专题03 函数与实际问题（复习讲义）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 函数与实际问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：一次函数与最大利润问题 题型二：一次函数与行程问题 题型三：反比例函数与实际问题 题型四：二次函数与销售问题 题型五：二次函数与图形问题 题型六：函数与其它问题 必备知识 知识1 一次函数与实际问题 知识2 反比例函数与实际问题 知识3 二次函数与实际问题 命题预测 命题透视 1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。 2.命题内容 1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。 2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。 3）分段函数：聚焦阶梯收费（水/电/税）、计费规则（快递、医保）等场景，考查分段讨论与实际问题的适配性。 4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。 5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 一次函数方案选择与最值 T22（湖南省卷·材料购买方案） T22（长沙市卷·农产品销售方案） T22（湖南省卷·湘绣购买方案） T22（长沙市卷·材料购买方案） 二次函数利润 / 面积最值 T22（湖南省卷·农产品加工利润） T24（长沙市卷·GDP增长估算） T22（长沙市卷·湘绣销售利润） T10（长沙市卷·菱形动点函数） 分段函数实际应用 T24（长沙市卷·阶梯计价） T23（湖南省卷·分段计费） T23（长沙市卷·分段收费） T24（湖南省卷·阶梯水价） 函数图像与行程问题 T15（湖南省卷·100米赛跑） T24（长沙市卷·行程图像） T23（湖南省卷·行程图像） T24（长沙市卷·相遇问题） 反比例函数工程 / 效率问题 T16（湖南省卷·弦振动频率） T24（长沙市卷·反比例应用） T16（湖南省卷·工程效率） T24（长沙市卷·反比例模型） 命题预测 函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。 考点一 函数与实际问题 题型一 一次函数与最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． (1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ (2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． (3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 2．（2023·湖南·中考真题）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 3．（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 题型二 一次函数与行程问题 1．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 2.（2023·湖南郴州·中考真题）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）    A．途中修车花了 B．修车之前的平均速度是/ C．车修好后的平均速度是/ D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍 3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为__________； ②小明从图书馆回家的平均速度是__________； ③小明读报所用的时间为__________． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________． (2)当时，请直接写出关于的函数解析式． 题型三 反比例函数与实际问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 2．（2023·湖南怀化·中考真题）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.（2023·湖南郴州·中考真题）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：    托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．    (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围． 题型四 二次函数与销售问题 销售问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 1．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系： … 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … … 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 … （1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）． ①写出关于的函数表达式； ②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 2．（2023·湖南湘潭·中考真题）某政府工作报告中强调，2023年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调查发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 3.（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 题型五 二次函数与图形问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 1．（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 2.（2020·湖南永州·中考真题）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移． （1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． （2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形． （3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值． 题型六 函数与其它问题 1.（2023·湖南永州·中考真题）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式； (2)应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升? ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 2.（2022·湖南永州·中考真题）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒． (1)求的值； (2)设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． 知识1 一次函数与实际问题 1.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 知识2 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 知识3 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2025·湖南邵阳·三模）铁的密度为，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：)之间的函数关系式为，当时，______g． 2.（2026·湖南学易金卷·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，的阻值为 B．当托盘上货物的质量为时， C．在一定范围内，随的增大而减小 D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 3.．（2026·湖南怀化·一模）如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向匀速平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是（    ） A．B．C． D． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 7．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 8．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 9.（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 10．（2026·湖南长沙·一模）网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示： A B 销售金额 60杯 20杯 1220元 30杯 40杯 1090元 (1)求A，B两种饮品的单价； (2)某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？ 11．（2026·湖南怀化·一模）阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 12．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． （2025·湖南郴州·一模）一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 13.（2025·湖南永州·二模）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元． (1)请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式； (2)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 14.（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． (1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ (2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 15.（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 16.（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 17.（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 18.（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 19.（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 20.（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数与实际问题 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数与实际问题（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：一次函数与最大利润问题 题型二：一次函数与行程问题 题型三：反比例函数与实际问题 题型四：二次函数与销售问题 题型五：二次函数与图形问题 题型六：函数与其它问题 必备知识 知识1 一次函数与实际问题 知识2 反比例函数与实际问题 知识3 二次函数与实际问题 命题预测 命题透视 1. 命题形式：呈现 “新材料、新情境、新问题”的特点，以文字、图表、表格、函数图像为主要载体，聚焦核心素养考查，常融入家国情怀、社会热点（如经济发展、科技应用、民生工程），强调数学建模与应用意识。 2.命题内容 1）一次函数：侧重方案选择、费用优化、行程分析等，是高频考查的基础应用模型。 2）二次函数：以利润最大化、面积/建筑设计、抛物线型工程问题为核心，突出顶点最值与实际意义的结合。 3）分段函数：聚焦阶梯收费（水/电/税）、计费规则（快递、医保）等场景，考查分段讨论与实际问题的适配性。 4）反比例函数：以工程效率、物理规律（压强、杠杆）等为背景，考查反比例关系的实际应用。 5）综合趋势：函数与统计图表、几何图形、社会热点深度融合，强调从实际问题中抽象函数模型、分析函数性质、解决实际问题的能力，是中考命题的核心区域。 热考角度 考点 2025年 2024年 一次函数方案选择与最值 T22（湖南省卷·材料购买方案） T22（长沙市卷·农产品销售方案） T22（湖南省卷·湘绣购买方案） T22（长沙市卷·材料购买方案） 二次函数利润 / 面积最值 T22（湖南省卷·农产品加工利润） T24（长沙市卷·GDP增长估算） T22（长沙市卷·湘绣销售利润） T10（长沙市卷·菱形动点函数） 分段函数实际应用 T24（长沙市卷·阶梯计价） T23（湖南省卷·分段计费） T23（长沙市卷·分段收费） T24（湖南省卷·阶梯水价） 函数图像与行程问题 T15（湖南省卷·100米赛跑） T24（长沙市卷·行程图像） T23（湖南省卷·行程图像） T24（长沙市卷·相遇问题） 反比例函数工程 / 效率问题 T16（湖南省卷·弦振动频率） T24（长沙市卷·反比例应用） T16（湖南省卷·工程效率） T24（长沙市卷·反比例模型） 命题预测 函数与实际问题的命题，将以社会热点、传统文化为背景，以文字、图像、表格为载体，重点考查一次函数方案选择、二次函数最值、分段函数计费、行程图像分析及反比例函数应用，突出数学建模与核心素养，压轴题更强调 “函数 + 几何 + 实际情境” 的综合能力。 考点一 函数与实际问题 题型一 一次函数与最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2023·湖南湘西·中考真题）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． (1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ (2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． (3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元 (2) (3)型30台，型120台，最大利润是570元． 【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价， （2）列一元一次不等式组求出取值范围即可， （3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润． 【详解】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得： ，解得：， 答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元． （2）设购进型品牌小电器台 由题意得：， 解得， 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）设获利为元，由题意得：， ∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元 ∴ 解得： ∴ 随的增大而减小， 当台时获利最大，最大元， 答：型30台，型120台，最大利润是570元． 【点睛】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件． 2．（2023·湖南·中考真题）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 【答案】(1)； (2)该商店继续购进了件航天模型玩具． 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； （2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：因每件玩具售价为x元， 依题意得； （2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具， 依题意得：， 解得， 答：该商店继续购进了件航天模型玩具． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键． 3．（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【答案】(1)4万元 (2) (3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【分析】（1）把代入可得答案； （2）当时，可得，再解方程可得答案； （3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：， 当时，（万元）； （2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意）， ∴m的值为8． （3） 设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元， ∴ ， 而， ∴当时，（万元）； ∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 题型二 一次函数与行程问题 1．（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 2.（2023·湖南郴州·中考真题）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）    A．途中修车花了 B．修车之前的平均速度是/ C．车修好后的平均速度是/ D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍 【答案】D 【分析】根据图象信息以及速度路程÷时间的关系即可解决问题． 【详解】解：由图象可知途中修车花了， 修车之前的平均速度是÷/， 车修好后的平均速度是÷/, ∴ 故A、B、C错误，D正确． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键． 3．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为__________； ②小明从图书馆回家的平均速度是__________； ③小明读报所用的时间为__________． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________． (2)当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】(1)①；②；③；④或． (2) 【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可； （2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可． 【详解】（1）解：①， ∴小食堂离图书馆的距离为， 故答案为∶； ②根据题意， ∴小明从图书馆回家的平均速度是， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为， 当去时，小明离开家的距离为时， ∵， ∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足， 由题意得， 解得， 当返回时，离家的距离为时，根据题意，得， 解得； 故答案为：或． （2）解：设时， ∵过， ∴， 解得， ∴时， 由图可知，当时， 设时，， ∵过，， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当时，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型三 反比例函数与实际问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 【答案】180 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：180． 2．（2023·湖南怀化·中考真题）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：， 则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键． 3.（2023·湖南郴州·中考真题）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：    托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．    (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围． 【答案】(1)作图见解析； (2)①；②；③减小，减小，下； (3)． 【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可； （2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；②根据可能与成反比例，设，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可． （3）利用反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解∶函数图象如图所示，    （2）解：①观察图象可知，可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； ②观察表格以及①可知，可能与成反比例，设， 把的坐标代入，得， 经检验，其余各个点坐标均满足， ∴关于的函数表达式； ③由图图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到， 故答案为：减小，减小，下； （3）解：当时，解得， 当时，解得， ∴托盘与点的距离（）的取值范围． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型． 题型四 二次函数与销售问题 销售问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 1．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系： … 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … … 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 … （1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）． ①写出关于的函数表达式； ②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）；（3）①；②销售单价应定为3元． 【分析】（1）由题意可直接进行作图； （2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可； （3）①由题意易得，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】解：（1）y关于x的函数图象如图所示： （2）由（1）可设y与x的函数关系式为，则由表格可把代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为； （3）①由（2）及题意可得： ； ∴关于的函数表达式为； ②由题意得：，即， ∴， 解得：， ∴； 答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键． 2．（2023·湖南湘潭·中考真题）某政府工作报告中强调，2023年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元． （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调查发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？ 【答案】（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒， 则有，解得 故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒． （2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意 总利润 化简得 ∵ ∴当时，取得最大值为1307， 故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 3.（2023·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：． (1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ (2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ (3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【答案】(1)4万元 (2) (3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【分析】（1）把代入可得答案； （2）当时，可得，再解方程可得答案； （3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：， 当时，（万元）； （2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意）， ∴m的值为8． （3） 设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元， ∴ ， 而， ∴当时，（万元）； ∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 题型五 二次函数与图形问题 求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 1．（2022·湖南湘潭·中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m (2)当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . 【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． （2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程． 2.（2020·湖南永州·中考真题）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移． （1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状． （2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形． （3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值． 【答案】（1）三角形，四边形（梯形、菱形），五边形；（2）见解析；（3），s的最大值为． 【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可； （2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明； （3）分、、和x=四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可． 【详解】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，四边形（梯形、菱形），五边形； （2）证明：分别过点B、D作于点E、于点F， ∴ ∵两张纸条等宽， ∴． 在和中， ∴， ∵两张纸条都是矩形，， ∴  ． ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）Ⅰ、如图：当时，重叠部分为三角形，如图所示， ∴， ∴．最大值为． Ⅱ、如图：当时，重叠部分为梯形，如图所示，梯形的下底为，上底为， ∴，当时，s取最大值． Ⅲ、当时，重叠部分为五边形， ． 此时． Ⅳ、当时，重叠部分为菱形， ∴． ∴ ∴s的最大值为． 【点睛】本题考查了平移变换、等腰直角三角形的性质、菱形的判定以及运用二次函数求最值，考查知识点较多，因此灵活运用所学知识成为解答本题的关键． 题型六 函数与其它问题 1.（2023·湖南永州·中考真题）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式； (2)应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升? ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】(1)能正确反映总水量y与时间t的函数关系； (2)①102毫升；②144天 【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式； （2）①将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【详解】（1）解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； （2）①当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 2.（2022·湖南永州·中考真题）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒． (1)求的值； (2)设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒同，列出方程求解即可； （2）称算出路程，再列出用含的代数式表示即可． 【详解】（1）根据题意，得 解这个方程，得 （2） 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用，解决本题的关键是根据题中的等量关系列出方程． 知识1 一次函数与实际问题 1.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 知识2 反比例函数与实际问题 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 知识3 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 1．（2025·湖南邵阳·三模）铁的密度为，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：)之间的函数关系式为，当时，______g． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式，求出对应的函数值是解题的关键．将代入m与V的函数关系式，求出对应m的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，． 故答案为：． 2.（2026·湖南学易金卷·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，的阻值为 B．当托盘上货物的质量为时， C．在一定范围内，随的增大而减小 D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 3.．（2026·湖南怀化·一模）如图，在四边形中，，，，，的直角顶点与点重合，另一个顶点在点左侧在射线上，且，将沿方向匀速平移，点与点重合时停止．设的长为，在平移过程中与四边形重叠部分的面积为，则下列图象能正确反映与函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∵，，， ∴，， 当时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x， ∴， ∵， ∴该部分图象开口向上，故A、C选项不符合题意； 当时，如图， 设与交于点N，与交于点M， 则， 设，则， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴该部分图象开口向下，故D选项不符合题意； 当时，重叠部分的面积为，是固定值， ∴该部分图象是平行于x轴的线段，故只有B选项符合题意． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且．设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作边上的高，交于点，交于点．