第1课时 变化的量-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

第①课时 变化的量 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点 认识“相关联的变化的量”（教材第39页例题）】 (1)认识相关联的变化的量：通过观察表格和图，发现妙想6岁前的体重 随年龄的增长而变化，因此，（体重)和（年龄）是相关联的变化的量。 体重随年龄变化的具体规律：①6岁前，妙想的年龄在（增长），体重也 在（增长）。②0~2岁，妙想的体重增长（最快)；2~4岁，妙想的体重增长（比 较快)；4~6岁，妙想的体重增长（比较缓慢）。 (2)确定变化的量：统计图的横轴代表（时间），纵轴代表（骆驼的体温）， 体温随（时间）的变化而变化，所以它们是两个相关联的量。 观察图象，发现规律：骆驼每天在同一时间的体温是（相同）的，也就是说， 骆驼的体温随时间的变化呈（周期性变化），从4时到次日4时为一个变化周期， 学 一个变化周期为（24时)。 新 一天中，骆驼的体温最高是（40℃)，最低是（35℃)。 知 一天中，从(4时)到(16时)，骆驼的体温在上升；从(0时)到(4时) (16时)到(24时)，骆驼的体温在下降。 第二天（8时)就是(32时)，与前一天8时的体温（相同)。 (3)结合实际，认识变化的量。 骑车行驶的路程随着时间的变化而变化；通常18岁之前，身高随着年龄 的变化而变化；圆的面积随着半径的变化而变化。… 总结：(1)生活中有很多变化的量，其中一种量随着另一种量的变化而变化， 并且这种变化是相互关联的，我们称这两种量为（相关联的量)。 (2)相关联的量的变化，有的是有规律的，有的是没有规律的 (3)列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。分析表格时，要弄清两 个变量及相对应的数据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称以 及图中每一个点所对应的两个量的多少 思 变化的量 认识“相关联的变化的量” 73 课堂·听课笔记 精批注 变化的量 淘气和笑笑分别用表格和图表示了妙想6岁前的体重变化情况。 体重/kg相同时间内，折线倾斜程度最大 年龄增长。 这是体重上升最快的时间段。 222 25 折线不断上升 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 20 表示出妙想6 15 岁前的体重随 体重kg 3.5 14.0 18.0 21.0 10 年龄的增长的 +105 +40 +30 5 变化情况。 体重增长。 出生时2 4 6年龄/岁 观察上面的表格和图，想一想哪些量在发生变化，妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而 变化的？ 从出生到2岁之间。 体重增长最快 随年龄增长，体重越来越大。 的时间是… 一个人随着年龄的增长，体重也在发生变化。可见体 重和年龄是相关联的变化的量。妙想6岁前的体重随 年龄的增长而增长。 ©骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。 温度/℃ 1 0 最高 39 37 35 最低 33 0 48121620242832:36404448时间/时 (图中28时表示次日凌晨4时产第二天8时 曲线图的最高点下 ”曲线图的最低点 (1)一天中，骆驼体温最高是多少？最低是多少？最高是40℃，最低是35℃。 (2)一天中，什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？ 上升：从4时到16时：下降：从O时到4时、16时到24时。 (3)第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？体温相同。 ○在大自然和日常生活中有很多变化的量。你还能找出一个量随着另一个量变化而变化的例 子吗？与同伴交流。 如：(1)骑车行驶的路程随着时间的变化而变化：(2)通常18岁之前，身 高随着年龄的变化而变化：(3)圆的面积随着半径的变化而变化。 -·74· 练一练 底面积不变 1.当圆柱的底面积等于10cm时，圆柱的体积和高的变化情况如下表。 x.3 高/cm 2×2*4 X 8 10 12 体积/cm 20、×2,40 60 80 100 120 结合上表的数据，说一说圆柱的体积与高之间的变化关系。圆柱的体积=底面积×高 当底面积保持不变时，圆柱的体积随着它的高的变化而变化，高增大时，体 积也随着增大。 2.你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 提示·根据横轴和纵轴表示的含义，结合曲线的起伏观察和分析。 人所在座舱的高度/m 最高点 最高点 18 15 增 12 9 6 3 最依点 2 4 681012141618202224时间/分 (1)转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ 最高点是18m,最低点是3m。 (2)转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ 增加：0~6分：降低：6~12分。 (3)到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 提示·两个最高点对应的时间差 需要经过12分。 即为所求。 3.某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。 提示：根据这位学生的发现写出等量关系式，再用宇母替代所表示的项。 1分叫的次数÷7+了=当时的气温 0 0 如果用n表示蟋蟀每 蟋蟀1分叫的次数除 分叫的次数，用t表 以7再加3，所得的 示当时的气温，你能 结果与当时的气温差 用式子表示这个近似 不多。 关系吗？ t=n÷7+3 75 学方法 ◎运用观察法解决关于变化的量的问题 下面是某水库的平均水深（单位：m)随水库的库容（单位：m3)的变化而变化的情况。 库容/m3 观察法：观察法是通过观察 3000000 数学问题中数的变化规律」 2500000 2000000 位置特点、图形特征、条件 1500000 与结论之间的关系及题目的 1000000 结构特点等，发现问题中的 500000 关系，从而我出解决问题的 02 5101520253035平均水深/m 途径的一种方法。 (1)这个图反映了哪两个变量之间的关系？ (2)当平均水深是5~25m中的一个确定的值时，相应的库容确定吗？ (3)当平均水深是20m时，水库的库容是多少？ 思路分析：(1)观察图中的横轴和纵轴可知，图中两个变量是水库的平均水深和库容。(2)观 察图可知，平均水深是5~25m中的任何数据都对应库容的一个数据，所以当 平均水深是5~25m中的一个确定的值时，相应的库容是确定的。(3)观察图 可知，当平均水深是20m时，看纵轴相对应的数为2000000，它表示的就是当 水库平均水深是20m时，水库的库容是2000000m3。 正确解答：(1)水库的平均水深和库容。 （2)相应的库容确定。 (3)当平均水深是20m时，水库的库容是2000000m3。 ○运用对应法确定相关联的量的变化规律问题 摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒… 变量之间的变化关系有的是没 八☑☑ 有规律的，有的是有规律的。 有规律的变量之间的变化规律 可以用含有宇母的式子表示。 如果用表示三角形个数，m表示小棒根数。你能用式子表示它们之间的关系吗？ 思路分析：我们可以利用下面的表格，对应分析小棒根数与三角形个数之间的关系。 图示 三角形 个数 小棒 3 5 7 9 根数 11 m 关系式1+2×11+2×21+2×3 1+2×4 1+2×5 1+2×n 正确解答：m=2n+1 76 课后·提升笔记 巧总结 提示相关联的量必须是一个量变化，另一个 ○易错点：把相关联的量与随机现象相混淆 量也随之变化。 判断：妈妈8月1日花了10元钱买菜，随着时间的变化，8月2日妈妈也一定会花钱。 易错解读：本题易错点在于不明白变量之间的关联关系。花钱是一种随机现象，有需要就会 花钱，没有需要就不会花钱，所以花钱与日期之间不是一对相关联的量。相关联的量之间的 关系是指一个量变化，另一个量也随着变化，它不包括随机现象。所以本题的正确答案为×。 举一反三： 下面的表格表示的是在上午某段时间内旗杆影长与时间的关系。 提示，旗杆影长 的变化具有周期 时间/时 7 8 9 10 性规律，先对周 期内的变化情况 旗杆影长/m 12 10 7 4.5 进行完整的记 录，再根据规律 他们的说法正确吗？正确的画“√”，错误的画“×”。 推断变化情况。 明明旗杆在一天内的影长会越来越短。 丽丽旗杆影长从早晨到中午会越来越短，从中午到傍晚会越来越长。 ( 提素养 下图是北京某天的气温变化情沉。提示：明确横轴与纵轴的意义是解决此题的关健。 气温/℃ 12 6 42 12 1416 18202224时间/时 -4 最高点下 最低点 (1)这一天北京的最高气温是( )℃，最低气温是( )℃。 (2)图中什么时间范围内气温在升高？什么时间范围内气温在降低？ (3)10时的气温与其他哪个时间相同？20时呢？ 77要点4练习 略 四 正比例与反比例 第1课时变化的量 举一反三 明明X 丽丽√ ②提素养 (1)10-4 (2)4时到12时、14时到16时气温在升高；0时 到4时、16时到24时气温在降低。 (3)10时的气温与22时的气温相同，20时的气温 与12时到14时的气温相同。 第2课时正比例 举一反三 B Q提素养 (1)变化的量是生产时间和生产总量。生产总量随 着生产时间的变化而变化，生产时间增加，生 产总量随着增加。 (2)对应生产总量与生产时间的比值都是15，生 产总量与生产时间的比值表示生产速度。 (3)生产总量与生产时间成正比例。因为生产总 量÷生产时间=15，比值一定，所以这两个 量成正比例。 第3课时画一画 举一反三 「销售金额/元 80 64 48 32 16 0 1 2345销售数量1张 Q提素养 (1)甲车：成正比例。 乙车：成正比例。 1(2)(90+60)×5=750(千米) 答：A、B两地相距750千米。 第4课时反比例 举一反三 (1)V(2)×(3)X Q提素养 11.(1)正(2)反(3)不成(4)正(5)反 12.(1)成反比例。 (2)15×40÷50=12(本) 答：共可装订练习本12本。 第四单元要点总结 要点1练习 (1)反 (2)不成(3)正 (4)反 (5)不成(6)反 要点2练习 (1)606(2)2.5(3)50 (4)1÷10=0.1(千米/分)》 答：张大爷晨练时走路的速度是0.1千米/分。 10