精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年下学期期中考试数学试卷

北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年下学期期中考试数学试卷 考生须知: 1．本试卷共8页，共4道大题，26道小题；答题纸共3页．满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 命题人：刘中国 韩璐 胡波平 审题人：杨洁 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数定义判断所给出的图像是否是函数．函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图像观察就可以得出结论． 【详解】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而A中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图像． 故选：A． 2. 下列各等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的运算及性质可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能计算，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选C． 3. 如图，学校的旗杆垂直立于地面，当阳光与地面夹角为时，旗杆的影子长9米，则学校旗杆的高度为（ ）米． A. 4.5 B. C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，先跟根据垂直定义可得，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得米，最后利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴学校旗杆的高度为米， 故选：C． 4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理及三角形内角和进行排除选项． 【详解】解：A、由可设，则有，所以该三角形是直角三角形，故不符合题意； B、由结合可知：最大角为，不是直角三角形，故符合题意； C、由及可知：，所以该三角形是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，则有，所以该三角形是直角三角形，故不符合题意； 故选B． 5. 已知一次函数随的增大而减小，且图象与轴交于正半轴，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，且，然后问题可求解． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 令时，则有， ∴当图象与轴交于正半轴时，则有，即， ∴的取值范围是； 故选：D． 6. 如图，在中，交于点，经过点的直线分别交直线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同法可证， ∴， ∴， 故选项B，C，D正确． 故选：A． 7. 如图，在中，，点E在BD上，.如果，那么等于（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出∠DCB=∠A=70°，AD∥BC，根据平行线的性质求出∠ABC=110°，根据等腰三角形的性质求出∠ADB=∠A=70°，根据平行线的性质求出∠EBC=∠ADB=70°，求出∠CEB=∠EBC=70°，根据三角形内角和定理求出∠ECB=40°，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=70°， ∴∠DCB=∠A=70°，AD∥BC， ∴∠ABC+∠A=180°， ∴∠ABC=110°， ∵AB=BD， ∴∠ADB=∠A=70°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC=∠ADB=70°， ∵CE=BC， ∴∠CEB=∠EBC=70°， ∴∠ECB=180°-70°-70°=40°， ∵∠DCB=70°， ∴∠DCE=∠ECB=70°-40°=30°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出∠DCB和∠ECB的度数是解此题的关键． 8. 如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（ ） A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 一直变短 D. 始终保持不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴动点从点运动到点的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 10. 把化为最简二次根式，结果是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用商的算术平方根法则化简即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式商的算术平方根法则是解本题的关键． 11. 正比例函数图象过点，那么它的函数解析式为：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键；设函数解析式为，然后把点代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：设函数解析式为，则有：， 解得：， ∴函数解析式为； 故答案为． 12. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，即可求出长，然后利用菱形的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，于平分，则_____________，若点是线段的中点，则_____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平行四边形的性质可得、、，则；根据角平分线的定义以及等角对等边可得，则；再运用勾股定理可得、，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴． 故答案为：3，． 14. 如图，点和在数轴上，它们所对应的数分别为0和2，以为直角边，为直角顶点向上作等腰，再以为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则在数轴上所对应的数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可知，，再根据勾股定理求得，再根据点与点的位置关系分别求解即可． 【详解】解：点和在数轴上，它们所对应的数分别为0和2，则， 以为直角边，为直角顶点向上作等腰， 则， 以为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则， 当点在点左侧时，在数轴上所对应的数为， 当点在点右侧时，在数轴上所对应的数为， 综上可知，在数轴上所对应的数为， 故答案为：． 15. 如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为_____________米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，过D作于H，根据矩形的判定和性质，以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设米， ∵， ∴， 解得， 即：米， 故答案为：2． 16. 对于点，若满足，则称该点为“完备点”．已知点是直线上的“完备点”：①当时，则_____________；②当时，则的取值范围是_____________． 【答案】 ①. 1或3 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一元一次方程和一元一次不等式组的解法是解题的关键． ①将点的坐标代入直线，并根据“完备点”的定义得到和的数量关系，去绝对值求出的值即可； ②根据①，分情况将用含的代数式表示出来，再由得到关于的一元一次不等式组并求其解集，最后求出的取值范围即可． 【详解】解：①∵点是直线上的“完备点”， ，且， 当时，得，即， ， ， 当时，得，即， ， ， 或3， 故答案为：1或3． ②根据①， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， 或， ∴的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，第17、19、22、24题各8分，第18、20、21、23题各9分，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； （1）根据二次根式的混合运算可进行求解； （2）根据平方差公式及二次根式的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 周末，小萌骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发半小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小萌离家1小时20分钟后，妈妈从家驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们行驶的路程与小萌离家时间的函数图象．已知小萌骑车的速度始终不变，妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍．请根据相关信息，回答下列问题： （1）小萌在甲地游玩的时间是_____________h； （2）小萌骑车的速度是_____________； （3）求直线的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）； （4）小萌出发_____________h后被妈妈追上． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用、列函数关系式，解题的关键是根据题意结合函数图像进行求解． （1）结合函数图像即可求出小萌在甲地游玩的时间； （2）结合函数图像，由速度=路程时间即可求解； （3）运用待定系数法，通过点，即可求出直线的函数解析式； （4）先运用待定系数法和点，求出直线的函数解析式，再和直线的函数解析式联立建立二元一次方程组，求出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：小萌在甲地游玩的时间是， 故答案为：； 【小问2详解】 小萌骑车的速度：， 故答案为：； 【小问3详解】 小萌骑车的速度为， 设直线的函数解析式为， 把点代入得：， 解得， 则直线的函数解析式为； 【小问4详解】 妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍， 妈妈驾车的速度：， 设直线的函数解析式为， 把点代入得：， 解得， 则直线的函数解析式为， 联立， 解得， 交点， 小萌出发后被妈妈追上， 故答案为：． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数且）． （1）若， ①当时，的取值范围是_____________； ②当时，的取值范围是_____________； （2）若，点为，点为，直线与线段有交点：则的取值范围是_____________． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）①根据k的值可得增减性，再求出和时的函数值即可得到答案；②求出时的函数值，再根据增减性即可得到答案； （2）分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由题意得，一次函数的解析式为， ∵， ∴y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是； ②当时， ， ∵y随x增大而减小， ∴当时，的取值范围是； 【小问2详解】 解：当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，直线与线段有交点． 20. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． （1）点的坐标是_____________，点的坐标是_____________； （2）求的面积； （3）直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）6 （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数一次函数图像上点的坐标特征，一次函数和几何综合，两条直线的交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入即可求出；然后联立两条直线即可求出； （2）首先求出，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）首先求出直线与y轴的交点坐标为，然后根据图象结合求解即可． 【小问1详解】 ∵直线与轴交于点， ∴当时， 解得 ∴； ∵直线与直线相交于点 ∴联立直线和直线得， ，解得 ∴； 【小问2详解】 ∵直线与轴交于点， ∴当时， 解得 ∴ 如图所示， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 ∵直线 ∴当时， ∴直线与y轴的交点坐标为， ∵直线与直线、直线分别交于点、点， ∴当时，点D在点E左边，且都在y轴左边，在点A右边 ∴的取值范围． 21. 如图，菱形的对角线交于点O，E为中点．连接并延长至点，使得．连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， ． 四边形是菱形， ， ． 又 四边形是平行四边形． 又 是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质以及勾股定理． （1）由菱形的性质得出，则，由矩形的判定可得出结论； （2）求出和的长，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ，， ∴ ∴， ． 22. 