第2课时 相遇问题&第七单元 要点总结-【随堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

答：他们下午2：20相遇。 ②提素养 6km=6000m 解：设起跑x分后这两名运动员相遇。 310x+290x=6000×2x=20 答：起跑20分后这两名运动员相遇。 第七单元要点总结 要点1练习 n=16y=16x=5 要点2练习 1.解：设女将有x人。 x+35x=108x=3 35x=35×3=105 答：男将有105人，女将有3人。 2.解：设古稀是x岁。 2x+1=60×2+3×7x=70 答：古稀是70岁。 要点3练习 1.解：设乙船的速度是每时xkm。 27×4+4x=200x=23 答：乙船的速度是每时23km。 2.解：设甲、乙两辆汽车相遇所用时间为x时。 56x-32=48x+32x=8 (56+48)×8=832(km) 答：A、B两地的距离是832km。 3.解：设x分后两人第一次相遇。 300x-250x=400x=8 答：8分后两人第一次相遇。 4.解：设乙车每秒行驶xm,甲车每秒行驶1.4xm (1.4x-x)×25=3×2x=0.6 答：乙车每秒行驶0.6m。 八数据的表示和分析 第1课时复式条形统计图 举一反三 略 ②提素养 1.（1)拍球（2)跳绳（3)略 2.（1)略 (2)45(3)略 第2课时复式折形统计图 举一反三 略 @提素养 1.(1)46(2)20(3)182010 (4)32 2.(1）略 (2)五(1)班：50+52+48+49=199（分） 五(2)班：46+48+50+52=196（分） 199>196 答：五（1)班的总成绩高。 (3)（合理即可)五（1)班的成绩在第一场至 第二场呈上升趋势，在第二场至第三场呈下 降趋势，在第三场至第四场呈上升趋势。五 (2)班的成绩一直呈上升趋势。 第3课时平均数的再认识 举一反三 （165+183)÷2=174(棵) Q提素养 1.75608172 2.（25.5+25.5+7.5)÷(4+5)=6.5(t) 答：这辆汽车平均每次运送原料6.5t。 3.50×12×2÷(12+50×12÷75)=60(m) 答：这次往返亮亮平均每分走60m。 第八单元要点总结 要点1练习 (1)四五(2)10 (3)卡通故事（或文艺少儿科技) 要点2练习 1.乙102 2.（1)甲（2)甲 (3)两地都是1至7月份气温上升，7至12月 份气温下降。 (4)乙 (5)（答案不唯一)多加衣物。 要点3练习 1.珂珂算得不对，因为平均数不会超过这组同学的 最高身高，应该在最高身高和最低身高之间。 (131+140+136+141+142+138)÷6=138(cm) 答：这组同学的平均身高是138cm。 2.(6850×2.5+11250)÷(2.5+1.5)=7093.75(kg) 答：这两块玉米试验田平均每公顷产玉米 7093.75kg 6第②课时 相遇问题 课前·预习笔记 任务 笔记 重点© 知识点 列方程解决相遇问题（教材第71页例题) (1)淘气家到笑笑家的路程是840m,淘气的步行速度为70米/分，笑笑 的步行速度为50米/分，两人同时从家里出发。求淘气和笑笑出发多长时间相遇。 ①找出题中的等量关系。 70米/分 50米/分 淘气家→士 」笑笑家 ?分后相遇 840m 淘气走的路程 笑笑走的路程=840米 淘气的速度×相遇时间 笑笑的速度×相遇时间=840米 学 新 (淘气的速度+笑笑的速度)×相遇时间=840米 知 ②列方程解决问题。 解：设淘气和笑笑出发后x分相遇。 方法一：70x+50x=840 方法二：(70+50)x=840 x=7 x=7 (2)如果淘气的步行速度是80米/分，笑笑的步行速度是60米/分，求 他们出发多长时间相遇。根据等量关系列方程解决问题。 解：设淘气和笑笑出发后x分相遇。 方法一：80x+60x=840 方法二：（80+60)x=840 x=6 x=6 相遇问题中的等量关系：速度×时间=路程、甲的路程+乙的路程=路程和、 速度和×相遇时间=路程和。 理 相遇问题 列方程解决相遇问题 路 137 课堂·听课笔记 精批注 相遇问题是指两个运动的物体以不同的地点为出发 地微相向运动的问题。 步行速度为 相遇问题 步行速度为 50米/分。 70米/分 淘气家到笑笑家的路程是 840m,两人同时从家里出发。 路程=速度x时间 笑笑家 速度=路程÷时间 邮局 时间=路程÷速度 淘气家 商店 估计两人在何处相遇？说一说你的想法。 70米/分 50米（分 相遇问题的裁量关系： 我的速度比笑笑快 ①总路程=甲的路程+乙的路程 些，估计我们相遇的 ②总路程=速度和x相遇时间 中间偏笑笑 地，点在邮局附近。 的位置 因为两人是同时出发的，所以相遇时两人步行 →所用的时间是相同的。 淘气和笑笑出发后多长时间相遇？想一想，与同伴交流。 列方程解答 画示意图 一共840米 解：设出发后x分相遇，那么淘气走了 70x米，笑笑走了50x米。 淘气家 笑笑家 70x+50x=840还可以根据乘法分配律，将 120x=840 等量关系列为“速度和× 淘气走的路程+笑笑走的路程=840米 x=7 相遇时间=总路程”。 答： 出发后7分相遇。（70+50)x=840 淘气走的速度×相遇时间 笑笑走的速度×相遇时间 别忘了，路程=速度×时间。 如果淘气步行的速度是80米/分，笑笑步行的速度是60米/分，他们出发后多长时间相遇？ 先想一想，再列方程解决问题。 解：设他们出发后x 淘气走的路程+笑笑走的路程=840m 等量关系没有变！ 分相遇，那么淘气走 了80xm,笑笑走了 淘气走的速度+笑笑走的速度=840 6Oxm。 x相遇时间 x相遇时间 80x+60x=840 请举出生活中的其他情境， 也可以用类似的等量关系列方程解决。 140x=840 x=6 如·工程问题。 可以是两辆车… 还可以是两个人同 几时共同完成某 同时从两地出发 时做一件事… 项工作的相关问 几时相遇的问题。 题0 138· 练一练 1.张叔叔要给王阿姨送一份材料，他们约定两人同时开车出发。公园距天桥50km。 提示：根据情境图中各处所在的位置及两辆车的 速度信息估计两辆车相遇的大致位置。 天桥 出出 田田出田 张叔叔 公园 OD 王阿姨 OO 7田 李村 郭庄 60千米/时 40千米/时 (1)估计两人在哪个地方相遇？在图上标出来，再与同伴说一说你的想法。李村附近。 (2)出发后几时相遇？相遇地点距公园有多远？列方程解决问题。 寻我等量关系列方程求解相遇时间。〔，实际上是求王阿姨开车所行驶的路程。 解：设出发后x时相遇。 (40+60)x=50x=0.5 40×0.5=20(km) 2.甲、乙两工程队铺一条长1400m的公路，他们从两端同时施工，甲队每天铺80m,乙队每 天铺60m,几天后能够铺完这条公路？ 提示·根据“甲队铺 解：设x天后能够铺完 解：设x天后能够铺完这条公路。 的长度+乙队铺的长 这条公路。 方法二：（80+60)x=1400 度=公路全长”或“甲、 方法一：80x+60x=1400 x=10 乙两队每天铺的长度 x=10 方法三：1400÷(80+60)=10（天）和×天数=公路全长 列方程解答。 3.解方程。 提示：运用乘法分配律和等式的性质解方程。 x+4x=20x=4 6m-3m=27m=9 2y+y=105y=35 2y+4y=15y=2.5 9x-4x=6.5x=1.3 8n-n=14n=2 4.有一份5700字的文件，由于时间 我每分录入 我每分录入 紧急，安排甲、乙两名打字员同 100个字。 90个字。 时开始录入。录完这份文件需用 解，设录完这份文件 多长时间？ 需用x分。 提示：将每分录入的字数看作工作 (100+90)x=5700 效率，总字数相当于工作总量，有 x=30 关系式“工作效率和x工作时间= 工作总量”。 甲打字员 乙打字员 5.北京到呼和浩特的铁路线长660km。一列火车从呼和浩特开出，每时行驶60km;另一列 火车从北京开出，每时行驶72km。两列火车同时开出，经过几时相遇？ 提示：可以根据相遇时间=路程和÷速度和解答 方法一 也可以根据“从呼和浩特开出的火车行驶的路程+从 解：设两列火车同时开出，经过x 北京开出的火车行驶的路程=北京到呼和浩特的铁路 时相遇。 线总长”列方程解答。 60+72x=660 x=5 方法二：660÷(72+60)=5（时） 139 学方法 两个工程队共同完成一项工程，与相遇问题类似，工作效率相 当于速度，工作总量相当于总路程。本题还可以用算术法求出 ○列方程解决工程问题工作时间：2160÷（150+120)=8（个）。 某工程队准备从一座山里开凿一条2160m长的隧道，工程队分成两队分别从山的两边同 时开工，一队每月开凿150m,二队每月开凿120m,几个月能凿通？ 思路分析：一队开凿的长度 二队开凿的长度=2160m 一队每月开凿的长度×月数 二队每月开凿的长度×月数 正确解答：解：设x个月能凿通。 150x+120x=2160 x=8 答：8个月能凿通。 ○巧解从车头相遇到车尾相离的问题 一列客车长190m,一列货车长240m,两车分别以每秒20m和每秒23m的速度相向而行， 在双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需多长时间？ 思路分析：明确路程是两列车的车身的长度之和是解题关键，即“客车行驶的路程+货车 行驶的路程=（190+240)m”，根据这一等量关系列方程解答。 正确解答：解：设两车从车头相遇到车尾相离共需x秒。 20x+23x=190+240 解决此类问题的等量关系：两车从车头相遇到车 x=10 尾相离所行驶的路程之和=两车车身的长度之和。 答：两车从车头相遇到车尾相离共需10秒。 ○运用画线段图法解决追及问题 有一天早上，小凯以80米/分的速度步行去学校，5分后，爸爸发现小凯忘了带数学书， 于是立即以180米/分的速度去追赶小凯，并且在中途追上了他。爸爸追上小凯用了多长 时间？ 思路分析：根据题意，爸爸开始追赶小凯时，小凯已经以80米/分的速度走了5分。设爸 爸追上小凯用了x分，画线段图分析等量关系： 180xm 家 追上地点 小凯已走（80×5)m 80x m 等量关系：爸爸走的路程-爸爸追的时间小凯走的路程=小凯先走5分的路程 列方程： 180x 80x =80×5 正确解答：解：设爸爸追上小凯用了x分。 追及开始时两者之间的路程也叫追及路 180x-80x=80×5 程，追及问题常用到的数量关系：追及 路程=追及时快者所走的路程-追及时 x=4 慢者所走的路程。 答：爸爸追上小凯用了4分。 -·140 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：列方程时未加括号出错 下面谁的解法对？对的画“√”，错的画“×”。 A、B两地相距500km,甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发相向而行，甲车每时行40km, 乙车每时行60km,几时后两车相遇？ 解：设x时后两车相遇。 解：设x时后两车相遇。 40+60x=500 (40+60)x=500 100x=500 100x=500 明明 丽丽 x=5 x=5 答：5时后两车相遇。 答：5时后两车相遇。 ) ( 易错解读：本题易错在求速度和时算式没有加小括号。若不加小括号，可以先分别求路程 再相加。所以本题的正确答案为X、V√。 举一反三： 王老师和李老师约定在今天下午2：00同时从家里出发，他们两家相距9km,两人相向 而行，王老师每分骑行250m,李老师每分骑行200m。他们何时相遇？ 人路程和 提素养 某县举行长跑比赛，运动员跑到离起跑点6km处要向起跑点折返。领先的运动员每分跑310m, 最后一名运动员每分跑290。起跑多少分后这两名运动员相遇？ 起跑点 返回，点 解决相遇问题的关健是我出等量关系： 领先的运动员跑的路程+最后一名运动 员跑的路程=总路程 141 第七单元要点总结 ,要点形如“x±x=b”的方程的解法 解形如“x±x=b”的方程时，要先逆用乘法分配律，再根据等式的性质来解，具体步 骤如下： ax±x=b 解：（a±1)x=b x=b÷（a±1) 练习 解方程。 12n-8n=64 3y+5y=128 6×3+6x=48 要点2列方程解决问题的方法， 列方程解决问题的一般步骤：(1)根据题意找等量关系；（2)根据等量关系，列出方程； (3)解方程；(4)检查结果是否正确。 练习 1.中国四大名著之一的《水浒传》中共有108将，其中男将人数是女将的35倍，男将、女将 各有多少人？ 2.上联“花甲重逢，增加三七岁月”，下联“古稀双庆，更多一度春秋”。该对联中上、下 联描述的年纪相等。花甲是60岁，古稀是多少岁？（列方程解答)（注释：“花甲重逢” 指两个60岁；“三七岁月”为21岁；“古稀双庆”指两个古稀年龄；“一度春秋”指1年。) ·142· ,要点3 用方程解决相遇问题 相遇问题是指两个不同的物体从不同地点出发相向而行，经过一段时间后两个物体相 遇，或两个不同的物体，从同一地点出发反向而行，经过一段时间后两个物体相遇（如在 环形跑道反向而行)。解决相遇问题，要根据速度、时间和路程三者之间的关系找到等量 关系，列出方程求解。 练习 1.甲、乙两船从同一个码头同时向相反方向行驶，4时后甲、乙两船相距200km,甲船的速 度是每时27km,乙船的速度是每时多少千米？ 2.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行56km,乙车每时行48km,两车 在离中点32km处相遇。A、B两地的距离是多少千米？ 3.扬扬和帆帆在周长是400的环形跑道上练习跑步，两人同时从起点出发，同向而行。扬 扬每分跑250m,帆帆每分跑300m。几分后两人第一次相遇？ 4.小刚的玩具火车轨道的形状是一个平行四边形，甲、乙两列玩具火车同时从A点分别向不 同的方向出发（如图），25秒后在C点相遇。已知甲车的速度是乙车的1.4倍，乙车每秒 行驶多少米？ B 3m 143