根据相似三角形的性质求出的长，再根据三角形面积公式列出函数关系式，根据函数关系式判断图象． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵边上的高为，点到的距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，点在上， ∴点到的距离等于点到的距离，即为， ∴， ∵， ∴该函数图象是开口向下，顶点坐标为的抛物线， 当时，；当时，，观察选项，只有选项符合． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图，将 与正方形按如图所示的方式摆放，边 在直线上，，， ，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时停止运动，在运动过程中，当与正方形重叠部分面积为时，其运动时间为（  　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，根据三角形与正方形的相对位置，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，三角形部分进入正方形，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；分别列出面积关于的函数关系式，令求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 分三种情况讨论： 当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图， 设交于点，则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 令，整理得， 解得，， ∵， ∴； 当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图 ∴， ∵， ∴此时无解； 当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为， ∴， ∴， 令，即， 解得或， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或． 6．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 8．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 9.（2025·湖南张家界·一模）在泡菜腌制的过程中，亚硝酸盐的含量会随着时间的推移而发生变化．一般来说，腌制初期亚硝酸盐含量较低，到达一个峰值后又逐渐下降．这个变化曲线近似于抛物线．假设腌制时间（单位：天）与亚硝酸盐含量（单位：毫克/千克）之间的关系可以用函数来表示，其中是腌制时间，是对应的亚硝酸盐含量．根据实验数据，我们得到以下结论： ①腌制开始（第天）时，亚硝酸盐含量为毫克/千克； ②腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克； ③腌制第天时，亚硝酸盐含量达到毫克/千克． 因此，泡菜腌制过程中第_____天亚硝酸盐含量最高． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：将点、、代入中得： ， 解得：， ， ， 当时，有最大值为，即泡菜腌制过程中第天亚硝酸盐含量最高， 故答案为：． 10．（2026·湖南长沙·一模）网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示： A B 销售金额 60杯 20杯 1220元 30杯 40杯 1090元 (1)求A，B两种饮品的单价； (2)某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？ 【答案】(1)A种饮品的单价为15元，B种饮品的单价为16元 (2)456元 【分析】（1）根据销售量、销售单价、销售金额之间的关系列出方程，解方程组即可； （2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品，购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，据此列出不等式并解不等式得到的取值范围，设购买这30杯饮品的总费用为元，根据题意列出一次函数并根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种饮品的单价为元，种饮品的单价为元， 依题意得： 解得： 答：种饮品的单价为15元，种饮品的单价为16元． （2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品， 依题意得：， 解得：． 设购买这30杯饮品的总费用为元，则， , 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值． 答：该班购买30杯饮品最少花456元钱． 11．（2026·湖南怀化·一模）阅读理解，解决问题： 背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒公顷农田，甲型机喷洒公顷农田所用时间与乙型机喷洒公顷农田所用时间相等．该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机架，其中甲型无人机万元／架，乙型无人机万元／架． 问题解决： (1)甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ (2)若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷 (2)采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（）设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷，根据题意列出方程解答即可求解； （）设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元，根据题意求出的取值范围和与的函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型无人机每小时喷洒公顷，则乙型每小时喷洒公顷， 由题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型无人机每小时喷洒公顷，乙型无人机每小时喷洒公顷； （2）解：设甲型无人机台，则乙型无人机台，总费用为万元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ∵， 的值随的增大而减小， 当时，（万元）， 此时乙型无人机（台）， 答：采购甲型无人机台，乙型机台时总费用最少，最少费用为万元． 12．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． （2025·湖南郴州·一模）一辆客车从地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中． (1)求与的函数关系式； (2)客车上午点从地出发，客车需在当天点至点分（含点与点分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由题意得到，根据的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案； 此题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数， 设与的函数关系式为， 把点代入得，， 解得， ∴与的函数关系式是； （2）解：由题意得，， 当时，， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴， 即客车行驶速度的取值范围为． 13.（2025·湖南永州·二模）五一期间，大润发商场新上市了一款童装，进价每件80元，现以每件120元销售，每天可售出20件，在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售2件，设每件童装单价降价了x元． (1)请写出每天销售该款童装的利润y（元）与每件童装降价x（元）之间的函数关系式； (2)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元． 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）根据利润=单件利润销售量，可列函数关系式； （2）根据（1）的函数解析式，由二次函数的性质求函数最值． 【详解】（1）解：由题意，得 ∴y与x的函数关系式为； （2）由（1）知， ∵， ∴当时，销售单价定价为元时，商场每天可获得最大利润元． 14.（2025·湖南常德·一模）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售高于1750千克时，均以固定价格42.5元销售．设一次性销售利润为y元，一次性销售量为x千克． (1)当一次性销售量为800千克时，求利润为多少元？ (2)当一次性销售量为时，求一次性销售利润y的最大值． 【答案】(1)16000元 (2)22500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据等量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）根据利润的表示方法代数求解即可； （2）根据题意表示出一次性销售量时的利润，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，， 当一次性销售量为800千克时利润为16000元； （2）一次性销售量时， 销售价格为， ， ，， 当时，有最大值，最大值为， 一次性销售量时的最大利润为22500元． 15.（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 16.（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 17.（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 18.（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 19.（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 20.（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)与之间的距离为1． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为（）， 由题意知，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为（）， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ∴，， 设直线解析式为，代入得：，解得：， ∴直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，解得或． ∵在的左侧， ∴与之间的距离为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $