第2课时 正比例-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

第②课时 正比例 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点① 正比例的意义（教材第41页例题） (1)正方形周长与边长的变化规律：正方形的周长随着边长的变化而变化， 边长增加，周长也增加，变化规律是正方形的周长=4（一定）。 边长 正方形面积与边长的变化规律：正方形的面积随着边长的变化而变化，边 长增加， 面积也增加，变化规律是正方形的面积=边长（不一定）。 边长 (2)根据表中的数据发现规律：①路程随着时间的变化而变化，时间增加， 路程也增加。②90=180=270…=90，也就是路程与时间的比值是一定的， 1 2 3 即路程=90（一定）。 时间 像这样，路程和时间两个量，时间变化，所行驶的路程也随着变化，而且 路程与时间的比值一定，我们就说路程和时间（成正比例)。 学 难点心 知识点②判断两个量是否成正比例的方法（教材第42页试一试） 新 (1)根据圆的面积计算公式S=π2可知，圆的面积随着半径的变化而变 知 化，所以圆的面积与半径是两个（相关联）的量。但是这两个量的比值（不一定）， 所以圆的面积与半径（不成正比例）。 (2)爸爸的年龄随着乐乐年龄的增长而增长，所以爸爸的年龄和乐乐的年 龄是两个（相关联）的量。虽然他们的年龄差总是26岁，但是这两个量的比值（不 一定)，所以爸爸的年龄和乐乐的年龄（不成正比例）。 (3)成正比例的例子：圆的（周长)与（直径）成正比例。因为圆的周长 随着直径的变化而变化，它们是两个（相关联）的量。圆的周长=圆周率（一定）， 直径 比值一定，所以它们成正比例。 不成正比例的例子：一本书的总页数一定，已看的页数和未看的页数不成 正比例。因为已看的页数+未看的页数=总页数（一定），虽然已看的页数和 未看的页数是两个（相关联）的量，但是这两个量的和一定，比值（不一定）， 所以已看的页数和未看的页数不成正比例。 理 思 正比例的意义 正比例 判断两个量是否成正 比例的方法 路 78 课堂·听课笔记 精批注 正比例 ○下面是正方形周长与边长、面积与边长之间的变化情况，把表格填写完整，并说说你分别 发现了什么。 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长 边长/cm 2 3 边长/cm 2 3 周长/cm 4 16 面积/cm2 16 两组量变化的共同特点· 正方形的面积和周长都是 随着边长的增加而增加的。 ●周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗？ 周长与边长的比值： 面积与边长的比值： 1 周长总是边长的 1 s1,4 =2, 4倍，而面积与 1 边长的倍数关 周长与边长的 面积与边长的 比值不变。 比值不相等。 系不断变化。 正方形的周长 4 边长 正方形的面积=边长（不一定） 边长 周长与边长、面积与边长之间的变化规律不相同。 一辆汽车以90千米/时的速度行驶， 行驶的路程与时间如下。把下表填写完整，你从表中 发现了什么？ 路程=时间x速度 时间/时 2 7 8 正北例的意 1 4 5 6 义若用宇 路程/km 90 180 270 360 450 540 630 720 母x和以表 示两个相关 路程是随着时间的 90=180=270 =90 联的量，用 变化而变化的。 2 3 也就是路程与时间的即速度 k表示它们 的比值，如 S时间增加，路程增加。 比值是一定的。 00 果4=k(一 像这样，路程和时间两个量，时间变化， 所行驶的路程也 定)，那么 随着变化，而且路程与时间的比值（也就是速度）一定，我们 x与y成正 比例。 就说路程和时间成正比例。 正方形的面积随着边长的变 正方形的周长随着边长的变 化而变化，正方形的周长 第1个问题中，正方形的周长与 化而变化， 正方形的面积 边长 边长 边长、面积与边长成正比例吗？ 00 边长，比值不一定，所以 4,即比值一定，所以正方 正方形的面积与边长不成 形的周长与边长成正比例。 正比例。 79 试试 圆的面积与半径成正比例吗？你是怎么想的？与同伴交流。 判断两个相关联的量是否成正比例的方法：一要确定两个量的关联性；二要计算两个量中 对应裁的比值：三要根据正比例的意义确定这两个量能否成正比例，成正比例的两个量的 比值必须一定。 圆的面积与半径的平方成正比例 我列个表试一试 只说明了是 圆的面积公式Sm 相关联的量 圆的 圆面积随着半径的变化而变化， 面积 3.14 12.56 28.26 没有看比值 我想是成正比例的。 半径 1 2 3 是否一定。 比值不相等 圆的面积与半径不成正北例。因为虽然它们是相关联的量，但它们的比 值不一定，所以圆的面积与半径不成正比例。 乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整。 乐乐的年龄/岁 6 7 8 9 10 11 爸爸的年龄/岁 32 33 34 35 36 37 他们的年龄成正比例吗？为什么？ 成正比例的两个量比值一定，注意这是一种除法关系 不是加法或减法关系。 因为2 33343536 6· 78g1017 的比值都不相等，所以他们的年龄不成正比例。 。分别举一个成正比例和一个不成正比例的例子，与同伴交流。 圆的周长与直径成正比例。 一本书的总页数一定，已看的页数和未看的页数不成正比例。 “练一练 1.学校科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下表。 竹竿的高/m 1 2 4 6 8 竿影的长/m 0.4 0.8 1.2 1.6 2.4 3.2 (1)说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。 提示：根据表中数据分析。 竿影的长随竹竿的高的增加而增加。 (2)写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现？ 提示：先写出每组中竿影的长与竹竿的高的比，求出比 值后，对比发现规律。 0.4:1=08:2=…=2.4:6=3.2:8=0.4,比值都相等。 (3)竹竿的高与竿影的长是不是成正比例？说明理由。 提示根据竿影的长与竹竿的高的比值判断是不是成正比例。 成正比例，因为竿影的长随着竹竿的高的变化而变化， 且它们的比值一定。 80 2.根据下表中底是6Cm的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例， 并说明理由。 底一定 提示平行四边形的面积=底x高。 平行四边形的面积/cm 6 12 18 24 30 平行四边形的高/cm 1 2 3 4 5 成正比例。因为平行四边形的面积随着高的变化而变化，且6：1=12：2 18:3=24:4=30:5=6,即平行四边形的面积与高的比值一定。 3.判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由。 (1)每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。提示：根据正比例的意义进行判断。 成正比例。因为大米的总质量与秦数的比值（每袋大米的质量）一定。 (2)一个人的身高和年龄。不成正比例。因为它们的比值不一定。 (3)宽不变，长方形的周长与长。不成正比例。因为它们的比值不一定。 提示先观察分析数据，我出“应付金额” 总价=单价×数量 4. 与“买邮票的裁量”之间的关系，再求 买邮票的数量/枚 应付金额/元 出这两个量的比值， 最后根据正比例的 意义进行判断。 ,即单价为O.8元。 0.8 买面值8角觎 2 1.6 的邮票。 3 2.4 买几枚？ 4 3.2 5 4.0 6 4.8 7 5.6 8 6.4 把表填完整，你从中发现了什么？应付金额与所买邮票的数量成正比例吗？ 发现应付金额与所买邮票的裁量的比值是一定的 即邮票的面值。应付金额与所买邮票的数量成正比例。 你知道吗 据说，埃及的金字塔修成一千多年 后，没有人能够准确地测出它的高度。 人们尝试过很多方法，但都没有成功。 古希腊人泰勒斯用数学方法测量出了金 字塔的高度。泰勒斯站在金字塔前，让 别人测量他影子的长度，当他影子的长 度与他的身高完全相等时，他立刻在金字塔的投影处作一记号，测 量出金字塔影子的长度。这样，就得到了金字塔的高度。 想一想，说一说，泰勒斯测量金字塔高度的道理是什么？如果 身高与影长的比不是1：1，你还能测量出金字塔的高度吗？ 道理：泰勒斯的影长与身高的比是1：1，那么在同一时间、同一地点，金字塔的影长与高度 的比也是1：1。因此，测出了金字塔的影长，就等于测出了金字塔的高度。 如果身高与影长的比不是1：1时，也可以利用“身高：影长=金字塔的高度：金字塔的影长” 的关系进行测量与计算，得到金宇塔的高度。 -…81 学方法 根据乘法各部分之间的关系，将算式转化成 一个等于“一定量”的算式。如果是除法 ◎根据乘法各部分之间的关系解决正比例问题 并且商一定，那么这两个量就成正比例。 A、B、C三个量的关系是A×B=C(A、B、C均不为0，填“成”或“不成”)。 (1)如果A一定，那么C和B()正比例。 (2)如果B一定，那么C和A()正比例。 思路分析：在A×B=C这个算式中，A和B是因数，C是积，根据乘法各部分之间的关系： 一个因数=积÷另一个因数，得出日=A,A一定，也就是商一定，且C随着 B的支化而变化，所以C和B成正比例。同里，只=B,B一定，所以C和A 也成正比例。 正确解答：（1)成(2)成 当工作效率一定时，工作量与工作时间 ◎利用正比例的意义解决工程问题 成正比例是解题的关键。 李师傅在一家零件厂工作，他所加工的零件个数与所用的时间统计如下： 工作时间/时 2 3 工作量（所加工的零件数量）/个 42 84 168 210 (1)工作量与工作时间成正比例吗？把表格补充完整。 (2)按照这个速度，李师傅一个工作日(8时)可以加工多少个零件？ 思路分析：（1)观察统计表可以发现：李师傅1时加工42个零件、2时加工84个零件、4 时加工168个零件，时间越长，所加工的零件越多，并且42=84=168=42， 1 2 4 所以工作量与工作时间成正比例，即工作量=42（工作效率一定）。据此可 工作时间 以计算3时加工零件的个数是42×3=126（个），要加工210个这样的零件需 要的时间是210÷42=5（时)。 (2)工作效率一定，可根据工作量=工作时间×工作效率，计算李师傅8时 加工的零件个数。 正确解答：(1)42=84=168=42（工作效率一定），所以工作量与工作时间成正比例。 2 4 工作时间/时 2 3 4 5 工作量（所加工的零件数量）/个 42 84 126 168 210 (2)42×8=336(个) 答：李师傅一个工作日(8时)可以加工336个零件。 82 课后·提升笔记 巧总结 提示，成正比例的两个量 的比值一定，差一定的两 ○易错点：未计算比值，盲目确定相关联的两个量是否成正比例 个量不成比例。 判断：长方形的宽一定，长方形的周长的一半与它的长成正比例。 ( 易错解读：在长方形中，如果长方形的宽一定，这个长方形的长越长，那么它的周长就越长， 往往会使人误以为此时长方形的周长的一半与它的长成正比例。但其实，长方形的周长 (长+宽)×2→长方形的周长=长+宽→长方形的周长-长=宽（一定），所以长方形 2 2 的周长的一半与它的长不成正比例。所以本题的正确答案为×。 举一反三： 两个量成正比例的必备条件(1)两个量是相关联的量 下列选项中，( )成正比例。 (2)两个相关联的变量的比值一定。 A.直角三角形中两个锐角的度数 B.订阅《中国少年报》的份数与所用钱数 C.平行四边形的面积一定，它的底和高 D.一个人的身高与体重 提素养 下面是某啤酒生产线上的部分生产情况记录表。 生产时间/时 1 2 3 4 6 生产总量/吨 15 30 45 60 75 90 (1)表中变化的量是哪两个？二者的变化关系是什么？提示·由表可知，生产总量和生产时 间是相关联的量，且它们的比值一定 所以生产总量与生产时间成正比例。 (2)写出对应生产总量与生产时间的比值，这个比值表示什么？ (3)生产总量与生产时间是否成正比例？说明理由。 83要点4练习 略 四 正比例与反比例 第1课时变化的量 举一反三 明明X 丽丽√ ②提素养 (1)10-4 (2)4时到12时、14时到16时气温在升高；0时 到4时、16时到24时气温在降低。 (3)10时的气温与22时的气温相同，20时的气温 与12时到14时的气温相同。 第2课时正比例 举一反三 B Q提素养 (1)变化的量是生产时间和生产总量。生产总量随 着生产时间的变化而变化，生产时间增加，生 产总量随着增加。 (2)对应生产总量与生产时间的比值都是15，生 产总量与生产时间的比值表示生产速度。 (3)生产总量与生产时间成正比例。因为生产总 量÷生产时间=15，比值一定，所以这两个 量成正比例。 第3课时画一画 举一反三 「销售金额/元 80 64 48 32 16 0 1 2345销售数量1张 Q提素养 (1)甲车：成正比例。 乙车：成正比例。 1(2)(90+60)×5=750(千米) 答：A、B两地相距750千米。 第4课时反比例 举一反三 (1)V(2)×(3)X Q提素养 11.(1)正(2)反(3)不成(4)正(5)反 12.(1)成反比例。 (2)15×40÷50=12(本) 答：共可装订练习本12本。 第四单元要点总结 要点1练习 (1)反 (2)不成(3)正 (4)反 (5)不成(6)反 要点2练习 (1)606(2)2.5(3)50 (4)1÷10=0.1(千米/分)》 答：张大爷晨练时走路的速度是0.1千米/分。 10