动态几何中的特殊四边形存在性问题、特殊四边形的性质与全等三角形综合 专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

期中培优：动态几何中的特殊四边形存在性问题、特殊四边形的性质与全等三角形综合专项训练 期中培优：动态几何中的特殊四边形存在性问题、特殊四边形的性质与全等三角形综合专项训练 考点目录 动态几何中的特殊四边形存在性问题 特殊四边形的性质与全等三角形综合 考点一 动态几何中的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 例2．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 例3．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 变式1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 变式2．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 变式3．（25-26八年级下·山东济南·月考）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 考点二 特殊四边形的性质与全等三角形综合 例1．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 例2．（25-26八年级下·河南开封·期中）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． (1)【初步认识】如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，的度数为________； ②若点E恰好在线段上，则的长为________． (2)【深入思考】如图2，点E恰好落在边上，过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)【拓展提升】如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 例3．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 变式1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）纸张在生活中必不可少，通常使用的不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”．如图，矩形是“黄金矩形”，，点在边上，将沿折叠，使点A落在边上的点处． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)点B关于直线的对称点是点G， ①求证：点F，G，D三点共线； ②探究DG与BE之间的数量关系，并说明理由． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． (2)如图2，若，．求证：． 变式3．（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：动态几何中的特殊四边形存在性问题、特殊四边形的性质与全等三角形综合专项训练 期中培优：动态几何中的特殊四边形存在性问题、特殊四边形的性质与全等三角形综合专项训练 考点目录 动态几何中的特殊四边形存在性问题 特殊四边形的性质与全等三角形综合 考点一 动态几何中的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·四川泸州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 例2．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 例3．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为． (1)用含有的代数式表示：______，______，______； (2)当为何值时，四边形是矩形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)四边形不能成为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，掌握矩形的判定和性质以及菱形的性质是解题的关键． （）由题意得，，进而即可求解； （）由矩形的性质可得，进而即可求解； （）由菱形的性质可得，即得，可得，过点作于， 则四边形是矩形， 可得， ，即得，由勾股定理得，即可判断求解； 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：∵在四边形中，，， ∴当时，四边形是矩形， ∴， 解得， 即当时，四边形是矩形； （3）解：四边形不能成为菱形，理由如下： 若四边形是菱形，则， ∴， 解得， ∴， 过点作于，则四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形不能成为菱形． 变式1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ (2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置． 【答案】(1)秒 (2)当时间， ；当时间， 【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程列方程求解即可； （2）分类讨论：当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可． 【详解】（1）解： 第一次相遇时间（秒）； 答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇； （2）如图2，当点M在线段上，点N在上时： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 此时； 如图3，当点M在线段上，点N在上时： 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， ， 此时， 如图4，当点M在线段上，点N在上时， 同理和是等边三角形， ， ， ∴， ， （不合题意，舍去）． 综上所述：当时间， ；当时间，． 变式2．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【答案】(1)当或秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形 (2)的速度为时，四边形可为菱形 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出当时，在边上，此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，再分两种情况：当四边形时平行四边形时；当四边形是平行四边形时；分别根据平行四边形的判定定理得出方程，求解即可； （2）设的速度为，由（1）可得，在边上，此时四边形可为菱形，结合，得出只需满足即可，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴秒时，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上运动时间为（秒）， ∵， ∴点运动时间最长为（秒）， ∴当时，在边上，此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形， 分两种情况：当四边形时平行四边形时，如图： ， ∵，即， ∴只需要即可， ∵动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动， ∴秒时，， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，如图， ， 同理：， ∴只需即可， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （2）解：设的速度为， 由（1）可得，在边上，此时四边形可为菱形， ∵， ∴只需满足即可， 由（1）可得：，， ∴，， 解得：，， ∴的速度为时，四边形可为菱形． 变式3．（25-26八年级下·山东济南·月考）如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形是平行四边形时，求t的值； (2)当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； (3)在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】(1) (2)7；4 (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． （2）解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； （3）解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 考点二 特殊四边形的性质与全等三角形综合 例1．（25-26八年级下·上海闵行·月考）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 例2．（25-26八年级下·河南开封·期中）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． (1)【初步认识】如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，的度数为________； ②若点E恰好在线段上，则的长为________． (2)【深入思考】如图2，点E恰好落在边上，过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)【拓展提升】如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②1 (2)图见解析，四边形是菱形；证明见解析 (3)或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴； ②当点恰好在线段上时，如图所示， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1； （2）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 例3．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； (3)若过P点作，交射线于点E，已知，，则_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）证明，即可； （2）过点P作于点M，作于点N，证明，即可； （3）分点在线段的延长线上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作于点M，作于点N，如图② 则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段的延长线上时，如图②： 由（2）可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可知：四边形为正方形，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 变式1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）纸张在生活中必不可少，通常使用的不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”．如图，矩形是“黄金矩形”，，点在边上，将沿折叠，使点A落在边上的点处． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)点B关于直线的对称点是点G， ①求证：点F，G，D三点共线； ②探究DG与BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②；理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质，证明，即可得出结论； （2）①证明，得出，延长交于点H，证明，即可得出结论； ②根据等腰三角形的判定得出，，根据勾股定理求出，即可得出． 【详解】（1）证明：矩形是“黄金矩形”，， 将沿折叠，使点A落在边上的点处， ， 在中，， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①点关于直线的对称点是点，如下图： 垂直平分， ， 又， ， ， 延长交于点H， 则， ， ， ， 根据解析（1）可知，， ， ， ， ， ，即， 由（1）知 ， 三点共线； ②；理由如下： 根据解析①可得：，，， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，点M在对角线上，过M作于点E，连接并延长交于点F． (1)如图1，当时． ①求证：； ②若点F恰为边的中点，求证：． (2)如图2，若，．求证：． 【答案】(1)①证明见详解，②证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）①利用菱形的性质得到，再结合已知条件得到，从而推出，利用等腰三角形三线合一的性质即可证得结论； ②分别延长、交于点G，证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差关系即可证得结论； （2）过点C作交延长线于点N，利用菱形的性质得出，，，证明是等腰三角形，结合已知条件证得是等腰三角形，再证得和是等腰直角三角形，从而得出相关线段的等量关系，然后证明，利用线段和差关系即可证得结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图，分别延长、交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点F，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴． （2）证明：如图，过点C作交延长线于点N， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即, ∴． 变式3．（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】（）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （）根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长； 通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点与关于对称， ∴， ∴； （2）解： ，，三点共线，且点与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴四边形的周长为； 设与交于点，过点作的平行线，交，分别于点，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰的边的中点， ∴为中点，为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 在Rt中，， 解得， ∴，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $