第4课时 露在外面的面&第二单元 要点总结-【随堂笔记】2025-2026学年五年级下册数学（北师大版）

第④课时 露在外面的面 课前·预习笔记 任务 笔记 重点⑤ 知识点个 堆放在墙角的正方体露在外面的面积的计算方法（教材 第18页例题)】 (1)4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，求有几个面露在外面， 露在外面的面积是多少平方厘米。 方法一：先看每个纸箱露在外面的面有几个，再计算全部纸箱露在外面的 面有几个。观察发现，里面的纸箱没有露在外面的面，其他3个纸箱各有(3) 个面露在外面，所以一共有(9)个面露在外面。 方法二：分别从正面、上面、侧面进行观察，然后把从每个角度看到的面 的个数相加。 共有（9)个面露在外面。 学 新 从正面看 从上面看从侧面看 知 计算露在外面的面积，可以先求出露在外面的一个面的面积，再乘露在外 面的面的个数，即50×50×9=22500(cm2)。 (2)摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。露在外面的面 的个数是相同的，也可以有不同的摆放方式。 难点心 知识点2 堆放在一起的正方体露在外面的面的个数（教材第18页 例题) 规律：单排水平摆放正方体的个数与露在外面的面的个数的关系：露在外 面的面的个数=正方体的个数×3+2。单排竖直摆放正方体的个数与露在外 面的面的个数的关系：露在外面的面的个数=正方体的个数×4+1。 理 堆放在墙角的正方 露在外面 体露在外面的面积 的面 堆放在一起的正方体 路 的计算方法 露在外面的面的个数 36 课堂·听课笔记 精批注 露在外面的面 4个棱长为50cm的正方体纸箱放在 墙角处，如右图。 ○有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 9个面露 在外面。 0 A 方法一 外面的每个纸箱 0 有3个面露在外 方法二·一从不同角度看整体。 共有 面，一共有 从正面看从上面看 从侧面看 9个面露 在外面。 露在外面的面积：9x50×50=22500(cm2) 计算堆放在墙角的正方体露在外面的面积的步聚：(1)悬出露在外面的面的总个裁。 (2)用一个面的面积乘露在外面的面的总个裁。 ○把这4个纸箱换一种方式放在墙角处，可以怎样摆，各有几个面露在外面？想一想，与同 伴交流。发现相同个数的正方体，摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。 9个面 8个面 8个面 想一想，做一做，填一填。 多4个，13 单排水平摆效：多3个多3今 单排竖直摆放： 多4个9 你发现了什 么规律？ 小正方体 个 数 2 415 小正方体 6 数 1 个 露在外面 露在外面 811141720 5913172125 的面/个 的面/个 规律从第二个图形起，每增加1个小正方体 规律：从第二个图形起，每增加1个小正 露在外面的面就增加个，n个小正方体单 方体，露在外面的面就增加4个，n个小 排紧贴着水平摆放，露在外面的面的个裁是 正方体单排竖直摆放，露在外面的面的个 3n+2。 数是4n+1。 37 练一练 提示·分别从 1.3个棱长为100cm的正方体纸箱放在墙角（如右图）。 正面、侧面、 (1)有几个面露在外面？7个 上面看有几个 面，再相加， (2)露在外面的面积是多少平方厘米？ 即可得到露在 100x100×7=70000(cm) 外面的面裁。 2.有5个棱长为40cm的正方体放在墙角处。 (1)有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 10个40×40×10=16000(cm) (2)改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 与同伴交流。 改变摆法，露在外面的面积可能会变化。 摆放的方式不同，露在外面的面的个数可能不同，露在外面的面积就可能会发生变化。 3.下图是用8个小正方体拼成的，如4.将4个棱长为6cm的正方体拼成一个长方体，长 果拿走其中的1个，它的表面积 方体的表面积与原来的4个正方体的表面积之和相 会发生变化吗？做一做，并与同伴 比，会发生变化吗？变化了多少？ 交流。提示·画图数一数最直观。 n个正方体排成 一行拼成长方 体，减少的表面 积是[(n-1)x 2]个正方形的 面积。 不会 会，减少了6×6×6=216(cm)。 学校运动会的领奖台除了底面不涂漆外，其他各面都涂漆，需要涂漆的面积是多少平方厘 米？（单位：cm) 提示·先我出面的个数，面与面之间的关系，再选择合适的方法灵活计算。 2 3 50 100 100 100 100x3x50=15000(cm) 50x30×2+50x40x2=7000(cm) [100x30+100×(30+40)+100x40]×2=28000(cm) 15000+7000+28000=50000(cm) 38· 学方法 ○运用推理法解决求露在外面的面的个数的规律问题 如图是用同样大小的正方体靠墙角叠放成的图形，按叠放规律填空： 总结·解决此类 问题的关键是认 真观察正方体的 摆放方式，我出 图形之间的数量 关系。 正方体个数 3 6 12 15 18 露在外面的面/个 如果叠放207个正方体，露在外面的面有( )个。 思路分析：第一个图形有7个露在外面的面，第二个图形有11个露在外面的面，第三个 图形有15个露在外面的面，发现从第二个图形开始，每增加三个正方体（一层） 就增加4个露在外面的面，所以总层数=总个数÷3，露在外面的面的个数= 7+(总层数-1)×4。 正确解答：71115192327279 ○运用图示法和标记法解决正方体表面涂色的问题 在一个棱长为3cm的大正方体表面涂色，然后切开，切成棱长为1cm的小 正方体，如右图。三面涂色的小正方体有多少个？两面涂色的小正方体有多 少个？一面涂色的小正方体有多少个？没有涂色的小正方体有多少个？ 思路分析：把棱长为3cm的大正方体切成棱长为1cm的小正方体，共得到3×3×3= 27(个)小正方体。由题意可画出如下示意图： 后面一排 中间一排 前面一排 画分解图得出每个小正方体涂色的面的个数，如下图所示： 323 323 212 2 12 323 2 323 前面一排每个 中间一排每个 后面一排每个 小正方体涂色 小正方体涂色 小正方体涂色 的面的个数。 的面的个数。 的面的个数。 正确解答：三面涂色的小正方体有8个；两面涂色的小正方体有12个；一面涂色的小正 方体有6个；没有涂色的小正方体有1个。 总结·解决此类题的关健是抓住3面涂色的小正方体在顶点，2面涂色的小正方体在棱上 1面涂色的小正方体在每个面的中心处。 39. 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：忽略正方体的摆放方法，导致判断露在外面的面的个数出错 判断：4个完全相同的小正方体摆放在一起，露在外面的面有14个。 易错解读：本题易错在忽略正方体的摆放方法。4个完全相同的小正方体摆放在一起，有 多种摆法，摆放的方式不同，露在外面的面的个数一般也不同。例如，按 摆放， 露在外面的面有14个；按 摆放，露在外面的面有15个。所以本题的正确答案为×。 计算堆放在墙角的正方体露在外面 举一反三： 的面积的步骤·(1)数出露在外 下列图形中各有多少个面露在外面？填在()里。面的面的总个数：(2)用一个面 的面积乘露在外面的面的总个数。 )个 )个 )个 )个 提素养 提示：有三种情况可以拿走小正方体：顶点处、棱上中间、面上正中间。 1.从图中拿走一个小正方体，它的表面积发生变化吗？是怎样变化的？（小正方体的棱长是 3 cm) 2.下图是由30个棱长为1cm的小正方体摆成的塔形，给这个“塔”喷红色油漆，底面和被 遮住的地方喷不到。喷红色油漆部分的总面积是多少？ 提示·从图形的上面观察 喷漆的有16个小正方形： 从图形的前、后、左、右观察 喷漆的各有1O个小正方形。 40 第二单元要点总结 要点1 认识长方体和正方体及其展开图 (1)长方体和正方体都有6个面、8个顶点和12条棱。长方体相对的棱长度相等，正 方体所有的棱长度都相等。正方体是特殊的长方体。长方体的棱长总和=（长+宽+高)× 4,正方体的棱长总和=棱长×12。 (2)正方体展开图的特点：由6个完全相同的正方形组成，相对的面完全相同且隔开。 长方体展开图的特点：由6个长方形（特殊情况下有2个正方形）组成，相对的面完全相同 且隔开。 练习 1.填空。 （1)若一个长方体有四个面完全相同，其他两个面是()。 1 (2)将右图中的纸片折起来围成一个正方体，这个正方体中6号面的相对面 5432 是( )号面。 6 (3)把一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体框架改制成一个正方体框架，正方体框架的 棱长是(）cm。 2.如图，明明用丝带捆扎礼品盒，捆扎这个礼品盒至少需要多少厘米的丝带？（礼品盒默认为长 方体，接头处长25cm) 4 cm 11 cm 11 cm ,要点2长方体和正方体的表面积的计算方法 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 =(长×宽+长×高+宽×高)×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 练习 计算下面立体图形的表面积。（单位：cm) 3 （1) (2) 10 41 ,要点3 解决与长方体（正方体）的表面积有关的实际问题 在解决与长方体（正方体）的表面积有关的实际问题时，注意不是所有的长方体（正方体） 形状的物体都有6个面，要根据实际情况，先确定需要计算的面的数量，再利用长方体（正 方体)的表面积公式计算。 练习 1.王师傅要用铁皮做30节长是1.5m,宽和高都是2dm的长方体通风管，如果不计接头，至 少需要多少平方米的铁皮？ 2.一个正方体礼品盒，棱长是1.6dm。礼品盒的四周和底面用的是硬纸板，上面用的是玻璃。 做这个礼品盒至少要用硬纸板和玻璃各多少平方分米？ ,要点4 解决长方体（正方体）的切割、堆放等问题 (1)长方体（正方体）的切割方法不同，增加的表面积也就不同。要想表面积增加 得最多，就要平行于最大的面切割；要想表面积增加的最少，就要平行于最小的面切割。 (2)计算堆放在墙角的正方体露在外面的面积的步骤：①数出露在外面的面的总个数； ②用一个面的面积乘露在外面的面的总个数。 练习 1.如图，把一个长6cm、宽5cm、高4cm的长方体切成两个完全相同的小长方体，表面积最 多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？ 4 cm 5 cm 6cm 2.求下面立体图形露在外面的面积。（每个小正方体棱长为1cm) 422.2×(10×12+5×12)=360(cm2) 答：这张商标纸的面积至少是360cm2。 ②提素养 1.12×8+（12×4+8×4)×2-30=226(m2) 226×0.3=67.8(kg) 答：一共需要涂料67.8kg。 2.96÷6=16(cm2) (4-1)×2=6(个) 16×6=96(cm2) 答：表面积增加了6个面，表面积增加了96cm2。 第4课时露在外面的面 举一反三 78149 @提素养 1.①从顶点处拿走，表面积不变。 ②从棱上中间拿走，表面积增加3×3×2=18(cm2)。 ③从面上正中间拿走，表面积增加3×3×4= 36(cm2)。 2.1×1×(16+10×4)=56(cm2) 答：喷红色油漆部分的总面积是56cm。 第二单元要点总结 要点1练习 1.（1)正方形(2)1(3)5 2.4×4+11×2+11×2+25=85(cm) 答：捆扎这个礼品盒至少需要85cm的丝带。 要点2练习 (1)(5×2+5×3+2×3)×2=62(cm2) (2)(10×3+10×2+3×2)×2+3×3×4= 148(cm2) 要点3练习 1.2dm=0.2m1.5×0.2×4×30=36(m2) 答：至少需要36m2的铁皮。 2.1.6×1.6=2.56(dm2)2.56×5=12.8(dm2) 答：做这个礼品盒至少要用硬纸板12.8dm2, 玻璃2.56dm2。 要点4练习 1.最多增加：6×5×2=60(cm2) 最少增加：4×5×2=40(cm2) 答：表面积最多增加60cm2,最少增加40cm2。 2.24×(1×1)=24(cm2) 答：这个立体图形露在外面的面积是24cm2。 三 分数乘法 第1课时分数乘法（一 举一反三 1018 105152514 13198334号3 @提素养 18×(9-1)=3(分) 5 答：小雅从1楼走到9楼要用2分。 2.宁×20=10（件）号×20=8（件） 110-88=22（件) 答：快递员张叔叔再送22件，就送了这些快递的 一半。 第2课时分数乘法（二） 举一反三 (10+90)×4=80(g) 5 答：他喝掉了80g糖水。 ②提素养 16号子9 2.(1)180×=9(元) 20 答：应扣9元手续费。 (2)180×0=18(元) 180-18=162(元) 答：能退回162元。 第3课时分数乘法（三） 举一反三 不对3×号-号不对名×品高 39 33 不对 731 9×14=6 ①提素养 1(1)号×号 2 12