2.图形与测量-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

2.图形与测量 课前·知识回顾 知识点①长度、面积、体积、容积的单位及其进率 分类 单位名称 进率 毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、 1km=1000m、1m=10dm、1dm=10cm、 长度单位 米(m)、千米(km) 1 cm=10mm 平方千米(km2)、公顷(hm2)、 1km2=1000000m2、1km2=100hm2、 面积单位 平方米(m2)、平方分米(dm2)、 1hm2=10000m2、1m2=100dm2、 平方厘米(cm2) 1dm2=100cm 体积、 立方米(m3)、立方分米(dm3)、1m3=1000dm3、1dm3=1000cm3 容积单位 立方厘米(cm3)、升(L)、毫升(mL)1L=1000mL、1dm3=1L、1cm3=1mL 知识点2平面图形的周长和面积 周长的意义 围成一个图形的所有边长的总和，叫作这个图形的周长 面积的意义 物体的表面或围成的平面图形的大小，叫作它的面积。 平面图形的周长和面积计算公式： 平面图形 周长 面积 长方形 周长=（长+宽）×2C=2(a+b)》 面积=长×宽S=ab 正方形 周长=边长×4C=4a 面积=边长×边长S=a2 平行四边形 周长=相邻两边的长度和×2C=2(a+b) 面积=底×高S=ah 周长=三边的长度和 面积=底×高÷2 三角形 C=a+b+c 周长=上底+下底+两腰之和 面积=（上底+下底）×高÷2 梯形 C=a+b+m+n(两腰分别为m、n) (a+b)h S=- 周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 面积=圆周率×半径的平方 圆 C=md=2πT S=Tr2 171 周长=圆周长的一半+直径 面积=圆的面积÷2 半圆形 C=Tr+2r=（T+2)r S=π2÷2 面积=外圆的面积-内圆的面积 圆环 S=TR2-TP2=T(R2-12) 知识点3 立体图形的表面积和体积（容积） 表面积的意义 个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积 体积的意义 个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。 容积的意义 容器所能容纳物体的体积叫作这个容器的容积。 立体图形的侧面积、表面积和体积计算公式： 立体图形 侧面积 表面积 体积 长方体 S侧=2（a+b)h S表=2(ab+ah+bh) V=abh 正方体 S侧=4a2 S表=6a2 V=a V=S底h 圆柱 S侧=Ch=2Th S表=Ch+2πr V=πr2h 圆锥 1 3 wr'h 体积和容积的相同点和不同点： 体积 容积 意义不同 物体所占空间的大小。 容器所能容纳物体的体积。 从物体的外部测量长、宽、高（或 从容器的内部测量长、宽、高（或 测量方法不同 底面直径、高)。 底面直径、高)。 不同点 常用的体积单位有立方米、立方 计量容器的容积，一般就用体 单位名称不完 分米、立方厘米。计量液体的体 积单位。盛放液体的容器，求 全相同 积，常用容积单位升或毫升 容积时要用容积单位升或毫升。 相同点 计算公式相同计算容积时根据容器的形状使用相应的体积计算公式。 知识点④用排水法测量不规则物体的体积 在容器中装满水，把不规则物体完全浸入水中，溢出的水的体积就是不规则物体 溢水法 的体积。 在长方体（或圆柱形）容器中倒入一定量的水，把不规则物体完全浸入水中（水 升高法 未溢出)，水面上升，上升部分的水的体积就是不规则物体的体积。不规则物体 的体积=容器的底面积×水面上升的高度。 172· 课堂·听课笔记 精批注 ○图形与测量 ·回顾与交流 围栏的长、草坪的边长等指的是长度：水池的占地面积、草坪的 面积等指的是面积；柱子的大小、水池中水的多少等指的是体积。 1. 工人需要知道 哪些有关图形 测量的数据？ 结合实例，说一说你对长度、面积、体积的认识。 2.看一看，说一说。 6x6x6=216(个) 3×6=18(个) 30 测量要有 “单位” 为什么要用统 的“单位”呢？ 没有单位，不能够表达所测量的种类与大小，只是裁宇 3.填一填。 没有实际意义；使用统一的单位，便于比较和计算。 长度单位间的进率 面积单位间的进率 体积（容积）单位间的进率 1m=(10）dm 1m2=(100)dm2 1m3=(1O00dm3 相解两个体 1 dm=(10)cm 1dm2=(100)cm 1dm3=(100Ocm3 积（容积） 1cm=(10）mm 1cm2=(100)mm 1cm3=(O00)mm单间的进 相外两个长度单位 相外两个面积单位 1L=(1000)mL 率是1000。 间的进率是10 间的进率是100。 4.借助实例说一说1m,1dm,1cm分别有多长；1m2,1dm2,1cm2,1m3,1L,1mL分别有多大。 1m课桌高；1dm圆珠笔长；1cm:指甲盖宽：1m黑板面积，1dm:粉笔盒一个面的面积： 10m:手指甲面积：1m3:洗衣机体积：1L：2瓶矿泉水的体积；1l:20滴水的体积。 5.与同伴交流，你是如何量角的。在估计角的大小时，你有什么好办法。 (1)测量角的方法：①将量角器的中心与角的顶点重合：②将量角器外圈或内图的O°刻 度线与角的一条边重合；③与角的另一条边重合的刻度线上的度裁，就是角的度裁。 (2)估计角的大小：可借助三角尺上已有的角度来估计。 173 6.想办法求出下面图形的周长，并说说什么是周长。 测量出各条边的长度，再相加，就是周长。 用线绕一圈，再将线拉直测量。 1cm 1.6cm 2.1cm 3.1cm 周长大约6cm 1cm 4.2cm 1.5cm 2.1+4.2+3.1=9.4（cm)1+1+1.5+1+1.6=6.1(cm) 7.分别说出已学过的多边形的面积计算公式，并说说公式之间的联系。 把两个完全相同 的三角形拼成 把正方形看作长和 a S=a2宽相等的长方形。 个平行四边形 一个三角形的面 a 积是与它等底等 8=1 高的平行四边形 ah 面积的一半。 h a h a S=ab S=ah 通过割补、平移 转化成长方形。 (a+6% S= 把两个完全相同的梯形拼成一个平 行四边形，一个梯形的面积是拼成 的平行四边形面积的一半。 8.想一想圆的面积计算公式的探索过程，并说一说圆的面积公式。 把圆沿它的半径平均分成若千份（偶数份），拼成一个近似的长方形。平均分成的份裁 越多，拼成的图形就越接近长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 5-2=()。 9.举例说明什么是立体图形的表面积。说一说长方体、正方体、圆柱的表面积的计算方法。 立体图形所有面的面积和就是立体图形的表面积。 长方体的表面积=2（ab+bc+ac) 正方体的表面积=6a 圆柱的表面积=2S底+S例=2π+Ch=2π/+2πrh 10.分别说出已学过的立体图形的体积计算公式，并说说公式之间的联系。 把正方体看作长、宽 切、拼后可看成近似的长方体。 圆维的体积 高都相等的长方体。 是与它等底 等高的圆柱 体积的3 a V=a V=abh V=Sh V=Sh ·174· ·巩固与应用 提示：先确定是长度、质量、面积或体积中的哪一种量，再结合生活经 1.填上合适的单位。验选择合适的单位。 （1)水杯高约1dm。 （2)跳绳长约2m (3)淘气腰围约60cm。 （4)一枚邮票的面积约4cm2 (5)一个人一次能喝约300mL的水。 （6)牙膏盒的体积约200cm 2.填一填。 0.4m=(40）cm 7500mL=(7.5)L 4160cm2=(41.6)）dm2 725mm=（7.25)dm 6.2dm2=(0062)m 2.8L=(2800)mL 3.2m2=(320)dm2 0.24km2=(240000m2 320mL=(320）cm 5dm2=(500）cm2 8.75m3=(8750)dm3 64cm3=(0.064)dm3 3.用量角器量出下面各角，并说说每个图形两个角之间的关系。 提示，量角器 3Ψ 量角的方法要 正确，尽量减 14 6d 少误差。 ∠1=120° ∠3=40° ∠5=30 ∠2=120° ∠4=40 ∠6=60 ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5+∠6=909 4.图形A,B,C的面积分别是多少平方厘米？图 5.如图，圆的周长是62.8cm。正方形 形D的面积大约是多少平方厘米？（每格面积 的周长是多少？ 表示1cm)提示估计不规则图形的面积时 62.8÷3.14=20(cm) 可以通过数格子得到。 20x4=80(cm) A 圆的直径与 5 dm D (合理即可) 正方形的边 B 9cm 长相等。 C 2cm2 cm 6.求下面各图形中涂色部分的面积。 提示·通过添补、分割、平移等方法，将组合图形转化 为能计算出面积的简单图形，再求和或求差。 4 dm 60 dm 15 dm -80dm (方法不唯一) (60+80)x30÷2-60x20÷2=1500(dm) 4x4+(7-4)x15=61(dm2)》 175 7. 房 40 cm 50 cm 60 cm 50 cm 5个面的面积和（不算上底面)。 (1)做上面两个无盖鱼缸，至少各需要多少平方厘米玻璃？ 60×40+60x50x2+40x50x2=12400(cm2)50×50x5=12500(cm) (2)哪个鱼缸盛水多？先猜一猜，再计算多了多少升。猜想：正方体鱼缸盛水多。 60×40x50=120000(cm3)=120(L)50x50×50=125000(cm3)=125(L) 120<125,125-120=5(L),正方体鱼缸盛水多，多了5L。 8. 16 cm 要包装100个圆柱形易拉罐的侧面，至少共需要多少平方分 入 米的广告纸？ 提示，求广告纸的面积，就是求1OO个圆柱形易拉罐的侧面 积之和。注意单位换算。 3.14x6x12×100=22608(cm)=226.08(dm) 9.一圆锥形小麦堆的底面周长为15.7m,高1.5m。如果每立方米小麦的质量为700kg,这堆 小麦的质量约为多少千克？ 提示：先根据底面周长求出底面半径 再求圆维的体积，最后求小麦的质量。 3×3.14x（15.7÷314÷2)2×1.5×700=6868.75(kg) 1 10.用一根长48dm的铁丝做一个长方体的框架，使它的高为8dm,长、宽的比是1：1。再把 它的五个面糊上纸，做成一个长方体的灯笼，至少需要多少平方分米的纸？ 不算上底面。 提示，根据长方体的楼长和=（长+宽+高）×4，先求出一组长 宽、高，再用按比分配的方法求出长和宽，要求需要纸的面积， 即求侧面和下底面的面积之和。 48÷4=12(dm)长与宽的和：12-8=4(dm)1+1=2 长：4x子-2(dm)宽：4x子-2(dm) 2x2+2x8x4=68(dm2) 11.用3个同样的小长方体，拼成一个大长方体，可能有几种情况？它们的表面积各是多少？ 3种 长 宽 高 表面积 3cm 2cm 3cm 42 cm2 6 cm 3c 1cm 54c0m —3 9cm 2cm 1 cm 58cm? (单位：cm) 提示·长方体有了种不同的面，每次重合一种不同的面， 就得到了种不同的拼法。 -·176· 课后·提升笔记 练考点 ○考点1平面图形的周长和面积 例1若一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少30cm?,则这个三角 形的面积是（)cm。 思路分析：明确等底等高的平行四边形和三角形面积之间的关系是解决本题的关键。由题 可知，在三角形和平行四边形等底等高的前提下，S平行四边形=2S三角形，即S平行四边形 S三角形=S三角形=30cm2。 正确解答：30 恩例2计算下面各图形中涂色部分的周长。（单位：cm) 61 思路分析：能够将所求的不规则图形的周长转化为规则图形的周长是解题关键。第一个图 形中涂色部分的周长=直径是4cm的圆的周长+正方形的两条边的长；第二个 图形中涂色部分的周长=直径是(6+4)cm的圆周长的一半+直径是6cm的 圆周长的一半+直径是4cm的圆周长的一半=直径是10cm的圆的周长。 正确解答：3.14×4+4×2=20.56（cm) 3.14×(6+4)=31.4(cm) 忍例3学校的中心广场建造了一个半圆形的花坛（如下图），在花坛的四周栽上月季， 每米栽10棵，需要购买多少棵月季？在花坛中平铺上草皮，每平方米草皮80元，购买草 皮需要多少元？ 5 m 思路分析：因为是沿着花坛的四周栽月季，所以要求月季的棵数，首先要求出花坛的周长。 这是一个半圆，它的周长应该用圆周长的一半加上圆的直径。因为草皮是平铺 在花坛中的，所以要求购买草皮需要的费用，首先要求出花坛的面积。