第4课时 圆锥的体积&第一单元 要点总结-【随堂笔记】2025-2026学年六年级下册数学（北师大版）

本书练习题参考答案 圆柱与圆锥 ②提素养 第1课时面的旋转 11.（1)80（2)42.39 2.(1)×(2)× 举一反三 13.3.14×102×20=6280(cm3) 4 cm 10cm 24cm 3.14×202×10=12560(cm3) ②提素养 答：以长所在的直线为轴旋转一周，得到的圆柱 1.30×4+25×4+30=250(cm) 的体积是6280cm3,以宽所在的直线为轴旋 答：一共需要250cm长的彩带。 转一周，得到的圆柱的体积是12560cm3。 2.能。因为扇形的弧长为3.14×2×2×3=9.42(cm), 第4课时圆锥的体积 圆的周长为3.14×3=9.42(cm),9.42=9.42, 举一反三 因此能做成一个圆锥。 ×3.14×2×1.5×1.6=10.048(t) 第2课时圆柱的表面积 3 答：这个沙堆的质量约是10.048t。 举一反三 ②提素养 3.14×6×1.2+3.14×(6÷2)2=50.868(m2) I1.(1)A(2)C(3)B 答：抹水泥部分的面积是50.868m2。 12.3cm=0.03m ②提素养 ×3.14×(12÷2)2×5÷10÷0.03=628(m) 3 1.C 答：这些沙土能铺628m的路。 2.(1)3.14×3×2+3.14×3×2×8=207.24(cm2) (2)3.14×(10÷2)2×2+3.14×10×5=314(dm2) 第一单元要点总结 (3)3.14×(20÷2)P×2+3.14×20×9=193.2(m)1要点①练习 3.3.14×42×[(3-1)×2]=200.96(dm2) (△) ( )()(O)() 答：圆柱形木料的表面积增加了200.96dm。 1要点2练习 第3课时圆柱的体积 13.14×202+3.14×20×2×50=7536(cm2) 举一反三 答：做一个这样的水桶至少要用铁皮7536cm2。 1要点3练习 50.24÷8=6.28(dm) 3.14×(20÷2)2×24=7536(cm3) 6.28÷3.14÷2=1(dm) 2 m=20 dm 7536×号=2512(cem) 3.14×12×20=62.8(dm3) ↓答：这个圆柱形木块的体积是7536cm3；圆锥的体 答：原来这根木料的体积是62.8dm。 积是2512cm3。 207 要点4练习 第2课时比例的应用 3.14×(8÷2)2×[10+(25-12)]=1155.52(cm3)1 举一反三 1155.52cm3=1155.52mL 解：设需要加水xmL。 答：瓶子的容积是1155.52mL。 11500:x=3:1 要点5练习 x=500 1.37.68÷2÷3.14÷2=3(cm） 1答：需要加水500mL 3.14×3×2×5+3.14×32×2=150.72(cm2) 1Q提素养 答：这个圆柱原来的表面积是150.72cm2。 11.解：设男生有x人。 2.18.84÷3×10=62.8(cm2) x:150=3:5 3.14×(18.84÷3÷3.14÷2)2×2=6.28(cm2) x=90 62.8+6.28=69.08(cm2) 答：男生有90人。 答：这个圆柱原来的表面积是69.08cm2。 I2.120dm=12m 二 比例 解：设这个广场的宽是xm。 8:5=12:x 第1课时比例的认识 x=7.5 举一反三 12×7.5=90(m2) (答案不唯一)4：6=6：94：16=3：12 答：这个广场的面积是90m。 ②提素养 第3课时比例尺 1.(1)9 举一反三 （2)(答案不唯一)0.2：0.7=8：28 19cm=90mm 90:3=30:1 2.（部分答案不唯一) 答：这张图纸的比例尺是30：1。 （1)能0.6：0.8=0.3：0.4 ②提素养 (2)不能 1.(1)1:800000 (2)270 (3)能1.5：0.2=30：4 12.25÷ 1 1 =20(cm) (4)能号：专=5品 40000005000000 答：甲、乙两地的图上距离是20cm。 (5)能后1=清：2 13.27÷ 1 =54000000(cm)=540(km) 2000000 (6)能72：9=8：1 60×9=540(km）540=540 3.0.3:0.4=0.8:16或0.6：0.8=0.4：8 15 5 答：9时后能到达B城。 208·第④课时 圆锥的体积 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点①圆锥体积的意义和计算方法（教材第11页例题) (1)由图可知，这堆小麦的形状是圆锥形，并且看上去占据着较大的空间， 求这堆小麦的体积是多少，实际上就是计算这个由小麦堆抽象成的圆锥所占空 间的大小，即圆锥的（体积）是多少。 (2)圆锥体积计算公式的猜想：根据圆柱和圆锥的直观图，发现它们的底 面和高都相等，所以猜想圆锥的体积一定比和它等底等高的圆柱的体积小，圆 锥的体积大概是与它等底等高的圆柱体积的（宁，专，…）。 (3)圆锥体积计算公式的猜想验证：准备等底等高的圆柱形容器和圆锥 形容器各一个，将圆锥形容器装满沙子，倒入与它等底等高的圆柱形容器中， 学 结果(3)次正好倒满。由此得出，圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体 知 积的(3)倍。 (4)圆锥的体积计算公式： 圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的号 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=（底面积）×（高）×(}) 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，圆锥的体积可以表 示为(v=号Sh)。 难点⑤ 知识点②2圆锥体积计算公式的应用（教材第11页例题） 已知圆锥形小麦堆的底面半径和高，求小麦堆的体积。可以先根据圆的面 积计算公式S=(π2)求出圆锥形小麦堆的底面积， 再根据V=(令s%)求出 圆锥形小麦堆的体积。列式计算为 3 ×3.14×22×1.5=6.28(m3) 思 圆锥体积的意义和 圆锥的体积 圆锥体积计算 计算方法 公式的应用 20 课堂·听课笔记 精批注 圆锥的体积 求这堆小麦的体积是多少，实际 好大的一堆1 上就是计算这个由小麦堆抽象成 小麦… 的圆维所占空间的大小，即圆维 的体积是多少。 ○这堆小麦的体积是多少呢？想一想， 我猜想圆锥的体积大 如何得到圆锥的体积？ 概是与它等底等高的 圆柱体积的 圆锥的体积是不是像 长方体、圆柱那样， 也和“底面积×高” 有关系呢？是。 将圆维形容器装满沙子，倒入和它等底等高的 ○按照下面的方法做一做，你有什么发现？ 圆柱形容器中，结果3次正好倒满。 实验准备· 实验方法· 实验结论 圆柱的体积等 将圆锥形容 于和它等底等 器装满沙子， 高的圆锥的体 准备等底等高的 再倒入圆柱 积的3倍。 圆柱形容器和圆 形容器，看 锥形容器各一个。。 几次能倒满。 国维的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的了 圆柱的体积=底面积×高 圆维的体积=底面积·高×号 ○如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？ 总结·求圆维的体积时，一般需 要知道高和底面积或者高和底面 V- 3S% 半径或者高和底面直径或者高和 底面周长。 ○如果小麦堆的底面半径为2，高为 ×3.14×22×1.5 1.5m。小麦堆的体积是多少立方米？ 3 =6.28(0m3) 也就是求圆维的体积。 答：小麦堆的体积是6.28m。 21 练一练 1.下图中，圆锥的体积与哪个圆柱的体积相等？说说你是怎么想的。 ←6 6 2← 6 2 圆维的体积与第个圆柱的体积相等。国为圆维的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的号 图中圃维与第3个圆柱等底，且第3个圆柱的高是圆维的高的，所以它们的体积相等。 2.计算下面各圆锥的体积。 提示一圆维的体积=子×底面积x高。 3 dm c S=9m2 一12cm 1 3*9x3.6 ×3.14×3x8 1 ×314×(8÷2)2 1 10.8(m3) 75.36(dm3)） 12=200.96(cm3) 3.如图，测量中经常使用铅锤。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（结果保留2位小数) 提示·利用“四舍五入”法保留 ←4cm 小裁位数。 1 x3.14x(4÷2)2x4≈16.75(cm3) 4.有一顶圆锥形帐篷，底面直径约5m,高约3.6m。 (1)它的占地面积约是多少平方米？ 3.14×(5÷2)2=19.625(m2)】 (2)它的体积约是多少立方米？ 提示计算圆维的体积时，不要忘记乘 3×19.625x36=23.55(m) ,利用底面周长可以求出底面半径。 C=2Tr→r=C÷m÷2 5.张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42m,高是2m,这 堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700kg,这堆小麦的质量为多少 千克？9.42÷3.14÷2=1.5(m)1×3.14×1.5×2=4.71(m) 4.71x700=3297(kg) 6.一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2,高是5cm。 (1)如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的 高是多少？5x3=15(cm) (2)如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积 是多少？12x3=36(cm) 提示·体积相等的圆柱与圆维，当底面积相等时，圆维的高是圆 柱的高的3倍当高相等时，圆维的底面积是圆柱的底面积的3倍。 一·22· 学方法 ○运用转化法解决有关圆柱和圆锥的问题 一个内直径是12cm的圆柱形容器里装有10cm高的水，将一个圆锥形铁块放入容器后， 水面高度是12cm,这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ 解答本题的关 键是把圆维形 铁块的体积转 化为上升部分 的水的体积。 12 cm 12 cm 思路分析：根据题意可知，将圆锥形铁块放入圆柱形容器里，水面上升了（12-10)cm, 那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积。水面上升部分是一个底 面半径为（12÷2)cm,高为（12-10)cm的圆柱，根据圆柱的体积计算公式 求出上升部分的水的体积，即这个圆锥形铁块的体积。 正确解答：3.14×(12÷2)2×（12-10)=226.08(cm3) 答：这个圆锥形铁块的体积是226.08cm3。 ○根据切割引起表面积变化的规律解决求圆锥体积的问题 一个底面直径是6Cm的圆锥，从顶点沿着高将它切成完全相同的两半后，表面积增加了 48cm2,原来圆锥的体积是多少立方厘米？ 思路分析： 切面是两个完全一样的等腰三角形，增加 的面积是两个截面的面积和。 切面的底和高分别是圆锥的底面直径和高。 一个等腰三角形的面积是48÷2=24(cm2)。 圆锥的高 圆锥的底面直径是6cm。 圆锥的底面直径是6cm。 圆锥的底面半径 利用公式V=了πh计算体积。 把圆维沿高切割成两半 正确解答：圆锥的高：48÷2×2÷6=8（cm) 后，增加的两个面的形 状是两个相同的等腰三 圆锥的体积：1×3.14×(6÷2)2×8=75.36(cm3)角形，一个切面三角形 3 的面积=圆维的底面直 答：原来圆锥的体积是75.36cm3。 径x高÷2。 -·23 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：没有掌握圆锥的体积计算公式 注意一圆维的体积要来了。 一个圆锥的底面直径是6cm,高是7cm,这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 易错解读：本题易错在求圆维的体积时，只用底面积×高，而没有乘了。圆维的体积= 号×底面积×高。所以本题的正确答案为号×314×(6÷2)P×7=6594(m),这个 圆锥的体积是65.94cm3。 举一反三： 一个圆锥形沙堆的高是1.5m,底面半径是2m,每立方米沙子的质量约是1.6t。这个沙堆 的质量约是多少吨？提示：要求这个沙堆的质量，需要先求出这个沙堆的体积，再乘每 立方米沙子的质量。 提素养 1.选择。 ）。行比旅。 提示·可以先用字母表示出它们的体积，再进 (1)下面物体中，体积最大的是( B 2, 提示圆维的体积是它等底等高的圆柱的体积的了。 (2)一个圆锥的体积是12.56cm3,比和它等底等高的圆柱的体积少（ ）cm3。 A.3.14 B.12.56 C.25.12 （3)把棱长是9cm的正方体削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）cm3。 A.113.04 B.190.755 C.226.08 2.有一堆圆锥形的沙土，底面直径是12m,高是5m,把这堆沙土铺在宽是10m的马路上， 平均厚3cm,这些沙土能铺多少米的路？ 提示·先算出圆维形沙土的体积，然后用圆维形 沙土的体积除以沙土的宽，再除以沙土的厚，即 可求出能铺路的长度。 24 第一单元要点总结 要点1 圆柱和圆锥的特征及各部分名称 圆柱由3个面组成，其中2个底面是两个大小完全相同的圆，一个面是曲面，也叫侧面。 圆柱有无数条高。圆锥由2个面组成，其中底面是一个圆，另一个面是曲面，也叫侧面。圆 锥有一个顶点，只有一条高。 练习 在圆柱的下面画“△”，在圆锥的下面画“O” 要点2 圆柱的表面积计算公式 圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面积=底面积×2+侧面积。 练习 一个圆柱形无盖铁皮水桶，高是50cm,底面半径是20cm,做一个这样的水桶至少要用铁皮 多少平方厘米？ ,要点3 圆柱和圆锥的体积计算公式， 圆柱的体积=底面积×高，圆维的体积=了×底面积×高。 练习 一个圆柱形木块，底面直径是20cm,高是24cm。这个圆柱形木块的体积是多少立方厘米？ 如果在这个圆柱形木块中截掉一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方厘米？ 25 要点4不规则物体的体积或容积的解题方法， 求不规则物体的体积或容积时，可以利用转化的思想把不规则的立体图形转化成规则的 立体图形进行计算。 练习 一个瓶子的瓶身是圆柱形（不包括瓶颈），从里面量直径是8cm,高度是25cm。瓶子里装有 一些水，正放时，水高10cm；倒放时，水高12cm。瓶子的容积是多少？ 8cm 要点 5 圆柱的表面积增减问题 求有关圆柱的表面积增减问题时，要先找准增加（或减少）的面积是哪一部分，再进行计算。 练习 1.一个高是5cm的圆柱，如果高减少2cm,表面积就减少37.68cm2。这个圆柱原来的表面积 是多少平方厘米？ 2.一个高是10cm的圆柱，把它的高增加3cm,所得的新圆柱的表面积比原来增加了18.84cm。 这个圆柱原来的表面积是多少平方厘米？ 26