第3课时 长方体的体积-【随堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

3.15x号=6(m）6x号-号(m) 答：第一次弹起的高度是6m,第二次弹起的高 答：他骑自行车的路程占全程的日，步行的路程占 度是号m。 全程的子。 四 长方体（二) 第4课时倒数 第1课时体积与容积 举一反三 举一反三 (1)×(2)×(3)V 1(1)V(2)×(3)× @提素养 ②提素养 11)子方(2)宽 2(3)合 11.4×3×3=36(个)5×3×2=30（个） 36>30,所以①号长方体盒子的容积大。 2.略 2.体积变小，表面积变大。 3.甲数是吕 第2课时体积单位 第三单元要点总结 举一反三 要点1练习 1(1)dm3 (2)mL 1(3)cm3(4)L 1.24?9号 1 0提素养 2.（答案不唯一)7天 11.919 12.(合理即可)75150 是×7-普（千时） 13.200÷8×(6-5)=25(mL) 25 mL 25 cm 14 答：7天可以节约用电5千瓦时。 答：这个铁块的体积是25cm。 第3课时长方体的体积 要点2练习 举一反三 员号易告是告号 (1)×(2)×(3)V 要点3练习 Q提素养 1号29音吉 )54 11.不对。改正：12dm=1.2m1.2÷4=0.3(m) 10.3×0.3×3.5=0.315(m3) 2x=子=写 x=8x=0 答：浇注这根立柱需要0.315m3的混凝土。 12.336÷4÷(4+3)=12(dm） 要点4练习 12×12×(12+4+3)=2736(dm3) 1.1-8= 180×=6(元) 答：原来长方体的体积是2736dm。 第4课时体积单位的换算 答：这件衣服便宜36元。 举一反三 2.第-天：480×写=160(m) 第二天：(480-160)×号=192(m) ！1m=10dm10×4×3=120(dm） 答：它的体积是120dm。 192>160,192-160=32(m) 1Q提素养 答：第二天铺的公路多，多32m。 11.50×30×20=30000(cm2)=3(m2) 173第3课时 长方体的体积 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点①长方体体积的计算公式（教材第41页例题）】 (1)长方体的体积与长、宽、高都有关系，长方体的长、宽、高越长 长方体的体积就越（大)。 (2)用若干个小正方体摆长方体。 小正方体的数量=每行的个数×行数×层数 ￥ ￥ 长方体的体积= 长 ×宽×高 如果V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么 长方体的体积计算公式用字母表示为(V=abh)。 重点 知识点2正方体体积的计算公式（教材第41页例题) 学 长方体的体积= 正方体的体积 新 长×宽×高 长×宽×高 》 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 知 正方体的长、宽、高都相等 如果V表示正方体的体积，α表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算 公式用字母表示为(V=a3)。 难点@ 知识点3 长方体、正方体体积的通用计算公式及应用（教材第42 页试一试) 长方体的体积=长×宽×高 长方体（正方体)的体积 ￥ =(底面积)×高 底面积 V=Sh 正方体的体积=棱长×棱长：×：棱长 ￥ ￥ (V表示体积，S表示底面积，h表示高) 底面积 看作高 长方体的体积=底面积×高，即(V=Sh);长方体的底面积=体积÷高， 即(S= );长方体的高=体积÷底面积，即(=) d h 理 长方体体积的计算公式 思 长方体的 长方体、正方体体积 体积 的通用公式及应用 路 正方体体积的计算公式 81 课堂·听课笔记 精批注 长方体的体积 长方形的面积与长和宽有关，长方体的体积可能与什么有关？观察下面各图，想一想。 宽、高不变 长变短， 宽、高不变，长 积变小。 变短了，体积变 小了… 长、高不变 高 宽 ② 宽变短，体积 长 变小。 与长、宽、高 都有关系。 长、宽不变，高变 ③ 短，体积变小。 ○猜一猜，长方体的体积与长、宽、高有什么关系？用一些相同的小正方体（棱长为1c) 摆出3个不同的长方体，记录它们的长、宽、高，完成下表，验证你的猜想。 体积是1cm。 因为棱长为1cm的 长/em 小正方体 宽/cm 高/cm 体积/cm 小正方体的体积是 数量/个 1cm3,所以每个长 第1个长方体 4 1 4 4 方体由多少个楼长 为1cm的小正方体 第2个长方体 2 2 16 16 组成，体积就是多 第3个长方体 6 2 2 24 24 少立方厘米。 小正方体的数量=每行的个数×行数×层数 a=V÷b÷h 长方体的体积=长×宽×高 拓展：长方体容器的容积也 b=V÷a÷n 可以用“长x宽x高“计 =a×b×h h=V÷a÷b 算，但长、宽、高的数据要 abh 从容器的内部测量。（注意 结果单位要化成容积单位) ○如何计算正方体的体积？与同伴交流你的想法。 正方体是特殊的长方 “a3”读作： 体，长方体的体积是 “a的立方” “长×宽×高”… 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a =0 注意a表示3个a相乘，3a表示3个a相加，不要混清。 -·82· 试一试 ○先算一算下列图形的体积，再读一读，想一想。（单位：dm)】 长方体的底 正方体的底面积 面积=长 楼长x楼长 3x5x4=60(dm3) 2×2x6=24(dm3) 3x3x3=27(dm3) 注意：放置方式不同 阴影部分的面积是上面各个图形底面的面积，称为底面积。 底面也就不同。 长方体（正方体）的体积=底面积×高 换一个底面，再用“底 V=S x h 面积×高”算一算这些 =Sh 图形的体积。 已知长方体的底 □填一填。 面积、高、体积 底面积/cm2 10 25 15 9 三个量中的任意 方体 高/cm 8 6 7 4.2 两个量，可以求 得第三个量，即 体积/cm 80 150 105 37.8 v.9.s-y V n=So 练一练 1.与同伴交流，我们是如何得到长方体、正方体的体积公式的？ 通过用小正方体摆长方体的活动探索出长方体的体积计算公式。又通过正方体是特殊的长 方体，得出正方体的体积计算公式。 2.我说你做。 1排4个， 体积是12cm3。 3排，1层 用体积是1cm 的小正方体摆 长方体。 1排5个， 摆的方法不 4排，3层。 体积是60cm。 同，能摆出不 同的长方体。 3.用体积是1cm3的小正方体摆成如下的图形，它们的体积各是多少？ 提示：用多 少个小正方 体摆，体积 就是多少立 3个 5个 方厘米。3x2×2=12(cm2)5×3×3=45(0m3)2x2x2=8(cm)3×2×3=18(cm) 83 4.一块长方体形状的大理石，体积为30m3,底面是面积为6m2的长方形，这块大理石的高是 多少米？提示，长方体的高=体积÷底面积 30÷6=5(m) 5.一个长方体水池，底面长12dm,宽6dm。如果要向这个池子里注入2dm高的水，需要多 少升水？ 提示根据V=ah,求注入的水的体积。注意结果的单位要化成升。 12x6x2=144(dm3)144dm3=144L 6.牙膏盒长15cm,宽和高都是3cm。现有一纸箱，内侧的尺寸如图（单位：cm)。这个纸 箱中最多能放多少盒牙膏？与同伴交流，说一说你是怎么想的。 提示纸箱的长、宽 高恰好分别是牙膏盒 30 15x3×3=135(cm3) 的长、宽、高的整数倍 60x30×30=54000(cm3) 所以用牙膏盒可以正 54000÷135=400(盒) 好把纸箱放满。 30 60 7.将一个长8cm、宽5cm、高3cm的长方体截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积 是多少？结合下边的图想一想，再算一算。（单位：cm) 提示·要将长方体截成 8>5>3 个最大的正方体，所截正 3x3×3=27(cm3) 方体的棱长不会大于长方 体最短的棱的长度。 8 8.冷藏车厢的内部长3m、宽2.2m、高2m,车厢内部的体 积是多少？长方体的体积=长×宽×高 3×2.2x2=13.2(m) 9.实践活动。 (1)寻找生活中两个长方体形状的物体，先估一估它们的体积，再进行测量与计算。 提示：先估算，再通过测量长方体的长、宽、高计算出体积。 (2)设计一个长方体盒子，使它能装下1000块长方体橡皮。 需要测量哪 些数据？ 提示：先测量出一块橡皮的长、宽、高，计算出一块橡皮的体积 再计算出1OO块橡皮的体积，即设计的长方体盒子的体积。然后 根据长方体盒子的体积，设计长方体盒子的长、宽、高。 84. 学方法 总结：一解答此题时，要明确铁块锻造前后体积不变，灵活运 用长方体、正方体的体积计算公式进行计算。 ○运用抓不变量法解决与体积有关的问题 把一个棱长是3dm的正方体铁块锻造成一个长60cm、宽30cm的长方体铁块，它的高是 多少厘米？ 思路分析：根据题意，铁块锻造前后体积不变。 根据“正方体的体积= 长方体铁块的体积等 根据“长方体的高=长 棱长×棱长×棱长” 于正方体铁块的体积 方体的体积÷底面积” 求出正方体铁块的体积。 求出长方体铁块的高。 正确解答：3dm=30cm 30×30×30÷(60×30)=15(cm) 答：它的高是15cm。 ○运用图示法解决有关长方体体积的问题 将一个长方体的高减少5cm,就变成了一个正方体（如下图），这个正方体的表面积比原 长方体的表面积减少了60cm。原长方体的体积是多少立方厘米？ cm 思路分析：由长方体的高减少5cm就变成了正方体可知，原长方体的上、下两个面是正 方形，即原长方体的长和宽相等。长方体变成正方体后表面积减少了60cm2, 减少的面积实际上就是4个相同的长方形的面积和（如下图）。先求出一个长 方形的宽就是正方体的棱长，即原长方体的长或宽，再用正方体的棱长加上减 少的5cm就是原长方体的高，进而求出原长方体的体积。 5 侧面展开图 cm 》 :60 cm 5 cm 长 宽 正确解答：60÷4÷5=3（cm)3+5=8(cm) 总结把长方体载去一段后 8×3×3=72（cm3) 减少的面积是4个相同的长 答：原长方体的体积是72cm3。 方形的面积和，明确这个关 系是解答此题的关健。 85 课后·提升笔记 巧总结 总结比较裁量，不仅仅是比较“裁“ 还要比较裁后面的单位。单位类型不 ○易错点：混淆表面积和体积所表示的意义 同，它们的意义也就不同，因此不能 比较。 判断：棱长是6cm的正方体，表面积和体积相等。 () 易错解读：本题易错在混淆表面积和体积所表示的意义。棱长是6cm的正方体，虽然计算 表面积和体积都是6×6×6=216，但是表面积是216cm2,而体积是216cm3。单位不同， 表示的意义也不同，所用的计算公式也不同，表面积和体积不能比较，所以本题的正确答 案为×。 提示：一个正方体有6个面，两 举一反三： 个有12个面，拼成长方体后减 A少2个面。 判断。 (1)长方体的表面积越大，体积就越大。 ( (2)两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积和体积都不变。 () (3)一个长方体长5cm、宽8cm、高6cm,它的占地面积最小是30cm2,体积是 240cm3。 提素养 1.下面的解法对吗？若不对，请改正。 一个底面是正方形的长方体立柱的底面周长是12dm,高是3.5m,浇注这根立柱需要多少 立方米的混凝土？ 提示·V=Sha 12×3.5=42（m3) 答：浇注这根立柱需要42m3的混凝土。 2.右图是一个长方体，若从下部和上部分别截去一个高为4dm的长方体 和一个高为3dm的长方体后，就变成了一个正方体，此时它的表面积3dm 减少了336dm2。原来长方体的体积是多少立方分米？ 提示·把从下部截去的长方体移到上部。 根据截去后剩下的部分就变成了一个正方 4 dm 体可知，原来长方体的底面是正方形，所7dm 以减少的部分的长方体的前、后、左、右4 个面的面积相等。 裁去部分 86