小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究： （1）完成表格，画出函数图象： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 3 …… （2）根据函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而_____________； ②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________； ③观察图象可知，不等式的解集是_____________． 【答案】（1） 完成表格如下： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 0 3 …… 函数图象如下： （2）①减小；②2；小；；③ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“五点描法”可进行作图； （2）①②③根据（1）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则有； 当时，则有； 【小问2详解】 解：由（1）中函数图象可知： ①当时，随的增大而减小； ②当时，函数取到最小值为； ③观察图象可知，不等式的解集是； 故答案为减小，2，小，，． 23. 小远同学从“对角线平分对角”的角度探究菱形的判定方法，请你帮助小远完成下面的问题： （1）小远认为“三个角被对角线平分的四边形是菱形”，并写出了这个命题的已知和求证，请你帮他完成证明： 如图，在四边形中，对角线和交于点，．求证：四边形是菱形． （2）小远将（1）中的条件弱化为“两个角被对角线平分”，发现不能证出四边形是菱形，请你帮他画出一个反例．（画出一个凸四边形满足两个角被对角线平分，却不是菱形，并注明条件） （3）小远在以“四边形一个或两个内角被对角线平分”为条件的基础上加入边相等的条件，给出了下列四组条件（如图），其中能判定四边形是菱形的有_____________． ①； ②； ③； ④． 【答案】（1） 证明：， ， ， 垂直平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 是菱形． （2） 答案不唯一，如图，四边形即为反例． （3）②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解答本题的关键． （1）分别证明、，可证明四边形是平行四边形，由可证明是菱形． （2）根据题意画出图形即可； （3）分别根据菱形的判定条件进行判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①； 无法判断, 所以，无法判断四边形是菱形； ②； ∵, ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ③； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 又， ∴ ∴， ∴四边形是菱形； ④． ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 故答案为：②③④． 24. 如图1，在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交于M、N． （1）求证：； （2）如图2，当点是中点时，连接交于，连接．写出和的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图1，作于点Q，交于点L，则， ∵于点Q，分别交于点M、N， ∴， ∵四边形是正方形，点E在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）， 证明：如图2，连接交于点P，   ∵交于点G，点F是中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）作于点Q，交于点L，因为于点Q，分别交于点M、N，所以，由正方形的性质得，，，则四边形是平行四边形，所以，推导出，再根据“”证明，得，则； （2）连接交于点P，因为点F是中点，所以垂直平分，则，可证明，得，，所以，推导出，则，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 四、附加题（本题共2小题，第1题4分，第2题6分，共10分） 25. 在解决“已知三角形三边长，求三角形的面积”的问题中，某些情况下，我们可以在边长为1的正方形格点中构造三角形，再利用割补法计算该三角形的面积． 例如：，由于，故可以画为格点中矩形的对角线，同理可以画为矩形的对角线，可以画为矩形的对角线，如图1，由割补法可求出面积为3.5． 根据材料回答下列问题： （1）请在图2中画出三边长度分别为的三角形（长度为的边已在图中给出），该三角形的面积是_____________； （2）如果三角形三边的边长分别为（其中），用含的代数式表示三角形的面积为_____________． 【答案】（1）解：，，以三边长度分别为的三角形如图所示：，7 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，借助网格求面积： （1）根据，，画出三角形，借助网格求面积即可； （2）根据勾股定理画出三角形，利用网格求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 由题可知：三角形的面积为：； 【小问2详解】 由题意，在由长为，宽为的小矩形组成的大矩形中，构造如图所示的三角形， 由图可知：三角形的面积为：． 26. 在平面直角坐标系中，图形和图形的“中位形”的定义如下：点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取中点，取中点，由所有线段所组成的图形叫做图形和图形的“中位形”．（当两个点重合时，连接这两点的线段和线段的中点都视为此点）已知点、点． （1）点和点的“中位形”的长度是______________； （2）已知点，若点和线段的“中位形”面积为2，求的值． （3）已知点、点，以线段为边作两条对角线都在坐标轴上的菱形，将菱形沿着直线平移得到菱形，设菱形的对角线交点坐标为．若线段和菱形的“中位形”与菱形有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或12 （3） 【解析】 【分析】本题在新定义的基础上，考查了三角形中位线的性质，求一次函数的解析式，菱形的性质等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）求的和的中点形成中位线的长即可； （2）线段的“中位形”的线段的端点为，，点H的“中位形”，根据得出a的值； （3）可表示出菱形的“中位”图形菱形的点，，的“中位”图形，其中，，可求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，求得当过点和过点时t的结果，进而得出结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1， ∵是线段的“中位形”， ∴，， ∴， ∵点H的“中位形”， ∴， 由得，， 解得或12； 【小问3详解】 解：如图2， ∵菱形的对角线交点坐标为， ∴菱形的“中位”图形菱形的点，， 的“中位”图形，其中，， ∵，， 设直线的解析式为：，把代入： ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理直线的解析式为：， 当过点时，， 解得， 当过点时，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年下学期期中考试数学试卷 考生须知: 1．本试卷共8页，共4道大题，26道小题；答题纸共3页．