9.3二元一次方程组的应用-二元一次方程组的应用 课件2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学下册

第9章 二元一次方程组 9.3 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用（1） 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 1 复习引入 二元一次方程组 方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项． 方程组 由几个方程组成的一组方程叫作方程组． 在二元一次方程组中，使每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解 解方程组 二元一次方程组 一元一次方程 转化 消元 “代入”消元 “加减”消元 二元一次方程组的应用 概念 解法 运用二元一次方程组解决实际问题. 应用 2 + = 57万元 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 新知讲授 例 1 分析 题目中哪些是已知量？ 哪些是未知量？ 已知量 成人票张数 学生票张数 成人票价60元 学生票价45元 这些量之间存在怎样的等量关系？ ① 成人票张数+学生票张数=1万张 等量关系 ② 成人票收入+学生票收入=57万元 x万张 y万张 x 60x 未知量 60元/张×成人票张数 45元/张×学生票张数 + = 1 y + = 57 45y 根据题意，可得方程组 二元一次方程组 3 新知讲授 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张. 解 设该天售出成人票 x 万张、学生票 y 万张．根据题意，可得方程组 ① ② 将③代入②，得 解得 所以，这个方程组的解是 由①，得 ③ 如何检验解答过程是否正确？ 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 例 1 把 代入③，解得 代入原方程组检验 是否符合实际意义 4 二元一次方程组 + = 57万元 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 新知讲授 例 1 分析 题目中哪些是已知量？ 哪些是未知量？ 已知量 成人票张数 学生票张数 成人票价60元 学生票价45元 这些量之间存在怎样的等量关系？ ① 成人票张数+学生票张数=1万张 等量关系 ② 成人票收入+学生票收入=57万元 x万张 y万张 x 60x 未知量 60元/张×成人票张数 45元/张×学生票张数 + = 1 y + = 57 45y 根据题意，可得方程组 审 设 列 5 新知讲授 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张. 解 设该天售出成人票 x 万张、学生票 y 万张．根据题意，可得方程组 ① ② 将③代入②，得 解得 所以，这个方程组的解是 由①，得 ③ 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 例 1 把 代入③，解得 代入原方程组检验 是否符合实际意义 解 检 答 6 归纳小结 列方程组解决实际问题的一般步骤： 审题 分析题目中的已知量和未知量，以及它们之间的等量关系． 设未知数 确定需要求的未知量，设未知数． 列方程组 根据等量关系列方程组，一般有几个未知数就要列出几个方程． 解方程组 选择合适的方法求出方程组的解． 检验 检验方程组的解是否正确；方程组的解是否符合题意． 作答 写出实际问题的答案． 7 归纳小结 该票务问题 解决步骤 审题 设未知数 列方程组 解方程组 检验 作答 特殊到一般 列方程组解决实际问题的步骤 审题 设未知数 列方程组 解方程组 检验 作答 分析并理解 实际问题 转化并解决 数学问题 建立并应用 数学模型 问题转化 特殊到一般 方法提炼 数学模型 8 新知讲授 答：该天售出成人票0.8万张、学生票0.2万张． 解 设该天售出成人票 x 万张、学生票 y 万张．根据题意，可得方程组 ① ② 将③代入②，得 解得 所以，这个方程组的解是 由①，得 ③ 对于例1，可以设一个未知量求解吗? 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 例 1 把 代入③，解得 9 (1-x)万张 ① 成人票张数+学生票张数=1万张 ② 60元/张×成人票张数+ 45元/张×学生票张数=57万元 新知讲授 等量关系 x万张 y万张 用于表示未知量之间数量关系 60x+45(1-x)=57 用于列方程 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 例 1 已知量 成人票张数 学生票张数 成人票价60元 学生票价45元 未知量 10 新知讲授 如果设一个未知量得到一元一次方程，解方程较为简便，但列方程前要先搞清楚另一个未知量与所设未知量的关系． 如果设两个未知量，可以直截了当地列出方程组，但需求解一个二元一次方程组． 成人票张数 学生票张数 x万张 y万张 二元一次方程组 成人票张数 学生票张数 x万张 (1-x)万张 60x+45(1-x)=57． 一元一次方程 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 例 1 11 新知讲授 成人票张数 学生票张数 x万张 y万张 二元一次方程组 成人票张数 学生票张数 x万张 (1-x)万张 60x+45(1-x)=57． 一元一次方程 某科技馆的成人票、学生票的票价分别为60元、45元．某一天,科技馆售出成人票、学生票共1万张，票务收入为57万元．问：该天这两种票各售出多少万张? 例 1 相同点 都是建立方程模型解决问题；且解题步骤方法一致． 不同点 能用二元一次方程组解决的实际问题，通常都能用一元一次方程解决． 但随着实际问题中未知量的增多以及等量关系的复杂性，列方程组将更加直截了当． 12 + = 23分 某学校举办学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分， 输一场得0分．六年级（ 5 ）班共参加9场比赛，没有输过，最后共得23分． 问：该班级共胜多少场? 平多少场? 新知讲授 分析 题目中哪些是已知量？ 哪些是未知量？ 已知量 胜的场数 平的场数 胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分 这些量之间存在怎样的等量关系？ x场 y场 未知量 例 2 ① 该班胜的场数+平的场数=9场 等量关系 ② 该班级胜场总得分+平场总得分=23分 x 3x 3分×胜的场数 1分×平的场数 + = 9 y + = 23 y 根据题意，可得方程组 二元一次方程组 13 某学校举办学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分， 输一场得0分．六年级（ 5 ）班共参加9场比赛，没有输过，最后共得23分． 问：该班级共胜多少场? 平多少场? 例 2 新知讲授 答：六年级（5）班共胜7场，平2场. 解 设六年级（5）班共胜 x 场，平 y 场．根据题意，可得方程组 解这个方程组，得 不要忘记检验 14 笔记本单价×笔记本数量+中性笔单价×中性笔数量=100元 课堂练习 班委会花 100元购买了笔记本和中性笔共 22 件作为班级奖品，如果每本笔记本的价格是7元，每支中性笔的价格是2.5元，那么班委会购买了多少本笔记本? 购买了多少支中性笔? 练习 1 ① 笔记本数量+中性笔数量=22件 等量关系 分析 ② 笔记本总价+中性笔总价=100元 x + = 22 y 7x + = 100 2.5y 根据题意，可得方程组 二元一次方程组 x本 y支 已知量 未知量 15 课堂练习 班委会花 100元购买了笔记本和中性笔共 22 件作为班级奖品，如果每本笔记本的价格是7元，每支中性笔的价格是2.5元，那么班委会购买了多少本笔记本? 购买了多少支中性笔? 练习 1 答：班委会购买了10本笔记本，12支中性笔. 解 设班委会购买了 x 本笔记本， y 支中性笔．根据题意，可得方程组 解这个方程组，得 16 课堂练习 请尝试解决《九章算术》中的一个问题:“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何．”(其大意是：今有甲、乙两人各自带了一些钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；若甲把其三分之二的钱给乙，则乙的钱数也为50．问：甲、乙各有多少钱?) 练习 2 ② 甲的钱数的三分之二+乙的钱数=50 ① 甲的钱数+乙的钱数的一半=50 等量关系 分析 甲的钱数 x，乙的钱数 y 根据题意，可得方程组 二元一次方程组 17 课堂练习 请尝试解决《九章算术》中的一个问题:“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何．”(其大意是：今有甲、乙两人各自带了一些钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；若甲把其三分之二的钱给乙，则乙的钱数也为50．问：甲、乙各有多少钱?) 练习 2 答：甲的钱数为37.5，乙的钱数为25. 解 设甲的钱数为 x ，乙的钱数为 y ．根据题意，可得方程组 解这个方程组，得 18 “代入”消元 “加减”消元 课堂小结 数学问题 （二元一次方程组） 实际问题 数学问题的解 （二元一次方程组的解） 解方程组 消元 根据未知量设未知数， 根据等量关系列方程． 列方程组解决实际问题的一般步骤 1．审题； 2．设未知数； 3．列方程组； 4．解方程组； 5．检验； 6．作答． 检验 实际问题的答案 作答 19 数学的本质在于用最不显而易见的方法证明最显而易见的事物． ——乔治·波利亚 结束语 数学模型是针对生活、生产、科研等诸多实际领域中的复杂问题，借助字母符号进行表示，并通过抽象化的处理手段，将问题中蕴含的数量关系以精确的数学形式构建出来，再运用丰富的数学知识和方法来最终求解问题的有效模型． 20 $