2.数的运算 第2课时 计算与应用-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

第2课时 计算与应用 课前·知识回顾 知识点①四则运算的计算方法 整数 相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进1。 小数点对齐（相同数位对齐），按整数加法的法则计算，和的小数点要和 小数 加数的小数点对齐。 加法 同分母分数相加，分母不变， 分子相加。 分数 异分母分数相加，先通分，然后按同分母分数加法的法则计算，结果能约 分的要化成最简分数或整数。 相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位借1当 整数 10,在本位上加10再减 小数点对齐（相同数位对齐），按整数减法的法则计算，差的小数点要和 小数 减法 被减数、减数的小数点对齐。 同分母分数相减，分母不变，分子相减。 分数 异分母分数相减，先通分，然后按同分母分数减法的法则计算，结果能约 分的要化成最简分数或整数。 相同数位对齐，从低位开始，用一个因数的每一位上的数分别去乘另一个 整数 因数，用因数的哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就和那一位上的数对 齐，再把几次乘得的积相加。 乘法 先按整数乘法法则计算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边 小数 起数出几位，点上小数点。当数位不够时，用0补足；当计算结果的小数 部分末尾有0时，一般把0省略不写。 分数 用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的先约分再相乘。 从被除数的最高位除起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果前 整数 几位不够除，就再多看一位。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的 上面。除到中间不够商1，就商0占位。每次除得的余数必须比除数小。 除数是整数时，按整数除法的计算方法计算，商的小数点要和被除数的小 除法 数点对齐。除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的 小数 小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，用 0补足)，再按除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。 分数 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 124· 知识点2四则混合运算的运算顺序 算式里没 只有加减法或只有乘除法时，按从左往右的顺序依次计算。既有乘除法， 四则混 有括号 又有加减法时，要先算乘除法，再算加减法。 合运算 的运算 算式里有 只有小括号，要先算小括号里面的， 再算小括号外面的。既有小括号， 顺序 又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括 括号 号外面的。 知识点③应用题的类型 求一个数是另一个数的几（百）分之几 个数÷另一个数 求一个数比另一个数多（少)几（百） 相差的数÷另一个数 分之几 求一个数的几（百）分之几是多少 这个数×几（百）分之几 求比一个数多（少）几（百）分之几的 个数×[1±几（百）分之几] 数是多少 分数、 百分数 已知一个数的几（百）分之几是多少， 应用题 已知量÷几（百）分之几 求这个数 已知比一个数多（少）几（百）分之几 已知量÷[1±几（百）分之几] 的数是多少，求这个数 求出勤率 出勤率= 出勤人数 总人数 ×100% 求浓度 浓度= 溶质质量 溶液质量 ×100% 价格问题 单价×数量=总价 总价÷单价=数量总价÷数量=单价 归一问题 单一量=总量÷数量 归总问题 总量=单一量×数量 典型应 速度×时间=路程路程÷速度=时间！ 路程÷时间=速度 用题 相遇时间=路程和÷速度和路程和=相遇时间×速度和 行程问题 速度和=路程和÷相遇时间 追及时间=追及路程÷速度差 速度差=追及路程÷追及时间 追及路程=速度差×追及时间 125 顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速 流水行船 船速=（顺水速度+逆水速度)÷2 问题 水速=（顺水速度-逆水速度)÷2 过桥问题 路程=桥长+车长路程÷速度=过桥时间 工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间 工程问题 工作总量÷工作时间=工作效率 和差问题：（和+差）÷2=较大数（和-差）÷2=较小数 和差、和 倍、差倍 和倍问题：两数和÷（倍数+1）=较小数 较小数×倍数=较大数 问题 差倍问题：两数差÷（倍数-1)=较小数 较小数×倍数=较大数 年龄问题 两人的年龄差始终保持不变。 平均数问 总数量÷总份数=平均数总数量÷平均数=总份数 题 平均数×总份数=总数量 份数=（盈+亏)÷两次分配差份数=（大盈-小盈)÷两次分配差 典型应 盈亏问题 用题 份数=（大亏-小亏）÷两次分配差 折扣问题 原价×折扣=现价现价÷折扣=原价 现价÷原价=折扣 成数问题 几成就是十分之几，也就是百分之几十。 纳税问题 应纳税所得额×税率=应纳税额 储蓄问题 利息=本金×利率×时间 假设全是兔： 鸡兔同笼 鸡的数量=（兔脚数×总头数一总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数） 问题 假设全是鸡： 兔的数量=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数） 两端都不植树：棵数=间隔数-1 两端都植树：棵数=间隔数+1 植树问题 端植树，一端不植树：棵数=间隔数 封闭图形植树：棵数=间隔数 126 课堂·听课笔记 精批注 (二)计算与应用 ·回顾与交流 15x3-→066660666666066 。●。。00。。。0。。。00 1.(1)你是怎样计算“15×13”的？你能在右图中圈一圈， 888888888888888 说明这样计算的道理吗？ 0●000000.000000 000000000000●00 先算15×3，再算 ●00000000●●。0.00 15x10,最后把 15×13 15x10-> 两个得数加起来。 =15x3+15x10 ●。。。0●00。●●●。0● 00000000.00●000 =195 00●000000000000 (2)下面各题怎样计算？想办法说明计算的道理。 .00.9.99.9°.9.p9.99.0.99. 324+84=40813.5-4.8=8.7 9.6÷0.6=16 4 2-8 5×3=6 相同裁位对齐 相同裁位对齐 先转化成除数是整 分子与分子相乘的积作 从个位加起。 从低位减起。 数的除法，再计算。 分子，分母与分母相乘 的积作分母，最后结果 2.算一算，再说说整数、小数和分数加减法的计算方法有什么共同点。化成最简分裁。 U■UmU■ 共同点 相同裁位对齐。 小数点对齐。 38 193 6.82 21.9 都是相同计 数单位的数 +245 -78+12.7 7.2 相加减。 283 115 19.52 14.7 分母不变，分子相加减。 先通分，再计算。 4+26 号号 之2公 5 7=7 630 9-618 3.算一算，再说说小数乘除法与整数乘除法的计算方法有什么联系。 小数乘除法的计算方36×45=1620 322÷14=23 法与整数乘除法的计 算方法是一致的。 3.6×4.5=16.2 3.22÷0.14=23 4.算一算，说一说。 先算加法，再算除法 先算乘法，再算咸法。 （7.5+2.5)÷0.2540 718-18×4646 先算什么，再 先算除法，再算乘法。 先同时算乘法，再算加法 算什么？ ,25125 `2496 2.25×1.8+1.25×0.184.75 先算除法，再算加法。 先算加法，再算减法，最后算乘法。 5.4÷18+12123 [1-(+ 1)]×366 5.整理自己经常做错的题目，说一说计算中应该注意的地方。 注意·混合运算时，不能改变运算顺序，要按运算顺序进行计算。 -…127 6.（1)先画图理解题意，再解决问题。 单位“1 小华的身高是135cm,小龙的身高比小华高)， 小龙的身高是多少？ 画图就明白了。 我画线段图。 小龙的身高比 小华 小4高 135cm 高 小龙 7 小华小龙 135x(1+1)=150(cm) (2)与同伴交流你是如何解决实际问题的。 解决问题的主要步聚， 方方个⌒个⌒m ○读懂题目很重要。理解题意。 画图能帮助 我们分析数 ●还要找到题中的数量关系哟！分析裁量关系。 量关系。 ○选择解决问题的方法，列式并计算 选择合适的方法解答。 ●别忘了还要对答案进行检验，看它是否符合实际。检验、反思。 巩固与应用 个分 1.做一做，说一说。 184 2368 位位 3表示3个十分之二© 368÷2=184 2.3 16 1227.6 16 24 36 36表示36个+分之一 8 人 8 36 0 0 不够除时要商O占位。 不要忘记加进位的1。 2.森林医生。 3 2 83.6 相同数位对齐 即小数点对齐。 3.62 20.9 72 -2.7 483.6 ×38 8 0.92 36 576 36 216 0 3.计算。 2736 5.01-1.8=3211-0.25=075312÷3=1041+3- 3 6+8=24 0.72÷0.6=1.2 38÷4=9.5 1.63+2.3=3.931.25×8=1018× 1216 2 28 ÷ 33 ·128· 4.计算。 7.28-（1.28+0.25)=5.753.68-0.82-0.18=2.68 6x(号+品)-9 十9 3 ×器 1-1-1.1 1 1 236 42÷[14-(50-39)月=142÷2-2 ÷2= 2.25×4.8+77.5×0.48=48 33 5.下面是笑笑家的电表在上半年每月月底的读数记录。 月份 1 2 3 4 5 6 读数/千瓦时 264 283 302 321 345 380 (1)笑笑家2月、3月、4月、5月、6月各月的用电量是多少？ 当月月末电表数-上月月末电表数=当月用电量 2月：283-264=19（千瓦时） 3月：302-283=19（千瓦时）】 4月：321-302=19（千瓦时）5月：345-321=24（千瓦时） 6月：380-345=35（千瓦时） (2)2~6月笑笑家平均每月用电多少千瓦时？ (19×3+24+35)÷5=23.2(千瓦时) (3)如果每千瓦时电费为0.50元，笑笑家2~6月平均每个月要交电费多少元？ 0.50×23.2=11.60(元) 6.张叔叔从家骑车经过购物中心到植物园，全程需2时，如果他以同一速度从家骑车直接到 植物园，可以省多长时间？ 时间 速度不变，路 购物中心14km 程和时间改变。 ●植物园 10 km 21 km (10+14)÷2=12(千米/时) 21÷12=1.75（时) 张叔叔家 2-1.75=0.25(时) 7. 数学家 50cQ 童话 人每本4.80元 每本6.20元 每本2.40元 (1)胜利小学图书馆买了20本《数学家的故事》、15本《童话故事》，一共花去多少元？ 提示：总价=单价x数量 4.80x20+6.20x15=189(元) (2)苗苗幼儿园王老师带50元去书店，买了5本《童话故事》，剩下的钱还能买几本《儿 童歌谣》？提示用“去尾法“求结果。 (50-6.20x5)÷2.40≈7（本） 129.- 8.估计一下参加运动会开幕式团体操的运动员大约有几百人。 5565 64 6 提示·一先估计每个方队的人数，再用乘法估算出大约有几百人。 9.新华小学师生去参观航天博物馆，各年级师生人数如下表。 一年级 二年级 三年级 四年级 五年级 六年级 学生/人 88 95 106 114 130 124 教师/人 4 x 6 6 6 92 99 110 120 136 130 (1)博物馆规定每批参观人数不超过230人，怎样 租车价目表 安排合适？提示·先算出每个年级师生的总人 座位/个 车费/元 悬，再合理安排。 大客车 40 120 一年绒和五年绒师生一起去，二年级和六年绒 师生一起去，三年级和四年级师生一起去。 面包车 10 40 (2)请选择其中一批设计两种派车方案，并求各需 付车费多少元。 (答案不唯一)选一年绒和五年绒」 (88+4+130+6)÷40=5(辆)…28（人）28÷10=2（辆）..…8（人）】 可以租6辆大客车：120×6=720（元） 还可以租5辆大客车和3辆面包车：120×5+40×3=720（元） 10.体育用品商店。 现价=原价x80% 全场一律八折 1每个96元 每个84元 每个72元 每只12元 每个3元 每副40元 (1)打折后，每种物品单价多少元？ 篮球：96×80%=76.8（元） 排球：84x80%=67.2(元) 是球：72×80%=57.6（元）乒年球拍：12x80%=9.6(元) 羽毛球：3x80%=2.4（元)羽毛球拍：40x80%=32(元) (2)淘气和奇思共买了2个足球、2副羽毛球拍和12个羽毛球，比打折前便宜：了多少元？ 求差价：原价-现价=原价-原价x80%=原价x（1-80%) (72-57.6)×2+（40-32)×2+(3-2.4)×12=52(元) 一·130· 11.玩具汽车每辆售价3.5元，王叔叔有100元，最多可买多少辆玩具汽车？ 提示·用“去尾法“计算。 100÷3.5≈28（辆) 12.某种茶叶500g售价98元，李叔叔要买2.2kg这种茶叶，应付多少元？ 22kg=2200g2200÷500×98=431.2(元) 提示：先统一单位，再计算。 13.乐乐和爸爸、妈妈去云峰山采集植物标本。 (1)乐乐全家去云峰山的往返车费需要 多少元？ 去时和返回时的总车费。 (25×2+25÷2)×2=125(元) (2)全家在云峰山庄住宿3天要交住宿费 单程票价 成人25元 和餐费480元，乐乐想再住2天，需 儿童半价 再交多少元？ ±25的一半。 480÷3×2=320(元) 14.学校美术展览中，有50幅水彩画，60幅蜡笔画，蜡笔画的数量比水彩画多几分之几？ (60-50)÷50=1 5 15.淘气攒了100枚1角硬币和5角硬币，1角硬币占总枚数的}。淘气一共攒了多少元？ 1角：100x三=60（枚）5角：100-60=40（枚） 1角=0.1元5角=0.5元60×01+40x0.5=26(元) 16.儿童的负重最好不要超过自身体重的15%，如果长期背负过重物体，会妨碍骨骼生长。妙 想的体重是40kg,她的书包最好不要超过多少千克？ 算算你的书包最好 不要超过多少千克。 40×15%=6(kg】 提示：根据自己的体重和题中的数据算一算。 17.下表是宝华乡2011年、2012年各种农产品产量统计表，把表填写完整。 2011年 2012年 增长率% 粮食/吨 4000 4200 5 油料/吨 300 350 16.67 水果/吨 500 515 增长率-2012年产量-2011年产量×100% 2011年产量 18.李阿姨买了3000元国家债券，定期3年，年利率是3.14%，到期时，她一共可取出多少元？ 提示：一本息和=本金+本金x利率×时间 3000+3000×3.149%×3=3282.6(元) 131 课后·提升笔记 练考点 ⊙考点一四则运算的计算方法 恩例1用竖式计算。 (1)134+258= （2)442÷26= (3)0.15×0.6= 思路分析：（1)个位上4+8=12，在个位上写2，向十位进1；十位上3+5=8，再加上 进位的1,8+1=9，在十位上写9；百位上1+2=3，在百位上写3。 （2)被除数的首位是4，比除数26小，所以看前两位，44个十除以26，商是 1个十，在十位上写1，余下的18个十和2个一合起来是182个一，182个一 除以26，商是7个一，在个位上写7。 (3)用竖式计算小数乘法时，先按整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一 共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 正确解答：(1）134+258=392（2)442÷26=17 (3)0.15×0.6=0.09 134 17 0.15 +258 26442 ×0.6 26 392 182 0.090 182 0 ◎考点二四则混合运算的运算顺序 忍例2计算下面各题，能简算的要简算。 (1)号-方×3 (2)20%÷[三×(3+0.45)] 6 20 思路分析：(1)该算式既有减法，又有乘法，所以先算乘法，再算减法。 (2)该算式既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的加法，再算中括号 里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 在有小数、分裁和百 分裁的四则混合运 正确解答：(1)2-上×3 3-5 (2)20%:[三×(3+0.45)]算中，先明确运算 6 20 顺序，再根据数的 23 35 =1÷[×3] 特点，统一化为同 5 6 5 种裁来计算，当有乘」 洁 =1÷1 除运算，且分裁不 Γ52 能化成有限小裁时 =2 统一化为分最来计 5 算更简便些。 ·132· ○考点三解决问题 恩例3学校买了92个排球，每个箱子里装8个。 (1)这些排球最多能装满多少个这样的箱子？ (2)要全部装走这些排球，至少需要多少个这样的箱子？ 思路分析：(1)求最多能装满多少个这样的箱子，剩余的排球只要不足8个，就不能装满 1箱，所以要用“去尾法”取近似数。 (2)要全部装走这些排球，剩余的排球不管有几个都需要1个箱子，所以要用 “进一法”取近似数。 正确解答：（1)92÷8≈11（个) 计算运送物品的次裁、准备盛纳 物品的容器等问题时，通常采用 答：这些排球最多能装满1个这样的箱子。“进一法”取近似值。计算做儿 (2)92÷8≈12（个) 套衣服、包装几个礼盒、装满多 少个容器这样的问题时，通常采 答：至少需要12个这样的箱子。 用“去尾法”取近似值。 例4果园里有苹果树和梨树一共132棵，梨树的棵数是苹果树的2倍，苹果树和梨树 分别有多少棵？ 思路分析：已知苹果树和梨树的棵数的和是132，苹果树和梨树的棵数间存在倍数关系， 根据和倍公式可以求出苹果树的棵数=132÷（1+2)，梨树的棵数=苹果树的 棵数×2。 正确解答：132÷（1+2)=44（棵）44×2=88（棵） 答：苹果树有44棵，梨树有88棵。 网例5某书店第一天卖出150本书，第二天卖出120本书，该书店第一天卖出的书比第 二天多百分之几？ 思路分析：本题中第二天卖出的书为标准量，第一天卖出的书比第二天多的本数150-120= 30（本)为比较量，根据公式百分数=比较量÷标准量，代入数据，结果写成 百分数即可。 正确解答：（150-120)÷120=0.25=25% 答：该书店第一天卖出的书比第二天多25% 忍例6一辆客车和一辆货车从相距280km的甲、乙两地同时出发，相向而行，客车每时 行75km,2时后两车相遇，货车每时行多少千米？ 思路分析：根据相遇路程÷相遇时间=速度和可以先求出客车和货车的速度和，然后用客 车和货车的速度和减去客车的速度即为货车的速度。 正确解答：280÷2-75=65(km)》 答：货车每时行65km。 133 忍例7一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要12天完成，现在两队合作， 需要几天完成？ 思路分析：把这项工程看作单位“1”。甲队单独做需要10天完成，那么甲队的工作效率是 品：乙认华独微离要12天完成，那么乙队的工作效率是司：两队合作的工作效 率是0+日-品报据工作时间=工作总量÷工作致率，代入款据年可。 正确解答：1(+)9（天) 答：需要60天完成。 11 9例8两棵大树之间相距160m,园林部计划在两棵大树之间均匀地补栽39棵小树，补 栽后每相邻两棵树之间相距多少米？ 思路分析：在两棵大树之间均匀地补栽小树，两端不必再栽小树，相当于“两端都不栽” 的情况，如图： 大树 补栽39棵小树 大树 因此补栽小树的棵数比间隔数少1，每个间隔的长度也就是每相邻两棵树之间 的距离。 正确解答：160÷（39+1)=4（m) 答：补栽后每相邻两棵树之间相距4m。 ②例9有一棵桃树结了100个桃子。一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了桃子总个数的 以后8夫分别偷吃了当天树上桃了个数的)，令，分，“，子，了，树上还有多少个桃子 思路分析：根据题意，可以画出下面的线段图。 原有的100个桃子是单位“1” 第1天偷吃了0 剩于品 解答此类题，要注 意审题，明确年天 第2天偷吃了第1天剩下的g 利于高 偷吃了总裁的几分 之几，剩下几分之 第3天偷吃了第2天剩下的8 剥下石 几，通过单位“1“ 的量x最后剩几 2 剩下0 分之几，求出最后 剩下的数。 第9天偷吃了第8天剩下的2、 ?个 从国中可以看出，第1天偷吃了总个教的六制下1一0品： 第2天偷吃了 10 总个数的9×1=山，剩下9-1=8…依次类推，可以看出，其实每天 109-10' 101010 偷吃的都是总个数的。所以树上还剩下总个的0 正确解答：10×[1-0-(1-)×g--(品0)×宁1=10（个） 答：树上还有10个桃子。 -·134·