1.图形的认识-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

图形与几何 1.图形的认识 课前·知识回顾 知识点①线段、射线和直线 名称 意义 特点 线段 直线上任意两点之间的一段，叫作线段。 有两个端点，可以度量长度。 射线 把线段的一端无限延长，就得到一 条射线。 只有一个端点，无限长，不能度量长度。 直线 把线段的两端无限延长，就得到一条直线。 没有端点，无限长，不能度量长度。 知识点2角 由一个顶点引出两条射线组成的图形，叫作角。这个点叫作角的顶点，这两条射线叫 意义 作角的边。角的大小与两条边张开的大小有关，与两条边的长短无关。 锐角 直角 钝角 平角 周角 分类 大于0°且小于90% 90° 大于90°且小于180° 180% 360° 大小 (1)锐角<直角<钝角<平角<周角 关系 (2)1周角=2平角=4直角 知识点3 垂直与平行 位置关系 意义 要点提示 两条直线相交成直角，就说两条直线互相垂 同一平面内的两条直线不是互相 垂直 直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线， 平行就是相交，垂直是相交的特 这两条直线的交点叫作垂足。 殊情况。 在同一平面内永不相交的两条直线互相平 平行 平行线之间的距离处处相等。 行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 知识点④三角形 意义 由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作三角形 三角形各 围成三角形的三条线段叫作三角形的边；每两条边的交点叫作三角形的顶点；每 部分名称两条边所夹的角叫作三角形的角。每个三角形有3个顶点、3条边、3个角。 三角形 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形 的高 的高。任意一个三角形都有三条高。 162 按角分类 按边分类 三角形的分类 锐角 直角 钝角 不等边 等腰三角形（等边三角 三角形 三角形 三角形 三角形 形是特殊的等腰三角形)： 三角形的特性 三角形具有稳定性，这种特性在生活中应用很广泛。 三角形的内角和 三角形的内角和是180° 三角形的三边关系 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 等边三角形和等腰三角形都是轴对称图形，其中等边三角形有3条对 三角形的对称性 称轴：等腰三角形有1条对称轴。 知识点5 四边形 四边形的意义 在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫作四边形。 四边形 平行四边形 梯形 四边形的分类 长方形 真角 正方形 梯形 梯形 名称 特征 长方形 两组对边分别平行且相等，四个角都是直角。 特殊四边形的 正方形 两组对边分别平行，四条边都相等，四个角都是直角。 特点 平行四边形 两组对边分别平行且相等，对角相等。 梯形 只有一组对边平行。 四边形的对 长方形、正方形和等腰梯形都是轴对称图形，其中长方形有2条对称轴， 称性 正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴。 知识点6圆 圆的意义 圆是由一条曲线围成的封闭图形。 名称 用字母表示 意义 圆的各部 圆心 0 圆中心的一点。 分名称 半径 圆心到圆上任意一点的线段 直径 d 通过圆心，并且两端都在圆上的线段 163 圆周率 圆的周长和直径的比值叫作圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数。 (1)圆上任意一点到圆心的距离都相等。 圆的特征 (2)在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。d=2,r=之。 d (3)圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 圆环 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。两条半径所夹的角 扇形 叫作圆心角。在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形越大。 知识点⑦长方体和正方体 相同点 不同点 名称 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱的特点 6个面都是长方形， 相对的面形状相同， 互相平行的棱 长方体 特殊情况下有2个相 大小相等。 的长度相等。 6个 12条 8个 对的面是正方形 6个面都是完全相同 6个面的形状都相 12条棱的长度 正方体 的正方形。 同， 大小都相等。 都相等。 知识点8圆柱和圆锥 名称 特征 (1)面：圆柱有三个面，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是一个曲面。 圆柱 (2)高：圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高，圆柱有无数条高。 (3)侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形（或正方形）。 (1)面：圆锥有两个面，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。 圆锥 (2)高：圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥只有一条高。 知识点9观察物体 从不同方向辨认物体的形状和相对位置时，无论从哪个方向观察都是从观察者的角 度而言的 (1)从不同位置观察同一个立体图形，所看到的形状一般是不同的，但有时也会相同。 (2)从同一位置观察不同的立体图形，所看到的形状可能是相同的，也可能是不同的。 (3)观察范围随着观察点的变化而变化的规律：观察点的位置越高（或远），观察者 观察到的范围越大，盲区越小；观察点的位置越低（或近），观察者观察到的范围越小， 盲区越大。 164 课堂·听课笔记 精批注 图形与几何) 图形的认识 ·回顾与交流 1.我们学过哪些图形？把这些图形分类，并找出它们之间的关系 线与角 线：直线、射线、线段 锐角三角形 角：锐角 等边三角形 直角 三角形 直角三角形 等腰三角形 钝角 钝角三角形 三角形 平角 周角 平行四边形 正方形 梯形 多边形 四边形 梯形 长方形 四边形 长方形 平行四边形 五边形 平面图形< 圆 正方形 形 长方体正方体 圆柱 立体图形 圆锥) 长方体、正方体、圆柱、圆维 立体图形 2.结合具体的物体或图形，说说立体图形与平面图形之间的联系。 立体图形的截面是平面图形。 8x牙青 从正面、右面和上面看 是长方形。 从正面看是 从任意方向看 个正方形。 都是正方形。 下两个面是圆。 △ 底面是圆。 这个截面是 个三角形。 圆柱的侧面展开 等腰三角形。 图是一个长方形。 还可以是正方形或平行四边形。长方形的长 等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 3.画两条直线，想一想，在什么情况下两条直线互相垂直？在什么情况下两条直线互相平行？ 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；在同一平面内永不相交 的两条直线互相平行。 165 4.写出下面各角的名称，并说出你的理由。 大于0°且 大于90°且 小于90° 等于90 小于180° 等于180 等于360° （锐角) (直角) (纯角)》 (平角)》 (周角) 5.我们学过哪些平面图形？分别说出这些平面图形的特点，并尝试验证。，对折 直径有无数条。 可以分别从边 可以用折纸的方法 角来描述平行 圆是由曲线 来说明长方形是轴 四边形、三角 围成的图形， 对称图形… 形…的特点。 它的… 有2条对称轴。 平行四边形对边平行且相等，对角相 等。三角形有三个内角，三个内角和 是18)。长方形两组对边分别平行 且相等，四个角都是直角。 6.举例说明平面图形的特点在生活中的应用。 篮球架的固定、自行车车架等都利用了三角形的稳定性。伸缩门、升降机等都应用了平行 四边形易变形的特点。车轮、井盖等都运用了圆的圆心到圆上的距离处处相等的特点。 7.一个三角形可能有两个直角吗？与同伴交流你的理由。 一个三角形至少有两个角是锐角 不可能，三角形的内角和是180°，两个直角的和是 最多只有一个角是直角或钝角。 180°，另一个角不能是0°。 8.分别说出已学过的立体图形的特点，并尝试验证。 可以从顶点、面、 可以用把一个圆柱的 棱等角度来描述长 侧面沿高剪开的方法 方体…的特点。 说明“圆柱的侧面展 开图是一个长方形” 长方体·每个面都是长方形（也可以有 圆柱：2个底面，1个侧面，没有顶点 2个面是正方形)，8个顶点， 没有棱。 6个面，12条棱。 圆维：1个侧面，1个底面，1个顶点， 正方体·每个面都是正方形，8个顶点 没有棱。 6个面，12条棱。 9.观察下面用4个正方体搭成的图形，并填一填。 ① (2 4 5 (1)从正面看到的图形是 的有③_。 提示一从同一方向看不同的物 体，看到的图形可能相同，也 可能不同。 (2)从侧面看到的图形是 的有②⑤。 (3)从上面看到的图形是 的有①④。 …166· ·巩固与应用 1.在下图中找一找，哪些部分可以看作是互相平行的？哪些部分可以看作是互相垂直的？ (答案不雅一)双杠上面的两根横杠是互相平行的，两根吊环的绳是互相平 行的，单杠竖着的两根杠是互相平行的：单杠和双杠相连的横杠和竖杠分别 互相垂直，双杠上人的上身和下身互相垂直等。 2.按要求作图。 (1)过图中的点A画直线BC的垂线。 (2)在下面的方格图中，画出一个长方形、 平行四边形和梯形。（画法不难一) B 量一量，点A到直线 BC的距离是多少？ 1.5cmo 3.求下面三角形中各角的度数。 提示：根据三角形内角和为180计算。 30e 4080 2△ 人60°60以 ∠1=6° ∠2=60° ∠3=60° 4.在能围成三角形的一组线段下面画“√”。（单位：cm)提示，两条短边之和>最长边。 05 1 2.5 2 1.8 3 ☑ 0.5+1<1.8 1+2.5>3 2+2=4 5.长方体的两个面如下图，请画出长方体的另外四个面。 提示·长方体相对的面形状相同 大小相等。 高 m 高 m 6cm长 4 cm 宽 10P5 6 cm 4 cm 6 cm 6 cm 167 6.想一想，画一画。提示：先分析图形由几部分组成，再我准圆心和半径画圆和半圆。 7.上面一排图形旋转后会得到下面的哪个图形？想一想，连一连。 提示：根据平面图形的形状，想象一下每个平面图形旋转后是什么图形。 8.下面的图形哪些是正方体的展开图，先想一想，再试一试。①⑤是正方体的展开图。 ① ② ③ ④ ⑤ 9.填一填。 提示：立体图形的表面就是各个正方体露在外面的面，每个正方体有几个面露在 外面，就有几个面涂了红色。 左图是由5个棱长为1cm的正方体搭成的，将这个立体 图形的表面涂上红色。其中只有三面涂上红色的正方体有 4面4面 1个，只有四面涂上红色的正方体有3个，五面 5面3面4面 涂上红色的正方体有1个。 下面也涂 10.一个立体图形从上面看是 ,从左面看是口。要搭成这样的立体图形，至少要 用5个小正方体，最多可以用7个小正方体 提示：根据从上面看到的图形，可以确定第一层摆放的小正方体个数和摆放方式 再根据从左面看到的图形，推测第二层的小正方体个数和摆放方式。 11.在右图中，分别画出猴子在A,B 位置时所能看到的范围。 提示·以观察点为端点，过障 碍物顶端画出的射线是视线 一般情况下，观察点的位置越 高，看到的范围越广。 ⑦线QN迹 -·168· 课后·提升笔记 练考点 ⊙考点1线的认识 例了判断：直线、射线、线段相比较，直线最长。 () 思路分析：线段的长度是有限的，因此它的长度是可以度量的。射线有一个端点，直线没 有端点，它们的长度都是无法度量的，因此无法比较出直线与射线到底谁长谁短。 正确解答： ○考点2角的认识 例2下图中有()个锐角，()个直角，()个钝角。 0 思路分析：按照字母的顺序找角，一边找一边记录，这样不易混乱，也不易重复。 锐角：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠D0E,有4个。 直角：∠AOC、∠COE、∠BOD,有3个。 钝角：∠AOD、∠BOE,有2个。 正确解答：432 ○考点3平面图形的特征 忍例3一个等腰三角形的两个内角的度数比是1：4，那么这个三角形的顶角是(）· 或( 思路分析：等腰三角形的两个底角相等。如果1：4是底角和顶角的度数比，那么三个角的 度数比就是1：1：4，所以顶角是180°÷（1+1+4)×4=120°；如果1：4是顶 角和底角的度数比，那么三个角的度数比就是1：4：4，所以顶角是180°÷（1+ 4+4)×1=20°。 等腰三角形两个内角的度裁比可能是顶角与底角的度 正确解答：12020 数比，也可能是底角与顶角的度数比，需要分类计算。 恩例4在一张长15cm、宽6cm的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的半径是多少？ 最多可以剪几个这样的圆？ 思路分析：在这张长方形纸上剪一个最大的圆，应该以宽为直径，即直径是6厘米，所以 这个圆的半径是6÷2=3(cm)，用15除以6来求最多能剪几个这样的圆。 正确解答：6÷2=3(cm)15÷6=2(个)…3(cm) 答：这个圆的半径是3cm;最多可以剪2个这样的圆。 …169 ○考点4立体图形的特征 恩例5小明用一根铁丝围成一个长9dm、宽6dm、高3dm的长方体框架，如果用这根 铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少分米？ -9 dm 思路分析：变形后的铁丝总长度不变，所以先依据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 求出这根铁丝的长度，再用这根铁丝的长度÷12求出正方体的棱长。 正确解答：(9+6+3)×4÷12=6(dm) 答：这个正方体框架的棱长是6dm。 ◎考点5观察物体 恩例6一个组合体是由若干个同样大小的小正方体拼成的，从不同方向看到的形状分别 如下图所示，那么该组合体中有( )个同样的小正方体。 正面 上面 左面 思路分析：从正面看，是4个小正方形，说明组合体一共有2列2层；从上面看是2排， 前面一排有1列靠左边，后面一排是2列；从左面看是2层，上面一层有1排 靠后边，下面一层是2排，所以前面一排只有1个小正方体靠左边，后面一排 是2列2层。所以小正方体一共有1+2+2=5（个）。 根据从三个方向看到的形状图确定拼搭的组合体的方 正确解答：5 法：先从一个方向看到的图形分析，推测可能出现的 ©考点6根据已知条件求角的度数 情况：再结合从其他两个方向观察到的图形综合分析： 最后确定立体图形的形状。 Q例7在三角形ABC中，AB=AC,∠C=50°。在BC边上取一点D,已知∠ADC= 72°，则∠BAD=( 思路分析：AB=AC ∠B=509 ∠C=50° ∠BDC=180° ∠ADB=180°-72°=108° ∠ADC=72° ∠B+∠ADB+∠BAD=180° ∠B=50° ∠BAD=180°-50°-108°=22° ∠ADB=108° 正确解答：22 170·