数学真题重组（全国一卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

: 2026年高考真题重组卷 : 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) ····. 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 % 求的。 1.(2024新课标I卷)已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=() : A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} .: 2. (2024新课标I卷)若三，=1+i,则z=() .: z-1 0 A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 3.(新情境)(2023·全国甲卷（理）)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪， 70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱 好滑冰的概率为() 热 A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 : 4.(新情境)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果 在航海学中称为视风风速视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中 拟 : 船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小 的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长 度代表速度大小，单位：ms),则该时刻的真风为() 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 轻风 1.63.3 : 微风 3.45.4 和风 5.57.9 劲风 8.010.7 : 试题第1页（共4页） : ⊙学科网·学易金卷做赶機：就限彩是格 3视风风速 2 -- 船速 1 2 3衣 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 5.（2025·全国二卷)记Sn为等差数列{a}的前n项和.若S3=6,S=-5,则S=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 6.（2025全国二卷)已知0<a<T,c0s%-5 则sina- 25 =() 4 A.② B.V② C.3 D.7V2 10 5 10 10 7.(新定义)(2024上海卷)定义一个集合2，集合中的元素是空间内的点集，任取，P2,P∈2，存在 不全为0的实数，入2,2，使得2OP+元，OE+2,OP=0.已知(1,0,0)∈2，则(0,0,1)2的充分条件是() A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 8。(2025天津卷)双自线器芳-a>0b>0的左、右供点分别为人，及，以右焦点R为特点的抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P,若P+P=3F,则双曲线的离心率e=（) A.2 B.5 C. √2+1 D. V5+1 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2025·全国一卷)在正三棱柱ABC-ABC中，D为BC的中点，则() A.AD⊥AC B.BC⊥平面AAD C.AD//AB D.CC/1平面AAD 10.(新热点)(2023新课标I卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(). A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 11.(新题型)(2024新课标I卷)设计一条美丽的丝带，其造型~可以看作图中的曲线C的一部分.已知C 过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4， 则() 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是普 A.a=-2 B.点(2W2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(3，)在C上时，S4 +2 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2025北京卷)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= 13.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)x-2)(x-a的极值点，则f(0)= 14.(2025全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次 取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望()= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.13分）（新题型）(2025北京卷）在AMC中，cosA=}asmC=45. (1)求c的值： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高 条件①：a=6:条件②：asinB=105,条件③：△1BC的面积为10N2. 3 16.15分)（数列+导数融合）(2025全国一卷)已知数列{a,}中，4=3，a=a+1 nn+1'n(n+1) (1)证明：数列{nan}是等差数列： (2)给定正整数，设函数f(x)=4x+2x2++anxm，求f'(-2). 试题第3页（共4页） 17.(15分)(2025全国二卷)如图，在四边形ABCD中，AB/ICD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点 E在AB上，EF/IAD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA,使得面EFDA' O : 与面EFCB所成的二面角为60°. O A E B (1)证明：A'B/平面CD'F: : (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. : : 817分)(2025全国一卷)已知随圆C。+尔1Q>b>0的离心率为3，下顶点为A,右顶点 游 3 : 游 为B,|AB=√10. .: : (1)求C的方程： (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足APAR=3. S (i)设P(L,),求R的坐标（用，n表示)： : (i)设O为坐标原点，2是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ的最大值， : 19.(17分)（导数+新定义）(2024上海卷)对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),令 : s(x)=(x-)2+(f(x)-b)2,若P(x,f(x)是s(x)取到最小值的点，则称P是M在f(x)的“最近点”. : : @对于f)>0),求证：对于点M0o0),存在点P,使得点P是M在)的最近点： (2)对于f(x)=e,M(1,O),请判断是否存在一个点P,它是M在f(x)的“最近点”，且直线MP与y=f(x) 在点P处的切线垂直： (3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数∫'(x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点 烯 M(t-1,f(t)-g(t),M2(t+1,∫(t)+g(t).若对任意的t∈R,存在点P同时是M,M2在f(x)的“最近 点，试判断f(x)的单调性 : O 试题第4页（共4页） 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024·新课标Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（新情境）（2023·全国甲卷（理））某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 4．（新情境）（2025·全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 5．（2025·全国二卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国二卷）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（新定义）（2024·上海卷）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津卷）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国一卷）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．（新热点）（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 11．（新题型）（2024·新课标Ⅰ卷）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 第二部分（非选择题 共92分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·北京卷）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 13．（2025·全国二卷）若是函数的极值点，则___________ 14．（2025·全国一卷）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（新题型）（2025·北京卷）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 16．（15分）（数列+导数融合）（2025·全国一卷）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 17．（15分）（2025·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 18．（17分）（2025·全国一卷）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．（导数+新定义）（2024·上海卷）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024·新课标Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1.【答案】A 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2．（2024·新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 2.【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 3．（新情境）（2023·全国甲卷（理））某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 3.【答案】A 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 4．（新情境）（2025·全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 4.【答案】A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 5．（2025·全国二卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 5.【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 6．（2025·全国二卷）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6.【答案】D 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 7．（新定义）（2024·上海卷）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 7.【答案】C 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 8．（2025·天津卷）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 8.【答案】A 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国一卷）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 9.【答案】BD 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10．（新热点）（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 10.【答案】ABC 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 11．（新题型）（2024·新课标Ⅰ卷）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 11.【答案】ABD 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·北京卷）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 12.【答案】 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 13．（2025·全国二卷）若是函数的极值点，则___________ 13.【答案】 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14．（2025·全国一卷）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 14.【答案】/ 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（新题型）（2025·北京卷）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 15.【解析】（1）因为，所以， ----------------2分 由正弦定理有，解得； --------------------------------5分 （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以， 因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，-----------------------------7分 由正弦定理得,所以， ------------------------------------------------------------------9分 所以由余弦定理得,------------------11分 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； ---------------------------------------------------------------13分 若选③，的面积是，则， 解得， --------------------------------------------------------------------------------9分 由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，------------11分 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足： ， 即. ---------------------------------------------------------------13分 16．（15分）（数列+导数融合）（2025·全国一卷）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 16.【解析】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ---------------------------------------------3分 ∴是以为首项，1为公差的等差数列. -----------------------------------------------6分 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， --------------------------------------------------------8分 在中， ， ∴， 当且时， ∴，-----------10分 ∴ ---------------------------------------------------------12分 ∴ . --------------------------------------------------------------------------15分 17．（15分）（2025·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 17.【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面，----------------------------2分 因为平面平面，所以平面，------------------4分 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． -------------------------------------------------6分 （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. ------------------8分 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则.--10分 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. ------------------------------------------------12分 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. -------------------------15分 18．（17分）（2025·全国一卷）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 18.【解析】（1）由题可知,，所以，-----------------------2分 解得， 故椭圆C的标准方程为； -------------------------------------------------------------4分 （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即， -----------------------------------------------------6分 解得，所以， 所以点的坐标为. --------------------------------------------9分 法二：设，则，所以 ， ----------------------------------------------------------------6分 ，故 点的坐标为. --------------------------------------------------9分 (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）--------------------------12分 为到圆心的距离加上半径, ---------------------------------------------------------13分 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. -----------------------------------------------------17分 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. -------------------------------------------------------------17分 19．（导数+新定义）（2024·上海卷）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 19.【解析】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．------------5分 （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， -------------------------------------------------7分 而，故当时，，当时，， 故，此时，-----------------------------------------------------------------8分 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直．-----10分 （3）设， ， 而， ， --------------------------------------------11分 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， ------------------------------------------------------------------13分 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. -------------------17分 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考真题重组卷 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.(2024新课标I卷)已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=() A.{-1,0 B.{2,3} C.{-3-1,09 D.{-1,0,2} 2.（2024新课标卷)若二1+i,则：=（) A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 3.(新情境)(2023·全国甲卷（理）)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪， 70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同 学也爱好滑冰的概率为() A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 4.(新情境)(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的 结果在航海学中称为视风风速视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向 量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等 级、名称与风速大小的对应关系.己知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应 的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：ms),则该时刻的真风为(） 1/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 轻风 1.6-3.3 3 微风 3.45.4 4 和风 5.5-7.9 劲风 8.0-10.7 3 视风风速 2 船速 2 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 5.(2025全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和若S=6,S,=-5,则S。=() A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 6.225全国三卷)已知0a<,s子点，则n(a-晋引（) 25 A. B.2 C.32 D.72 10 5 10 10 7.(新定义)(2024上海卷)定义一个集合2，集合中的元素是空间内的点集，任取P,P,乃∈2， 存在不全为0的实数1,2，，使得2，OP1+0E+1,OE=0.已知(1,0,0)∈2，则(0,0,1)2的充 分条件是() A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 8.(2025天津卷)双曲线- =l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,,以右焦点F为焦点的 a2 b2 抛物线y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P,若PF+PF=3FE,则双曲线的离心率e= 2/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 () A.2 B.5 C.2+1 D.5+1 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025全国一卷)在正三棱柱ABC-ABC中，D为BC的中点，则() A.AD⊥AC B.B,C⊥平面AAD C.AD//AB D.CC/平面AAD 10.(新热点)(2023新课标I卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(). A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 11.(新题型)(2024新课标I卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.己 知C过坐标原点O.且C上的点满足：横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距 离之积为4，则() A.a=-2 B.点(2√2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点(o)在C上时，人≤、4 x+2 第二部分（非选择题共92分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2025北京卷)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p=」 3/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)x-a)的极值点，则f(0)= 14.(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次， 每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)（新题型）(2025北京卷)在△ABC中，cosA=-, sinc=42. (I)求c的值： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的 高 条件@：a=6:条件②：4sinB=105,条件③：△ABC的面积为10N2. 3 1615分》（致列导数跑合）2025全国一卷)已知数列a,中，a=3,品中 (I)证明：数列{nan}是等差数列； (2)给定正整数m,设函数f(x)=a,x+a2x2+…+amx",求∫'(-2). 4/6 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(15分)(2025全国二卷)如图，在四边形ABCD中，AB11CD,∠DAB=90°，F为CD的中点， 点E在AB上，EF //AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA',使得 面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为6O°. D' D E (I)证明：AB//平面CDF: (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. &.(17分)225全国一卷)已知椭圆C+ +京=(a>b>0)的离心率为22 ，下顶点为A,右 顶点为B,|AB=√10： (1)求C的方程： (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足APAR=3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）： (i)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大 值. 5/6 函学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(导数+新定义)(2024·上海卷)对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),令 s(x)=(x-a)2+(f(x)-b)2,若P(x,f(x)是s(x)取到最小值的点，则称P是M在f(x)的“最近 点” (①对于f)=1(x>0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得点P是M在f(x)的“最近点”： (2)对于f(x)=e,M(1,0),请判断是否存在一个点P,它是M在(x)的“最近点”，且直线MP与 y=f(x)在点P处的切线垂直： (3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f'(x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点 M1(t-1,f(t)-g(t),M2(t+1,f(t)+g(t).若对任意的t∈R,存在点P同时是M,M2在f(x)的 “最近点”，试判断f(x)的单调性. 6/6 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026年高考真题重组卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 刘 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 杯 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D' R 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考真题重组卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2024·新课标Ⅰ卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（新情境）（2023·全国甲卷（理））某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 4．（新情境）（2025·全国一卷）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 5．（2025·全国二卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国二卷）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（新定义）（2024·上海卷）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津卷）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2025·全国一卷）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．（新热点）（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 11．（新题型）（2024·新课标Ⅰ卷）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·北京卷）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 13．（2025·全国二卷）若是函数的极值点，则___________ 14．（2025·全国一卷）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（新题型）（2025·北京卷）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 16．（15分）（数列+导数融合）（2025·全国一卷）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 17．（15分）（2025·全国二卷）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 18．（17分）（2025·全国一卷）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 19．（17分）（导数+新定义）（2024·上海卷）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考真题重组卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A A B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，所以， ----------------2分 由正弦定理有，解得； --------------------------------5分 （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以， 因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，-----------------------------7分 由正弦定理得,所以， ------------------------------------------------------------------9分 所以由余弦定理得,------------------11分 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； ---------------------------------------------------------------13分 若选③，的面积是，则， 解得， --------------------------------------------------------------------------------9分 由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，------------11分 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足： ， 即. ---------------------------------------------------------------13分 16．（15分） 【解析】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ---------------------------------------------3分 ∴是以为首项，1为公差的等差数列. -----------------------------------------------6分 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， --------------------------------------------------------8分 在中， ， ∴， 当且时， ∴，-----------10分 ∴ ---------------------------------------------------------12分 ∴ . --------------------------------------------------------------------------15分 17．（15分） 【解析】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面，----------------------------2分 因为平面平面，所以平面，------------------4分 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． -------------------------------------------------6分 （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. ------------------8分 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则.--10分 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. ------------------------------------------------12分 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. -------------------------15分 18．（17分） 【解析】（1）由题可知,，所以，----------------------------2分 解得， 故椭圆C的标准方程为； -------------------------------------------------------------4分 （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即， -----------------------------------------------------6分 解得，所以， 所以点的坐标为. --------------------------------------------9分 法二：设，则，所以 ， ----------------------------------------------------------------6分 ，故 点的坐标为. --------------------------------------------------9分 (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）--------------------------12分 为到圆心的距离加上半径, ---------------------------------------------------------13分 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. -----------------------------------------------------17分 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. -------------------------------------------------------------17分 19．（17分） 【解析】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．------------5分 （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， -------------------------------------------------7分 而，故当时，，当时，， 故，此时，-----------------------------------------------------------------8分 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直．-----10分 （3）设， ， 而， ， --------------------------------------------11分 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， ------------------------------------------------------------------13分 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. -------------------17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $