4.正比例与反比例-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

4.正比例与反比例 课前·知识回顾 知识点①比 比的意义 两个数相除，又叫作两个数的比。 b= 4(b≠0) 比的各部分名称 前项比号后项比值 比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。 联系 区别 比与除法、分数之 比 前项 比号 后项 比值 种关系 间的联系与区别 分数 分子 分数线 分母 分数值 种数 除法 被除数 除号 除数 商 种运算 求比值 比的前项除以后项所得的商叫作比值。 化简比 把两个数的比化成最简整数比的过程叫作化简比 知识点2比例 比例的意义 表示两个比相等的式子叫作比例。 比例的各部分 a:b(b≠0)=c:d(d≠0) 名称 内项 外项 比例的基本性质 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积 解比例 求比例中未知项的过程叫作解比例，解比例的依据是比例的基本性质。 分数法：把比转化为各部分占总数量的几分之几，用分数的方法解答。 先求出总份数，再用“总数量× 各部分的份数=各部分的数量”求解。 总份数 按比分配应用题 归一法：把比看作各部分分得的份数，先求出总份数，然后用“总数量÷ 的解题方法 总份数=平均每份的量（归一）”，再用“平均每份的量×各部分量所 对应的份数”求出各部分的数量。 列比例式解答：先设未知量为x,然后根据题中“已知比等于相对应的量 的比”作为等量关系式，列出含有x的比例式，再解比例求出x的值。 148· 知识点3比例尺 比例尺的意义 图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 比例尺=图上距离 比例尺的数量 实际距离 关系式 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 按呈现方式，比例尺可以分为数值比例尺（如1：2000)和线段比例尺（如 050 100km)。 比例尺的分类 按功能作用，比例尺可以分为放大比例尺（后项为1）和缩小比例尺（前项 为1)。 知识点④正比例和反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相 正比例 对应的两个数的比值（也就是商）一定，那么这两种量就叫作成正比例的量， 它们的关系叫作正比例关系。关系式：Y=k(一定)。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相 反比例 对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关 系叫作反比例关系。关系式：x×y=k（一定)。 (1)分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 判断正比例和 (2)分析这两种相关联的量，看它们之间的关系是比值一定，还是乘积一定。 反比例的方法 (3)如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值 或乘积都不一定，就不成比例。 (1)分析数量关系，判断成什么比例。 用正比例和反 (2)找等量关系，如果成正比例，那么按“等比”找等量关系式；如果成 比例的知识解 反比例，那么按“等积”找等量关系式。 决实际问题的 (3)设未知数并列比例式。 般步骤 (4)解比例，检验并写出答语。 149 课堂·听课笔记 精批注 。正比例与反比例 ·回顾与交流 如：1：4是比，1：4=2：8是比例。应用比的基本性质 可以化简比，应用比例的基本性质可以解比例。 1.举例说明什么是比，什么是比例，以及它们的应用。 比的前项相当于分子、被除裁；比号相当 2.填一填，并说一说比、分数、除法之间的联系。于分鬟线、除号：后项相当于分母、除数。 3:5=3) 5(3):(5) a:b=A=(a)÷（bb≠0】 3.(1)说说图中的比例尺1：6000表示什么意思。 图上1cm表示实斥60O0cm。 (2)240m长的马路在图上应画多长？ 240m=24000cm24000÷6000=4(cm) (3)一个长方形住宅区在图上长1cm,宽0.5cm, 它的实际占地面积是多少平方米？ 1x6000=6000(cm）=60.(m) 0.5x6000=3000(cm)=30(m) :比例尺1：6000 60×30=1800(m) 4.举例说说生活中有哪些成正比例的量，有哪些成反比例的量。 一比例民是存是豪 S=Vt,速度不变时，路程与时间成正比例：路程不变时，时间和速度成反比例。 5.一辆汽车在高速路上行驶，速度保持在100千米/时。说一说汽车行驶的路程随时间变化的 情况，并用多种方式表示这两个量之间的关系。速度×时间=路程 (1)可以列表。 提示：速度保持不变。 时间/时 1 2 3 4 5 路程/km 100 200 300 400 500 (2)可以画图。 路程/km 尝试举出生活中或 500 数学中一个量随另 400 一个量变化的例子。 300 ○ 200 100 0 时间/时 总价随裁量的变化而变化。 12345 (3)可以用式子表示 如果用：表示汽车行驶的时间，：表示汽车行驶的路程，那么V是 (4)判断路程与时间是否成正比例，说说你是怎么想的。 成正比例。因为速度不变，路程与时间的商一定，时间越长，路程越长 且表示路程与时间的图象是一条直线。 -·150· 巩固与应用 1.填一填。提示·周长比=边长比，面积比=边长比的平方。 （1)两个正方形的边长比是1：3，周长比是（1：3)，面积比是（1：9)。 (2)9元可以买2kg鸡蛋，总价与数量的比是(9：2)，比值是(4.5)。 (3)汽车3时行150km,路程与时间的比是(50：1)，比值是(50)。 2.化简。提示化成最简整数比。 30:1201:4 1:3 4:3 6 :0.16:1 10 3 :101:15 2.5:65:12 0.5:3.25:32 25: 30:1 3, 3 6 4: 1:2 3. 北 艺术小学平面图 东 收发室 花坛 操场 实验楼 教学楼 食堂 图书馆 草地 比例尺1：2000 (1)量一量艺术小学平面图的长是14cm,宽是5cm,这所小学实际占地面积 是28000m2.。 (2)绕操场跑一圈大约是240m,花坛的店地面积是1256m2。 实际周长 实际面积 (3)教学楼的店地面和是4200m2,是学校舌地面积的15%。 实际面积 实际面积 4.解方程。 6:0.5=x 2 龙1 3 5=4 2.8:x=2:2.5 x=8 x=1.25 x=3.5 5.判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。用去的长度+剩下的长度=总长度（一定） (1)一捆100m长的电线，用去的长度与剩下的长度。不成比例。 (2)三角形的面积一定，它的底和高。成反比例。 (3)一个数与它的倒数。之5=了ab,积一定。 a·1=1(a≠0)成反比例。 a 151 6.下面表格中的两个量是否成正比例或反比例？为什么？ (1)输液时，二小瓶葡萄糖液均滴落，每分滴数与所需时间的关系如下。 》总量一定 60x20=50×24=40x30=30×40=.…=1200 每分滴数/滴 60 50 40 30 时间/分 20 24 30 40 成反比例。因为每分滴数与所需时间的乘积一定。 (2)妙想的身高与体重的关系如下。 身高/cm 100 110 120 130 … 体重/kg 17 20 25 31 不成比例。因为身高与体重之间没有固定关系。 (3)体积一定，圆柱体的底面积与高的关系如下。V=SM 底面积/dm 300 200 150 120 100 … 高/dm v 3 4 5 6 成反比例。因为圆柱体的底面积与高的乘积一定。 7.磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 路程/km 0 个 14 21 28 35 42 路程/km (1)图中的点A表示时间为1分时，磁悬浮列车驶 42 35 过的路程为7km。请你试着描出其他各点。 28 (2)连接各点，它们在一条直线上吗？ 21 在一条直线上。 14 7 (3)列车运行2.5分时，行驶的路程是多少？ 234567 时间/分 路程=速度×时间 2.5×7=17.5(km) 距离不变。 8.育才小学六年级同学从学校出发，乘车0.5时，来到离学校5km的科技馆，参观1时，出 馆后休息0.5时，然后乘车0.5时返回学校。下面三幅图中，哪幅图描述了他们的这一活 动行程呢？选一选。距离不变。 离校距离/km 离校距离/km 离校距离/km 64 65432 5 432 32 时间/时 时间/时 时间/时 00.511.522.5 00.511.522.5 00.511.522.5 152 课后·提升笔记 练考点 ⊙考点一比 恩例1化简比并求比值。 (1)12:20 （2)0.7:70 (3)号：4 思路分析：根据比的基本性质进行化简比。(1)12：20=（12÷4)：（20÷4)=3：5； (2)0.7:70=(0.7×10):(70×10)=7:700=(7÷7):(700÷7)=1:100: (3)号：子=（号×12）：（号×12）=8：3。计算比值可以直接月化简比的 结果计算。 正确解答：(1)3：5 3 8 ,（2)1:100 100 (3)8:3 网例2根据比、分数和除法的关系填空。 5÷9=9 ）=40:( 27 思路分析：根据比、分数和除法的关系可以将除法写成分数和比的形式，即5：9=哥=5：9， 然后根据分数和比的基本性质解答。 正确解答：1572 ⊙考点二比例 恩例3在一个比例中，两个内项的积是32，其中一个外项是3.2，则另一个外项是( )。 思路分析：根据比例的基本性质可知，两个外项的积等于两个内项的积，所以两个外项的 积也是32，因此另一个外项是32÷3.2=10。 正确解答：10 恩例4解比例：x:12=2:3。 思路分析：求比例中的未知项，要先明确比例的内项与外项各是什么，然后应用比例的基 本性质，将解比例转化为解方程，再求解。 正确解答：x:1.2=2:3 解：3x=1.2×2 3x=2.4 x=0.8 153 忍例5哥哥和妹妹一共有40元零花钱，哥哥的零花钱数和妹妹的零花钱数的比是5：3， 哥哥和妹妹分别有多少元零花钱？ 思路分析：哥哥的零花钱数和妹妹的零花钱数的比是5：3，所以哥哥的零花钱数占总零花 钱能的写3膏，蛛城的零花钱量占总零花假数的写产3。号好和蛛妹一 共有40元零花钱，所以用40分别乘哥哥和妹妹的零花钱数占总零花钱数的分 率即可。 5 3 正确解答：40×5+3=25（元）40×5+3=15（元) 答：哥哥有25元零花钱，妹妹有15元零花钱。 恩例6用一根长96cm的铁丝焊接成一个长方体框架，长方体的长、宽、高的比是5：4：3， 这个长方体框架的长、宽、高分别是多少厘米？ 思路分析：根据“长方体的棱长和=（长+宽+高）×4”可知，长+宽+高=96÷4=24(cm), 24em对应的份数是5+4+3=2（份），其中长占240m的高宽占24em的 告高占24m的高月乘法分别计年出长、宽、高即可。 12 正确解答：96÷4=24(cm)5+4+3=12(份) 24×高=10(m）24×是=8(am）24×}=6(m)） 答：这个长方体框架的长是10cm,宽是8cm,高是6cm。 ◎考点三比例尺 ⊙例7在一幅比例尺为1：10000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2cm,甲、乙两地 的实际距离是（)km。 思路分析：由图上距离：实际距离=比例尺可知，实际距离=图上距离÷比例尺=2： 10000=2×10000=20000(cm）=0.2(km）。 正确解答：0.2 ◎考点四正比例和反比例 恩例8判断下面各式中x和y是否成比例？成什么比例？(x、y均不为0) (1)x+y=6 (2)y=Z (3)y=3x 思路分析：将各式进行整理变形，如果最终能化成Y=k(一定)的形式，那么它就 成正比例；如果最终能化成y=k(一定)的形式，那么它就成反比例。 (1)x+y=6,y=6-x,x和y的比值不一定，所以x和y不成比例。（2)由y= Z得y=7,x和y的乘积一定，所以x和y成反比例。(3)由y=3x得Y=3, x和y的比值一定，所以x和y成正比例。 先我变量，再看定量，通过判断 正确解答：(1)x和y不成比例。(2)x和y成反比例。定量是变量的商还是积，来判断 这两个变量是成正比例还是成反 (3)x和y成正比例。 比例。 …154·