第4课时 反比例&第四单元要点总结-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

第④课时 反比例 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点1 反比例的意义（教材第46页例题） (1) 表 表2 1 23 45 8 10 2 345678 2 2412 864.84 3 2.4 11 10 9 87654 发现：长方形相邻两边的边长是两个相关联的量，其中一条边的长随着邻 边长的增加而减少。从表1、表2可以发现，这两个表中，长方形相邻两边的 边长之间的变化规律不同。表1中长方形相邻两边的边长的积是24cm,(积 一定)。表2中长方形相邻两边的边长的和是12cm,（和一定)。 (2)10×12=60×2=80×1.5=120,这三种交通工具所行的路程相同。 大巴车的速度是自行车的6倍，大巴车所用的时间是自行车的（石）。小轿车 学 的速度是自行车的8倍，小轿车所用的时间是自行车的（令）。小轿车的速度 新 是大巴车的专，小轿车所用的时间是大巴车的（子）。 知 像上面这样，速度和时间两个量，速度变化，所用的时间也随着变化，而 且速度与时间的积（也就是路程）（一定），我们就说速度和时间（成反比例）。 难点© 知识点2判断两个量是否成反比例的方法（教材第47页试一试） (1)判断两个量是否成反比例，要根据反比例的意义，并结合数据进行分 析，即看一看苹果的单价和数量是不是相关联的量，以及它们的（积）是否一定。 苹果的数量随着单价的变化而变化，单价越低，数量越多。由于12×5= 10×6=6×10=4×15=60,即单价×数量=总价（一定)，所以苹果的单价 与数量（成反比例）。 (2)剩下的页数随着已读页数的变化而变化，已读的页数越多，剩下的页 数越少。它们的（和)一定，但（积）不相等，所以（不成反比例）。 (3)生活中成反比例的实例：长方体的体积一定，长方体的高和底面积成 反比例。运输货物的总量一定，每次运货量与运货次数成反比例…。 理 思 反比例的意义 判断两个量是否成反比 反比例 例的方法 89 课堂·听课笔记 精批注 反比例 ○用x,y表示长方形相邻两边的边长，表1是面积为24cm的长方形相邻两边边长的变化 关系，表2是周长为24cm的长方形相邻两边边长的变化关系。请把表格填写完整，并说 说你分别发现了什么。（单位：cm) 表1 .增加 表2 -》增加 1 2 3 4 5 68 10 678 2412864.8 432.4 0 54 减少 发现表1中，相外两边的边长 的积都是24，即xy=24。表2中 长方形一条边的长随着邻边 相外两边的边长的和都是12 长的增加而减少。 即x+y=120 ○表1和表2中，长方形相邻两边边长之间的变化规律相同吗？不相同。 面积是24cm2的长方形， 周长是24cm的长方形 1×24=2×12=3×8=… 1×11=11,2×10=20,… 相邻两边长的积都是24。 不相等。1+11=2+10=… 相邻两边长的积不相等，但 其中一条边扩大到原来的几倍，另八相邻两边长的和相等。 条边就缩小到原来的几分之一。 其中一条边增加几厘米，另一条边就减少儿厘米。 王叔叔要去游长城，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。你从表中发现了什么？ 发现·这三种 自行车 大巴车 小轿车 交通工具所行 速度/（千米/时） 10 60 80 的路程相同， 时间/时 12 2 1.5 所需的时间随 着速度的变化 而变化，速度 时间是随着速度 10×12=60×2=80×1.5 越快，用的时 的变化而变化的。 积都是120 间越少。 时间和速度是相关联的量。 即路程一定。 像这样，速度和时间两个量，速度变化，所用的时间也随着变化，而 且速度与时间的积（也就是路程）一定，我们就说速度和时间成反比例。 第1个问题中，表1和表2中的长方 形相邻两边的长成反比例吗？ 0o 表1中，长×宽=面积（一定），相部两边长的积一定，所以相邮两边的长成反比例。表2中 长+宽=子周长（一定），相尔两边长的和一定，积不一定，所以相邻西边的长不成反北例。 ·90· 试一试 ○买苹果的总钱数一定，苹果的单价与数量成反比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。 0 0 反比例的意义 我列个表想一想，假设有60元 若用字母x和 成反比例。苹果的单价高 单价12106 表示两个相 了，量就少了：苹果的单价 裁量561015 联的量，用k 低了，裁量就多了。反过来了。 总价60606060 表示它们的积 乘积一样，成反比例。 如果y=收（一 只说明是相关联的量， 单价×数量=总价（一定) 定)，那么x与 没有看积是否一定。 山成反比例。 总页数一定 ○奇思读一本书，已读的页数与剩下的页数的情况如下。 已读的页数 2 3 4 5 剩下的页数 79 78 77 76 75 已读的页数与剩下的页数成反比例吗？为什么？ 剩下的页数随着已读的页裁的变 已读的页数与剩下的页数的和 化而变化，已读的页数越多，剩 一定，但积不相等，所以… 下的页数越少。所以已读的页数 与剩下的页数是相关联的量。 不成反比例。 不是一个量增加，另一个量随之减少，这两个量就一定成 反比例。如“和一定”时的两个量不成反比例。 请举一个成反比例的例子，并与同伴交流。长方体的体积一定，长方体的高和底面积成反 比例。运输货物的总量一定，每次运货量与运 货次裁成反比例等。 判断两个量是否成反比例的方法：一要确定两个量的关联性；二要计算两个 练一练 量中对应裁的乘积：三要根据乘积是否一定来判断这两种量是否成反比例。 每天看15页，几天 每天看10页，12天 可以看完？ 可以看完。 总页数：10×12=120（页）】 提示·同一本书，总页数一定。 平均每天看的页数 10 15 20 30 40 看完全书所需天数 12 S 6 4 3 提示·先求出书的总页裁，再用”总页数÷平均每天看的页数= (1)把上表补充完整。 看完全书所需的天数”计算填表。 (2)说一说看完全书所需天数与平均每天看的页数的变化关系。 看完全书所需天裁随着平均每天看的页裁的增加而减少。 (3)平均每天看的页数与看完全书所需天数是不是成反比例？说明理由。 成反比例。因为看完全书所需天裁随着平均每天看的页裁的变化而变化 并且它们的乘积一定，所以成反比例。 91 2.电脑兴趣小组练习打同二份稿件，下表记录的是每人打字所用的时间。 稿件总宇数一定 小敏 小锋 小英 小强 打字所用的时间/分 30 40 60 80 速度/（字/分） 80 60 40 30 提示：根据“总字数÷打字所用时间=速度”把 请把上表补充完整，再回答下列问题。 表格补充完整。 (1)不同的人在打同一份稿件的过程中，哪个量没有变？稿件的总字数不变。 (2)打字的速度和所用的时间有什么关系？ 成反比例。 (3)李老师打这份稿件用了24分，你知道她平均每分打多少字吗？ 30×80÷24=100(字) 3.判断下面各题中的两个量是否成反比例，并说明理由。 (1)行驶的路程一定，车轮的周长与车轮需要转动的圈数。 车轮的周长×圈数=行驶的 路程（一定） 成反比例，因为它们的乘积一定。 (2)一个人跑步的速度和他的体重。不成反比例，因为一个人跑步的速度和他的体重没有 必然联系，所以它们不是相关联的量。 (3)平行四边形的面积一定，它的底和高。平行四边形的底×高=面积（一定） 成反比例，因为它们的乘积一定。 (4)笑笑从家步行到学校，已走的路程和剩下的路程。 已走的路程+剩下的路程=总路程（一定） 不成反比例，因为它们的乘积不一定。 4.截至2002年年底，我国探明可直接利用的煤炭储量为2298.86亿吨。我国煤炭年均开采量 与可开采年数之间的关系如下表。提示，一确定两个量的关联性；计算两个量中对应裁的乘 积；根据积是否一定判断。 年均开采量/亿吨 2 8 10 20 可开采年数 1149.43 574.715287.3575229.886 114.943 … 判断我国煤炭年均开采量与可开采年数之间是否成反比例，并说明理由。 年均开采量x可开采年数=煤炭储量（一定） 我国煤炭可开采年裁随着煤炭年均开采量的变化而变化，且它们的乘积一定，所以成反比例。 5总下图是两个互相啮(iè)合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总 齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1)大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个 齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ 小齿轮转得更快，小齿轮转的图数多。 (2)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转 过的圈数是什么关系？成反比例。 (3)大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果 大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？大齿轮的齿裁×大齿轮转的圈数=小齿 40×90÷24=150(图) 轮的齿裁x小齿轮转的圈数 -·92 学方法 判断两个量成什么比例，要先判断这两种 量是不是相关联的量，再判断这两种量是 ○运用关系式判断两种量是否成正、反比例 比值一定，还是乘积一定。 有x、y、z三个相关联的量，且y=z。（x、y、z均不为0) (1)当z一定时，x与y成 比例。 (2)当x一定时，y与z成 比例。 思路分析：(1)x与y是两种相关联的量，y=z(一定)。 →x与y成反比例。 (2) y与：是两种相关联的量，三=x(一定)。 y与z成正比例。 正确解答：(1)反（2)正 解决此类题应明确路程一定，即速度和时间的乘积 ○运用比和反比例的知识解决实际问题 一定，速度和时间成反比例。 1.姐姐和弟弟同时从家出发去同一所学校，姐姐需要8分，弟弟需要10分，姐姐和弟弟的 速度比是多少？姐姐和弟弟4分走的路程比是多少？ 思路分析：根据题意可知，两人都是从家出发去同一所学校，说明两人走的路程是一样的， 也就是每个人的速度和时间的乘积是一样的，所以速度和时间成反比例。姐姐 和弟弟所用的时间比是8：10=4：5。速度×时间=路程（一定），所以速度 比正好和时间比相反。当时间都是4分时，速度的比已知，利用公式可以求出 路程的比。 正确解答：姐姐和弟弟所用的时间比：8：10=4：5 姐姐和弟弟的速度比：5：4 姐姐和弟弟4分走的路程比：(5×4)：(4×4)=5：4 答：姐姐和弟弟的速度比是5：4，姐姐和弟弟4分走的路程比是5：4。 2.甲、乙两个仓库存粮的总吨数是180，其中甲仓库存粮的2等于乙仓库存粮的3。甲、 乙两个仓库各存粮多少吨？ 根据题意先推导出甲、乙两个仓库存粮吨数的比，再 按比分配即可解决问题。 思路分析：根据题意可知，甲仓库存粮的吨数×了=乙仓库存粮的吨数×了，逆用比例 的基本性质可以先求出甲、乙两个仓库存粮吨数的比，再把180t按比分配就可 以分别求出甲、乙两个仓库存粮的吨数。 正确解答：甲仓库存粮的吨数：乙仓库存粮的吨数=】：】=2：3 32 甲仓库：180×2子3=72(0) 乙仓库：180×2子3=108() 答：甲仓库存粮72t,乙仓库存粮108t。 93 课后·提升笔记 巧总结 提示判断两种量是否成反比例 ⊙易错点：未明确不变的量，盲目确定两个量是否成反比例需要明确规定不变的量是什么。 判断：时间和速度成反比例。 易错解读：本题易错在受惯性思维影响，认为只要一提到时间和速度的关系问题，就认为 总路程是一定的。在本题中，必须说明路程一定时，时间和速度才成反比例。所以本题的 正确答案为×。 举一反三： 判断。 (1)三角形的面积一定，它的底和高成反比例。 (2)铺地面积一定，方砖的边长和所需方砖的块数成反比例。 ( (3)面粉的总质量一定，平均每袋的质量与袋数成正比例。 提素养 提示：判断两种量是否成比例、成什么比例时，可以先把这 两种量之间的关系式写出来，再根据关系式判断。 1.判断下面各题中的两个量分别成什么比例，在后面的括号里填“正”“反”或“不成”。 (1)5x=6y(x,y均不为0)，x和yo ()比例 (2)火箭飞行的总路程一定，火箭每秒飞行的路程和飞行的时间。 ( )比例 (3)小明的年龄与身高。 )比例 (4)每盒冰淇淋的价格一定，冰淇淋的销售总价和销售数量。 )比例 (5)分子一定，分母和分数值」 ( )比例 2.装订一批练习本，每本练习本用纸的张数和装订的本数如下表。 提示：一确定两种量的关联 每本练习本用纸的张数 15 20 25 30 40 性：计算两种量中对应的 装订的本数 40 30 24 20 15 乘积或比值；根据乘积或 比值是否一定判断。 (1)每本练习本用纸的张数和装订的本数成什么比例？ (2)如果每本练习本用纸50张，那么共可装订练习本多少本？ 94 第四单元要点总结 .要点 在抽象的情境中判断两个量是否成正比例或者反比例 判断两个量是否成比例、成什么比例时，可以先把这两个量之间的关系式写出来，再根 据关系式来判断。 练习 判断下面各题中的两个量分别成什么比例，在后面的括号里填“正”“反”或“不成”。 (1)行驶一段路程，车轮的直径与车轮转动的圈数。 ( )比例 (2)学校计划植树500棵，已植的棵数与未植的棵数。 ( ）比例 (3)小军每分浇树的棵数一定，浇树的时间和浇树的总棵数。 ( )比例 (4)三角形的面积一定，底和高。 ( )比例 (5)一场足球赛的时间一定，用去的时间和剩下的时间。 )比例 (6)看一本故事书，每天看的页数和看的天数。 )比例 ,要点2会运用正比例图象解决问题。 正比例图象是一条经过原点(0,0)的直线，正比例图象上横轴上的每个数都对应着纵 轴上唯一的一个数。判断某一点在不在这条直线上，要看这个点所表示的那组数的比值与原 来成正比例的两个量的比值是否相等，若相等就在这条直线上，否则就不在。 练习 下图中线段OA表示张大爷晨练所走的路程与时间的关系，看图回答下列问题。 路程/千米 6 5 4 3 2 10 0 10 2030405060时间/分 (1)张大爷晨练了( )分，所走的路程是( )千米。 (2)晨练25分时，张大爷走了()千米。 (3)张大爷晨练走5千米，共用了( )分。 (4)张大爷晨练时走路的速度是多少？ 95要点4练习 略 四 正比例与反比例 第1课时变化的量 举一反三 明明X 丽丽√ ②提素养 (1)10-4 (2)4时到12时、14时到16时气温在升高；0时 到4时、16时到24时气温在降低。 (3)10时的气温与22时的气温相同，20时的气温 与12时到14时的气温相同。 第2课时正比例 举一反三 B Q提素养 (1)变化的量是生产时间和生产总量。生产总量随 着生产时间的变化而变化，生产时间增加，生 产总量随着增加。 (2)对应生产总量与生产时间的比值都是15，生 产总量与生产时间的比值表示生产速度。 (3)生产总量与生产时间成正比例。因为生产总 量÷生产时间=15，比值一定，所以这两个 量成正比例。 第3课时画一画 举一反三 「销售金额/元 80 64 48 32 16 0 1 2345销售数量1张 Q提素养 (1)甲车：成正比例。 乙车：成正比例。 1(2)(90+60)×5=750(千米) 答：A、B两地相距750千米。 第4课时反比例 举一反三 (1)V(2)×(3)X Q提素养 11.(1)正(2)反(3)不成(4)正(5)反 12.(1)成反比例。 (2)15×40÷50=12(本) 答：共可装订练习本12本。 第四单元要点总结 要点1练习 (1)反 (2)不成(3)正 (4)反 (5)不成(6)反 要点2练习 (1)606(2)2.5(3)50 (4)1÷10=0.1(千米/分)》 答：张大爷晨练时走路的速度是0.1千米/分。 10