这是一 个半圆，应该用整圆的面积除以2。 正确解答：5×3.14+5×2=25.7（m)25.7×10=257(棵) 3.14×52÷2=39.25(m2)39.25×80=3140(元) 答：需要购买257棵月季；购买草皮需要3140元。 177 恩例4下图是一个长方形的草坪的示意图，中间有两条一样宽的平行四边形人行道，求 草坪的面积。（单位：m) 32 28 思路分析：思路一：添补法。草坪的面积等于长方形的面积减去两条平行四边形人行道的 面积。平行四边形的高是14m,底是（32-28)÷2=2（m),从而分别求出长 方形的面积和两条人行道的面积，相减即可。 思路二：分割法。草坪的面积等于三个三角形的面积之和。仔细观察会发现， 左右两个三角形底的和是28m,中间的三角形的底是28m,三个三角形的高都 是14mo 思路三：用等积变形的思想来分析。移动左右两个三角形，同中间的三角形接 起来，就会得到一个新的长方形，这个长方形的长是28m,宽是14m。 正确解答：方法一：（32-28)÷2=2（m)32×14=448（m2) 2×14×2=56(m2)448-56=392(m2) 方法二：28×14÷2×2=392(m2) 在解答比较复杂的组合图形时，可 能会有多种方法，只要灵活掌握各 方法三：28×14=392(m2) 种方法的要领，就可以很简单地解 答：草坪的面积是392m2。 决问题。 ©考点2立体图形的表面积和体积 恩例5一个长方体游泳池从里面量，长是80m,宽是60m,深是2.5m,在它的四周和 底部涂抹水泥，如果每平方米需要水泥6kg,那么一共需要水泥多少千克？这个游泳池最 多可装水多少立方米？ 思路分析：一共需要涂抹水泥的面积=游泳池前、后面的面积和+左、右面的面积和+底 面的面积。求出一共需要涂抹水泥的面积后，再根据每平方米需要水泥6kg, 求出一共需要水泥多少千克。求这个游泳池最多可装水多少立方米，就是求这 个游泳池的容积，要用长×宽×高计算。 正确解答：（80×2.5+60×2.5)×2+80×60=5500(m2) 5500×6=33000(kg)80×60×2.5=12000(m3) 答：一共需要水泥33000kg;这个游泳池最多可装水12000m3。 -·178· 积例6有一天，小明从地上捡起一张包装纸，形状及尺寸如图所示，你能计算出这张包 装纸的面积吗？如果把这张包装纸粘成一个盒子，这个盒子的体积是多少？（厚度和接缝 处不计) 10 dm 4 dm 根据平面展开图确 定出长方体的长 宽、高是解题关健。 思路分析：由题意可知，用这张包装纸粘成的盒子是一个长10dm、宽6dm、高4dm的长 方体，然后根据长方体的表面积和体积公式进行计算。 正确解答：（10×6+10×4+4×6)×2=248（dm2) 10×6×4=240(dm3) 答：这张包装纸的面积是248dm2;这个盒子的体积是240dm3。 积例7做一个底面周长是12.56dm,高是7dm的圆柱形无盖铁皮水桶，大约需要多少平 方分米的铁皮？（得数保留整数）这个水桶最多能装水多少升？ 思路分析：求大约需要多少平方分米的铁皮，就是求这个圆柱形无盖铁皮水桶的表面积。 因为这个水桶无盖，所以它的表面积=侧面积+一个底面积，得到的结果用“进 一法”取近似值。求这个水桶最多能装水多少升，就是求这个水桶的容积。 正确解答：12.56×7+3.14×(12.56÷3.14÷2)2≈101(（dm2) 3.14×(12.56÷3.14÷2)2×7=87.92(dm3) 87.92dm3=87.92L 答：大约需要101dm2的铁皮；这个水桶最多能装水87.92L。 恩例8一个圆柱形鱼缸，底面直径是40cm,高是28cm,里面盛了一些水，把一个底面 半径为I0cm的圆锥形铁块放入鱼缸中（铁块全部浸入水中），鱼缸内水面升高了2cm。 这个圆锥形铁块的高是多少厘米？（鱼缸的厚度忽略不计） 思路分析：把圆锥形铁块放入鱼缸中（铁块全部浸入水中），鱼缸内水面升高2m,升高 的那部分水的体积就等于放入水中的圆锥形铁块的体积。根据圆柱的体积公式 V=(号)%，求出升高的那部分水的体积，也就求出了圆维形铁块的体积， 根据圆维的体积计算公式V=号S弘可求出圆维形铁块的高。 正确解答：3.14×(40÷2)2×2×3÷（3.14×102)=24（cm) 答：这个圆锥形铁块的高是24cm。 -…179-