满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 命题人：刘中国 韩璐 胡波平 审题人：杨洁 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，学校的旗杆垂直立于地面，当阳光与地面夹角为时，旗杆的影子长9米，则学校旗杆的高度为（ ）米． A. 4.5 B. C. D. 18 4. 下列条件中，不能判定是直角三角形的一组条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数随的增大而减小，且图象与轴交于正半轴，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 6. 如图，在中，交于点，经过点的直线分别交直线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点E在BD上，.如果，那么等于（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. 如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（ ） A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 一直变短 D. 始终保持不变 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 10. 把化为最简二次根式，结果是______ ． 11. 正比例函数图象过点，那么它的函数解析式为：_____________． 12. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 13. 如图，在中，于平分，则_____________，若点是线段的中点，则_____________． 14. 如图，点和在数轴上，它们所对应的数分别为0和2，以为直角边，为直角顶点向上作等腰，再以为圆心，长为半径作弧交数轴于点，则在数轴上所对应的数为_________． 15. 如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为_____________米． 16. 对于点，若满足，则称该点为“完备点”．已知点是直线上的“完备点”：①当时，则_____________；②当时，则的取值范围是_____________． 三、解答题（本题共8小题，第17、19、22、24题各8分，第18、20、21、23题各9分，共68分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 周末，小萌骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发半小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小萌离家1小时20分钟后，妈妈从家驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们行驶的路程与小萌离家时间的函数图象．已知小萌骑车的速度始终不变，妈妈驾车的速度是小萌骑车速度的3倍．请根据相关信息，回答下列问题： （1）小萌在甲地游玩的时间是_____________h； （2）小萌骑车的速度是_____________； （3）求直线的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）； （4）小萌出发_____________h后被妈妈追上． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数且）． （1）若， ①当时，的取值范围是_____________； ②当时，的取值范围是_____________； （2）若，点为，点为，直线与线段有交点：则的取值范围是_____________． 20. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． （1）点的坐标是_____________，点的坐标是_____________； （2）求的面积； （3）直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，菱形的对角线交于点O，E为中点．连接并延长至点，使得．连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长度． 22. 小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究： （1）完成表格，画出函数图象： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 3 …… （2）根据函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而_____________； ②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________； ③观察图象可知，不等式的解集是_____________． 23. 小远同学从“对角线平分对角”的角度探究菱形的判定方法，请你帮助小远完成下面的问题： （1）小远认为“三个角被对角线平分的四边形是菱形”，并写出了这个命题的已知和求证，请你帮他完成证明： 如图，在四边形中，对角线和交于点，．求证：四边形是菱形． （2）小远将（1）中的条件弱化为“两个角被对角线平分”，发现不能证出四边形是菱形，请你帮他画出一个反例．（画出一个凸四边形满足两个角被对角线平分，却不是菱形，并注明条件） （3）小远在以“四边形一个或两个内角被对角线平分”为条件的基础上加入边相等的条件，给出了下列四组条件（如图），其中能判定四边形是菱形的有_____________． ①； ②； ③； ④． 24. 如图1，在正方形中，点是延长线上一点，连接．点在线段上，过点作的垂线分别交于M、N． （1）求证：； （2）如图2，当点是中点时，连接交于，连接．写出和的数量关系，并证明． 四、附加题（本题共2小题，第1题4分，第2题6分，共10分） 25. 在解决“已知三角形三边长，求三角形的面积”的问题中，某些情况下，我们可以在边长为1的正方形格点中构造三角形，再利用割补法计算该三角形的面积． 例如：，由于，故可以画为格点中矩形的对角线，同理可以画为矩形的对角线，可以画为矩形的对角线，如图1，由割补法可求出面积为3.5． 根据材料回答下列问题： （1）请在图2中画出三边长度分别为的三角形（长度为的边已在图中给出），该三角形的面积是_____________； （2）如果三角形三边的边长分别为（其中），用含的代数式表示三角形的面积为_____________． 26. 在平面直角坐标系中，图形和图形的“中位形”的定义如下：点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取中点，取中点，由所有线段所组成的图形叫做图形和图形的“中位形”．（当两个点重合时，连接这两点的线段和线段的中点都视为此点）已知点、点． （1）点和点的“中位形”的长度是______________； （2）已知点，若点和线段的“中位形”面积为2，求的值． （3）已知点、点，以线段为边作两条对角线都在坐标轴上的菱形，将菱形沿着直线平移得到菱形，设菱形的对角线交点坐标为．若线段和菱形的“中位形”与菱形有公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $