北京市大兴区第二学期期中练习2025～2026学年度九年级数学

2025~2026学年度北京市大兴区第二学期期中练习初三数学 时间：120分钟 满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8题，每小题2分，合计16分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上有四个点，其中与最接近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行； C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； D．如果两个角的和是，那么这两个角互为邻补角． 4．从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 6．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 7．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8题，每小题2分，合计16分） 9．分解因式：______． 10．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 11．方程的解为____． 12．已知反比例函数，当时，________． 13．某年级为了解学生对“足球”“篮球”“排球”“乒乓球”“羽毛球”五类体育项目的喜爱情况，现从中随机抽取了100名学生进行问卷调查，根据数据绘制了如图所示的统计图．若该年级有800名学生，估计该年级喜爱“篮球”项目的学生有______人． 14．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，则的长为_____． 15．如图，在中，，于点E，于点F，，交于点N，，的延长线交于M，给出下列结论：①；②点C是的中点；③；④．则上述结论中，所有正确结论的序号是______． 16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 三、解答题（本题共17-19题，每小题各5分，第20题6分，，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题7分，合计68分） 17．计算： 18．解方程（组）或不等式组： (1) (2)解方程组 (3)解不等式组，并求出所有整数解． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 22．某游泳馆推出两种游泳付费方案．方案一：购买会员卡，每张会员卡元，凭卡游泳每次再收费元：方案二：不购买会员卡，每次游泳收费元．选择哪种方案更合算？说明理由． 23．为了研究影响小麦叶绿素含量的相关因素，某校社团小组随机选取试验田内种植的15株小麦健康样本，测定其孕穗期功能叶片叶绿素含量（单位：），并对所得实验数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．株小麦样本的叶绿素含量，按从小到大的顺序排列，如下：，，，，，，，，，，，，，，； b．株小麦样本的叶绿素含量的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：_______，_____； (2)社团小组成员认为极端数据会影响整体的评估，因此去掉本次测定数据中的一个最大值和一个最小值，计算其余13个数据的平均数为，则______（填“”“”或“”）； (3)相关研究表明，施肥会影响植物叶绿素含量．为了评估新型有机肥的效果，随机选取10株生长状况相近的小麦样本，并随机平均分成甲、乙两组．对甲组施加新型有机肥，对乙组施加常规肥料，其他条件一致，经过一段时间再测量施肥后的叶绿素含量得到数据如下表： 甲组叶绿素含量 乙组叶绿素含量 若每组小麦叶绿素含量数据的方差越小，则认为叶绿素含量越稳定．结合两组数据的方差进行分析，_______组（填“甲”或“乙”）在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 24．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点A作⊙的切线，且，连接交于点F． (1)求证：； (2)，，求的长． 25．小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 26．一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该一次函数的表达式，并在下图中画出该函数图象； (2)若y轴上有一点C，且，直接写出点C的坐标为______． 27．如图，点在正方形的边上，以为圆心，长为半径画弧交于，过点作交于点，交于点，连接． (1)①根据题意补全图形． ②用等式表示与的数量关系并证明． (2)求证：． (3)若在线段上存在一点，使得，连接，用等式表示和的数量关系并证明． 28．在平面直角坐标系中，的半径为1，点P是外一点，给出如下定义：过点P作的两条切线，切点分别为A，B（A与B不重合），若点C是线段中点，则称点C为点P关于的“中切点”． (1)已知点P是直线上一点， ①在点，，，中，是点P关于的“中切点”的是_________； ②若直线上存在点P关于的“中切点”，直接写出b的取值范围_________； (2)已知点，的半径为，点M是直线上一点，，若上存在点M关于的“中切点”，直接写出t的取值范围_________． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 《2025~2026学年度北京市大兴区第二学期期中练习初三 数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C D A A B 1．C 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意． 2．C 【分析】先估算的值，再结合数轴判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵点表示，点表示左右，点表示，点表示， ∴与最接近的点是点． 3．C 【详解】解：A、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原命题是假命题，不符合题意； B、只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上无法作出与已知直线平行的直线，原命题是假命题，不符合题意； C、根据平面内垂直的基本定理，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合定理内容，原命题是真命题，符合题意； D、和为的两个角仅互为补角，邻补角要求两个角不仅和为，还需要有公共顶点和公共边，位置相邻，因此和为的两个角不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题意． 4．C 【分析】先求出所有教材的总数量，再求出不是数学教材的数量，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：总教材数量为本，其中不是数学教材的数量为本， 选取的书不是数学教材的概率为． 5．D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 6．A 【分析】本题考查科学记数法的乘法运算，根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，已知月球远地点距离为米，计算乘积后将结果整理为正确的科学记数法形式即可． 【详解】解：． 7．A 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 8．B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 9． 【分析】此题考查了因式分解的方法．利用提公因式的方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10． 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则有，解得， 则实数x的取值范围是． 11．3/ 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘， 得， 展开各项，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12．2 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． 直接把代入反比例函数求出相应x的值即可． 【详解】解：当时，， ∴． 故答案为：2． 13．240 【分析】本题主要考查了样本估计总体．用800乘以喜爱“篮球”项目所占的百分比，即可． 【详解】解：人， 即该年级喜爱“篮球”项目的学生有240人． 故答案为：240 14． 3.75// 【分析】首先，由矩形的性质得，，得，然后，再由折叠的性质得，进而得，再设，则，最后，在中，由，代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴． 设，则， 在中，，即， 解得，即． 15． ①③ 【分析】①利用同角的余角相等证明，结合平行四边形对角相等即可判断；③利用证明，得到，结合平行四边形对边相等即可判断；②转化为证明，题目无条件支持；④当时，成立，题目无条件支持； 【详解】解：，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，故③正确； ， ，， 若点是中点，则， ， ， ， ，即垂直平分， ， 题目未给出，故②不一定正确； 当时， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 题目未给出，故④不一定正确； 综上所述，正确的结论是①③． 16． 75 【分析】（1）根据每门功课的分数计算五人总分之和， （2）结合已知条件，逐步推理出各人的总分，再根据分数限制推出乙的各科分数. 【详解】解：（1）每门功课五个人分数为，每门功课分数和为，共有门功课，因此五人总分之和为； （2）∵甲总分为，五门满分， ∴甲的分数为个分和个分， ∵戊语文得分， ∴语文分在戊，甲的个分分布在数学，英语，物理，政治，甲语文得分； 根据条件③，丙有四门分数相同， ∵所有分已经用完（甲个，戊个）， ∴相同分数不可能为； ∵共有个分，已经用了甲语文分，丁英语分，仅剩个分，不够丙拿四门， ∴相同分数不可能为； 若相同分数为，则丙总分最多为，戊已有分，剩余三门最少加分，总分最少，此时丁需要小于，戊小于丁，矛盾， ∴相同分数不可能为； ∴丙四门相同分数只能为， 又∵戊数学已经得分，因此丙的数学不为，其余四门（语文，英语，物理，政治）均为，丙总分为，为丙数学分数，只能为； ∵总分排序甲>乙>丙>丁>戊，五人总分为， ∴乙+丙+丁+戊， 若丙总分或，总和超出， ∴丙总分只能为，得，即丙数学为，丙总分， ∴乙>>丁>戊，戊总分最少， ∴只能是乙，丙，丁，戊，满足， ∵戊已有语文，数学，剩余三门分数和为， ∴三门均为分，即戊英语，物理，政治都是， ∴英语剩下分给乙，乙英语得分； ∵丁总分，英语已经得分，因此剩下四门分数和为，物理，政治已经没有分， ∴丁物理+政治最少分， ∴丁语文+丁数学，可得丁语文，丁数学，丁物理，丁政治，满足和为； ∴乙各科分数： 语文：剩余分数为，得分； 数学：剩余分数为，得分； 英语：得分； 物理：剩余分数为，得分； 政治：剩余分数为，得分； ∴乙的五门分数依次为. 17． 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，零次幂，再合并即可． 【详解】解： ； 18．(1)， (2) (3)不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】（1）将方程去分母、系数化为1后利用平方根求解即可． （2）直接利用加减消元法解方程即可； （3）根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再找到公共解集，最后在公共解集中取所有的整数解即可． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入①得：， ∴， ∴原方程组的解为． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 其中所有整数解为． 19． 【分析】用表示分子，分母，后变形代入计算即可． 本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键． 【详解】解： ∴原式． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形； （2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度． 【详解】（1）证明：，分别为，中点， ， ，为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：过点作于点． 在中，， 设，则， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 在中，． 21．(1) (2)或 【分析】（1）先求出点，然后再用待定系数法求出k，b的值； （2）由题意可知，当时，的图象在上方，在下方，设与分别交于两点，当与平行时，满足题意，此时，交于点；当与的交点在之间（包括端点时），满足题意，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∵函数的图象经过点与点， ∴， ∴； （2）解：当时，函数的表达式为， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，的图象在上方，在下方， 当时，； 当时，； 不妨设， 当与平行时，画出图形如下： 从图象可知，此时满足“的图象在上方，在下方，”，此时，的表达式为， 当时，，设点， 如图，当与的交点在之间（包括端点时），满足题意， 当时，， ∴， 又， ∴或． 22．当游泳的次数大于次时，方案一合算；当游泳的次数等于次时，两个方案一样；当游泳的次数小于次时，方案二合算；理由见解析 【分析】先设游泳的次数为次（为正整数），分别列出两种方案的总费用，再分情况通过列不等式、方程求出不同游泳次数对应的合算方案． 【详解】解：设游泳的次数为次（为正整数）， 方案一总费用为：元， 方案二总费用为：元， 分三种情况讨论： ①方案一合算，则，解得； ②两个方案一样，则，解得； ③方案二合算，则，解得； 答：当游泳的次数大于次时，方案一合算；当游泳的次数等于次时，两个方案一样；当游泳的次数小于次时，方案二合算． 23．(1)， (2) (3)甲 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）计算其余13个数据的平均数，与比较大小，即可求解； （3）分别计算甲、乙两组数据的方差，再根据方差越小数据越稳定的原则进行判断． 【详解】（1）解：中位数是第8个数，；出现最多，众数． （2）解：． （3）解：甲组数据的方差，乙组数据的方差， 因为， 所以甲组在施肥后对提升叶绿素含量的稳定性表现更好． 24．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用圆的切线性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质进行证明即可． （2）通过证明三角形相似，得到线段之间的比例关系，再结合勾股定理进而求解即可． 【详解】（1）证明：是的切线，为直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， ， 设，则， ， ， 过点作于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得（负值舍去）， ． 在中，， ， ． 25．(1) (2)图见解析 (3)①；② 【分析】（1）观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加，据此即可解答； （2）根据表格数据描点，画出图象即可； （3）根据（2）中的图象解答即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加， 因此当时，， 故表格填入数据； （2）解：如下图函数图象即为所求： （3）解：①由图象可知， 当拉力为时，弹簧A的伸长量为，弹簧B的伸长量为， 则弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为； ②由图象可知， 若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为． 26．(1)，图见详解 (2)或． 【分析】（1）运用待定系数法进行求解，得，先在平面直角坐标系上描点，再连接，即可得出该函数图象； （2）根据y轴上有一点C，且，列式，解得，即可得出的坐标． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴经过点， 先在平面直角坐标系上描点，再连线，如图所示： （2）解：由（1）得经过点， ∵y轴上有一点C，且， ∴， 即， 解得， 则或， ∴的坐标为或． 27．(1)①补全图形见解析；②；证明见解析 (2)证明见解析 (3)；证明见解析 【分析】（）①依题意，补全图形即可；②先利用同圆半径相等得等腰，由三角形内角和推出；再结合得，通过等量代换证明； （）通过延长与的延长线交于点，利用等腰三角形性质、垂直关系推导角相等，证明，再用证明，从而得到； （）设参数表示线段长度，结合上一问结论求出，再用勾股定理算出 与 的表达式，通过等量代换证明． 【详解】（1）①解：依题意，补全图形如图所示： ②结论：， 证明如下： 由题意，（同圆半径相等）， ∴中，， ∵三角形内角和为， ， ∴， 整理得， 又， ， ∴； （2）证明：延长，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）结论：， 证明如下：设，则正方形边长， 由（）得，故， 在正方形中，， 由勾股定理：， ， ∴． 28．(1) ， (2) 【分析】（1）对于上任意一点，连接，直线交轴于点，过点作的两条切线，切点分别为，（与不重合），连接，交轴于点，交于点，由切线的性质和切线长定理，可得，，，证明，可得，证明，可得，证明，可得，证明，可得，可得，确定点的运动轨迹，即可求解；由可得，当直线与相切时，或在直线上，将和代入，可得的最小值和最大值，即可得的取值范围； （2）由（1）分析可得，上的点关于的“中切点”，在以为圆心，为半径的上运动，当与外切时，圆心的距离等于半径和，根据勾股定理，可得的最大值，当与内切时，圆心的距离等于半径差，根据勾股定理，可得的最小值． 【详解】（1）解：对于上任意一点，连接， 直线交轴于点， 过点作的两条切线，切点分别为，（与不重合）， 连接，交轴于点，交于点， ∵与相切于点，与相切于点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 的中点记为点，则。 ∵， ∴点在以为直径的上运动（不包括点）， ∵，在以为直径的上， ∴，是点关于的“中切点”． 由可得， ∵，，，， ∴当直线与相切时，或在直线上， ∴或， 解得或， ∵直线上存在点P关于的“中切点”， ∴． （2）解：由（1）分析可得，上的点关于的“中切点”，在以为圆心，为半径的上运动， 当与外切时， ∵点，的半径为，点，的半径为， ∴， 解得， 当与内切时， ∵点，的半径为，点，的半径为， ∴， 解得， ∵上存在点M关于的“中切点”， ∴． 答案第14页，共23页 答案第13页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $