精品解析：2025年北京市平谷区中考 一模数学试题

北京市平谷区2025年初中学业水平考试统一练习（一） 数学试卷 注意事项 1．本试卷共8页，共28题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线交于点，交于点，平分交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 10. 分解因式：=______． 11. 方程的解为___________． 12. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为___________． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则___________．（填“>”、“<”或“=”） 14. 下表是随机抽取的某年级50名同龄男生身高（单位：）的数据： 身高 146 151 153 154 156 157 158 159 人数 1 2 2 2 3 4 8 4 身高 160 161 162 163 164 165 167 170 人数 4 2 4 3 3 3 4 1 根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在（含）以上的人数为___________． 15. 在菱形中，于点，连接交于点，则的长为___________． 16. 学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要___________个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有___________种不同的情况． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 25. 七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息： a．这20名男生体能测试成绩如下： b．这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，： c．这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 众数 中位数 请根据所给信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）补全频数分布直方图； （3）现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．若甲、乙、丙三位选手的成绩如下： 成绩1 成绩2 成绩3 本次测试成绩 甲 93 94 95 乙 96 94 95 丙 93 94 94 则这三位选手中首先入选的是___________；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，则落选的那位选手为___________． 26. 在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． （1）当时，有，求的值； （2）当时，都有，求的取值范围． 27. 已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． （1）如图1，求与的数量关系； （2）如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． （1）如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； （2）若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； （3）已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市平谷区2025年初中学业水平考试统一练习（一） 数学试卷 注意事项 1．本试卷共8页，共28题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，直线，直线交于点，交于点，平分交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由两直线平行，同旁内角互补得，再运用角平分线的定义，得，最后由两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴上点位置判定式子符号，数形结合是解题的关键．由数轴图可知，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，，， 观察四个选项，选项C正确， 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，解得k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率的知识．首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反， ∴两枚硬币全部正面向上的概率是： ． 故选A． 7. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法． （1）以点圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； （3）画射线.射线即为所求． 上述方法通过判定得到．其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质． 由题意可知，．又由即可证明．即可得到答案． 【详解】解：根据角平分线的作法可知，，． 又∵， ∴． ∴，即射线即为的角平分线． 故选A． 8. 如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①先证明，进而可依据“ASA”判定和全等，则，再根据可得出，由此可对结论①进行判断；②设与相交于点T，根据，得是等腰直角三角形，则，再根据，利用三角形内角和定理得，由此可对结论②进行判断；③根据和全等得进而得，由此可对结论③进行判断；④过点O作于点H，由勾股定理得，依题意得，则，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理得则由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故结论①正确； ②设与相交于点T，如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ④过点O作于点H，如图2所示： ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得： ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 即， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键． 10. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 11. 方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程．去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解：， 去分母得到，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案：． 12. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理求出的度数，再由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系得到的度数，从而求出的度数即可．本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则___________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据得出函数经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴该函数经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵函数的图象经过点和，且， ∴， 故答案为：>． 14. 下表是随机抽取的某年级50名同龄男生身高（单位：）的数据： 身高 146 151 153 154 156 157 158 159 人数 1 2 2 2 3 4 8 4 身高 160 161 162 163 164 165 167 170 人数 4 2 4 3 3 3 4 1 根据以上数据估计该年级200名同龄男生身高在（含）以上的人数为___________． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查的是用样本估计总体，灵活运用样本估计总体的思想是解题的关键．根据统计表得出身高在（含）以上的人数所占的百分比，用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由统计表可知：50名同龄男生身高在（含）以上的人数为：（人）， 则200名同龄男生身高在（含）以上的人数：（人）， 故答案为：96． 15. 在菱形中，于点，连接交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系． 根据菱形的性质和勾股定理可得出，根据菱形的对边平行且相等的性质，可证得，可得，再根据，据此即可求得． 【详解】解：∵在菱中，，且，，， ， ， ， 故答案为：． 16. 学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要___________个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有___________种不同的情况． 【答案】 ①. 6 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查最优方案，根据题意，每个人在展示完成后至少要休息一次，得到将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小，根据节目所需人数最多，得到总人数一定要大于5，进而得到人数和最少为或，按照最小为6人，且进行展示，进行讨论即可． 【详解】解：∵每个人在展示完成后至少要休息一次， ∴将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小， ∴相邻两节目的人数之和越小，总人数越少， ∵节目所需人数最多为5人， ∴总人数一定要大于5， ∴人数和最少为或，即最少需要6人； 例如：让节目最先展示，然后接人数最少的节目，此时节目的人进行休息，然后再接节目，中的4个人可以上节目，此时节目中剩余1人，节目的人休息，再接节目，正好用到之前剩余的2人，此时节目的4人休息，再接节目，节目中上3人即可，此时用人最少，即组和组人数之和为6； ∵用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，故A节目后面必须接节目， ∴后续排列的可能性为：，相邻人数和分别为，满足题意；或，相邻和依次为6、4、5、6，符合要求； 其它情况均不符合要求； 故符合条件的展示顺序共有2种不同的情况； 故答案为：6，2． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题5分，第23题6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值以及运用二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，先分别解出每个不等式的解集，再求出公共部分的解集，即可作答． 【详解】解： 由得， 解得； 由得， 解得； ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值．分式的分子和分母因式分解后，再进行约分得到化简结果，再整体代入即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴原式． 20. 矩形中，点E是上一点，连接、，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两条平行线交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明四边形AFBE是矩形是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得，由，推导出，则，即可证明四边形是矩形； （2）连接，由，，推导出，则，所以，因为四边形是矩形，所以． 【小问1详解】 解：∵过点A作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵ ∴． 21. 清明假期，明明和妹妹都参加了某网络平台发起的“阅读悦听”活动，该平台为了鼓励孩子们阅读，推出两种打卡领取听书时长的奖励方式： 方式一：每天打卡可领取相同分钟的听书时长； 方式二：第一天打卡可领取一些分钟的听书时长，之后每天打卡领取的听书时长比前一天增加50%． 明明选择了方式一，妹妹选择了方式二，他们发现：打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，求第一天明明和妹妹领取的时长分别为多少分钟？ 【答案】第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟，打卡第2天时，明明和妹妹打卡领取的听书时长相同，打卡第3天时，妹妹打卡领取的听书时长比明明打卡领取的听书时长多15分钟，据此列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟， 则， 即， 解得， 答：第一天明明和妹妹领取的时长分别为分钟和分钟． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． （）先求出，再把点代入求出的值，进而可得出答案； （）画出图象，然后根据图象即可求解； 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数即的值，又大于函数的值， ∴． 23. 如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，由，得，所以，则； （2）连接，作于点F，由为的直径，得，由，，且，得，，可求得，由，求得，则，可证明，则，所以． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，作于点F， 则， ∵为的直径， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵与相切于点B， ∴于点B， ∴， ∵， ∴ 则 ∴的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 （1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： （2）结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】（1）见详解 （2）①②③8 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先逐个描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答． ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答． ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8 25. 七年级某班的学生进行了体能测试，以下是该班20名男生的测试成绩（百分制），对该组数据进行整理、描述、分析，得到部分信息： a．这20名男生体能测试成绩如下： b．这20名男生体能测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，： c．这20名男生成绩数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 平均数 众数 中位数 请根据所给信息，解答下列问题： （1）___________，___________； （2）补全频数分布直方图； （3）现在要从甲、乙、丙三个选手中选取两个人代表该班参加学校运动会，为了更加全面的了解三名选手的实力，班主任询问了本次测试三个人的成绩，得知他们恰好是本次测试成绩的前三名，但不知道每个人对应的分数，班主任又从体育老师那调取了三位同学之前三次模拟测试的成绩，计算四次成绩的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．若甲、乙、丙三位选手的成绩如下： 成绩1 成绩2 成绩3 本次测试成绩 甲 93 94 95 乙 96 94 95 丙 93 94 94 则这三位选手中首先入选的是___________；若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，则落选的那位选手为___________． 【答案】（1）88，87 （2）见详解 （3）乙；甲 【解析】 【分析】该题考查了中位数、平均数、方程和众数的定义，频数分布直方图，解题的关键是理解题意． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出和的人数，再画图即可． （3）根据题意求出三人前三次成绩之和，乙本次成绩取最小时得出依然是乙四次成绩之和最大，即乙四次成绩平均数最大，故乙首先入选，再根据第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同，分两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：将这20名男生成绩从大到小排列如下： 故这20名男生成绩数据的中位数，众数， 故答案为：88，87． 【小问2详解】 解：根据题意的人数是2人， 的人数是8人， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：根据表格可得： 甲前3次成绩的和为， 乙前3次成绩和为， 丙前3次成绩的和为， ∵甲、乙、丙三人的成绩都在95，94，93这三个分数中，但是不确定各自对应的分数， 乙比甲和乙总分分别多出3和4分，故无论乙取上述三个数中的任何一个值，则乙的总分都最多，故平均分最高， 因此这三位选手中首先入选的是乙． 若第二位入选的选手和落选的那位选手平均分相同， 即甲和丙的平均数相同，则本次测试甲要比乙少1分， 当甲本次测试成绩为93，乙本次测试成绩为95，丙本次测试成绩为94时， 此时甲四次成绩的平均数为， 丙四次成绩的平均数为， 根据数据可得甲的方差大于丙的方差， 当甲本次测试成绩为94，乙本次测试成绩为93，丙本次测试成绩为95时， 甲四次成绩的平均数为， 丙四次成绩的平均数为， 甲的方差，丙的方差，甲的方差等于丙的方差，故此种情况舍去， 则落选的那位选手为甲， 故答案为：乙；甲． 26. 在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． （1）当时，有，求的值； （2）当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解． （2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：当时，，对称轴为直线 ∵， ∴点关于直线对称. ∴， ∵； 【小问2详解】 ∵点是抛物线上的两个不同点． ∴，， ∵当时，都有 ∴即在时恒成立， 当时，不等式化简为， 则， 解得， ∴，解得， 当时，不等式化简为， 解得或， ∴，解得， ∴， 综上可知，的取值范围是或． 27. 已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点恰好在一条直线上． （1）如图1，求与的数量关系； （2）如图2，当时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）图见解析，．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质求得，，再利用等边对等角求得，再根据，列式计算即可求解； （2）先求得，，再证明是的平分线，再证明是等腰直角三角形，设，求得，根据线段垂直平分线的性质求得，据此求得． 【小问1详解】 解：∵将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕着点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴即； 【小问2详解】 解：．理由如下： 如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点， ∴点为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即是的平分线， ∵，， ∴，即， 连接，作于点， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． （1）如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； （2）若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； （3）已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 【答案】（1） （2）或 （3）2；或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及勾股定理，圆的对称性，中心对称的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，难度较大，解题的关键在于理解新定义，利用反向思考的方式解决问题． （1）首先根据可知比的直径还大，根据题意不符合，然后作图可知均符合题意； （2）由于线段是的关于点的关联线段，那么反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，由，半径为1，则为等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求出点坐标，再根据中点坐标公式求解点坐标； （3）反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，而，那么当时，为直径，而线段在直线上，故点在直线上，设，点在上，且点与点关于点C对称，则，再建立方程求出点坐标再根据中点坐标公式求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵，而的半径为1，则直径为2， ∴线段不可能是的关于点的关联线段； 如图所示，结合定义可知和是的以点为中心的关联线段， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图： ∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵，半径为1， ∴为等边三角形， ∴根据等边的对称性可知点在轴上，记与轴交于点H， ∴， ∴， ∴或， ∵与关于点C对称， ∴或； 【小问3详解】 解：∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵， ∴当时，为直径， 而线段在直线上， ∴点在直线上，如图： 设， ∵点在上，且点与点关于点C对称， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∴或， 故答案为：2；或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $