精品解析：北京燕山教育集团2025一2026学年第二学期九年级期中考试 数学试卷

燕山教育集团2025—2026学年第二学期九年级期中考试数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（　　） A. B. C. D. 3. 有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 南水北调东中线一期工程已经成为优化水资源配置、保障群众饮水安全、复苏河湖生态环境、畅通南北经济循环的生命线，累计调水突破800亿立方米，直接受益人口达到185000000，将185000000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 6. 将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在直角三角形中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点O，连接．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为______． 12. 国家卫生健康委员会将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图． 这次抽样调查中，选择羽毛球人数是36%，样本中个体的数目是_____个，若该校有2500名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有______人． 13. 对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则_______，_______． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，点P表示北京位置，分别表示北纬纬线和南纬纬线，．某一时刻，太阳光线所在直线经过地心O，此时点S处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为______°． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______． 16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 22. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： （4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 24. 如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 25. 沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下： 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： （1）在探究一中，时漏下沙子的质量约为_____（结果保留小数点后一位）； （2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为_____； （3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 27. 如图，将正方形的边绕点顺时针方向旋转得到，连接，作于，连接，交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求； （3）用等式表示，的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外的一点C，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点C为弦的“垂联点”． （1）已知点，，. ①如图1，在点，，中，弦的“垂联点”是____； ②如图2，若点C为弦的“垂联点”，直接写出的长； （2）已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，设的长为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山教育集团2025—2026学年第二学期九年级期中考试数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． 2. 如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵与互余 ∴， ∴． 3. 有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负．根据数轴可知，从而可以逐项判断． 【详解】解：由图可知，， ∴， 故选项ABD错误，选项C正确， 故选：C． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 5. 南水北调东中线一期工程已经成为优化水资源配置、保障群众饮水安全、复苏河湖生态环境、畅通南北经济循环的生命线，累计调水突破800亿立方米，直接受益人口达到185000000，将185000000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，将给定数改写为（，为整数）的形式，确定和的值即可． 【详解】解： ． 6. 将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先找出随机抽取两张卡片所有等可能的结果数，再找出抽出卡片为“文”“化”的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为中、华、文、化，列举随机抽取两张的所有等可能结果： (中，华)，(中，文)，(中，化)，(华，文)，(华，化)，(文，化)， ∴共有种等可能的结果，其中抽出卡片上汉字为“文”“化”的结果有种， ∴所求概率为． 7. 如图，在直角三角形中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点O，连接．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得点是中点，根据勾股定理求得的长，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， 点是中点， 根据勾股定理可得， ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义以及矩形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点M与点N， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∴若点M是边的中点，则点N一定为的中点，故②正确； 由点B的坐标为， 可知点，点，点， ∴，， ∴，即是一个定值，故③正确； 在与只有， 根据已知条件无法证明，故④无法确定． 综上，上述结论中，所有正确结论的序号是①②③ ． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 ， 解得． 10. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 12. 国家卫生健康委员会将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图． 这次抽样调查中，选择羽毛球人数是36%，样本中个体的数目是_____个，若该校有2500名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有______人． 【答案】 ①. 50 ②. 800 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体，根据羽毛球人数的百分比，可以求出样本中个体的数目，再求出选择篮球人数和它的占比，即可估算出该校最喜爱篮球运动的学生数． 【详解】解：样本中个体数目为：， 该校最喜爱篮球运动的学生有（人）． 13. 对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：；（答案不唯一）． 14. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，点P表示北京位置，分别表示北纬纬线和南纬纬线，．某一时刻，太阳光线所在直线经过地心O，此时点S处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为______°． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意可得：，是的切线，利用角的和差以及平行线的性质可得，由切线的性质可得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：由题意可得：，是的切线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 15. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由菱形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，得出AC=2OA=6，BD=2OB=4，即可得出菱形的面积． 【详解】解：如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD， 设OA=x，OB=y， 由题意得：，解得：， ∴AC=2OA=6，BD=2OB=4， ∴菱形ABCD的面积=； 故答案为12． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键． 16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟． 【答案】 ①. 7 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键． （1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟）， 故答案为：7； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： ， 由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟， 故答案为：12． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF. (1)求证:四边形ABEF是矩形； (2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度. 【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD. ∵DF=CE， ∴DF+DE=CE+ED， 即:FE=CD. ∵点F、E在直线CD上 ∴AB=FE，AB∥FE. ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E， ∴∠BEF=90°. ∴四边形ABEF是矩形. (2) OF =. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论． 【详解】(1)略 (2)解:∵四边形ABEF是矩形O， ∴∠AFC=90°，AB=FE. ∵AB=6，DE=2， ∴FD=4. ∵FD=CE， ∴CE=4. ∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90°. ∵∠ADF=45°， ∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°. ∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， ∴O为AC中点 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点. ∴OF=AC=. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键． （1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将代入解析式即可求出点坐标； （2）根据题意将代入求出的最小值，再根据题意将代入求出的最大值，即为本题答案． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴将点和代入中， ，解得：， ∴该函数的表达式为：， ∵与过点且平行于轴的直线交于点， ∴将代入中，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于， ， 通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，， 当的函数值大于函数的值将代入中，， ∴的取值范围为：． 22. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【解析】 【分析】设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得， 解得， ∴， ∴球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： （4）Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 【答案】（1）； （2） （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计量的计算， 扇形统计图，用样本估计总体，掌握统计量的计算是解题关键． （1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第、个数的平均数得到； （2）先算出乙款组人数占样本的比例，再用乘以该比例得到对应圆心角； （3）分别计算甲、乙款样本中“非常满意”的比例，再用各自总人数乘以该比例，最后相加得到总人数估计值； （4）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据，则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故． 答：，． 【小问2详解】 解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人， 则其对应圆心角：． 答：． 【小问3详解】 解：乙款组人数为人， 组人数占比为， 组人数占比为， 组人数为人， 在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， 在甲组用户中，非常满意的人数为人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 【小问4详解】 解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek的结果数为种， 故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为． 答：． 24. 如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1． ，是的切线，，是的半径， ，， ，． ， ， ， ． 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明； （2）连接，，在中，利用，得到设，．则，．在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，如图2． 在中，， 设，．则，． 在中，，即．解得． ，． 是的直径， ． ，， ． ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键． 25. 沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径． 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下： 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下： 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： （1）在探究一中，时漏下沙子的质量约为_____（结果保留小数点后一位）； （2）推断：探究一中所用沙漏的孔径为_____； （3）通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系． ①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； ②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）①绘制函数的图象如下图， ②（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，表格数据的统计和分析． （1）根据表格中的数据提取信息，根据数据间的关系解答即可； （2）根据表格中的数据提取信息，得出答案； （3）①根据表格中的已知数据在直角坐标系中描出坐标点，连接各点形成光滑的曲线即为函数的图象； ②根据①中所得函数图象，找到为时的值即可． 【小问1详解】 解：∵探究一中，时，，时，， ∵是和的中点， ∴可以近似取和时的中间值，即， ∴可以近似取；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：∵探究一中：漏完沙子需， 对照探究二数据：当时，漏完沙子所用的时间， ∴探究一中所用沙漏的孔径为； 【小问3详解】 解：①描点坐标：，，，，， ②观察①所得函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，即当时，对应的孔径的值约等于．（答案不唯一） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为，顶点坐标为 （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】本题是考查二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质建立不等式求参数的取值范围． （1）代入，得到二次函数的表达式，继而求解即可． （2）根据二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，得到满足条件的的取值范围，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为， ∴分两种情况讨论， ①当时，函数图象如图所示， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴点在对称轴的右侧， ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴点在对称轴右侧， ∵对于，都有， ∴， ∴解得， ②当时，函数图象如图所示， ∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴，且， ∴，， ∴解得， 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，将正方形的边绕点顺时针方向旋转得到，连接，作于，连接，交于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求； （3）用等式表示，的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：由题意，补全图形如图： （2） （3） ，证明如下： 连接，作，交的延长线于点，则： 由（2）可知：，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题干补全图形即可； （2）根据正方形的性质，得到，旋转，得到，，进而得到，根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及角的和差关系进行求解即可； （3）连接，作，交的延长线于点，三线合一，推出，进而得到，进而求出的度数，推出，证明，得到，得到为等腰直角三角形，得到，线段的和差关系，结合等量代换推出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，进行导角，得到全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外的一点C，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点C为弦的“垂联点”． （1）已知点，，. ①如图1，在点，，中，弦的“垂联点”是____； ②如图2，若点C为弦的“垂联点”，直接写出的长； （2）已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，设的长为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围． 【答案】（1）①，；②线段的长为 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题干中的定义分别判断点，，是否为弦的“垂联点”；②设点，分两种情况讨论：第一种情况，当是⊙的切线，，可得，，第二种情况，当是⊙的切线，，可得，，即可求出的长； （2）先找出随着的增大而增大，随着的减小而减小，即求出最大值和最小值作为临界点；当点S在点时，可得是⊙的切线，，作直径，连接，易得点M、Q、T三点共线，，当点S在经过点的的垂线上时，即点K，作直径，连接，易得点K、P、T三点共线，，，由此可求d的取值范围． 【小问1详解】 解：①点，，， ，，， ， ， 又，是的半径， 是的切线， 即点是弦的“垂联点”； 点，，， ，，， 与不垂直，即点不是弦的“垂联点”； 点，，， ，， ， ，是的半径， 是的切线， ，， ， ， 即点是弦的“垂联点”； ②点，，点C为弦的“垂联点”， 设点，分两种情况讨论： 第一种情况，当是的切线，， ，， ， ， ， ， 第二种情况，当是的切线，， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，线段的长为； 【小问2详解】 解：线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，随着S的变动在一定范围内变动，且点，， 如图所示，在线段上取一点S，作直径，连接、， 的长为d， 只考虑是的切线，一种情况即可， ， ， ， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， ， 随着的增大而增大，随着的减小而减小， 即求出最大值和最小值作为临界点； 当点S在点时，取最大值，即最大， 则是的切线， ，如图所示，作直径，连接， ，，，，， ， ，是的切线， ， ， ，，是直径， 点M、Q、T三点共线， ， ， ， ， ， ， 当点S在经过点的的垂线上时，即点K，取最小值，即最小， 如图所示，作直径，连接， 同理可得，点K、P、T三点共线，， ，点，， ，， ， ，， ， ， ， 则d的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $