想十三 抛物线在跨学科真实情境中的综合应用 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】智能消防机器人在现代高层灭火与危险环境救援中发挥着核心作用。某型号智能消防机器人在平整的场地上进行精准喷水演练。如图所示，以喷水口 在地面上的垂直投影点 为坐标原点，地面水平线为 轴，建立平面直角坐标系。已知喷水口 距地面的高度 为 ，喷出的水流轨迹可视为某条抛物线的一部分，当水流达到最大高度 时，距离 轴的水平距离为 。 （1）求水流轨迹所在抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）在机器人正前方 处有一堵竖直的模拟演练墙，墙壁上距离地面高度 处设置了一个着火点 。保持机器人的位置与喷水参数不变，水流能否准确命中着火点 ？请说明理由； （3）为了增加演练难度，高层内攻演练要求水流能穿过前方墙壁上的一个矩形排烟窗进入室内扑灭暗火。已知该排烟窗所在的墙壁与 轴的水平距离保持 不变，排烟窗的下边缘距地面 ，上边缘距地面 。为了保证水流能越过窗台并深入室内，演练设定水流在穿过该排烟窗时必须处于下降阶段。若消防机器人沿 轴正方向向前直线移动 （），水流轨迹的抛物线形状及顶点相对于机器人的位置保持不变，求 的取值范围，使得水流能顺利按要求穿过该排烟窗。 【答案】（1）（或 ）；（2）不能准确命中，理由见解析；（3）。 【解析】（1）依题意，喷水口的坐标为，水流轨迹的最高点（顶点）坐标为。设抛物线的函数表达式为。将点 代入，得：，解得。得到抛物线的函数表达式为。 （2）不能准确命中。理由如下：由题意知，演练墙所在直线的横坐标为。代入，得：，水流高度与着火点的高度不一致，不能准确命中着火点。 （3）若消防机器人沿 轴正方向直线移动 （），此时相当于将原抛物线向右平移 个单位长度。平移后新抛物线的表达式为：。新抛物线的对称轴为直线 。 水流在穿过排烟窗时必须处于下降阶段，且排烟窗所在墙壁的横坐标为，墙壁必须位于抛物线对称轴的右侧，即 ，解得 。当水流到达墙壁（）时，水流的高度为：。由题意，需满足 。 化简该不等式组，得： ，即 ， 解得 。 又 ， 。 分析有理·押题有据 新课标导向下，中考数学的阅读量与信息干扰项成倍增加。本猜想以硬核物理定律、前沿科技工程或宏观社会经济数据为命题背景。试题通过长篇幅的阅读材料与实物图表呈现，要求考生完成从真实情境到数学模型的转化，建立一次函数、反比例函数或二次函数，并解决实际生活中的最值统筹问题。此类题型考查的是高阶数学抽象能力，在考场上能敏锐捕捉到底层的函数增减性或方程本质。这是拉开普通学生与优等生差距的第一道分水岭。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 2．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】解：由题意可得顶点，， 设该抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的解析式为， 令，则， 即， 故选：D． 3．（2026·天津河西·一模）要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数顶点式的性质，分别计算三个结论判断正误，落地对应，长度对应时的值，最高点高度是抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：∵水柱落地时高度，代入得， 解得 ，（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距点距离为， ∴正确； ∵是池中心，长度对应， 代入得， ∴长度为， ∴正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴水柱最高点高度为， ∴③正确． 4．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 5．（2026·河南周口·一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 6．（2026·浙江宁波·模拟预测）冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ） A．着陆坡的水平宽度米 B．点的坐标为 C． D．当的最大值为10米时， 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线的表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ，则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误； 二、解答题 7．（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒． 实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线． 问题解决： (1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式； (2)请求出两物资落点间的水平距离； (3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题． ①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离； ②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）． 【答案】(1) (2)米 (3)①米；② 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出表达式为，结合图象，根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解； （3）①根据题意可得当两物资相撞时，，据此列出方程，解方程即可求解； ②根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物质的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵，号无人机的速度为：， ∴，根据图可得：时，， 代入，得，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：， 结合题意可得， 当时，，解得：（负值已舍去）， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∵，故两物资落点间的水平距离为米． （3）解：①当两物资相撞时，， 即， 解得：， 将代入，得 解得：， 故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米； ②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为， 将，，代入，得， 整理得：， ∵， 故随的减小而增大， ∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞， 即两个抛物线无交点， 故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度， 当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即， 代入，得，解得：（负值已舍去）， ∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即， 代入，得，解得：（负值已舍去）， ∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为． 8．（2026·陕西西安·一模）我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，经过实验发现仿青蛙机器人起跳后的运动路线可以看作抛物线，且路线的最高点距离地面，落地点距离起跳点．以仿青蛙机器人起跳点为原点O，以起跳点和落地点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，完成下面问题： (1)写出仿青蛙机器人运动路线的函数表达式； (2)如图所示，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．在起跳点O和落地点之间的水平地面上，距离起跳点（）竖直放置一个高度为的挡板（）．请通过计算判断仿青蛙机器人能否安全通过？如果不能，实验员计划将起跳点向前移动一段距离，以便使仿青蛙机器人由新的起跳点起跳后能刚好安全通过挡板，请帮助实验员计算最少应向前移动多少距离（平移后抛物线的形状不变）． 【答案】(1) (2)最少向前移动 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，求得，得到不能跃过．再设最少向前平移，则平移后新的抛物线表达式为：，将点代入求解即可． 【详解】（1）解：由题知抛物线的顶点坐标为， 所以令抛物线表达式为：， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，， ， ，不能跃过． 设最少向前平移，则平移后新的抛物线表达式为：， 将点代入得：， 解得：，， 答：最少向前平移． 9．（2026·山西大同·一模）燃放烟花是中国的传统文化，寓意吉祥欢乐．春节期间，小明在小区指定烟花燃放区域的水平地面上燃放小型烟花，花弹的飞行路径视为一条抛物线，飞行的水平距离（单位：）与飞行高度（单位：）的变化规律如下表： 水平距离 0 1 2 3 4 … 高度 0 10 16 18 16 … (1)建立如下图所示的平面直角坐标系，求花弹的飞行高度与飞行的水平距离的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若距离烟花燃放点（坐标原点）水平距离处有一高为的花灯（花灯大小忽略不计），花弹飞行的过程中，此花灯是否会被损坏，请说明理由； (3)为保障烟花燃放安全，在花灯右侧地面不远处配有干粉灭火器，干粉喷出后的运动轨迹为抛物线其函数关系式为：，喷出的干粉能否直达花灯的顶端，若能，说明理由；若不能，请说明不能的原因并求出需将干粉的运动轨迹向左平移的距离． 【答案】(1) (2)花灯不会被损坏，见解析 (3)向左平移米 【分析】（1）根据对称性得到抛物线顶点坐标为，设出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值，进行判断即可； （3）将代入干粉轨迹解析式，进行判断，设左平移的距离为，得到新的抛物线的解析式，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线顶点坐标为， 设函数解析式为，把代入得，， ， 即； （2）解：花灯不会被损坏． 理由：已知花灯在处，高度为． 将代入解析式： ， 花灯不会被损坏． （3）解：干粉不能直达花灯顶端． 理由：将代入干粉轨迹解析式： 不能直达． 设向左平移的距离为，则平移后解析式为 将代入得： 解得：（舍） 答：需向左平移米． 10．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上． 信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴． 信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴． 请解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计） 【答案】(1) (2) (3)够用，见解析 【分析】（1）由题意得，顶点，，再由待定系数法求解即可； （2）设直线表达式为：,与抛物线联立得，，整理得，，根据直线与抛物线有一个交点，则，即可求解； （3）先求出，，则，设装饰木条和支架的总长度为，设，则，则，再求出，然后根据二次函数的性质求解的最大值与比较． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设抛物线表达式为 将代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴设直线表达式为： 与抛物线联立得，， 整理得，， ∵直线与抛物线有一个交点， ∴，解得， ∴直线表达式为：； （3）解：够用，理由如下： 将代入得， ∴， 将代入得， 解得 ∴ ∴， 设装饰木条和支架的总长度为， 设，则， ∴ 当时，， 解得 ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，， 答：米的木条够用． 押题猜想十四 阅读理解与“新定义”的代几综合 试题前瞻·能力先查 限时：20min 【原创题】在平面直角坐标系 中，对于任意一点 ，我们规定点 为点 的“正交伴随点”。例如：点 ，其正交伴随点 的坐标为 。 （1）已知点 的“正交伴随点” 的坐标为 ，求点 的坐标； （2）若点 在一次函数 的图象上运动，证明其“正交伴随点” 也在一条直线上运动，并求出该直线的函数解析式； （3）已知 的圆心在坐标原点，半径为 。点 是 上的动点，随着 的运动，其“正交伴随点” 形成的轨迹记为图形 。已知直线 ，若在直线 上存在点 ，在图形 上存在点 ，使得线段 的长度 ，直接写出实数 的取值范围，并写出推导过程。 【答案】（1）；（2）证明见解析，直线解析式为 ；（3）。 【解析】（1）设点 的坐标为 。 根据“正交伴随点”的定义，可列方程组： ，解得 。 所以点 的坐标为 。 （2）设点 的坐标为 ，其正交伴随点 的坐标为 。 根据定义，有： ① ② 由①变形得：。 将其代入 中，得： 。 因为 满足一次函数关系式，所以点 也在一条直线上运动，该直线的函数解析式为 。 （3）设点 的坐标为 ，其正交伴随点 的坐标为 。 因为点 在 上，且 半径为 ，所以 。 由伴随点定义知 ，。 计算 。 表明点 的轨迹图形 是一个以原点 为圆心，半径 的圆。题意要求在直线 上存在点 ，在圆 上存在点 ，使得 。等价于直线 到圆 的最小距离不大于 。 对于直线 ，令，得；令，得。 设直线与轴、轴分别交于点、，则，。在中，由勾股定理得 。 设原点 到直线 的距离为 。根据等面积法 ， 。 直线 到圆 的最小距离为 。令 ，即 。 因为 表示线段长度的上限边界，具有非负实际几何意义，故不能取负值。所以 的取值范围是 。 分析有理·押题有据 本题契合新课标素养导向，紧扣中考新定义压轴命题方向。以正交伴随点为情境，着重考查考生在陌生情境下的概念理解与知识迁移能力。设问梯度分明，从规则辨析入手，逐层递进至轨迹方程求解，最终导向动态最值问题。该设计有效规避机械刷题思维，精准区分学生的逻辑推理与数形结合素养，是选拔高阶思维考生的关键题型。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解； （2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解； （3）①分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设，∵，，点是点，的“合作点”， ∴，，∴； （2）解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点、的“合作点”，点， ∴，由①可得：， 代入②得：； （3）解：①由题意可得：，当时，，即， 点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时，即， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 2．（25-26九年级上·四川·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． (1)若，求点的“完美三角点”的坐标． (2)若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①点在某一函数图象上运动，；②或． 【分析】（1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）①设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ②分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； （2）解：①点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ②当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 3．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ① ② ③ ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【答案】(1)①④ (2)，或 (3) 【分析】（1）根据新定义直接画出符合条件的图象即可； （2）分析圆与点N轨迹的临界条件即可解决； （3）正确理解题目的存在性以及轨迹的动态问题即可找出两个临界从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④． （2）解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K，   ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时，      此时点N与点E重合，t为最小值，， ； 当圆继续往下平移时， 如图，作等腰直角与等腰直角，连接，同理可得N点轨迹为线段， 当圆与线段相切交于点时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在与中， ， ， ， ， 即， 当圆继续往下平移至交线段与唯一公共点Y处时， 此时， 即， ， 综上所述，，或． 故答案为：，或． （3）解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、，    容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图，    此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图，    此时，， 综上所述，， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·北京·月考）在平面直角坐标系xOy中，对于内的一点M，若存在点N使得线段的中点恰好在上，则称点N是点M关于的“关联点”；特别地，当点N是点M关于的“关联点”且为直角三角形时，则称点N是点M关于的“直角关联点”． (1)如图，已知点，的半径为2． ①在点，，中，点A关于的“关联点”是_______； ②若点B是点A关于的“直角关联点”，且点B在第一象限，直接写出点B的坐标； ③若直线上有且只有一个点是点A关于的“关联点”，且该点恰好为点A关于的“直角关联点”，直接写出k的值； (2)已知的半径为3，若存在半径为r的，对于上的任意一点Q，都存在上的点C与内一点D，满足，且点Q为点D关于的“直角关联点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，；②；③的值为或 (2)，或，或 【分析】本题主要考查“中点坐标公式”“勾股定理”“点与圆的位置关系”，正确理解题目中的新定义，并根据定义，找到合适的等量关系是解题关键． （1）①分别计算这三个点与点A连线的中点是否在圆上，即连线中点与圆心的距离是否等于半径即可； ②利用直角确定点B的纵坐标，再通过的中点在圆上，计算点B的横坐标即可； ③先设出关联点坐标，借助关联点与点A连线的中点在圆上，且具有唯一性，通过一元二次方程根的判别式，得到k与b的关系，再通过直角，计算的到关联点的坐标，代入到一次函数中，得到第二个k与b的关系，解方程组，求出k的值即可； （2）由于圆具有旋转对称性，因此利用圆上一点，确定以该点为点C的情况下，点D的直角关联点的位置，进而利用这个位置，通过上对于任意一点均满足，得到圆心的位置的可能情况，从而求出r的取值范围． 【详解】（1）解：①的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点符合定义； 的中点坐标为，即， 该点与圆心O的距离为，故点不符合定义； 故答案为：，． ②根据定义，为直角三角形， ∵，， 由图可知，若，则点B在x轴上，不符合题意； 若，则，则点B在内，不符合题意； 故只有一种情况， ∴轴， ∴点B的纵坐标为1， 设，则的中点坐标为，即， ∴， 解得，或（由题意，负值舍去）， ∴． ③设该点为点， 由定义，可知的中点坐标为 ，即， 由定义，得， 整理，得， ∵有且只有一个点满足定义， ∴， ∴， 求点A关于的“直角关联点”，由②可知，的情况不存在， 所以分两种情况： 当时，由②可知，点C在x轴上，∴， 此时的中点坐标为，即， ∴， 解得，或， ∴，即或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， 当时，由②可知，，或，， ∴，即，或，即， 分别代入，解得（负值已舍去）， ∴的值为或． （2）解：如图，构造，由题意，可知，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，且在内， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 显然，当点D在上时，记为，此时点Q也在上， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的圆弧均在如图所示的圆环中时，满足题意， 分两种情况，第一种：的圆心在圆环中，直径小于圆环宽度，即， ∴， 第二种，的圆心与点重合，圆弧在圆环内，且当为圆环最外部时仍满足题意，即， ∴， 当时，由图可知，点D存在两种临界情况，即点D在上，为最近端，和点D在上，为最远端， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点，中点为， ∵， ∴， ∴， 当点D在上时，记为，设此时的“直角关联点”为点M，中点为， 同理，可得， ∴， 同之前说理，分两种情况，第一种：在圆环内，此时， 第二种：的圆心与点P重合，此时， 综上，，或，或． 5．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 押题猜想十五 二次函数背景下的代几综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【原创题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 。 （1）求该抛物线的函数表达式及点 的坐标； （2）点 是该抛物线上的一个动点（不与点 重合）。若 ，求出所有符合条件的点的坐标； （3）将原抛物线向右平移 个单位长度（ 为实数，当 时表示向左平移），得到新的抛物线 。若抛物线 与线段 有且只有一个公共点，直接写出 的取值范围，并写出推导过程。 【答案】（1），； （2） 或 ； （3） 且 。 【解析】（1）将 和 代入抛物线解析式得： ， 解得：。 抛物线的函数表达式为 。 令 ，则 ，故 。 （2），故 为等腰直角三角形，。 ，即直线 是由直线 旋转 得到。 点，直线 的斜率为 。 根据夹角正切公式求得直线 的斜率为 或 。 联立直线与抛物线方程可解得交点 或 。 （3）抛物线平移后解析式为 。 要使动抛物线与固定线段 有唯一交点，利用零点存在性定理与端点特判即可得出最终限制区间 且 。 分析有理·押题有据 聚焦新课标代数几何综合两大核心考查路径：一是将几何特殊角转化为一次函数斜率，侧重数形转化能力；二是动抛物线与定线段交点问题，需借助判别式与端点边界锁定临界范围。该命题路径将动态几何代数化，有效规避模式化解题，着重考查学生的方程思想与临界意识，符合2026年中考注重本质考查的选拔导向。 终极猜想·精练通关 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，，则直线的解析式为，进而得到，设向上平移个单位长度时，落在抛物线上，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得，即方程有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 解得或， ，， 当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设向上平移个单位长度时，落在抛物线上， ∴此时， ∴， 解得， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，且当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为； 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴，即方程有两个相等的实数解， ∴， 解得， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 二、解答题 2．（2025·天津·中考真题）已知抛物线为常数，． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点． ①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标； ②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解； ②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为． 【详解】（1）解： ， ∴该抛物线的解析式为， ， ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）①∵点在抛物线上， ∴，即， 又，点， ， ∴抛物线解析式为， 如图，点在第四象限，过点作轴于点， ， ∴， ， ∴． ∴， 又， ∴， ， ∵，∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 整理得，，解得 ∵，∴不合，舍去，即， ∴点的坐标为； ②∵， ∴， 在轴上点的左侧取点，使，连接． ，得． ，． ∴，则． 在中，根据勾股定理，， ． ∴． ． 又点，得． ．即 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得． 又中，．得． ． 当点在线段上时，取得最小值，即． 在 中，，． 将代入，得． 解得（舍）． ∴． 点． 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则．得． 点的坐标为． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点的坐标为． 3．（重庆市忠县后乡三校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是第二象限内抛物线上一动点，连接，是线段的中点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)在（2）中，面积的取最大值的条件下，将原抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一点，点为平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)面积的最大值是，此时点P的坐标为 (3)的坐标为或．求解过程见解析 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）连接，过作轴交于，求出，可得直线函数表达式为，设，即可得，由为的中点，有，根据二次函数性质可得答案； （3）将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位，得新抛物线，新抛物线的对称轴为直线，设，，分三种情况：①若，为对角线，则，的中点重合，且；②若，为对角线，；③若，为对角线，． 【详解】（1）解：把，点代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， 由，得直线函数表达式为， 设，则， ， ， 为的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时，， 面积的最大值是，此时点的坐标为； （3）解：，， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度相当于将抛物线向右移动2个单位，再向上移动2个单位， 新抛物线， 新抛物线的对称轴为直线， 设，， 又，， ①若，为对角线，则，的中点重合，且， ， 此时方程组无实数解； ②若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； ③若，为对角线，同理可得： ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 4．（2024年山西省大同市多校中考一模数学试题）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线． (1)求点B的坐标及直线的表达式； (2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标； (3)抛物线上是否存在点F．使得?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标是，直线BC的表达式是； (2)点的坐标是或； (3)存在，点的坐标是或． 【分析】（1）令和，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解． 【详解】（1）解：令，解方程得或， ∴点B的坐标为； 令，则， ∴点C的坐标为； 设直线的表达式为，则， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：作轴，垂足为，交直线于点， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴或， 当时，以为边作等边，直线交抛物线于点，此时，如图， 作轴于点， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立， 解得或（舍去）， ∴点的坐标是； 当时，设交轴于点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 同理，求得直线的表达式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴点的坐标是； 综上，点的坐标是或． 5．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为； 如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 6．（25-26九年级下·重庆·开学考试）直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)当面积取得最大值时，最小值为； (3)所有符合条件的点的横坐标为或． 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可得抛物线的表达式； （2）作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设，与抛物线联立，消去，可得关于的一元二次方程，令判别式为0，可得，利用勾股定理可得和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值，通过平移规律求得，根据勾股定理可得，即可得的最小值； （3）由二次函数图象的平移可得，取点，连接，证明，可得，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标，作平行四边形，则，，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ∴，， ∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵为直线上方抛物线上一点， ∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 设：，则， ∴有两个相等的实数根， 令， 解得， ∴：， ∴， 解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， ， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：由可得，， ∴，， 根据题意可得， 取点，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， ∵，， ∴， 作平行四边形，则，， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， 综上，所有符合条件的点的横坐标为或． 押题猜想十六 圆的综合及隐蔽轨迹下的动态几何探究 试题前瞻·能力先查 限时：18min 【原创题】在如图，在正方形 中，边长为 。以边 为直径，在正方形内部作半圆 （点 为 的中点）。动点 在该半圆弧上运动（包括端点 ）。 （1）求点 运动的轨迹长度； （2）连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 。①当点 运动到半圆弧的中点时，求线段 的长；② 在点 的整个运动过程中，求线段 长度的最大值与最小值，并写出严密的推导过程。 【答案】 （1）； （2）① ；② 最大值为 ，最小值为 。 【解析】 （1）以 为直径的半圆，其半径 。半圆弧的长度为 。 （2）建立平面直角坐标系：以点 为坐标原点，直线 为 轴，直线 为 轴。 正方形 的边长为 4，则 ，，。圆心 为 。 半圆 的方程为 。 ① 当点 运动到半圆弧的中点时，，此时 点坐标为 。 向量 ，绕点 顺时针旋转 得到向量 。 点 的坐标为 ，即点 与点 重合。 此时 。 ②寻找点的运动轨迹：设动点 的坐标为，其中。向量 。顺时针旋转 得到 。 点 的坐标为 。因为，所以 ，推得 。 表明点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的下半圆弧（含端点）， 即 。 该轨迹弧的端点分别为 和 。 求解极值： 定点 ，圆心 。连心线距离 。 直线 所在的射线与完整的圆交于两点。 远端交点的纵坐标 ，落在点 的有效轨迹内， 故最大值 。 对于最小值，直线 与完整圆的近端交点纵坐标 ，落在了虚轨迹上。 因此，点 到下半圆弧的最小距离必须在轨迹边界端点处取得。 ； 。 比较可知，。 分析有理·押题有据 中考几何压轴命题正从繁杂计算向空间变换思维回归。例如，本题以正方形与半圆为载体，将极值探究融入旋转变换之中。核心考查隐蔽轨迹挖掘，要求学生运用瓜豆原理，透过线段旋转表象识别关联点的圆轨迹，进而转化为定点到定圆距离的极值模型。该设计切中课标对几何直观与图形建构的高阶要求，是高分段选拔的关键题型。 终极猜想·精练通关 一、解答题 1．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 2．（2026·广东广州·一模）如图1，在正方形中，点E是上一动点（不与点B，C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． (1)猜想证明：求证：； (2)类比探究：如图2，若将正方形改为矩形，点E是所在直线上一动点（不与点B，C重合），其中，其他条件不变． ①当点F恰好落在矩形的对角线上时，求的长； ②直接写出点D到点距离的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①18；② 【分析】（1）过点F作，交延长线于H，根据正方形的性质得出，再由全等三角形的判定确定，得出，结合图形及直角三角形的性质即可证明； （2）①分三种情况分析，当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，当点E在线段的延长线上时，作出相应图形，然后利用全等三角形的性质得出，设，则，再由相似三角形的判定和性质求解即可； ②过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形，根据全等三角形的判定和性质得出,,设，则,利用勾股定理确定，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过点F作，交延长线于H，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①当为矩形时， 当点E在线段上时，如图所示：旋转后点F无法在对角线上，不符合题意； 当点E在线段的延长线上时，过点F作，交延长线于H，如图所示： ， 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图所示： 同理得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上可得：； ②解：如图：过点F作交延长线于H,交延长线于G,则，则四边形为矩形， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 设，则, ∴， ∴当时，有最小值8，则有最小值． 3．（2026·陕西铜川·一模）探究不同情况下圆上一点与圆外一点之间距离的关系，并完成以下问题 【问题提出】 (1)如图①，是的弦，，点，分别是优弧和劣弧上的点，则的度数为___________，的度数为___________； (2)如图②，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段的最小值； 【问题解决】 (3)如图③是布景搭建区域的示意图，其中，，．为实现布景视觉平衡，作关于的对称图形，形成四边形区域．布景师在边，上分别设置道具摆放点E，F，使得，并在道具牵引线与的交点P处设置定位标记．为保障布景牵引装置的运行安全，需知道标记P到顶点C的最短距离．请根据以上信息，求标记P到顶点C的最短距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求解即可． （2）如图②，取的中点E，连接，交半圆于点，在上任取一点，连接，，结合，可得是的最小值，再进一步求解即可． （3）如图③，连接，求解，．证明，作的外接圆，可得点P的路径为劣弧，在优弧上任意取一点Q，连接，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵是的弦，， ∴， ∴． （2）解：如图②，取的中点E，连接，交半圆于点，在上任取一点，连接，， ，即是的最小值． 在中，，，， ． ， ， 即的最小值为． （3）解：如图③，连接． 在中，，，， ，，． 与关于对称， ，，． ，． 是等边三角形． ，． ， ． ． ， ． ． 作的外接圆，则点P的路径为劣弧． 在优弧上任意取一点Q，连接，， ． ， 即点A是外接圆的圆心． 设与劣弧交于点，点即为的长度最小时，点P的位置． ， 即标记P到顶点C的最短距离为． 4．（2026·陕西西安·一模）【问题探究】 （）如图①，在四边形中，，对角线相交于点，若的面积为，则的面积为______； （）如图②，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，求面积的最大值； 【问题解决】 （）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场，其中米，，．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点和点处的射灯发出的光线夹角始终等于，且光线在的内部运动．点处的射灯发出的光线与交于点，且光线始终与光线平行．请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；（）；（）平方米 【分析】（）根据平行线的性质即可求解； （）当时，点到的距离最大，此时面积最大，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解； （）过点作交的延长线于点，可得四边形为平行四边形，进而得到，即得到，又由，米，可得点在上运动，连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，则，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得米，米，即得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴点和点到的距离相等， ∴，故答案为：； （）如图，当时，点到的距离最大，此时面积最大， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即面积的最大值为； （）解：存在，理由如下： 如图③，过点作交的延长线于点， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵米，，， ∴米， ∴点在上运动， 连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，则，， ∵，，， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∴四边形面积的最大值为平方米． 28 / 87 2 / 173 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2026年中考数学终极拥题猜想 口考情为骨奢押为寞门 目录 押题猜想一实数、整式与科学记数法的易错重点.2 押题猜想二几何图形的直观想象与基本性质… 5 押题猜想三代数式规律与图形规律探究…。 .13 押题猜想四反此例函数比例系数的几何意义与数形结合 押题猜想五图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算。 .33 押题猜想六分式化简求值与条件等式的巧妙结合… 押题猜想七真实情境下的代数方程综合应用… 押题猜想八尺规作图的实践操作与图形性质综合… .56 押题猜想九与解直角三角形相关的综合应用… ..67 押题猜想十多维统计图表分析决策与概率综合应用… 85 押题猜想十一一次函数与不等式组在最值问题中的应用… .795 押题猜想十二特殊多边形背景下的几何变换与证明… .99 押题猜想十三抛物线在跨学科真实情境中的综合应用… .113 押题猜想十四阅读理解与“新定义”的代几综合… ……127 押题猜想十五二次函数背景下的代几综合 .146 押题猜想十六圆的综合及隐蔽轨迹下的动态几何探究… 165 1/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想一 实数、整式与科学记数法的易错重点 试题前瞻·能力先查●一 限时：5min 【原剑题】计算：49-(2026-°+() 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，主要涉及算术平方根的求解、零指数幂的性质以及负整数指数幂的 计算。解题的关键是熟练掌握并准确应用相关的基础运算法则。 【解答】解：原式=7-1+(-6) =6-6 =0. ·分析有理·押题有据·— 本猜想紧扣历年中考命题高频区。零指数幂与绝对值去符号是经典的易错陷阱，直击考生的符号辨析 能力与运算严谨性；特殊角三角函数则是初高衔接的核心算理。此外，将科学记数法融入“新质生产力等时 代热点数据，高度契合《新课标》“情境式命题的导向。此四点组合，构建了整卷必考的保分基本盘。 终极清想·精练通关。一 一、单选题 1.(2025·广东·中考真题)依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年)》，预计 2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为(） A.3×10° B.3×1010 C.30×1010D.3×1011 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤l<10,n为整数， 正确确定a以及n的值是解题的关键.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝 对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解。 【详解】解：3000亿=3000×108=3×101故选：D. 2.(2025·四川成都·中考真题)下列计算正确的是（) 2/177 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x+2y=3xy B.(x)2=x C.(x-y)2=x2-y2 D.2y·3x=6x2y 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： 【详解】A.x与2y不是同类项，不能合并，所以x+2y≠3y,该选项错误，不符合题意； B.根据幂的乘方法则(x)=x3x2=x卡x,该选项错误，不符合题意； C.根据完全平方公式(x-y)2=x2-2y+y2+x2-y2,该选项错误，不符合题意； D.根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，2xy·3x=(2×3)×(《·)×y=6xy,该选项正确， 符合题意；故选：D. 二、解答题 3.(2025·北京·中考真题)计算：-3+27+() -2sin30°. 【答案】4+33 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行 加减计算即可 【详解】解：-3引+√27+ -2sin309 =3+35+2-2×2 =4+3W3 4.(2026·重庆·一模)先化简，再求值： xBx-)-(6x-106+0+÷（-）,其中x=2cs60°-上2斗 【答案】+6-上.卫 x-1一；2 【分析】根据分式的加减乘除运算法则和因式分解，化简即可，再根据特殊角的三角函数值，计算出x,代 入计算即可」 【详解】解：原式=(3x-1)收-x-1)++2=2÷2-1)-x (x-1)2 x(区-1) =-3x+1+K+2)K-2).xg-) (8-1)2-x-2 =-3x+1-x-2) x-1 3/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =-3xg-1)+x-1_xx-2) x-1x-1x-1 =-3x2+3x+x-1-82+2x x-1 =-4松246x-1 -1 "x=2c0360°--21=2×2=-1， ÷原式=-4-1+6x-)-1= -1-1 2 4/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想二 几何图形的直观想象与基本性质 ·试题前瞻·能力先查· 限时：5min 【原创题】1.(2020河北中考真题改编)如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比 较两个几何体的三视图，正确的是（)】 正面 正面 A.仅主视图不同 B.主视图、左视图相同 C.主视图、俯视图相同 D.主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】D 【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案 【详解】第一个几何体的三视图如图所示： 第二个几何体的三视图如图所示： 5/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同， 故选D 2.(2025河北中考真题)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E.将 △CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C处，下列结论一定正确的是() D C E A A.∠1=45°-a B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2a 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质 是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD∥BC,∠C=90°，则∠ADB=∠1，进而根据折叠的性质得出 2∠1=90°-a,∠2=2，即可求解 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,∠C=90° ∴.∠ADB=∠1 …折叠 ∴.∠ADB=∠A'DB .∠1=∠A'DB ‘∠DEC=90°-a,即2∠1=90°-a ∴.∠1=45°-，故A不正确 .'∠BDE+∠CDE ∴.∠1卡0，故B不正确 折叠， ∴.∠CED=∠CED :∠2=180°-2∠CED=180°-2(90°-0)=20，故C不正确，D选项正确 故选：D ◆分析有理·押题有据。 6/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 本猜想直击新课标“空间观念”与“几何直观”两大核心素养。三视图与截面图历来是中考客观题的必考点， 近年命题愈发倾向真实生活实物情境，侧重考查学生的逆向空间构建能力。此外，平行线与翻折操作相融 合，是图形变换的经典载体，其核心在于利用轴对称性质进行角度与线段的等量转化。两者“一静一动”，稳 抓图形与几何的基础得分 ·终极猜想·精练通关。一 1.（2025·四川成都·中考真题)下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（) 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图.熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫 做俯视图.根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方 形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同. 故选：C 2.(25-26九年级上·河北承德·期末)2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争 胜利80周年阅兵式上，东风一5C液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全 球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风一5C液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图， 下列说法正确的是() 正面 7/177 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. 主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可. 【详解】解：东风-5C洲际导弹的三视图为： 左视图 主视图 俯视图 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同. 故选：B 3.(2026·河北石家庄·一模)图①是铜制“方斗”，作为我国古代重要的计量器具，它蕴含着丰富的数 学文化与几何智慧.图②是其几何示意图，可抽象为底面是正方形的正四棱台，箭头表示主视方向.则该 “方斗”的三视图中，形状相同的是() 主视方向 图① 图② A.主视图与俯视图 B.左视图与俯视图 C.主视图与左视图 D.主视图、左视图、俯视图均相同 【答案】C 【分析】根据简单几何体的三视图解答即可. 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 主视图 左视图 俯视图 由三视图可知，主视图与左视图相同，选C. 4.(2026·重庆铜梁·一模)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G 处，再将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H,则FH的 长为() 8/177 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.2 B共 c. D.月 【答案】D 【分析】由翻折的性质，得AE=ED,根据EH‖AB II DF,可得BH=亚，证明△ABE一△DEF,可求出 DF的长度，最终可求出FH的长 【详解】解：由翻折的性质， 可得AE=EG,EG=ED,∠AEB=∠GEB,∠DEF=∠GEF, .'.AE=ED=2, .EH I AB II DF, 是器 .BH HF, '.'∠AEB=∠GEB,∠DEF=∠GEF, ∴.∠AEB+∠DEF=90°， ,∠AEB+∠ABE=90°， ,∴.∠DEF=∠ABE 又.∠A=∠D=90°， .△ABE一△DEF, 提器 解得DF=1, ..BF=BG+GF=5, 旺=B即= 二、填空题 5.(2025·山东潍坊·中考真题)如图，在ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的 对应点B恰好落在边DC上；将△ADB沿AB折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上.若∠C=a, 则∠CBE=·(用含α的式子表示) 9/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D B 【答案】号 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形ABCD是平行四边形，得 ∠BAD=∠C=Q,AB∥CD,由折叠性质可知， ∠DAB=∠B'AE=∠BAE,∠ABE=∠ABE,∠ABD=∠ABD',故有∠DAB=∠BAE= ∠BAE=兰，根据平行线的性质得∠ABD=∠BAB=号，∠ABE=180-&,最后通过角度和差即可求 解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， .∠BAD=∠C=a,AB∥CD, 由折叠性质可知，∠DAB=∠BAE=∠BAE,∠ABE=∠ABE,∠ABD=∠ABD', ·∠DAB+∠BAE+∠BAE=∠BAD=Q, ·LDAB=LBAE=LBAE= AB∥CD, ÷∠ABD=∠BAB=号，∠ABE=180P-&, .∠ABE=∠ABE=180°-a, ÷4CBE=180°-号-(180°-a）=号 故答案为：号 6.(2026·湖北襄阳·一模)如图，在△ABC中，AB=4√3，点D、E分别为线段BC、AC上一点，EC=10, 将△CDE沿DE折叠，使得点C落在点F处，且∠BFC=90°.若EF‖AB,则AE的长为 E B F 【答案】10-4W5 10/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】这是一个几何折叠问题，涉及到三角形的折叠、平行线性质以及直角三角形的相关知识.根据折 叠可知DE⊥CF,进而可得DE‖BF,结合EF‖AB可得四边形BFEG为平行四边形，由此得出BG=F= EC=10,再证明∠G=∠AEG得出AE=AG=BG-AB,由此即可求解 【详解】解：如图，延长BA、DE交于点G,延长ED交CF于点H, G D 将△CDE沿DE折叠至△FDE,则EC=EF=IO;DE是CF的垂直平分线 .DE⊥CF 又：∠BFC=90°，即BF⊥CF ..DE I BF, 又EF‖AB, .四边形BFEG为平行四边形，∠G=∠FED, .BG=EF=10, :∠CED=∠AEG,由折叠可知：∠CED=∠FED, .∠G=∠AEG,∴，AE=AG=BG-AB AB=45, ∴.AE=10-43 7.(2026·安徽马鞍山·一模)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AB=DC,∠B=∠C=80°，过点 D作DE AB,交BC于点E,且DE=4,CE=2.将△DCE沿DE折叠，点C的对应点C恰好落在AB 上，则AC的长为 D B E 【答案】3 11/177 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先根据平行线的性质、折叠的性质、平角的定义以及三角形的内角和定理，得出∠BEC=∠CDE, ZDCE=∠B,进一步得出△BEC一△CD卫，利用相似三角形的性质得出=，E,进一步得出CB= 1,再判定四边形ABED为平行四边形，得出AB=DE=4,即可解答. 【详解】解：~DE II AB ÷∠DEC=∠B. 由折叠得，∠C=∠DCE,CE=CE=2,∠DEC=∠DEC· ÷∠B=∠C=80°， ·∠B=∠C=∠DC'E=∠DEC=∠DEC=80°， ÷∠BEC=180°-∠DEC-∠DEC=180°-80°-80°=20°， ∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-80°-80°=20°， ∠BEC=∠CDE 又：∠DCE=∠B, △BEC一△CDE, CB=C卫，即eB= C'E DE 24 .C B=1. AD I BC,DE AB, :四边形ABED为平行四边形， AB=DE=4, ·AC=AB-CB=4-1=3 12/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想三 代数式规律与图形规律探究 试题前瞻·能力先查· 限时：5min 【原创题】1.(2025·重庆·模拟预测)如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，a1有1根，ā2有3 根，a3有7根…照此规律摆下去，a的火柴棒根数是（）根 a A.23 B.63 C.127 D.129 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 先根据前四个图形中火柴棒的个数得变化特点得出规律，进而得出答案. 【详解】解：因为a1图中有1根火柴棒； 因为a2图中有1+21=3根火柴棒； 因为a图中有1+21+22=7根火柴棒； 因为a4图中有1+21+22+23=15根火柴棒， 因为a7图中有1+21+22+23+24+25+26=1+2+4+8+16+32+64=127根火柴棒， 故选：C ·分析有理·押题有据·一 本猜想聚焦中考选填压轴的高频区分区。图形排列考查“数形结合”思想，要求学生完成从直观表象到代 数模型的抽象跨越；数字递推则直击“从特殊到一般”的归纳推演逻辑。此类规律探究题作为拉开梯度的试 金石”，高度契合《新课标》对抽象能力与推理素养的考查要求，是优等生冲刺高分的必争之地。 。终极清想·精练通关、一 13/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2025·重庆·中考真题)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个 圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是 () ①② ③ ④ A.32B.28C.24D.20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色 圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第个图形中黑色圆点的个数，代人n=6计算即可.解 题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第n个图案中有4n个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24个， 故选：C 2.(2026·重庆·一模)已知整式M=anx+a-1x-1+…+a1x+ao,其中n,a0,a1,…,a为正整数， 且a≤a(i=0,1,…,n-1),ao+a1+…+am=8.下列说法： ①当n=1时，满足条件的所有整式M共有7种； ②满足条件的所有整式M中一次项系数a1的最大值为6； ③不存在这样的整式M,使得当x=-1时，M的值为奇数. 其中正确的个数为() A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】C 【分析】根据题目给定条件，对三个说法逐一验证，利用枚举和奇偶性性质推导即可. 14/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：验证①：当n=1时，M=a1x+a,满足a1≤ao, a1,a为正整数， .a≤8-a1,解得a1≤4， .a可取1,2,3,4，共4种不同整式，故①错误； 验证②：要使a1最大，需其余系数和最小，所有系数均为正整数，且最小为1(an≥1，其余a≥a≥1）， 当n=2时，共3个系数a2,a1,a0, 满足a2≤a1,a2≤a,取最小a2=1,a0=1, 得a1=8-1-1=6,符合所有条件， 若a1≥7，则其余系数和为8-a1≤1，但至少有2个其余系数，和至少为1+1=2，矛盾，故②正确； 验证③：当x=-1时，设$偶为偶数次项系数和，S青为奇数次项系数和， 则S偶+S奇=8，且M(-1)=S偶-S奇， :M(-1)=(（S偶+S奇)-2S奇=8-2S奇，8和2S寄均为偶数， ∴M(-1)必为偶数，不可能为奇数，故③正确， 综上所述，正确的说法有2个. 二、填空题 3.(20-21九年级上·江苏连云港·月考)如图，古希腊人常用小石子在沙难上摆成各种图形来研究数.例 如：图中的数1,5,12,22…，由于这些数能够表示成五边形，所以将它们称为五边形数，按照此规律， 第40个图形表示的五边形数是 12 22 【答案】2380 【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1+4=5，第3个五边形数为1+4+7=12， 第4个五边形数为1+4+7+10=22，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数 的和，且数的个数等于序号数，则第n个五边形数为二，把n=40代人计算即可。 【详解】第一个图形有1个， 第二个图形有5=2+3个， 第三个图形有12=3+4+5个， 15/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第n个图形五边形数为n+n+1+n+2+n+3+…+n+(-1)]= 故第40个图形表示的五边形数是：3402-40=2380个 2 故答案为：2380. 4.（广东省梅州市学艺中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题)下面是用棋子摆成的“小屋 子”、摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第5个这 样的“小屋子需要 枚棋子，摆第个这样的“小屋子”需要 枚棋子 ●● 07404+。 ● ●●● ●●●● ① ② ③ ④ 【答案】 29 6m-1/-1+6m 【分析】先数出已知每个图形中棋子的个数，得到后面一个“小屋子”比前面一个“小屋子”多6枚棋子， 进而得出结论即可 【详解】解：由图可知： 第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子； 第2个这样的“小屋子”需要5+6=11枚棋子； 第3个这样的“小屋子”需要5+6×2=17枚棋子； 第4个这样的“小屋子”需要5+6×3=23枚棋子； 第5个这样的“小屋子”需要5+6×4=29枚棋子； .第n个这样的“小屋子”需要5+6×(n-1)=6m-1(枚)棋子. 5.（25-26九年级上·福建南平·期中)在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，小强 设计了一个数学探究活动，他对依次排列的两个整式-m和-按如下规律进行操作：第1次操作后得到3 个整式-m,-n,-n+m;第2次操作后得到4个整式-m,-n,-n+m,m…其操作规则为：每次操作所 增加的整式，都是用上一次操作得到的最后一个整式减去其前一整式的差，小强将这个活动命名为“回头 差”游戏.则该“回头差”游戏的第2023次操作后得到的各整式之和是 【答案】-2n 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数式的规律探究，根据题意得到规律是解题的关键.先逐步分 析前面几次的操作，可发现规律，操作所得整式的和每六次一循环，然后根据2023÷6=337…1，即可得 16/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出第2023次操作对应周期中的第1次操作后的和 【详解】解：初始整式为-n和-n,和为-m一n 第1次操作后，得到整式-m、-n、-n+m,和为-2n; 第2次操作后，得到整式-m、-n、-n+m、m,和为m-2n; 第3次操作后，得到整式-m、-n、-n+m、m、n,和为m-n: 第4次操作后，得到整式-m、-n、-n+m、m、n、n-m,和为0： 第5次操作后，得到整式-m、-n、-n+m、m、n、n-m、-m,和为-m; 第6次操作后，得到整式-m、-n、-n+m、m、n、n-m、-m、-n,和为-m一n; 此后每6次操作，所得整式的和循环一次. 因为2023÷6=337…1，余数为1， 所以第2023次操作后得到的各整式之和与第1次操作后相同，为-21. 故答案为：-2n 6.(2026·河南信阳·一模)生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设 计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…，则 第18个图案需要用矩形的个数为 第1个 第2个 第3个 ① ② 【答案】37 【分析】根据规律得出第n个图案中矩形的个数：1+2n,算出第18个图案中矩形的个数即可. 【详解】解：第1个图案中矩形的个数：1+2×1=3； 第2个图案中矩形的个数：1+2×2=5： 第3个图案中矩形的个数：1+2×3=7： 第n个图案中矩形的个数：1+2n, ∴，第18个图案中矩形的个数为：1+2×18=37. 7.（2026·陕西宝鸡·一模)如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两 端的数都是1，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数：1,3,6,10,15，…，我 们把第一个数记为a1,第二个数记为a2,第三个数记为a3,…,第n个数记为am,则a7= 17/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 121 1331 14641 15101051 1615201561 【答案】28 【分析】根据题意，依次得出a1,a2,a3,…,发现规律即可解决问题 【详解】解：由题意知， a1=1, a2=3=1+2, a3=6=1+2+3, a4=10=1+2+3+4, …) 所以a=1+2+3+…+n=@+型 2 当n=7时，a7=7x8=28. 2 8.（2026·黑龙江哈尔滨·一模)用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个 小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第26个图案需要 火柴棍的根数为 ① 【答案】162 【分析】观察图形，得出规律第n个图案需要火柴棍的根数为3×(21+2)根，再代入=26，计算即可得 出结果 【详解】解：第①个图案需要火柴棍的根数为3×(2×1+2)=12根， 第②个图案需要火柴棍的根数为3×(2×2+2)=18根， 第③个图案需要火柴棍的根数为3×(2×3+2)=24根， ∴.第n个图案需要火柴棍的根数为3×(2n+2)根， 故第26个图案需要火柴棍的根数为3×(2×26+2)=162根 9.(2026·甘肃平凉·一模)以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放.第1幅图中“●”的个数为3， 18/177 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15…以此类推，则第7幅图中“●”的个数 为 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 【答案】63 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可. 【详解】解：第1幅图中“●”的个数为3=1×3， 第2幅图中“●”的个数为8=2×4， 第3幅图中“●”的个数为15=3×5， … 第n幅图形中“●”的个数为：n(n+2), .第7幅图中“●”的个数为7×(7+2)=63 三、解答题 10.（2026·安徽阜阳·一模)如图，这是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周 围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正 方形和18个正三角形，…依次递推 (1)第3层有6个正方形和 个正三角形 (2)第n层有6个正方形和 个正三角形.（用含n的式子表示) (3)若第n层有6个正方形和2034个正三角形，求n的值 【答案】(1)30 (2)(12n-6) (3)170 【分析】(1)根据图案分别数出正方形的个数和正三角形的个数即可； (2)根据图案特点可知每个位置的正三角形的个数分别是1,3,5,7…，再乘以6可得答案； 19/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)根据(2)列出方程，求出解即可 【详解】(1)解：第1层有6个正方形和1×6个正三角形： 第2层有6个正方形和3×6个正三角形： 第3层有6个正方形和5×6个正三角形； (2)解：第1层有6个正方形和(2×1-1)×6个正三角形； 第2层有6个正方形和(2×2-1)×6个正三角形； 第3层有6个正方形和(2×3-1)×6个正三角形； 第4层有6个正方形和(2×4-1)×6个正三角形； … 第n层有6个正方形和(2×n-1)×6=(12n-6)个正三角形； （3)解：根据题意，得121-6=2034， 解得n=170, 所以第170层有6个正方形和2034个正三角形 20/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想四 反比例函数比例系数的几何意义与数形结合 试题前瞻·能力先查● 限时：5min 【改编题】（2025·北京·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的 动点，四边形OACB是矩形，函数y=k>O)的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重 合).给出下面四个结论： ①△COM与△CON的面积一定相等； ②△MON与△MCN的面积可能相等； ③△MON一定是锐角三角形： ④△MON可能是等边三角形 上述结论中，所有正确结论的序号是（) A.①③B.①④C.②③D.②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函 数图象的性质是解题的关键.根据矩形的性质结合反比例函数k的意义即可判断①②，根据等边三角形和 反比例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠ON或∠ONM为钝角， 即可判断③，即可求解 【详解】解：四边形OACB是矩形， ∴.SAOBC=S△A0C 21/177 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又~MN是反比例函数y=(k>O)图象上的动点，BN1y轴，MA⊥x轴， Sa0BN=SA0AM=月 .S△OBC-SAOBN=SAAOC-S△AOM,即△COM与△CON的面积一定相等；故①正确， 由D可得SAOBN=SAOAM-月 当△MON与△MCN的面积相等时，如图，连接AB,BM .S△NCM+S△OAM=S△MON+S△OBN=SE形OAcB=S△ABO=S△BOM ∴N在直线BM上，则M,N重合， ∴·△MON与△MCN的面积不可能相等，故②不正确， ·等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM=60°且对称轴都为直线y=x,△MON可能是等 边三角形，故④正确， 如图 M 当M,N在y=x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误 y=x B 综上，①④正确、②③错误 故选：B. 22/177 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○分析有理押题有据。 本猜想直击全国中考客观题压轴高频区。反比例函数中比例系数k的几何意义，是考查“数形结合” 思想的核心载体。命题常以双曲线与一次函数交点为基点，融合矩形、等腰三角形等特殊多边形，通过面 积的分割与等量转化来求解参数。此类题型弱化繁琐计算，高度聚焦对坐标、线段与面积转换的抽象推演 能力，具备极强的选拔区分度。 …终极猜想·精练通关。 一、单选题 1(2025·山东德州·中考直题)在平面直角坐标系中，函数y=一点的图象是（) 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键 化简绝对值，当x>0或x<0时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可. 【详解】解：由题意得，当x>0时，y=一一女0，则此时图象分布在第四象限； 当x<0时，y一言一专女0，则此时图象分布在第三象限： 故选C. 2.(2025·江苏宿迁·中考真题)如图，点A、B在双曲线y1=(x>0)上，直线AB分别与x轴、y轴交 于点C、D,与双曲线y2=(x<0)交于点E,连接OA、OB,若SAAOC=20,AB=3BC,AD=DE,则k, 的值为() A.-10B.-11C.-12D.-13 【答案】C 【分析】过点E作EK⊥y轴于点K,过点A作x、y轴的垂线，垂足为G,H,过点B作x轴的垂线，垂足 23/177 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为F,连接OE,HF,BH,AF,先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF=DH,证明△AHD三△CFB(AAS), 则AD=BC,再证明△EKD兰△AHD(AAS),则SAED=SAAm,ED:AD:AB:BC=1:1:3:1,则SAODE= SA0AD-3Aoe=5,由AGy轴，得到爱是-是=则SA00=S6Ao=SA0e=4,则SAH=S6A0D S△AHo=1,则可求SAor=SAoD+S△KD=6=k,l,即可求解k2的值， 【详解】解：过点E作EK⊥y轴于点K,过点A作x、y轴的垂线，垂足为G,H,过点B作x轴的垂线， 垂足为F,连接OE,HF,BH,AF, B G FC :点A、B在双曲线y1=(K>0)上， 一SA0AH=SA0Be=k, BFIy轴，AHIx轴，AGIy轴， “.SAOAH=S△AHF=S△OBR=S△BFH, ,S△AP=S△BI,且△AHF,△BHF共底FH, ∴△AF,△BHF在FH上的高相等， ∴.AB IIFH, .四边形DFB为平行四边形， ..BF=DH, AHIx轴， .∠DAH=∠BCF, :∠AHD=∠CFB=90°， .△AHD≡△CFB(AAS), ∴.AD=BC ,∠EDK=∠ADH,∠EKD=∠AHD=90°，AD=DE, ∴.△EKD三△AHD(AAS), .S△KD=S△AD,AD=ED, .AB=3BC, 24/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .ED:AD:AB:BC=1:1:3:1, ..ED=AC, SAODE-SAOAD-SA0Cx20-5, 4 AGIy轴 .OG-AD oc Dc 341+1 ÷SaAG0=SaA0-=S△A0c=×20=4, S△ADH=S△AoD-SAAH0=5-4=1, .S△ED=S△AHD=1, .SAOEK=SAOED+SAEKD=5+1=6=k2l, 双曲线y2=区<0)经过第二象限， ∴k2=-12,故选：C. 3.(2026·浙江杭州·一模)如图，△AOB的两点A,B在反比例函数y=2(K>0)的图象上，过B作BD⊥y 轴于点D,交OA于点E.若E为AO的中点，则△AEB的面积是() A.B. C.6D.5 【答案】A 【分析】设A(a,), 则可求得点E和点B的坐标，推出BE的长，利用三角形面积公式即可解答 【详解】解：设A(a,) E为AO的中点， …E(), BD⊥y轴， 点B的纵坐标为， “点B在反比例函数上， 12÷62a a B(2a,), BE=2a-,点A到BE的距离为州-日- 25/177 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 86m分学华号 4.(2026·江苏扬州·一模)如图，已知点Am,1)、B(-2,D在反比例函数y=&<O)的图像上，ACI x轴，BC‖y轴，若△ABC的面积为16，则k的值为() B A.-10B.-6C.6D.10 【答案】A 【分析】根据△ABC的面积为16，得出(-2-m)m-1)=16①，根据点Am,1)、B(-2,n)在反比例函数 y=K<0)的图像上，得出m=-2②，求得n=5,则B(-2,5),即可求解 【详解】解：点Am,1)、B(-2,n),ACIx轴，BC‖y轴， .AC=-2-m,BC=n-1, △ABC的面积为16， ∴AC×BC=16, (-2-m(m-1)=16① 又：点A(m,1)、B(-2,n)在反比例函数y=K<0)的图像上， ∴.m=-2n② 将②代入①得，(-2+2如)血-1)=16 解得：n=-3(舍去)或n=5 .B(-2,5) .k=-2×5=-10 5.（2026·浙江嘉兴·一模)如图，在直角坐标系中，O是原点，点A在反比例函数y=(k为常数，k>0, x>0)的图象上，点C在x轴上，且A0=AC,延长AC交反比例函数y=(x>0)的图象于点B,记 点A,B的横坐标分别为a,b.当a,b的值变化时，下列代数式的值不变的是（) 26/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.+B.6-aC.b2-a2 D. ab 【答案】D 【分析】易得A(a,),B(b,-),作AD1x轴于点D,作BE⊥x轴于点E,推出△ADC一△BEC,得 班。进而得到2-a=2ab,即可得出结果 【详解】解：由题意，A(a),B(b,-), 作AD⊥x轴于点D,作BE⊥x轴于点E,则AD IBE,OD=a,AD=,OE=b,BE=, D .AO=AC, ∴.OD=CD=a,OC=2a, ∴.CE=oE-0C=b-2a, AD‖BE, .△ADC一△BEC, k 品器 a b-2a ∴.b2-2ab=a2 .b2-a2=2ab, 心二2，为定值 ab 6.(2026江苏无锡一模)如图，A是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点，延长OA至点B,使AB=20A, 过点B作BC‖x轴，交该反比例函数图象于点C,过点A作AD∥OC,交BC于点D,若四边形OADC的 27/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面积为4，则k的值为() V A-2B.-号C.-号D.-3 【答案】B 【分析】根据AD∥OC可得△OBC一△ABD,进而可得即=；，根据面积的和差求出SAOBC=普，设点A S△OBC 坐标为(a,),则B(3a,),由BCIx轴，结合反比例函数性质可得c(,),由SAoc=×a四=4k=马 即可求解 【详解】解：AD∥OC, .△OBC△ABD, 常品器 .AB=20A, 0B=30A,错- SAOBC S△oBC=S四边形OADC+S△ABD,S四边形OADC=4, S△ABD= S△oBC 4+S△ABD 16 设点A坐标为(a,9,则B(3a,) BCIx轴， c ∴Bc=3a-a=ad SAOBC=;×a=4k=, . k=-号 二、填空题 7.(2025·山东德州·中考真题)已知点P(a,b)在双曲线y1=上，点M(6a,b),N(a,c)在双曲线y2=上， 28/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若b-c=2,则N的坐标为 【答案1)或(-) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析 式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解 【详解】解：点P(a,b)在双曲线y=上， .ab=1, .b= '点M(6a,b),N(a,c)在双曲线y2=上， ∴.6ab=k,ac=k, k=6, ∴.ac=6, ..c=5 b-c=2, 片-9=2 治2 .lal= 心a=± 当a=时，c=号，则N,), 当a=-时，c一号，则N(--) 故N的坐标为(，)或(-；，-) 8.(2026·广东东莞·一模)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,4), B(3,O),其两个锐角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=的图象上，则△APB的面积 是 29/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】15 【分析】过点P分别作y轴、x轴和AB的垂线，垂足为C、D、E,设点P的坐标为(a,,由角平分线的 性质可得，PC=PE=PD,结合反比例函数的解析式可得点P(6,6).容易证明四边形OCPD是正方形，用 正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到△APB的面积 【详解】解：如图，过点P分别作y轴、x轴和AB的垂线，垂足为C、D、E,设点P的坐标为(a,, D 由题意可知，AP平分∠BAC,BP平分∠ABD, PC⊥y轴，PD⊥x轴，PE⊥AB, ∴.PC=PE=PD,∠PC0=∠PD0=90°， a=普 解得a=6(负根舍去)， ..PC=PE=PD=6, ∠PC0=∠PD0=∠COD=90°， ∴.四边形OCPD是矩形， .PC=PD, ∴.四边形OCPD是正方形， ∴.PC=OC=OD=PD=6, A(0,4),B(3,0), .0A=4,OB=3, ..AC=OC-OA=2,BD=OD-OB=3, S△AB=S正方形OCPD-SAOAB-S△APC-SABPD, =PC2-OA·OB-PC·AC-PD·BD, =62-×4×3-×6×2-5×3×6, =36-6-6-9, 30/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =15. 9.(2026·福建泉州·一模)已知双曲线y=与函数y=k-b1的图象有两个交点，则b的值是 【答案】4 【分析】由函数y=x-b得y= [仁x》,且y=k-M之0，与双线y联立，根据-元二次方 程的根与交点的关系即可求解 【详解】解：由函数y=k-b得y= 区x+三》且yk-20 y=x-b(k≥b) 联立 y ,则=x-b, .x2-bx-4=0, :△=(-b)2-4×1×(-4)=b2+16>0, .x2-bx-4=0必有两个不相等的实数根， “x之b时，y=x-b之0，且双曲线y=的图象在第一、三象限， y=x-b(x≥b)与y=的图象在第一象限必有一个交点； Cy=-x+b(x<b) 联立 y=4 ,则-x+b, x2-bx+4=0, :y=x-b(&≥b)与y=的图象在第一象限有一个交点， ∴要使总交点数为2， ∴y=-x+b(区<b)与y=的图象必有一个交点， ∴x2-bx+4=0有两个相等的实数根， ∴.△=(-b)2-4×1×4=b2-16=0, 解得b=±4， 当b=4时，则=-x+4,解得x=2, 当x=2时，y=-2+4=2>0,符合题意； 当b=-4时，则-x-4,解得x=-2, …-2>-4, ∴.b=-4不符合题意，舍去； 综上所述，b=4 10.(2026·山东泰安·一模)如图，点A1,A2,A3…在反比例函数y=(k>0)的图象上，点B1,B2,B,,B 31/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在y轴上，且∠B1OA1=∠B2B1A2=∠B3B2A3=…,直线y=X与双曲线y=1交于点A1,B1A1⊥OA1,B2A2⊥ B1A2,B3A3⊥B2A3,…,则B2026的坐标是 yA B4 A4 43 【答案】(0,2√2026 【分析】由题意可知△OA1B1,△B1A2B2,△B2AB3,…,都是等腰直角三角形，设A2,A3点坐标，代 入y=中计算求解，然后求出OB1,OB2,OB,的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论 【详解】解：由题意可知△OA1B1,△B1AB2,△B,AB3,…,都是等腰直角三角形， 联立。得.解得：} A1(1,1), ∴.0B1=2, 设A2m,2+m),则有m(2+m)=1 解得m=√2-1或m=-√2-1（舍去） .0B2=2√2 设A(a,2√2+a),则有a(2√2+a)=1 解得a=V3-√2或a=-√3-V2(舍去)》 ∴.0B3=25 同理可得OB4=2W4 ∴.OB=2i ∴.B.(0,2n 当n=2026时，2√=2√2026， ∴.B2026(0,2V2026) 故答案为：(0,2√2026 32/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想五 图形变换背景下的扇形面积与弧长割补计算 试题前瞻·能力先查●一 限时：5min 【改编题】(2026·湖南娄底·一模)如图，∠CAB=30°，点O是AB上一点，半径长为6的⊙O与AC 相切于点D,交AO于点E.则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π) D 【答案】183-6m 【分析】连接OD,利用切线的性质得到OD⊥AC,结合∠CAB=30°求出AO的长度，再分别计算△ADO 的面积和扇形ODE的面积，最后用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分的面积. 【详解】解：连接OD C D B :⊙O与AC相切于点D, ∴.OD⊥AC,即∠AD0=90°， ∠CAB=30°，OD=6, ∴.A0=20D=12, 由勾股定理得：AD=√A02-OD2=V122-62=65, :∠A=30°，∠AD0=90°， .∠AOD=60°， 33/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 SAADO=×ADxOD=x63×6=185, 60mx62 S第形oDE 360 =6T, S阴影=SAAD0-S第形oDE=18W5-6m 故答案为：18V3-6π ●分析有理·押题有据◆— 本猜想精准锚定《新课标》对图形的运动与几何直观的融合考查要求。图形变换背景下的面积求解， 是全国各地中考客观题的顶级试金石。此类命题往往打破常规规则图形的壁垒，要求考生利用轴对称或中 心对称性质，通过割补、等积代换将不规则阴影面积转化为标准扇形或多边形面积。该考点极具选拔性， 不仅检验扇形与弧长公式的基础算理，更深度探测考生化繁为简、化归转化的高阶空间推演能力。 。终极猜想·精练通关◆— 一、单选题 1.(2026·河南周口·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2,以边AB的中 点O为圆心的半圆与AC相切，切点为D,连接OC,与半圆交于点E,则图中阴影部分的面积为() B A+BB23-若C.+9D.名+9 【答案】D 【分析】连接OD,根据阴影部分的面积等于S△AoD+S扇形EOD,i 进行计算即可. 【详解】解：连接OD, ,∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2, .∠A=30°， ..AB=2BC=4,AC=3BC=23, 34/177 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :以边AB的中点O为圆心的半圆与AC相切， 0C=AB=0A=2,OD⊥AC, .∠0AC=∠OCA=30°，∠AOD=90°-∠A=60°， ∴.∠A0C=120°，OD=0A=1,AD=√30D=√3， ∴.∠COD=∠AOC-∠AOD=60°， ∴.S阴影=S△AOD+S扇形ODE 1 60π =2×V5x1 360×12 2.(2026·山西日梁·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2,以B为圆心、 BC的长为半径画弧交AB于点D,以A为圆心、AC的长为半径画弧交AB于点E,则阴影部分的面积为 C A号-25B.日+兰C号+25D.日-9 【答案】D 【分析]过点C作CT⊥AB交AB于点F,得出LA=60°，BC=√B,通过面积的计算得出S阴影=S扇形BcD+ S第形ACE一S△ABC,结合扇形公式进行求解即可。 【详解】解：过点C作CF⊥AB交AB于点F,对各区域面积进行标注，如下图所示： B '∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2, AC=AB=1,LA=60°， BC=VAB2-AC=√3， 35/177 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·S1=S扇形BCD-S△BCp,S2=S扇形ACE-S△ACp, S阴影=S1+S2=S扇形BCD-S△BCF+S扇形ACE-SAACF=S扇形BCD+S扇形ACE-S△ABC, S=S第形BD+S形A0-SAae=器元X(同产+品T×12-吉x1×B=吕-号 3.（2026·浙江温州·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4,BD为AC边上 的高，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB,BC于点E,F,则EF的长为() A.BC.D. 【答案】B 【分析】根据30°直角三角形的性质求出BC=2,AB=2√3，再利用等面积法求出BD=√3，利用弧长公式 进行计算即可. 【详解】解：~∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4, *BC=AC=2, ÷AB=√AC2-BC@=√42-22=23. ∠C=60°， :BD为AC边上的高线， SARC=AB·BC=AC,BD, 即BD=√3， BE=BD=BF=√3， 命=m-90xm×5-5 180180 2. 4.(2026·浙江·一模)如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC,CD 交于E,F两点，若BE与正的长之比为1：2，则BD的长为() 36/177 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.B.m C.D. 【答案】C 【分析连接AE,AF,AC,AC交BD于点G,连接BD交AC于点O,连接EG,FG,先证△ABE三△ADF(AAS), 设LBAE=LDAF=a,则LFAE=2LBAE=2a,由三角形内角和定理得∠ABE=90°-；a,由菱形对 角线互相平分，可得∠AB0=乙ABE=45°-a,∠BA0=∠BAD=2a,再根据∠BA0+∠AB0=90°， 可得：=()°，最后利用弧长公式求解 【详解】解：如图，连接AE,AF,AC,AC交BD于点G,连接BD交AC于点O,连接EG,FG, E 由题意知AD=AF=AG=AE=AB=2, ·∠ABE=∠AEB,∠ADF=∠AFD, ~四边形ABCD是菱形， ·∠ABE=∠ADF ·∠ABE=∠AEB=∠ADF=∠AFD, 又：AD=AB, ·△ABE=△ADF(AAS), ·∠BAE=∠DAF 设∠BAE=∠DAF=Q, 则∠ABE=(180°-∠BAE)=(180°-a)=90°-x, &LAB0=LABE=45°-}a, ~BE与匪的长之比为1：2， 37/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·∠FAE=2∠BAE=2a, ·∠BAD=+2a+=4a, i∠BA0=∠BAD=2a, ~菱形ABCD中AC⊥BD, ÷∠BAO+∠AB0=90°， 62a+450-a=90, &=(（) ∠BAD=4a=(9)°， 六BD=4:mAB 9m28 1800 180° 7, 故选：C 二、填空题 5.(2025·四川成都·中考真题)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是o0上的三个点.若四边形OABC 为平行四边形，连接AC,则侧图中阴影部分的面积为」 A 【答案】日 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接OB,证明四边形OABC为菱形，易得 △AOB为等边三角形，S△AoB=S△ABC=S菱形OABC,得到∠AOB=60°，根据阴影部分的面积等于弓形AB 的面积加上△ABC的面积，即为扇形OAB的面积，进行求解即可. 【详解】解：连接OB,交AC于点D,则：OA=OB=1, O D B :四边形OABC为平行四边形，OA=OC, 38/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .四边形OABC为菱形， 六OA=AB=OB,S6A0B=SABC=S菱形OABC ·△AOB为等边三角形， ∴.∠AOB=60°， .AC=2AD=√3， 一阴影部分的面积=S形OAB一S0BA+SABC=S期形OAB0×IP=名； 60m 故答案为：后 6.（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”，如 图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于 点E,连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 B 【答案】π-25 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到OE⊥AB,由垂径定理可得AF=BF=2,由圆周角定理 可得∠AOE=30°，进而证明△AOB是等边三角形，得到OP=2√3，再根据阴影部分的面积=S扇形A0E- S△AOp求解即可. 【详解】解：：AB所在圆的圆心为点O,边CD与⊙O0相切于点E, OA=OB=OE,OE⊥CD, ~四边形ABCD为矩形， ÷AB∥CD, OE⊥AB, :AB=4, AF=BF=AB=2, ∠ABE=15°， ÷∠AOE=2∠ABE=30°， OA=OB,OF⊥AB, 39/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷∠AOB=2∠AOF=60°， ÷△AOB是等边三角形， ÷0A=AB=4, ÷OF=√OA2-AF2=23, 阴影部分的面职8a-Sae=”-x25×2=扣-25. 故答案为：π-23， 7.(2025·福建·中考真题)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相 交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为 D B 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出S菱形ABcm=AC,BD=4, ∠OAB=∠OCD,然后证明△AOE三△COF(ASA)即可求解. 【详解】解：菱形ABCD,OA=2,OD=1, ..AC=4,BD=2,OA=OC,AB CD, S装形ABCD-AC,BD=4,∠0AB=∠0CD, .∠AOE=∠COF ∴.△AOE≡△COF(ASA), .'.SAAOE SACOF, SAA0E+SAD0E=S黄形ABCD=1, 故答案为：1. 8.(2026·江苏盐城·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=4√2，∠ACB=90°，D是AB的中 点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧EF上（点C不与点E,F重合），半径DE,DF 分别与AC,BC相交于点G,H,则阴影部分的面积为 40/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 【答案】4π-8 【分析】连接CD,作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,证明△DGM=△DNH(ASA),四边形DMCN为 正方形，得出SADNG=SADNH,CM=DM=9CD=2V2,进而可得Sm边形DGc=S正方形DMCN=2万×2V2=8, 再由S阴影=S扇形DBr一S四边形DGCg计算即可得解 【详解】解：连接CD,作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N, Mh .∴.∠DMC=MCN=∠DNC=90°， .四边形DMCN为矩形， ∴.∠MDN=∠EDF=90°， ∴.∠MDN-∠EDN=∠EDF-∠EDN,即∠MDG=∠NDH, 在Rt△ABC中，AC=BC=42,∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴.LACD=∠BCD=45°，AB=AC2+BC=8,CD=AB=4, ∴.CD平分∠ACB, ∴DM=DN, ∴.△DGM三△DNH(ASA),四边形DMCN为正方形， SADM=SADNH.CM=DM-CD- S四边形DGCH=S正方形DMcN=2W2×2V2=8, 90x4×元-8=4π-8， S阴影=S扇形D-S四边形DGCH=一360 9.(2026·吉林长春·一模)如图，AB是oQ的直径，AD是一条弦，延长AD至点C,使DC=AD,连 41/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 接BC,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.给出下面五个结论： ①OD-号BC;②DE是oO的切线；③LADE>90°+LA;④当CE:EB=2:1时，△DEC与△ABC的 面积比为2：5；⑤当DE‖AB时，若AB=3,则阴影部分图形的面积为m-;上述结论中，正确结论的 序号有」 B 【答案】①②/②① 【分析】连接BD,OD,根据中位线的性质即可判断①；证明DE⊥OD,即可判断②；根据等边对等角可得 ∠A=∠ODA,进而判断③；根据已知可得S△ABc=2 SADBC,进而得出△DEC与△ABC的面积比为2：6= 1:3,即可判断④；据平行线的性质可得∠AOD=90°，进而得出△AOD是等腰直角三角形，再根据扇形面 积减去△AOD的面积即可判断⑤，即可求解 【详解】解：如图，连接BD,OD, O,D分别为AB,AC的中点， ∴.OD是△ABC的中位线 OD=BC,故①正确； ∴.OD‖BC, DE⊥BC, DE⊥OD, 又：OD是半径， DE是⊙O的切线；故②正确； DE⊥OD,即∠ED0=90°， 42/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又OA=OD ,∴.∠A=∠ODA .∠ADE=90°+∠A,故③错误； .DC=AD ∴.SAABC=2 SADBC 当CE:EB=2:1时， ∴.△DEC与△DCB的面积比为2：3 .△DEC与△ABC的面积比为2：6=1：3，故④错误， 当DE AB时， ∴.∠DOA=∠ODE=90° :OA=OD,则△AOD是等腰直角三角形， 又AB=3, 0A=0D=月 8影品×白-×-石-故⑤错误 10.（2026·河南·一模)如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，以AB为直径的 ⊙O切AC于点A,交BC于点D,则图中阴影部分的面积为 【答案】4π-8 【分析】连接OD,推导出△ABC是等腰直角三角形，且∠B=45°，得到∠BOD=90°，再求出扇形BOD 的面积与△BOD的面积，即可解答 【详解】解：连接OD,如图 43/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,AB=AC=8,∠BAC=90° ∴.△ABC是等腰直角三角形，且∠B=45°， ∴.∠AOD=2∠B=90°， ∴.∠BOD=90°， OB=0D=×8=4, 2 扇形BOD的面积为器··4=4m, △BOD的面积为；·4·4=8 ∴S阴影=S扇形BOD-S△B0D=4T-8, 44/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想六 分式化简求值与条件等式的巧妙结合 试题前瞻·能力先查·一 限时：5min 【原创题1已知，非零实数a,b满足：a=3b-2b,则(-)÷=(~2). 【答案】-2 【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出汁3b= -2b,再代入求出答案即可. 【解答】解：（片）÷典 =2a+b)-(a-b,(a+ba-b) (a+b)(a-b)ab __a+3b(a+b)(a-b) (a+b)(a-b)ab -a436 ab, 'a=-3b-2ab, ∴.a+3b=-2ab, 原式空-2 故答案为：-2. ·分析有理·押题有据。一 本猜想紧扣中考代数解答题的必考阵地。分式混合运算是检验运算基本功的“试金石”，而排除分母为 零的陷阱值”则是拉开分差的核心易错点，直击学生运算的严谨性。此外，结合条件等式进行整体代入，巧 妙融入了高阶的代数变形技巧。该题型兼顾基础保分与思维防错，是稳固代数解答题基本解题能力的关键。 ·终极猜想·精练通关、 一、解答题 1.(2025·四川凉山·中考真题)(1)解不等式：二-号≤1： (2)先化简，再求值：1一高÷高，求值时请在-2≤x≤2内取-个使原式有意义的×(x为整数). 【答案】(1)x≤14：(2)二：当x=-1时，值为：当x=1时，值为4 45/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则 和解一元一次不等式的步骤是解题的关键 (1)先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； (2)先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到×卡2,0，一2，再选择合 适的整数代人求值即可， 【详解】(1)解：号-号≤1， 3x-2-2(8+3)≤6， 3x-2-2x-6≤6， 解得：x≤14， .原不等式的解集为：x≤14； (2)解：1-品◆ 2x(x+2)2 =1- x+2×2xx-2) 1、X+2 X-2 =X-2x+2 X-2x-2 =X-2-x-2 8-2 总 分式有意义， x+2,0,-2, ∴.x=-1或x=1; 当x=一1时，原式=÷ 当x=1时，原式==4 2.(2026·山东日照·一模)简答： (1)27-2tan60°+（π-3）°-W3-2: ②先化简：（品-3-m)+二 然后选取一个合适的的值代入求值，其中m满足不等式组 「4加≤3的整数。 2 2m-3>-4 【答案】(1)2V3-1 ②品当m=1时，原式-号 46/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)先化简二次根式和绝对值、代入锐角三角函数值、计算零次幂，然后计算加减法即可： (2)先把括号内通分，然后将除法转化为乘法，分子分母能因式分解的因式分解，并约分化简；解不等式 组后根据分式有意义的条件确定m的取值代入计算即可. 【详解】(1)解：原式=33-23+1-(2-√3) =3V5-2V5+1-2+V5 =2W3-1; (2)解：（侣-3-叫）÷ -[2-* 2m2(m-2) (m-2)2 -9-6+m)3-m）.2m2 3-m m-2 9-(9-m2)m-2 -X 3-1m 2m2 9-9+m2m-2 3-1m 2m2 m2m-2 3-m 2m2 -2 6-2m ,-3+3≤3① 2 2m-3>-42' 解不等式①得，m≤3， 解不等式②得，m>-》 不等式组的解集为-<m≤3， :m为整数， m=0,1,2,3, 3-m≠0，m-2≠0，m≠0， m≠3,2,0， 取m=1, 当m=1时，原式号-分 3.（(2025·青海西宁·中考真题)先化简，再求值：÷（信-），其中m满足mm+4)=-4 【答案】：-4 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求 47/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出m2=-4m-4,再整体代入求值即可 【详解】解：原式÷ m(m+1) m(m-1)m(m+1) (m+1)2m-1 =m2 +7 m(m+4)=-4, ÷m2=-4m-4, 小原式--4 m+1 =-4m+10 m+1 =-4 4(2025·四川眉山·中考真题)先化简，再求值：(（之+÷号其中x,y满足(+2)2+-1=0 【答案1-山 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简， 最后代值计算即可得到答案 【详解】解：（名+司）÷高 y x-y L(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)x-y (x+y)(x-y)+x-y x-y 区+y)区-y)x 动 (x+2)2+y-1川=0，（区+2）2≥0，y-1≥0， .(x+2)2=y-1川=0， x+2=0,y-1=0, .x=-2,y=1, 原式点-1 5.(2025·贵州·中考真题)（1)计算：-3引-21×6+√4； 1.1 (2)先化简：品)再从-1,02中选取一个使原式有意义的数代入求值. 【答案】(1)2：(2)片当a=-1时，原式-1；当a=2时，原式号 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键 48/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算绝对值和乘法，最后计算加减法即可得到答案； (2)先把两个分式通分，再约分化简，接着根据分式有意义的条件确定ā的值，最后代值计算即可得到答 案 【详解】解：(1)-3引-21×6+√4 3-x6 =3-3+2 =2; (2)片 1 a 1 a(a-1)a(a-1) =_a-1 a(a-1) 分式要有意义， .a(a-1)+0, .a≠0且a+1, “当a=-1时，原式=片=1；当a=2时，原式= 6.(2025·山东东营·中考真题)(1)计算：2sin60°+(（3.14-π)°-27+（月 (2)先化简，再求值：÷(a+2+),其中a是使不等式号≤1成立的正整数 a-2 【答案】(1)3；(2)，- a3,一2 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解 不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算， (1)先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可： (2)先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即 可 【详解】解：()原式=2×受+1-3+2 =V3+1-3+2 =3; (2)÷a+2+白) 49/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (a-3)2.(a+2(a-2)-5 a-2 a-2 (a-3)2,a2-9 a-2÷a-2 (a-3)2a-2 a-2a2-9 (a-3)2 a-2 a-2(a+3)(a-3) 83 a+3} “a是使不等式，≤1成立的正整数， a≤3且a为正整数， a=1,2,3, 又~a-2+0,(a+3)(a-3)+0, a+2,3,-3, ÷a=1, 当a=1时，原式号一 50/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想七 真实情境下的代数方程综合应用 试题前瞻·能力先查· 限时：5min 【改编题】（2025·山东聊城·三模)为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设 施进行全面更新改造，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标.每施工一天，需付甲 工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是() A.方案①B.方案②C.方案③D.方案①和方案③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设完成这项工程的规定日期是x天，则甲、乙两个工程队 的工作效率分别为和。，根据甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成建立方程 可求出完成这项工程的天数，再分别计算出方案①和方案③的费用即可得到答案， 【详解】解：设完成这项工程的规定日期是x天，则甲、乙两个工程队的工作效率分别为和1 x+10 根据题意得：5+动)+品=1， 解得：x=10 检验：当x=10时，x(区+10)≠0， ∴x=10是原分式方程的解， .完成这项工程的规定日期是10天； .方案①的费用为10×1.2=12（万元）， 方案③的费用为：5×(1.2+0.5)+(10-5)×0.5=11（万元）， 11<12, ∴.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是方案③. 故选：C 51/177 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·分析有理·押题有据。 本猜想深度呼应《新课标》中“模型观念”与“应用意识的培养目标。中考对代数方程的考查已全面摒弃 机械解方程，转而要求学生在复杂的工程、经济或社会情境中，自主抽象出等量关系，构建分式方程或 元二次方程模型。其中，分式方程的“分母不为零验根，以及一元二次方程根的实际意义取舍”，是命题人 设置区分度的核心“防雷区”。 ●终极猜想·精练通关、一 一、解答题 1.（2025·重庆·中考真题)列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3 天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个 (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每 天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品 每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创 产品增加的数量 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为100个，乙文创产品数量是50个 (2)每天乙文创产品增加的数量是20个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键 (1)设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； (2)设该厂每天乙文创产品增加的数量是y个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用 10天”列分式方程解答即可. 【详解】(1)解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为区+50)个 38+50)=4x+100, 解得：x=50, 则甲文创产品数量为x+50=100个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是50个，则甲文创产品数量为100个 (2)解：设每天乙文创产品增加的数量是y个，则甲文创产品增加的数量是2y个 1400_1400=10, 50+y100+2y 解得：y=20, 52/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 经检验：y=20是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是20个 2.（2026·重庆·模拟预测)2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世 界超级摩托车锦标赛(WSBK)中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在WSBK顶级赛事中夺冠.张 雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响.某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售。 (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台， 共耗资25万元.求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1)的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型 摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元.则所购甲型摩托车的数量是所购乙 型摩托车的数量的，求a的值 【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元 ②a=月 【分析】(1)设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为x、y万元，根据题意列出二元一次方程组，并 求解即可； (2)根据题意列出分式方程，求解并检验即可. 【详解】(1)解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为x、y万元， 根据题意得：{ 3x+2y=21 2x+5y=25’ 解得： X=5 y=3 答：甲型摩托车每台的进价为5万元，乙型摩托车每台的进价为3万元 (2)解：根据题意得：“-×0 40 解得：a= 检验：当a=时，(5-10a)(3-8a)卡0， ∴a=是原分式方程的解且符合题意. 答：a的值为好 3.（2026九年级上·重庆·专题练习)某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出A,B两块地种植桃树， A地共收获5000kg桃子；B地比A地多种50棵、共收获6000kg桃子，此时，B地每棵桃树的产量比A地 低20%. (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在A地每多种4棵桃树， 53/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A地每棵桃树的平均产量就会减少1kg.如果要使A地的总产量比去年增加8%，且尽量节约成本，那么A 地应多种多少棵桃树？ 【答案】(1)250；(2)20 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式 (1)设果农去年A地种了x棵桃树，则B地种了x+50)棵桃树，A地每棵桃树产量为kg,则B地每 棵桃树产量为0(1-20%)=40kg,根据B地共收获600kg桃子，列方程求解即可； (2)设A地多种y棵桃树，则今年桃树数为(100+y)棵，根据A地的产量列方程求解即可 【详解】(1)解：设果农去年A地种了x棵桃树，则B地种了K+50)棵桃树，A地每棵桃树产量为k k9, 则B地每棵桃树产量为g1-20P0=9kg。 根据题意得：0×（仪+50）=6000， 即4000+2000=6000，解得x=100, x+50=100+50=150(棵)： 100+150=250(棵)； 答：果农去年共种了250棵桃树； (2)解：去年A地有10棵桃树，总产量500kg,每棵产量0=50kg, 今年A地总产量增加8%，即5000×(1+8%)=5400kg, 设A地多种y棵桃树，则今年桃树数为(100+y)棵， 根据题意得：(100+y)(50-)=5400, 整理得y2-100y+1600=0, y-20)(y-80)=0, y=20或y=80, 尽量节约成本， y=20. 答：A地应多种20棵桃树 4.(2025·山东东营·中考真题)《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.某经销店购进A款哪吒 玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少 50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍. (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100 54/177 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方 案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1）找准等量关系， 正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 (1)设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结合用2400 元购进A款哪吒玩偶的数量比用1600元购进B款哪吒玩偶少50个，可列出关于x的分式方程，解之经检 验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代人2x中，即可求出A款哪吒玩偶的单价： (2)设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进(100-)个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的 数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组， 解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案 【详解】(1)解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元， 根据题意得：1600-240=50， 2x 解得：x=8, 经检验，X=8是所列方程的解，且符合题意， .2x=2×8=16(元). 答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元； (2)解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进(100-)个B款哪吒玩偶， 100-1m≤2n 根据题意得：16m+8(100-m)≤1100' 解得：”≤m≤3 又m为正整数， m可以为34,35,36,37， ∴共有4种进货方案 答：该超市共有4种进货方案 55/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想八 尺规作图的实践操作与图形性质综合 试题前瞻·能力先查·一 限耐：5min 【改编题】(2026·四川广安·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，以 任意长为半径画弧，交AB于点M,交AC于点N,再分别以M、N为圆心，以大于，N的长为半径画弧， 两弧交于点P,连接AP并延长AP交BC于点D.则下列说法：①AD平分∠BAC;②∠ADC=30°；③点 D在AB的垂直平分线上；④若AN:NC=V2-1,则AM:MB=3-2W2;⑤△ABC是轴对称图形.其中 正确的说法有（填序号). 【答案】①③④ 【分析】根据尺规作图的痕迹可判断AD是∠BAC的平分线；根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度 数，结合角平分线定义求出∠CAD和∠BAD的度数，进而求出∠ADC的度数；根据等角对等边得出DA= DB,利用线段垂直平分线的判定定理判断点D的位置；设NC为k,利用已知比例表示出AC和AB的长， 进而表示出AM和MB的长，计算比值即可；根据轴对称图形的定义判断△ABC是否为轴对称图形 【详解】解：由尺规作图的痕迹可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确 ×∠C=90°，∠B=30°， ∠BAC=90°-30°=60 AD平分∠BAC, ∠CAD=∠BAD=∠BAC=30, ÷∠ADC=90°-∠CAD=60°，故②错误. ∠BAD=30°，∠B=30°， ·∠BAD=∠B 56/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷DA=DB ÷点D在AB的垂直平分线上，故③正确 若AN:NC=√2-1，设NC=k,则AN=(W2-1)k ÷AC=AN+NC=(W2-1)k+k=√2k. 由作图可知AM=AN=(√2-1)k. 在Rt△ABC中，∠B=30°， ·AB=2AC=2W2k ÷MB=AB-AM=2√2k-(W2-1)k=(√2+1)k 4AM:MB=5-逃===(W2-1)2=3-22,故④正确 (5+1k√241 :∠C=90°，∠B=30°，∠BAC=60°， ÷△ABC的三边互不相等，不是轴对称图形，故⑤错误。 综上所述，正确的说法有①③④ ·分析有理押题有据。一 本猜想直击《新课标》中“尺规作图模块的进阶要求，即从“单纯作图”全面升级为“依痕说理”。全国高 频命题手法是保留角平分线、中垂线等典型作图圆弧，要求考生自主识别隐含的等量关系，进而推演构建 出平行四边形或菱形的核心模型。此类试题将实践操作、几何直观与图形性质相关的综合应用，直接检验 学生从作图表象透视几何本质的能力，是拉开中档题梯度的绝佳载体。 ◆终极猜想·精练通关一 一、单选题 1.(2025·山东济南·中考真题)如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM,CN,使CM=CN,分别以点M和N为圆心，以大于MN的长为半径作 弧，两弧在∠ACB内交于点O,作射线CO交AB于点D, ②分别以点C和D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q,作直线PQ交AC于点E, 交BC于点F 根据以上作图，若AD=4,DB=2,BC=3V2,则线段AE的长为() 57/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A.B. :C.5D.4V 【答案】D 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证 明△ADE一△ABC是解答本题的关键.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的 基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 根据作法得AD平分∠ACB,EF垂直平分CD,所以∠ECD=∠FCD,CE=DE,从而证明DE I BC,可得 △ADE一△ABC,然后利用相似三角形性质可得铝-器-=总。解比例方程即可求解 【详解】解：连接DE, 由作法得CD平分∠ACB,EF垂直平分CD, ∴.∠ECD=∠FCD,CE=DE, ,∴.∠ECD=∠EDC, ∴.∠FCD=∠EDC, .DE I BC, ,△ADE一△ABC 岩恶总 AD=4,DB=2,BC=3√2， 器 ∴.DE=22 58/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .'.CE=DE=22, 品 ∴.AE=4W2 故选：D 2.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题)如图，△ABC中，AB=AC=10,点F为AB的中点，以点A为 圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于MN的长的一半为 半径画弧，两弧交于点D,画射线AD交BC于点E,连接EF,则EF的长是() D A.5B.5V2C.8D.53 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，由作图可得AD平分∠BAC,由AB= AC得AE⊥BC,再由点F为AB的中点得EF=AB,进而即可得解 【详解】解：由作图知，AD平分∠BAC, ,AB=AC=10, ∴.AE⊥BC, 点F为AB的中点， ..EF=AB=5, 故选：A 3.(2025·天津·中考真题)如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当 长为半径画弧，与边AB相交于点E,与边AC相交于点F;②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC 相交于点G;③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H;④作射线BH,与CD 相交于点M,与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是() 59/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.∠ABN=∠AB.BN⊥ACC.CM=ADD.BM=BD 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质.由作法可得：∠CBN=∠A,再 结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可. 【详解】解：由作法得：∠CBN=∠A, 根据题意无法得到∠ABN与∠CBN的大小关系， 所以无法确定∠ABN与∠A的大小关系，故A选项错误； CD是△ABC的角平分线， .∴.∠BCD=∠ACD .∠BMD=∠BCD+∠CBN,∠BDM=∠A+∠ACD, ∴.∠BMD=∠BDM, BD=BM,故D选项正确； 题干中没有说明∠ACB,∠A的大小关系， .无法判断∠ACB,∠CBN的大小关系，则无法得到∠BNC的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到AD,CM的大小关系，故C选项错误； 故选：D 二、解答题 4.(2025·江苏无锡·中考真题)如图，AC为正方形ABCD的对角线. D (I)尺规作图：作AD的垂直平分线1交AD于点E,在1上确定点F,使得点F到∠BAC的两边距离相等； 60/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (不写作法，保留痕迹) (2)在（1)的条件下，求∠EFA的度数.（请直接写出∠EFA的度数) 【答案】(1)画图见解析 (2)22.5° 【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识 是解题的关键 (1)由题意先作AD的垂直平分线1，再根据点F到∠BAC的两边距离相等可知点F在∠BAC的角平分线 上，据此作图即可 (2)根据正方形的性质和角平分线的定义求得∠BAF,然后由∠BAF+∠EAF=90°和∠EFA+∠EAF=90°， 得到∠EFA=∠BAF,即可求解 【详解】(1)解：如图，直线1，点F即为所求 (2)解：：四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴.∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=∠BAF+∠EAF=90°， ,AF平分∠BAC, ∠BAF=}∠BAC=×45°=22.5°， :直线1⊥AD,即∠AEF=90°， ∴，∠EFA+∠EAF=90°， ∴.∠EFA=∠BAF=22.5° 5.（2026·江苏扬州·一模)如图，∠PAQ的边AQ上有一点B 61/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 力 A B Q (1)用无刻度直尺和圆规在射线AP上求作点C,使得∠ACB=90°；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1)的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段AC的延长线上求作点O,使以点O为圆心，OC长为半 径的圆与AQ相切，切点为D;(保留作图痕迹，不写作法) (3)在(1)、(2)的条件下，若AB=5,sinA=,求⊙0的半径长. 【答案】(1)见解析；（②）见解析 (3)6 【分析】(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AP相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧， 两弧相交于一点，过点B与该点作射线，与AP的交点即为点C; (2)作∠CBQ的角平分线交AP于点O,再以O为圆心，OC为半径作圆，与AQ相切于点D,⊙O即为 所求； (3)在Rt△ABC中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得BC,AC长，从而可得BD,AD长，设OC= OD=x,在Rt△AOD中，利用勾股定理列式解方程即可得解 【详解】(1)解：如图，过点B作AP的垂线，垂足点C即为所求； O (2)解：如图，作∠CBQ的角平分线交AP于点O,再以O为圆心，OC为半径作圆，与AQ相切于点D, ⊙O即为所求； 点O在∠CBQ的角平分线上，OC=OD,OC⊥BC, ÷OD⊥BQ, OD为半径， ÷BQ是⊙O的切线，切点为D; 62/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：“Rt△ABC中，AB=5,simA=Be= AB5' BC=5×=3,AC=AB2-B=V52-3交=4， .BD=BC=3. AD=AB+BD=8, 设OC=OD=x,则OA=AC+OC=4+x, 在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2, ÷x2+82=(4+x)2,解得x=6, 即⊙0的半径长为6. 6.(2026·河南周口·一模)如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点. (1)点O为AC上一点，A,D两点均在⊙O上，请用无刻度的直尺和圆规作出⊙O(保留作图痕迹，不写作 法)； (2)连接OD,若CD与⊙O相切于点D,AC=4,求⊙O的半径. 【答案】(1)见详解； (29 【分析】(1)用尺规作线段AD的垂直平分线，交AC于点O,以点O为圆心，以OA为半径作圆即可； (2)根据圆的基础知识设OA=OD=x,则OC=AC-OA=4-x,由切线的性质得到∠ODC=90°，根 据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余得到∠OAD=30°=∠OCD,根据含30度角的直角三角形的 性质即可求解 【详解】(1)解：如图所示，⊙O即为所求图形； B (2)解：设OA=OD=x,则OC=AC-OA=4-x, .∠OAD=∠ODA, 63/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠COD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD, CD与⊙O相切于点D ∴.OD⊥CD,即∠ODC=90°， D是AB的中点， CD-AD-AB. ∴.∠OAD=∠OCD, 在Rt△COD中，∠COD+∠OCD=2∠OAD+∠OAD=90°， .∠OAD=30°=∠OCD, .∠C0D=60°， .0C=20D,即4-x=2x, 解得，X= 。0的半径为 7.(2026·福建泉州·一模)如图，△ABC内接于⊙O,点P为直径AB的延长线上一点， (I)在直径AB下方，求作⊙O的切线PD,切点为D;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1)的条件下，若点D为BC中点，AC=2,PB=6,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析；(2)⊙0的半径为3 【分析】(1)作OP的垂直平分线交OP于点M,再以M为圆心，OM为半径作圆，在直径AB下方交⊙O 于点D,最后连接PD,PD即为所求； (2)设BC与OD交于点E,⊙O的半径为r,由题意可知，OD垂直平分BC,证明△OBE∽△ABC,根 据相似三角形的性质得到OE=1,再证明△OBE∽△OPD,根据相似三角形的性质列方程即可求解 【详解】(1)解：如图，PD即为所求； 64/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：设BC与OD交于点E,⊙O的半径为1， :点D为BC中点， ÷OD垂直平分BC,即∠OEB=90°， ∠OEB=∠ACB=90°，∠OBE=∠ABC, ·△OBE∽△ABC, “器器即时咒 ÷OE=1, '∠OEB=∠ODP=90°，∠BOE=∠POD ·△OBEM△OPD, 解得r=3, ·⊙0的半径为3 8.（2026·山东滨州·一模)如图，直线AB,CD被BC所截，AB∥CD. A (1)请在图中作出⊙O,使其与AB,BC,CD都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.） (2)在(1)题所作的图中，若⊙O分别与AB,BC,CD相切于点E,F,G,⊙O的直径为6cm,设BE=x, CG=y,求y与x的函数关系式。 【答案】（①）见解析 2w-月 【分析】(1)利用角平分线的性质，作∠ABC与∠BCD的角平分线，其交点即为圆心O,再以O到CD 的距离为半径作圆，即可得到与AB、BC、CD都相切的oO. (2)）先根据切线长定理得到线段相等关系，再通过作辅助线构造矩形和直角三角形，最后利用勾股定理建 立等式，化简得出y与x的函数关系式. 【详解】(1)解：分别作∠ABC和∠BCD的角平分线，两条角平分线交于点O. 过点O作OG⊥CD于G,以O为圆心，OG为半径作圆，⊙O即为所求 65/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A D (2)解：如图，连接OE,OG,过点B作BM⊥DC. A D :⊙O分别与AB,BC,CD相切于点E,F,G,AB∥CD, .OE⊥AB,OG⊥DC .BE=BF=X,CF=CG=y,点E,O,G共线. OE⊥AB,OG⊥DC,BM⊥DC, ∴.∠BE0=∠EGC=∠BMG=90°， .四边形EBMG为矩形 ∴.BM=EG=6,BE=GM=X, ..CM=y-x, 在Rt△BCM中，BM2+CM2=BC2, .62+y-x)2=区+y)2, 化简得，y=9 y与x的函数关系式为y= 66/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想九与解直角三角形相关的综合应用 试题前瞻·能力先查·一 限时：5mim 【原创题】1.(2025·湖北武汉中考真题)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体过 程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则 A,B之间的距离是 m. （tan22°取0.4) 22 459 水面 B 【答案】180 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键 过点P左PE⊥BA于点E,由题意得，∠FPA=∠PAE=45°，∠FPB=∠1=22°，PE=120m,先解Rt△AEP, 再解Rt△PEB,最后由线段和差计算即可. 【详解】解：过点P作PE⊥BA于点E, 1229459 120m ©B 由题意得，∠FPA=∠PAE=45°，∠FPB=∠1=22°，PE=120m, 在t△PEA中，AE=品=120， 在Rt△PEB中，tan22°- BE BE=10=300, 0.4 ,∴.AB=BE-AE=300-120=180m, 故答案为：180. ·分析有理押题有据· 67/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 本猜想深度契合《新课标》“真实情境”命题导向，例如以无人机测量与工程测绘真实场景为高频载体。 基础层面直击仰俯角、坡度模型的构建；拔高层面则打破单一模块壁垒，巧妙交汇解直角三角形、相似形 判定、圆周角定理及平行四边形性质等综合应用。这种“度量计算+几何推演的综合考法，能全面检验学生 的几何直观与模型观念，是拉开试卷区分度的核心压轴区 ·终极猜想·精练通关。一 1.(2026·河南周口·一模)定义：有两个直角三角形，其中一个三角形的直角顶点为另一个直角三角形 斜边的中点，我们称这样的两个三角形为“对角直角三角形”.如图，AB=33,∠ACB=30°，△ABC 和△DOE为对角直角三角形（∠A=∠DOE=90°），O为BC的中点，AB与OD交于点M,OE与AC 交于点N.若M为边AB的三等分点，则CN的长为一 M B 【答案】4或5 【分析】在R△ABC中，解直角三角形得AC=部=9，过点O作OP上AB于点P,作0Q上AC于点 Q,根据∠A=90°、0为BC的中点得OP,OQ是△ABC的中位线，从而得OP=CQ=号OQ=BP=5 根据M为边AB的三等分点，分两种情况讨论，分别为AM=2BM和BM=2AM,分别证明△OPM一△OQN, 求出NQ,根据CN=CQ+NQ计算即可 【详解】解：在R△ABC中，AC==3AB=9, 过点O作OP⊥AB于点P,作OQ⊥AC于点Q, ∠A=90°，0为BC的中点， ∴.OP,OQ是△ABC的中位线，∠POQ=90°， .OP-CQ-AC-.0Q-BP-AB- 分两种情况：①如图1，当AM=2BM时，AM=2V3,BM=√3， E D M M B 图1 图2 .MP=BP-BM-, :∠D0E=∠P0Q=90°， 68/177 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠POM=∠QON, ∠OPM=∠OQN=90°， ∴.△OPM一△OQN, 器器 ..NQ =MP-0Q=1 OP 2 ∴.CN=CQ+NQ=5; ②如图2，当BM=2AM时，AM=√3，BM=2W5, ∴MP=BM-BP=5 同理易证得△OPM一△OQN, 贺器 N0-e2- ∴.CN=CQ-NQ=4, 综上所述，CN的长为4或5 二、解答题 2.（2025·江苏南京·中考真题)如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A,B之间的距离为40k, 灯塔P在AB的中点处.轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行.当甲航 行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC.(参 考数据：3≈1.73) 309 B D 【答案】7.3km 【分析延长AC,DB交点为E,过点P作PF⊥AE于点F,过B作BH⊥BD交CD于点H.设AC=BD=冰m, 根据题意可得20√3-x=20+x,解方程得出答案. 【详解】解：如图，延长AC,DB交点为E,过点P作PF⊥AE于点F,过B作BH⊥BD交CD于点H 69/177 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30° 》东 H B D 由题意得，∠E=90°，∠PFA=90°，∠HBD=90°， :A,B之间的距离为40k,P在AB的中点处， ÷AP=PB=20km, Rt△AP℉中，∠A=30°， P℉=；AP=10km,AF=V202-102=10V3km, PF DE,P为AB中点， 器端 ·F为AE的中点， 即AE=2AF=20V3km,BE=√AB2-AE2=20km, 设AC=BD=xkm, AC BH. ∠A=∠PBH, 在△APC和△BHP中， ∠A=∠PBH AP=BP ∠APC=∠BPH ·△APC三△BPH(ASA), ·AC=BH, BD=BH, ÷∠HDB=∠BHD=45°， ∴.∠ECD=90°-45°=45°， ·∠ECD=∠HDB, ·CE=ED, 70/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷203-x=20+x, 解得x=10W3-10≈7.3， 答：甲航行的距离AC约为7.3kn. 3.（2026·浙江杭州·一模)如图，在ABCD中，以AD为直径作oO,交BC于点E,F,交CD于点G.过 点E作EH⊥AD于点H,交oO于点P,连接PG,交AD于点Q. 图1 图2 (1)如图1，若AE=EF,FG=GD. ①求∠P的度数， ②求证：PQ=√3QG. (2)如图2，AD=2AB,点E为BC中点，若tan∠EPG=3,CG=3,求PG的长 【答案】(1)①45°；②见解析 a2 【分析I1①根据圆周角定理得到∠AOE=∠EOF、∠FOG=∠DOG,进而得到∠EOG=∠AOE+∠DOG, 从而求出∠E0G=90°，利用圆周角定理得到∠P=;LEOG,据此求解即可： ②连接OE、PF、EQ、EG、AF,根据平行四边形和垂径定理易得到AE=EF=FD,进而得到∠EOF=60°， 证得△EOF是等边三角形，根据圆周角定理得到∠QGE=60°，根据垂径定理得到PH=HE,易证明PQ=EQ, 在Rt△EQG中，器=tam60°，从而得出结论， (2)连接AE、OE、OC,易证四边形AEC0是平行四边形、四边形OECD是菱形，进而得到QG‖OC、OQ= CF=CG,根据tamn∠EPG-号，设HQ=2a、PH=HE=3a,证明△AH亚三△QHP(ASA),进而得到AH=2a、 OE=4a-3及0H=2A-3,利用勾股定理求出a的值，根据QG10C证得△QDG一△ODC,进而得到器 怨，利用PG=PQ+QG求解即可。 【详解】(1)①解：连接OE、OF、OG, 71/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H 图1 AE=EF,FG=GD, ·∠AOE=∠EOF、∠FOG=∠DOG, ÷∠EOF+∠FOG=∠AOE+∠DOG, 即∠EOG=∠AOE+∠DOG, ~∠E0G+（∠AOE+∠D0G=180°， ÷2∠E0G=180°， ÷∠E0G=90°， ÷∠P=LE0G=3×90°=45°； ②证明：连接OE、PF、EQ、EG、AF, B E 图1 EH⊥BC, ÷∠PEF=90°， ·PF为OO的直径， ~四边形ABCD是平行四边形， ÷AD II BC, ·∠DAF=∠AFE, ÷DF=AE, AE=EF, ·AE=EF=FD, ·∠AOE=∠EOF=∠FOD, 72/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~∠AOE+∠EOF+∠FOD=180°， ÷∠E0F=60°， OE=OF, “△EOF是等边三角形， ÷∠EF0=60°， ∠PGE=∠PFE, ·∠PGE=60°， EH⊥AD, ÷PH=E, 在△PQE中，QH⊥PE, △PQE是等腰三角形， ÷PQ=EQ, 由①知，∠P=45°， ÷∠P=∠HEQ=45°， ÷∠HQE=90°-∠HEQ=90°-45°=45°， ·∠PQH=90°-∠P=45°， ÷∠GQH=180°-∠PQH=180°-45°=135°， ÷∠EQG=∠GQH-∠HQE=135°-45°=90°， 在Rt△EQG中，∠QGE=60°， :e=tan60°=5， GO EQ=√5QG, ÷PQ=√3QG; (2)解：连接AE、OE、OC、ED, D A B 图2 :四边形ABCD是平行四边形， 73/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷AD=BC、AB=DC, ~O为AD的中点、E为BC的中点， A0=AD、EC=BC, ÷AO=EC, AD I BC, :四边形AECO是平行四边形， .AE=OC, AD=2AB. ·OE=OD=CD=EC, 四边形OECD是菱形， ·OC⊥ED、∠QDE=∠GDE, EPG=∠EDG. ÷∠HPQ=∠QDE, ~∠HPQ+∠HQP=90°、∠HQP=∠DQG, ·∠QDE+∠DQG=90°， ÷∠QMD=180°-（∠QDE+∠DQG)=90°， ÷QG⊥ED, ÷QG IlOC, EC=CD, ·∠DEC=∠EDC DF=EG EG=EF+FG、DF=DG+FG, ÷EF=DG, .EF=DG, CF=CG=3, 在△QDM和△GDM中， ∠QMD=∠GMD DM=DM ∠QDM=∠GDM 74/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷△QDM≡△GDM(ASA), .QD=GD. ·OD-QD=CD-DG ÷0Q=CG=3, tanZEPG- 设HQ=2a、PH=HE=3a, AE PG, ·∠AEP=∠QPE, 在△AHE和△QHP中， ∠AHE=∠QHP EH=PH ∠AEH=∠QPH ÷△AHE=△QHP(ASA), AH=HQ=2a、PQ=AE, ÷OC=PQ=AE, ÷.0A=0E=4a-3、0H=2a-3, 在Rt△OHE中，E+OH=OE2, ÷(3a)2+(2a-3)2=(4a-3)2, 解得a=4, :AH=8、HE=12、OE=13, 在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE=VAH+HE2=V⑧2+122=4√13 .0C=PQ=4W13, QG川OC, ÷∠DQG=∠DOC ∠QDG=∠ODC △QDG一△ODC, ÷0-g OD oC, 即3-3=QG 134厉 解得QG=40正 13 PG=PQ+QG=4VB+40E=2厘 13 13 75/177 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026·福建泉州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，且AB‖CD,过点A、C、D作 ⊙O交BC于点E,连接AE,AC,ED,设AC,D交于点F,且满足∠BEA=∠AED. B (I)求证：∠ACD=∠ADC; (2)若EC=2,EF=1,求圆的半径r; ()若怨-血>同，求器的值（用含n的代数式表示). 【答案】(1)见解析；(2)2 6 【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到∠AEC+∠ADC=180°，进而得到∠BEA=∠ADC,根据圆 周角定理得到∠AED=∠ACD,从而得出结论； (2)过点A作AH⊥CD,交⊙O于点G,由(1)知∠ACD=∠ADC,进而得到△ACD是等腰三角形， 从而得到AG为⊙O的直径，根据∠BCD=∠AHD=90°，得到AH‖BC,进而得到△ECF一△OAF,根 据相似三角形的性质得到哈器，据此求解即可： (3)过点A作AH⊥CD,交oO于点G,连接DG,设AB=a、BE=b,则AC=AD=n,易证明四边 形ABCH是矩形，进而得到∠BAG=9O、AB=CH=a,易证明△AB配-△ADG,进而得到号-器，求 出DG=bn,再证得△AEO=△GDO(SAS),进而得到AE=DG=bn,求出AG=bn2,根据圆周角定理得 到∠BAE=∠CDG,在Rt△ABE中，血LBAE照在R△DEHG中，m∠CDG-需进而求出GH=b, 由(2)知，△ECT一△OAF,则哈爱器，据此求出AF长，再证明△BCF一△ADR,进而得到号=是，从 而求出器的值 【详解】(1)证明：：∠AEC+∠ADC=180°、∠AEC+∠BEA=180°， ÷∠BEA=∠ADC, ∠BEA=∠AED ·∠AED=∠ADC, '∠AED=∠ACD, 76/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷∠ACD=∠ADC; (2)解：如图，过点A作AH⊥CD,交⊙O于点G, O H G 由(1)知∠ACD=∠ADC, “△ACD是等腰三角形， AH⊥CD, CH=DH, AG为⊙O的直径， ∠B=90°、AB II CD, ·∠BCD=∠B=90°， ·D为⊙O的直径， .OA=OE=r, ∠BCD=∠AHD=90°， AH II BC, ·∠ECF=∠OAF, :∠FC=∠OFA, ÷△ECF一△OAF, 思器 ÷F0=OE-EF=r-1, 12 “1 解得：r=2; (3)解：如图，过点A作AH⊥CD,交⊙O于点G,连接DG, 77/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B :O G 设AB=a、BE=b, :e=n(n>②， AB AD an, 由(1)知：∠ACD=∠ADC, AC=AD=an, ∠B=∠BCH=∠AHC=90°， 四边形ABCH是矩形， ·∠BAG=90°， ÷AB=CH=a, 由(2)知：CH=DH, DH=a, ED、AG是直径， ·∠EAD=∠ADG=90°， ·∠EAG+∠DAG=90°， ∠BAE+∠EAG=90°， ·∠BAE=∠DAG :∠B=∠ADG=90°， △ABE一△ADG, 怨=熙 AD DG “台品 ÷DG=bn, 在△AE0和△GD0中， AO=GO ∠AOE=∠GOD, OE=OD 78/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷△AEO=△GDO(SAS), ÷AE=DG=bn, AB=A卫 AD AG ÷AG=bn2, A0=AG=学 AC=AD、AH⊥CD, ·∠CAG=∠DAG, ∠BAE=∠DAG, ·∠BAE=∠CAG, 'CAG=∠CDG, ·∠BAE=∠CDG, ·sin∠BAE=sin∠CDG, 在Rt△ABE中，Sin∠BAE- AE 在Rt△DHG中，sinLCDG=Gg DG .BE=GH AE DG' bnbn GH=b, .BC=AH=AG-HG =bn2-b,EC=BC-BE=bn2 -b-b=bn2 -2b, 由(2)知，△ECF一△OAF, .EC=FC OA AF 6bm2二-2地=C AF 2 -24 AF n2, FC=AC-AF=an-AF, ÷@-4=22-4 AF n2, 解得AF=m n2-4 '∠CED=∠CAD、∠EFC=∠AFD, △ECF→△ADF, 79/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 器岩 ="= EF n2 5.(2026·江西九江·一模)如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄AE与地面EF垂直，AE=2.68米，伞骨 AB=AC=2米，∠BAC=140°，BC‖EF B------- F (1)求点C到地面的距离 (2)有一高度为80cm的小桌子(GF=80cm),已知此时太阳光线与水平方向的夹角为60°.太阳光刚好照 到桌面边缘点D处，求点D到AE的距离（精确到0.1米） (参考数据：sim20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73) 【答案】(1)2米 (2)1.2米 【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠CAH=LBAC=70°，在Rt△ACK中求出AK=0.68米，从而 可求出KE=2米，即点C到地面的距离； (2)求出KC=1.88米，过点D作DQ⊥KC于点Q,DH⊥AE于点H,则四边形DQKH、GHEF是矩形， 得HE=GF=0.8米，KH=DQ,DH=KQ,求出DQ=1.2米，CQ=0.7米，求得KQ=1.2米，从而可得 解， 【详解】(1)解：过点C作CP⊥EF于点P,如图， B E ,AE⊥EF,BC EF, ∴AE⊥BC于点K, 80/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “.四边形EPCK是矩形， ..CP=KE; :AB=AC=2米，AE⊥BC于点K,∠BAC=140°， LCAK=3LBAC=70°， ,∠KCA=20°， 在Rt△ACK中，AK=AC.sin20°≈2×0.34=0.68（米）， AE=2.68米， ∴.KE=AE-AK=2.68-0.68=2(米) ∴.CP=2米 (2)解：在Rt△ACK中，CK=AC·cos20°≈2×0.94=1.88（米）， 过点D作DQ⊥KC于点Q,DH⊥AE于点H,则四边形DQKH、GHEF是矩形， .HE=GF=80cm=0.8米，KH=DQ,DH=KQ, KE=2米， KH=KE-HE=2-0.8=1.2米， ∴.DQ=1.2米， 在Rt△DQC中，∠DCQ=60°， cQ=0=号≈07（米）， .KQ=KC-QC=1.88-0.7=1.18≈1.2米， ∴.DH=1.2米 6.（2026·江苏无锡·一模)在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物AB的高 度.如图，在建筑物AB旁有一小山坡CD,测得山坡CD的坡度i(即tana)为1：√3，CD=32m,在D 处测得A处的仰角为75°，在C处测得A处的仰角为30°. 30°1C 75%1 B 6 (I)求∠DAC的度数； (2)求建筑物AB的高度.（计算过程和结果中的数据不取近似数） 81/177 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)45° (2)(24+8V3)m 【分析I1过点C作CF⊥AB于点F,由三角形内角和定理得∠BAC=60°，在Rt△ABD中，∠ADB=75°， 可得∠BAD=15°，从而可求出∠DAC; (2过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,求出CE=16m,再求出CG=16m,DG=16√3m, 可得AC=(16+16V3)m,进而得出AF=AC=(8+83)m),即可求出AB. 【详解】(1)解：过点C作CF⊥AB于点F,如图， 30°1C 75a B 则∠AFC=90°， ∠ACF=30°， .∠CAF=180°-90°-30°=60°， 在Rt△ABD中，∠ADB=75°，∠ABD=90°， .∠BAD=180°-90°-75°=15° .∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-15°=45°； (2)解：过点C作CE⊥BD于点E,过点D作DG⊥AC于点G,如图， i=1:√3， .0=30°， 设CE=x,则DE=√3x, 在Rt△DCE中，CD=32m,DE2+CE2=CD2, .(5x)+x2=322 解得x=16(负值舍去)， .CE=16m, :CF⊥AB,FB⊥BE,CE⊥BE, .四边形CBE是矩形， 82/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.FB=CE=16m, ,CF⊥AB,FB⊥BE, ∴.CF BE, .∠DCF=∠CDE=30°， ∴.∠DCA=∠DCF+∠FDA=30°+30°=60°； 又∠ADB=75°， ∴.∠ADC=180°-∠ADB-CDE=180°-75°-30°=75°， ,DG⊥AC,即∠DGC=90°，且∠ACD=60°， ,.∠CDG=180°-90°-60°=30°， .∠ADG=45°； 在Rt△CDG中，CD=32n,∠CDG=30°， .CG=1CD=16(m) ∴.DG=√CD2-DG2=√322-162=163(m), 又∠DAC=∠ADG=45°， ÷AG=DG=16V3m), .AC=AG+CG=(163+16)(m), ∴.AF=AC=(8+8B)m), .AB=AF+FB=8+8√3+16=(24+8√3m 7.（2026·江苏连云港·一模)水晶公园是市民休闲时的一个好去处.如图，小明和他的综合实践活动小 组利用课余时间，想测量水晶公园的东西最大宽度AB,他们选定了两个观测点C,D,观测点D在点A的 北偏东45°方向上，观测点C在点B的北偏西22.6°方向上，点B在点A的正东方，又测量得BC=260, CD=120m,∠ADC=90°.求水晶公园的东西最大宽度AB.(结果精确到1m参考数据：sin22.6°≈；， c0s226°≈号tam226°≈言，V万≈1414) 22.6° 西A B东 【答案】最大宽度AB=510m 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作CG⊥DE交DE 83/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点G,构造直角三角形和矩形，根据勾股定理和三角函数可得出DG、GC、CF、FB的长度，最终即可求 出最大宽度AB的长度 【详解】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点C作CG⊥DE交 DE于点G,如下图所示： D G-- 45% 22.69 西A 东 根据题意，可知∠DAE=45°，四边形GEFC为矩形， .∠ADE=45°， :∠ADC=90°， ∴AE=DE, .∠GDC=45°， :∠DGC=90°， .∠DCG=45°， ..DG=GC, .∵CD=120m, ..DG2 +GC2 CD2, 解得DG=GC=60V2m, .∠FCB=22.6°，BC=260n, .∴.CF=BC×cos22.6°=240m,BF=BC×sim22.6°=100m, ..AE=DE=DG+GE=DG+CF=(60v2+240)m, EB=EF+BF=GC+BF=(60v+100)m, ∴.AB=AE+EB=60W2+240+60W2+100≈510m. 84/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想十 多维统计图表分祈决策与概率综合应用 试题前瞻·能力先查·一 限时：12min 【愿创题】在某现代化农业科技示范园拟采购一批大载重植保无人机用于低空农业作业。为验证实际作业 效能，园区对人围的甲、乙两款无人机进行了连续10次的独立满负荷飞行测试。以下为两款无人机单次 有效喷洒面积的原始测试数据（单位：亩）：甲款无人机：18,19,20,20,20,21,21,22,23,26；乙款无人机： 19,19,20,21,21,21,21,22,23,23 整理数据得到如下统计分析表： 无人机型号 平均数 中位数 众数 方差 甲款 21 20 4.6 乙款 21 21 b 1.8 (1)直接写出表中a,b的值； (2)园区技术部设定，单次有效喷洒面积不低于21亩的测试评定为优质作业。请分别计算两款无人机 在此次测试中达到优质作业标准的频率； （3)示范园制定了设备引进的综合评估方案，无人机的综合得分由平均作业效能与作业稳定性两项指标 按3：7的权重比例构成。平均作业效能的单项得分为其测得的平均数数值；作业稳定性单项得分的计分 规则为：方差小于2得28分，方差在2~5之间得24分，方差大于5得20分。请计算两款无人机的综 合得分，并结合数据给出推荐采购的型号。 【答案】(1)a=20.5,b=21；(2)甲款达到优质作业标准的频率为0.5，乙款为0.7；(3)甲款综 合得分23.1分，乙款综合得分25.9分，推荐采购乙款。 【解析】(1甲款的10个数据已按从小到大排列，第5和第6个数据分别是20和21。中位数a=2024=20,5。 2 乙款的数据中，21出现了4次，频数最高。众数b=21。 (2)依题意，优质作业即单次喷洒面积≥21。甲款满足条件的数据有：21,21,22,23,26，共5次。频率 为品=0.5。乙款满足条件的数据有：21,21,21,21,22,23,23，共7次。频率为0=0.7。 (3)计算两款无人机的综合得分： 甲款的平均数为21，方差为4.6（介于2与5之间，作业稳定性得分为24分）。 甲款综合得分=21×+24×-21×03+24×0.7=63+168=231（分）。 85/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 乙款的平均数为21，方差为1.8（小于2，作业稳定性得分为28分）。 乙款综合得分=21×品+28×，=21×03+28×07=63+19.6=259（分）。 比较两款机型，两者的平均作业效能相同，但乙款的方差较小，飞行作业更稳定，且最终综合得分25.9> 23.1。 推荐采购乙款无人机。 ●分析有理·押题有据。一 本题对标新课标"数据分析与决策"考点，切合2026年中考"复杂情境+多维规则赋分"命题方向。题目突 破传统均值、方差计算模式，将统计量（均值、方差）转化为农业植保情境下的"单项权重"与"阶梯积分"。 考生须具备扎实的数据处理能力，并理解统计量在实际工程验收、设备采购等决策场景中的应用价值，有 效区分学生的数学建模与信息提取素养， 一、填空题 1.(2025·北京一模)某校“π节科技创意比赛分为初赛和决赛两个阶段。 (1)初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、 描述和分析，下面给出了部分信息， a.教师评委打分： 85,86,88,90,90,91,92,94 b.学生评委打分的频数分布直方图如下 (数据分4组：第1组80≤x<85,第2组85≤x<90,第3组90≤x<95,第4组95≤x<100) 频数个 28 6------ 4 0 80859095100打分 平均数 中位数 众数 教师评委 89.5 90 m 学生评委 90.2 93 86/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 c.评委打分的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数m=,n的值位于学生评委打分数据分组的第组： ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为x,则收89.5（填“>“=” 或“<”)； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）·对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数 和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入 决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是，表中k(k为整数)的值 为一 【答案】(1)①90,3②= (2)甲，89 【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算 方法是解题的关键 (1)①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； (2)根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为90.2≤29+191些≤90.4，进而分两 5 种情况分别求出方差进行比较即可」 【详解】(1)解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， m=90(分)； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即n的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②：s494=895,89.5=89.5, 2 ÷8=89.5 故答案为：= 87/177 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)解：8甲=09240s99=904(分)，82=01914909=90,2（分） 5 5 8甲>8乙， 所以甲排在乙的前面 由于丙中间，丙 ,92+89+91+91hk 5 所以90.2≤2+8941914些≤90.4， 5 解得，88≤k≤89 ①当k=88时，8西=2489191整=90.2 5 8g2=2-0249-022401-902401-04-02y=216 5 S22-00-092401-02489-90240-02401-024=0,56. 5 此时，8西=82,8丙2>822 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当k=89时，8丙=24891910=90.4 5 8写2-②-904+(9-9042+(91-0040+91-904+(9-904 =1.44 5 8p2=90-90.4°+(2-904+(90-90.42+(89-90.4+(91-90.4 =1.04 5 此时，两=8甲>8乙，S丙2>S甲2， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，k=89. 故答案为：甲，k=89 二、解答题 2.(2025广东广州中考真题)为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬的 演讲比赛.评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计.进入决赛的 前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 98 84 88 乙 88 85 97 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？ (2)如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4：3：3的比确定，以此计算两名选 手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次； (3)如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由. 88/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次； (2)甲排名第一，乙排名第二 (3)设计三项成绩的比为5：2：3，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基 础，占比最低.（答案不唯一） 【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键。 (1)利用算术平均数即可求解； (2)利用加权平均数即可求解； (3)改变权重即可 【详解】(1)解：不能以此确定两人的名次， 甲的平均成绩：8+84+8=90（分）， 3 乙的平均成绩：8+8497=90（分）， 3 x甲=乙， ∴不能以此确定两人的名次； (2)解：甲的平均成绩：8x4+843=90.8(分)， 4+3+3 乙的平均成绩：48393=398（分）， 4+3+3 8甲>8乙， 甲排名第一，乙排名第二 (3)解：设计三项成绩的比为5：2：3，理由， 内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低.（答案不唯一） 3.(2026年安徽巢湖市部分学校中考一模九年级数学试卷)为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战 争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的 文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选 手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 (1)a= b (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照5：3：2的比例确定，以此计算三名选手的平均 成绩（百分制）并确定谁是第一名 【答案】(1)74；82 89/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)乙选手是第一名 【详解】(1)解：由题意得6+0=80.解得a=74 3 b=0+85+1=246=82 3 3 (2)解：甲选手：86x5+74升80x2=430422160=82=81.2: 10 10 10 乙选手：82x5+80x3+90x2=410+240+180-830=83: 10 10 10 丙选手：80x5+8534812-40425412=8=81.7； 10 10 10 .83>81.7>81.2, 乙选手是第一名 4.(2026广东佛山一模)统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进 而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力. 现有三个小组，每组20人.一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 人数 人数 人数 10 10 10 8 6 6 4 01234 得分 23 得分 07 A 得分 第一组 第二组 第三组 (1)根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 a 4 3 1.99 第二组 2 b 2 c 第三组 2.85 4 d 1.61 求a,b,c,d的值 (2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子的高度总是1,2,3,6,8.因柱子排列顺序不同 导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化.重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱 子排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子排列方式 人数 人数 10 10 8 6 6 4 2 0 0 01234得分 01234得分 图1 图2 90/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)a=2.75;b=1;c=1.3;d=3 (2)见解析 【分析】(1)根据平均数，众数，方差，中位数的定义进行计算即可： (2)要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，即应把数据集中，需将 人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上 【详解】(1)解：a=20+3×1+1x246x348X4=275: 20 第二组中1分的人数最多，有8人，故b=1: c=0[2-02×1+8×(2-12+3×(2-2y2+6×2-3+2×(2-4]=13, 根据第三组数据，中位数在第10和11人处，故d=3: 则a=2.75；b=1；c=1.3；d=3; (2)解：要使平均数最大，需将人数最多的柱子”对应最高的得分， 即将8人对应4分，6人对应3分，3人对应2分，2人对应1分，1人对应0分： 要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上 不人数 人数 10 10 8 8 6 6 4 0 12 3 4得分 0 2 3 4得分 图1 图2 5. (2025四川广元中考真题)我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项 目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）·为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分 学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： 人数/人 6 12 A类 B类 10h 32% E类 6 C类 D类 A类B类C类D类E类项目 (1)抽取的学生人数是 扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是 补全条形统计 图； (2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？ (3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请 用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率 【答案】(1)50人；72°；补全条形统计图见解析 91/177 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)80人 (3列表法见解析 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随 机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目 人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率. (1)①由B类人数(16人)及占比(32%求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以 占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可： (2)先求得样本中C类人数占比，再用总体人数(400)乘以该占比即可； (3)列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后 用概率公式计算即可」 【详解】(1)解：B类有16人，且占抽取学生总数的32%， .抽取的学生人数为16÷32%=50（人）· D类有10人， D类人数占总人数的比例为号=20% 则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72° :总人数为50人，A类8人，B类16人，D类10人，E类6人， ∴.C类人数为50-8-16-10-6=10（人），补条形统计图如下 人数/人 6 16 4 10 10 6 0 A类B类C类D类E类项目 故答案为：50人；72° (2)解：~样本中C类人数为10人.占抽取总人数的比例为号=20%6 ,∴.估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为400×20%=80（人）. 答：估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有80人， (3)解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下： 甲乙 A B A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) (C,A) (C,B) (C,C) 92/177 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：(A,A)、B,B)、(C,C) “他们两人填报同一项目的概率为考一 答：他们两人填报同一项目的概幸是 2.(2026四川巴中.一模)某校为了解学生每周体育锻炼情况，随机抽取七、八年级部分学生，对其每周 锻炼时间（单位：h)进行统计，按锻炼时间分为：A:0≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12 四组，并绘制了如下不完整的统计图.请根据图中提供的信息，完成下列问题： 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图 人数 口七年级 20 口八年级 18 0 14 A 12 20% 10 B B D组别 图① 图② (①)此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中B”组对应的圆心角的度数为一，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共有600名学生，估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)乒乓球比赛中，“D组中七年级2班的甲、乙两名同学进入了决赛，争夺冠军，冠军奖励32颗乒乓球.甲 乙两人水平相当，比赛规则为5局3胜制.比赛开始后，甲连胜2局，因特殊情况终止了比赛，也不再补 赛.班主任决定用获胜概率的大小来给甲乙两人分配奖品，请用列表法或树状图法求甲获胜的概率，并求 出甲、乙两人各分得乒乓球的数量， 【答案】(1)80,162°，图见解析；(2)210人 (3)甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个 【分析】(1)用A组人数除以所占百分数可得抽取学生总数，用B组人数除以抽取学生总数，再乘以360 度可得B组对应的圆心角的度数： (2)利用样本估计总体思想求解： (3)画出树状图，根据比赛规则找出甲获胜的情况有几种，进而得出概率，即可求解 【详解】(1)解：抽取学生总数为：(10+6)÷20%=80（名）， 扇形统计图中B”组对应的圆心角的度数为：16420×360°=162°， 80 C组八年级人数为：80-10-6-16-20-6-8-4=10（名）， 补全后的条形统计图如下： 93/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 个人数 口七年级 0 口八年级 18 6 4 10 8 6 4 2 B 组别 图① (2)解 6+20+10×600-210(名) 10+4 答：估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为210人； (3)解：由题意画树状图如下： 开始 第三局 甲胜 乙胜 第四局 甲胜 乙胜 甲胜 乙胜 第五局 甲胜乙胜甲胜乙胜甲胜乙胜甲胜乙胜 由图可知，共有8种等可能的情况，根据5局3胜制规则，乙获胜的情况有1种（即第三、四、五局乙连 胜)，甲获胜的情况有7种， 所以甲获胜的概率为？乙获胜的概率为 甲分得乒乓球的数量为：32×=28， 乙分得乒乓球的数量为：32×4， 即甲、乙两人各分得乒乓球的数量分别为28个、4个 94/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 押题猜想十一一次函数与不等式组在最值问题中的应用 ● 试题前瞻·能力先查●一 限时：15min 【原创题】某物流公司决定升级其智能配送网络，计划购进A、B两款载重物流无人机。已知B款无人机 的单价是A款的1.5倍。如果用24万元单纯购买A款无人机，其数量比用30万元单纯购买B款无人机的 数量多10架。 (1)求A、B两款无人机的单价分别是多少万元； (2)该公司计划首批购进A、B两款共100架，且总采购预算不超过52万元，要求购进的B款数量必 须严格大于A款数量的。①共有多少种符合预算与数量限制的采购方案？②受飞控系统协议限制， 每名飞手单独执行任务时，刚好能满负荷操控4架A款，或刚好能满负荷操控3架B款。为使人员效能 最大化，要求购进的这100架无人机能恰好被分配给若干名飞手，且每名飞手都能达到满负荷操控状态。 已知A款日均可投递50个包裹，B款日均可投递80个包裹。请设计出使日均总投递量最大的终极采购 方案，并求出该最大投递量。 【答案】(1)A款单价0.4万元，B款单价0.6万元； (2)①共有35种采购方案；②购进A款40架，B款60架，最大投递量为6800个。 【解析】(1)设A款无人机单价为x万元，则B款为1.5x万元。 根据题意列分式方程：兰-兴=10。解得x=04, 经检验，x=0.4是原分式方程的解，且符合题意。 此时B款单价为1.5×0.4=0.6万元。 答：A款无人机的单价为0.4万元，B款单价为0.6万元。 (2)①设购进B款无人机y架，则A款为(100-y)架。 0.4(100-y)+0.y≤52 根据题意列不等式组： y>100-y) 解不等式①， 得40+0.2y≤52→y≤60： 解不等式②，得3y>100-y→4y>100→y>25。 95/177 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷25<y≤60。 y为正整数，÷y可以取26,27，，60，共计60-26+1=35种方案。 答：共有35种符合预算与数量限制的采购方案。 ②设日均总投递量为W个。 由题设的系统协议限制可知， A款数量(100-y)必须是4的倍数， B款数量y必须是3的倍数。~100-y=4k(k为正整数)， y=100-4k=4(25-k),即y必须同时是4的倍数。 又~y必须是3的倍数，且3和4互质， ∴y必须是12的倍数。 结合①中得出的区间25<y≤60， 符合条件的y值只能为36,48,60 总投递量函数模型构建为：W=50(100-y)+80y=30y+5000。 :一次项系数k=30>0,W随y的增大而增大， ·当取最大有效整数y=60时，W取得最大值。 此时A款数量为100-60=40（架）。 最大总投递量Wm=30×60+5000=6800(个)。 答：终极采购方案为购进A款40架，B款60架，此方案下的最大投递量为6800个。 ·分析有理押题有据· 本题紧扣新课标真实情境建模导向，聚焦"分式方程+不等式+一次函数"代数综合考查。命题创新引入" 整除约束"条件，突破"求得范围后直接取端点"的惯常思路。考生须运用数论中倍数特征进行筛选，将大量 常规方案缩减至有限几种后，再进行函数最值决策。该设计有效规避模式化解题套路，深入考查多重约束 条件下的信息提取与数学统筹能力，是拉开中高分段考生差距的重要题型 ◆终极猜想·精练通关。 一、解答题 1.(2025山东济南中考真题)随着“体重管理年三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某 健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型 健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相 同 96/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元 (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身 器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元. 【分析】)设甲型健身器材价格为x元，则乙型德身器材的价格为K+30)元，根据题意，得心=。 解方程即可， (2)根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为(20-a)个，且a≤3(20-a),根 据题意，得w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000,解答即可 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键， 【详解】(1)解：设甲型健身器材价格为×元，则乙型健身器材的价格为(x+300)元 根据题意。得-0 x+300 解得x=2500 经检验，x=2500是原方程的根 此时x+300=2800, 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元. (2)解：根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为(20-a)个，且a≤3(20-a) 即a≤15，且a为正整数， 根据题意，得w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000, 由k=-300<0,得w随a的增大而减小 故当a=15时，w取得最小值，且最小值为w=-300×15+56000=51500(元)， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元 2.(广西壮族自治区南宁市2025-2026学年上学期期末综合试题)某超市计划购进A、B两种品牌的保温 杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售 价为45元/个。 (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯x个， 这批保温杯的总利润为W元，求W的最大值： (3)在(2)的条件下，若超市对A品牌保温杯每件优惠m元(0<<10)出售，B品牌保温杯售价不变， 此时总利润W的最大值为1750元，求m的值 【答案】(1)购进A品牌60个，B品牌40个 (2)2000元 (3)m=2.5 【分析】本题考查了利润=售价-进价的运用，总利润=A种保温杯的利润+B种保温杯的利润的运用，熟 97/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 练掌握一元一次方程的应用及一次函数的应用是解题的关键， (1)设购进A品牌保温杯x个，则购进B品牌保温杯(100-x)个，根据题意列出一元一次方程，计算 即可求解； (2)设设购进A品牌保温杯x个，这批保温杯的总利润为W元，由题意得，总利润W=5x+1500,由0≤ 100-x≤2x,可得x之曾≈333，即34≤x≤10且x为整数，当x=100时，V最大，代人即可求出 最大值： (3)根据题意，列出优惠后的利润为W=(5-m)x+1500,分两种情况讨论即可求出m的值. 【详解】(1)解：设购进A品牌保温杯×个，则购进B品牌保温杯(100-x)个， 由题意得：50x+30(100-x)=4200, 去括号得：50x+3000-30x=4200, 移项合并得：20x=1200, 解得x=60, 则100-x=40, 答：购进A品牌60个，B品牌40个 (2)解：设购进A品牌保温杯x个，这批保温杯的总利润为W元， 总利润W=(70-50)x+(45-30)(100-x)=20x+1500-15x=5x+1500, 由题意得，0≤100-x≤2x, 解得x≥g≈333 x为整数， .34≤x≤100，且x为整数， .5>0, W随x增大而增大， ,∴.当x=100时，W最大，最大值为W=5x+1500=5×100+1500-2000元. (3)解：优惠后，W=(70-m-50)x+15(100-x)=(20-m)x+1500-15x=(5-m)x+1500 ①当0<m<5时，5-m>0,W随x增大而增大，x=100时W最大， 即(5-m)×100+1500=1750,解得m=2.5; ②当5<m<10时，5-m<0,W随x减小而增大，x=34时W最大， W=(5-m)×34+1500<1750,不符合题意： 综上所述，m=2.5. 98/177 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一押题猜想十二 特殊多边形背景下的几何变换与 证明 试题前瞻·能力先查·一 限时：15nin 【改编题】在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上，连接AD,将线段AD绕点A 逆时针旋转180°-2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF‖AB,交直线BC于点F. CD) 图1 图2 (1)如图1，a=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)DF=2BC 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应 用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； (1)根据a=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据旋转可得AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°， 进而证明四边形ABFE是平行四边形，得出BF=AE,BF=AC;即可得证； (2)在DB上取一点G,使得AG=AB,证明△DAG=△EAB(SAS)得出DG=BE,∠AGD=∠ABE= 180°-∠AGC=180°-a,进而根据三角形内角和定理得出∠FBE=180°-2，根据平行线的性质得出 ∠BFE=∠ABF=a,进而得出∠BEF=a,根据等角对等边可得BE=BF,则DG=BF,根据三线合一可 得GC=BC,进而根据DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC,即可得证. 【详解】(1)证明：∠ACB=90°，∠ABC=45 99/177 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BAC=∠ABC=459 线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得到线段AE,点D与点C重合 .AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°， ∴，∠EAB=∠ABC, ∴.BC∥AE :F‖AB, .四边形ABFE是平行四边形， ∴BF=AE, ..BF=AC; (2)DF=2BC, 证明：如图，在CD上取一点G,使得CG=CB D G B 图2 :∠ACB=90° ∴AG=AB ∴.∠AGB=∠ABG=a, .∠BAG=180°-2a :将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE, .'.DA=EA ,∴.∠DAE=∠GAB=180°-2a ,.∠DAG=∠EAB .∴.△DAG≌△EAB(SAS) ,∴.DG=BE.∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-a 又.∠ABC=a .∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-a-a=180°-2a EF‖AB, 100/177