1.数的认识 第1课时 整数-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

总复习 数与代数 1.数的认识 课前·知识回顾 知识点①数的分类 小学阶段 整数、小数、分数、百分数以及正数和负数。 学习的数 (1) 正整数 (2) 正整数 自然数 整数 零 正数 正分数（正小数 负整数 正百分数) 然数 数的分类 数 零 正分数（正小数 负整数 分数（小数 正百分数) 负数 负分数（负小数、 百分数) 负分数（负小数、 负百分数) 负百分数) -1.5 (22 4.5 数的大小 关系 (1)在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，位于右边的数总是大 于位于左边的数。 (2)在数轴上，所有的负数都在0的左边，也就是负数都比0小，所有的正数 都在0的右边，也就是正数都比0大。 知识点2数的扩充 1.在早期，人们为了表示人数、猎物的多少，产生了数的需要，慢慢地自然数产生了； 随着活动范围的扩大，人们又提出许多新的数学问题，比如，“半个苹果”就不能用自然 数表示其数量，必须创造新数，人们又引入了分数…现实生活中有不足、亏欠，又产生 了负数。 2.从数的运算来看，任何两个自然数相加，结果仍然是自然数，我们说加法运算在自 然数范围内是“通行无阻”的。但是，任何两个自然数相减，结果却不一定是自然数，有 了负数，减法运算在整数范围内也就没有“障碍”了。同样，一个整数乘一个整数，结果 还是整数，但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数，于是又有了分数…由 此可见，满足运算的需要，是数的扩充的另一个重要原因。 103 课堂·听课笔记 精批注 学习了六年的数学，我们有很多的收获。 把所学的内 要能应用所学的知识解 容进行整理 决问题，并注意总结解 你存在问题银行中的 很重要。 决问题的方法。 问题现在能解决了 吗？又有了哪些新的 想研究的问题？ 数与代数 ○数的认识 1.在小学阶段，我们学过哪些数：？你能用自己的方式整理一下吗？ 「正整裁 正数 正分数（正小裁 自 整裁、小裁、分裁、百分裁、负裁等。 正百分裁) 裁了零 「负整裁 正整数 自然数 负裁〈 负分数（负小数 整数 零 负百分裁) 数 负整数 还可以… 正分数（正小数、正百分数） 分数 (小数、百分数) 负分数（负小裁、负百分裁） 2.可以用下图中的点表示学过的数，你还能表示出其他的数吗？试一试，与同伴交流。 -1.5 15 13(22 4.5 -2 -1 1个单 O是正裁和负数的分界点。 位长度 可以表示整数、小 你能说说这些数之 数、分数，也可以 间的大小关系吗？ 表示负数… 百分数 <-15<-1<0<<1<2<号(2号)<3<4<45<5 2 5 总结：(1)在裁轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，位于右边的 戴总是大于位于左边的数。(2)在裁轴上，所有的负数都在O的左边，也就 是负裁都比O小，所有的正裁都在O的右边，也就是正裁都比O大。 一·104· 3.看一看，说一说，读一读。 0 正整数 都吃了，没有了！ 1,2,3,4,… +6℃ 一个蛋糕平均分 用以前学过 最高气温是零上 成4份，其中 的自然数不 6 ,最低气温是 要引入新的数 份是多少呢？ 能表示了！ 零下2℃。 才能表示零下 引入分裁 2℃g 表示。 引入负数 表示。 数的扩充（一） 在早期，人们为了表示人数、猎物的多少，产生了数的需要， 慢慢地自然数产生了；随着活动范围的扩大，人们又提出许多新的 数学问题，比如，“半个苹果”就不能用自然数表示其数量，必须 创造新数，人们又引入了分数…现实生活中有不足、亏欠，又产 生了负数。 4算一算，想一想，读一读。 (1)8÷2=4 (2)4-2=2 4÷2=2 3-2=1 2÷2=1 产不够商1，不能用学过的 2-2=0 被减裁不够减，不能得到 1÷2=？ 整裁表示，用分数表示。 1-2=？ 正裁或零，产生了负数。 这个结果是整数吗？不是整裁，是分裁。 这个结果是正数或零吗？不是正裁或零， 这个结果是多少？ 这个结果是多少？-1 是负裁。 数的扩充（二） 从数的运算来看，任何两个自然数相加，结果仍然是自然数， 我们说加法运算在自然数范围内是“通行无阻”的。但是，任何两 个自然数相减，结果却不一定是自然数，有了负数，减法运算在整 数范围内也就没有“障碍”了。同样，一个整数乘一个整数，结果 还是整数，但是，一个整数除以另一个整数，结果不一定是整数， 于是又有了分数…由此可见，满足运算的需要，是数的扩充的另 一个重要原因。 105 课后·提升笔记 练考点 对裁进行分类时，要注意依据各种数的意义及形式进行分类。由于 ⊙考点一数的分类 分类标准不同，一个数可能属于不同的范畴。分类时要注意避免遗漏。 例在-5,06,100,0，-15，号这些数中，整数有 ),自然数有( ), 负数有( )，既不是正数也不是负数的数是( 思路分析：整数包括正整数、负整数和0，正整数和0统称为自然数。0既不是正数也不是 负数。正数前面可能带“+”号也可能省略，负数前面一定带“”号。 正确解答：-5,100,0100,0-5，-1.50 用裁轴上的点表示不 ◎考点二在数轴上表示数 同的数，首先要分清 恩例2在数轴上表示下面各数。 是正数还是负数，与 这个数相邻的两个整 数分别是多少，也就 2.5 4-1.5 2 -4.5 有这个裁位于哪两个 整裁之间。 0 思路分析：所有的数都能在数轴上表示出来。正数在0的右边，负数在0的左边。 正确解答： -4.5 -1.5- 22.5 4 0 ◎考点三生活中的数 恩例3下面各情况下通常用到哪种数？不同的裁，在实际生活中有不同的作用。 (1)在统计某个时间段内从学校门口行驶过去的汽车辆数时，要用到()数。 (2)要把一个菠萝平均分给7个同学吃，表示每个同学吃多少，要用到( )数。 (3)买一块橡皮用去8角钱，把钱数用元作单位表示，要用到()数。 (4)表示0℃以下的温度时，要用到()数。 思路分析：（1)统计从学校门口行驶过去的汽车辆数，就是把汽车一辆一辆地累加起来， 要用到自然数。 (2)把一个物体平均分，表示每份是多少，要用到分数。 (3)当钱数不是整元，又要用元作单位的时候，习惯上用小数来表示。 (4)0℃以下表示比0℃低，要用负数来表示。 正确解答：（1)自然（(2)分(3)小(4)负 -·106· 第①课时 整数 课前·知识回顾 知识点①正数和负数 正数和负数的 像2，+6,0.7，+ …这样的数都是正数：像-1，-0.1，-2，…这样 意义 的数都是负数。 正数的读法： “+”读作“正”，“+”后面是几就读作几： 负数的读法：“-”读作“负”，“_”后面是几就读作几 正数和负数的 读写 正数和负数的写法：正数和负数表示具有相反意义的量，为了区分正数和 负数，正数就在数的前面写“+”，正数前面的“+”也可以省略不写；负 数就在数的前面写“-”，负数前面的“-”不可以省略不写。 0小于任意一个正数，0大于任意一个负数。 正数都大于负数。 正数和负数的 大小比较 负数相比较时，负号后面的数越大，这个负数反而越小。 用数轴上的点可以表示正数、零，也可以表示负数。数轴上右边的数大于 左边的数。 知识点2 整数 像-2，-1,0,1,2，这样的数统称为整数。整数包括正整数、负整数和0。 整数的意义 0和正整数统称为自然数： 读法：先分级，从最高位起，一级一级地读，每一级末尾的0都不读，其 他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零 整数的读写 写法：从最高位起，一级一级地写，哪个数位上一个计数单位也没有，就 在那个数位上写0占位。 整数的大小 先看位数，位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位比起，相 比较 同数位上的数大的那个数就大。 把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数，先把原数的小数点向左移 整数的改写 动四位或八位，再在数的后面加上“万”字或“亿”字。 求整数的近 省略万位或亿位后面的尾数时，先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面 似数 的尾数，再在数的后面加上“万”字或“亿”字。 自然数的意义 在数物体个数的时候，用来表示物体个数的0,1,2,3,4，…叫作自然数。 107 自然数的基本 任何非0自然数都是由若干个“一”组成的，所以“一”是自然数的基本单位。 单位 个物体也没有，用“0”表示。“0”还有许多方面的意义，如在表示温 “0”的意义 度时，它是零上温度和零下温度的分界线；在刻度尺上，它是测量的起点： 在数轴上，它是正数和负数的分界点；在读、写数时，“0”起占位作用… 表示物体有多少个的数叫基数 基数与序数 表示物体位于第几的数叫序数。 世界各国最常用的一种计数方法。它的特点是每相邻两个计数单位之间的 进率都是十，就是10个较低的计数单位可以进成一个与其相邻的较高的计 十进制计数法 数单位（即“满十进1”)。这种以“十”为基础进位的计数方法，叫作十 进制计数法 知识点3因数和倍数 a×b=c(a和b是非0自然数)，a和b是c的因数，c是a和b的倍数 因数和倍数 个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫作 最大公因数和 这几个数的最大公因数。 最小公倍数 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数叫作 这几个数的最小公倍数。 个位上的数是0,2,4,6,8的数是2的倍数。 2,3,5的倍 个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 数的特征 个位上的数是0或5的数是5的倍数。 自然数中，不是2的倍数的数叫作奇数。 奇数和偶数 自然数中，是2的倍数的数叫作偶数。 奇偶性 奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数 奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数 个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数)。 质数和合数 个数除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫作合数 1既不是质数，也不是合数。 108 课堂·听课笔记 精批注 (一)整数 ·回顾与交流 ,序数（表示具体日期）、 1.下面的信息中有哪些数，你知道它们的具体意义吗？：与同伴交流一下。序数 ,基数 （1)从1970年4月24日：“第一飞”，到2021年12月10日的第400次发射，51年间长 近似鬟征火箭将70余个航天器送入太空，成为一张闪亮的“中国名片”。 (2)长江是中国第一大河，流经11个省、市、自治区。全长约6300km,流域面积约 180万km2。*近似表 基数（表示物体的个数） 近似数 ,序数（编码） (3)拉萨的区号为0891，面积约为31662km2。历史最高气温29.69℃，最低气温零下16.5℃。 序裁<2010年，常住人口约为56万。近似数 ≥准确数 2.你能用尽可能多的方式表示1243吗？ 1000 10 1个千 2个百 4个 1243=1×1000+2×100+4×10+3 还可以怎样表示？ (表示方法不唯一) 也可以画图表示 千位百位十位个位 可以借助数位顺序表 ☆△△OOOO□▣□ 1 243 3.举例说明怎样比较两个多位数的大小。125<1345，位数多的裁大。 在数轴上，O表示 125<134,位裁相同时，从最高位依次比较，2<3，所以125<134。 正裁和负数的分界 4.在小学阶段，你在哪些地方用到过0？说一说你对0的认识。 点。在运算中，任 此题考查的是对O的认识。图中分别表示O的四种不同含义。 何裁加O或者减O 这里的“0 都得原裁：O和任 不能省。 何裁相乘都得O: 0除以任何非O数 200 都得0： 0不能作 除数。 0可以表示“没有”0可以表示“起点”0可以用来“占位”0可以表示“分界” 5.关于倍数和因数，我们学习了哪些内容？请你整理一下。 定义；2,3,5的倍数的特征；公因裁；公倍戴等。 6.举两个不同的例子，向同伴解释1万有多大、1亿有多大。 1万个馒头大约在1间30平方米的房子能放下，1亿个馒头要数十栋楼才能放下：1粒米 大约重20毫克，1万粒米大约重200克，1亿粒米大约重2吨。 109. 巩固与应用 1.写出下面各数。 4 10块 1000块1000块1000块 万千百十个 包 12064 3010 408 哪个计数单位上一个计数单位也没有 就要在那个数位上写O占位。 2.读一读，填一填。 改写成用“万”作单位的数 2011年我国在校生情况（节选)不要省略“万”后面的尾裁。 指标 在校生/人 在校生/万人 研究生 一百六十四万五千八百 1645800 164.58 普通高等教育 二千三百零八万五千一百 23085100 2308.51 中等职业教育 二千二百零五万三千三百 22053300 2205.33 普通高中 二千四百五十四万八千二百 24548200 2454.82 初中 五千零六十六万八千 50668000 5066.8 普通小学 九千九百二十六万三千北百 99263700 9926.37 99263700>50668000>24548200> 根据上表中的数据，你能 23085100>22053300>1645800 按人数的多少排一排吗？ 从大到小 3.下面是淘气家5月家庭收支情况。 提示：收入为正， 支出为负。 日期 收支情况/元 结余/元 4日 爸爸领工资3000元 4日 +3000 3000 10日交水电费、房租1180元 10日 -1180 1820 12日淘气买鞋用去60元 15日妈妈领工资2800元 12日 -60 1760 18日到公园游玩用去150元 15日 +2800 4560 20日买衣服用去350元 18日 -150 4410 25日爸爸领取稿费200元 20日 -350 4060 28日订报刊、买书用去430元 31日本月伙食费合计用去2680元 25日 +200 4260 28日 -430 3830 31日 -2680 1150 (1)请用正负数的知识填写右表。 提示，是收入就加上，是支出就减去， 按顺序计算 C2)尝试计算淘气家5月的结余。 最后剩余的钱就是结余。 3000-1180-60+2800-150-350+200-430-2680=1150(元) ·110· 4.估一估有多少只蚂蚁，说一说你是怎样估的。 10只 10只 提示可以先 图出10只，再 看一看大约有 多少个这样的 10只，最后用 乘法计算大约 有多少只蚂蚁。 10只 5.(1)在430097800这个数中，“3”在（千万）位上，万位上的数是(9），四舍五入到 万位是（43010万)。 ￥999 (2)最小的五位数是(10000)，减去1是(9999)，最大的三位数加上1是(1000)。 (3)10以内的质数有(2,3,5,7)，合数有(4,6,8,9,10)。 (4)5和25的最大公因数是(5)，5和7的最小公倍数是(35)。 质数只有两个因数，分别是1和它本身；合数至少有三个因裁。 6.用25⑦三张数字卡片按要求摆数。 (1)任意取两张数字卡片，可以摆出的2的倍数有（72,52)，可以摆出的3的倍数有 （75,57,72,27),可以摆出的5的倍数有（75,25)。 (2)任意取两张数字卡片摆出的数中，既有因数3又有因数5：的数有(75)。 (3)摆出的所有三位数中，最大的是(752)，最小的是（257)。 同时是3,5的倍数，个位上的数是0或者5， 同时各个裁位上的裁的和是3的倍数。 7.在下面的圈里填上适当的数。 (1) (2) 18的因数 24的因数 32以内3的倍数32以内5的倍数 3,6,9 5,10, 9,18 4,8 15 12.24 12.18 30 20.25 21,24,27 18和24的公因数 32以内3和5的公倍数 8.实践活动：请将你自己的图书进行分类并编码 提示·先将图书按不同用途分类，再利用学过的知识进行编码。 111 课后·提升笔记 练考点 ⊙考点一正数和负数 恩例1将下面的数进行分类。 0 +0.2 -97 、1 +18 -1.7 2 6 9 正数：( 负数：( 思路分析：正数和负数表示具有相反意义的量，为了区分正数和负数，正数就在数的前面 写“+”，正数前面的“+”也可以省略不写；负数就在数的前面写“”，负数 前面的“_”不可以省略不写。0既不是正数，也不是负数，是自然数。 正确解答：+027，+18，弓 9石-17 ○考点二整数 恩例2填空：1569200047读作( ),省略亿位后面的尾数约是（)亿。 思路分析：读数时，先分级，从最高位起，一级一级地读，每一级末尾的0都不读，其他 数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。省略亿位后面的尾数时，要看 千万位上的数，千万位上的数是6，根据“四舍五入”法向亿位进1，结果是16亿。 正确解答：十五亿六千九百二十万零四十七16 恩例3在○里填上“>”“<”或“=”。 258402 258420 100000000 99999999 思路分析：比大小时，先看位数，位数不同时，位数多的数大；位数相同时，从最高位比起， 相同数位上的数大的那个数就大。258402和258420都是六位数，从最高位依 次往下比，直到比出大小。100000000是九位数，99999999是八位数，九位数 大于八位数。 正确解答：<> 恩例4用三个7和三个0组成的六位数中，一个零都不读的最小六位数是( ）, 只读一个零的最大六位数是( ）。 思路分析：根据整数的读法，每一级末尾的0都不读，其他数位上有一个0或连续几个0 都只读一个零。所以要符合一个零都不读的条件，就要把0放在级尾，同时要 使这个数最小，就要尽量把0放在万级的末尾，即707700：要符合只读一个零 的条件，就要把0放在个级的首位或中间，又要使这个数尽可能大，要尽量把 7放在高位上，即770700。在整数读写中，难点是0的读写，要牢记整数读法中， 正确解答：707700770700 每一级末尾的O都不读，其他数位上有一个O或连续几 个O都只读一个零的原则，分清悬位、裁级细心解答即可。 112· 积例5一个数四舍五入到万位后约是6万，这个数最大是()，最小是()。 思路分析：四舍五入到万位，是以千位上的数确定“四舍”还是“五入”。如果千位上的 数不满5，则原数是6万多，即最大数；如果千位上的数满5，则原数是5万多， 即最小数。 正确解答：64999 55000 ◎考点三因数和倍数 例6判断。 (1)2×7=14,所以2和7是因数，14是倍数。 (2)个位上是3、6、9的数是3的倍数： 思路分析：(1)因数与倍数是相互依存的，不能单独说某数是因数或某数是倍数。所以2 和7是14的因数，14是2和7的倍数。 (2)一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 正确解答：（1)×（2)× ⑨例7不计算，直接判断下面算式结果的奇偶性。 （1)578+129 (2)981-357 (3)742×46 思路分析：（1)578是偶数，129是奇数，偶数+奇数=奇数。 (2)981是奇数，357是奇数，奇数-奇数=偶数。 (3)742是偶数，46是偶数，偶数×偶数=偶数。 质裁只有1和它本身两 正确解答：（1)奇数（2)偶数(3)偶数 个因数。合裁至少有三 个因数，分别是1和 忍例8判断下面哪些数是质数，哪些数是合数。 它本身及其他因裁。判 断一个裁是合数还是质 289135197 111 数，就是看它含有的因 数的个裁。 思路分析：2,13,97都只能被1和它们本身整除，因此它们都是质数；8,9,51,111除 了1和它本身之外还有别的因数，因此它们是合数；1既不是质数也不是合数。 正确解答：质数：21397 合数：8951111 积例9求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 (1)12和20 (2)10和11 (3)8和32 思路分析：可以采用短除法、分解质因数法或列举法求最大公因数和最小公倍数。(1)12 2×2×3,20=2×2×5,2×2=4,2×2×3×5=60,所以12和20的最大公因 数是4，最小公倍数是60。（2)互质的两个数的最大公因数是1,10和11互质， 所以10和11的最大公因数是1，最小公倍数是10×11=110。(3)两个数成 倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。32是8的倍数，所 以8和32的最大公因数是8，最小公倍数是32。 正确解答：最大公因数：(1)4(2)1(3)8 最小公倍数：（1)60(2)110(3)32 113