9.1二元一次方程组的概念-二元一次方程组的概念 课件2025--2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

第9章 二元一次方程组 9.1 二元一次方程组的概念 二元一次方程组的概念 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2. 学校名称：请填写全称； 3 .学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 课堂引入 中国古代的《孙子算经》下卷第31题记载了一个有趣的鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足.问鸡、兔各几何.”根据已经学过的知识，我们可以利用算术方法和一元一次方程的方法分别解决这个问题. 而在本章中，我们将通过设置两个未知数建立相应的二元一次方程组，得到一个更加简洁，且更易于理解的方法来解决这个问题. 二元一次方程组 第 9 章 问题探究 问 题 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足. 问鸡、兔各几何． 分析 鸡的数量 + 兔的数量 = 35； 鸡脚的总数 + 兔脚的总数 = 94． 方法一 假设笼子里全都是鸡， 则脚应有 2×35 = 70（只）， 比已知的脚的数量少 94-70=24 （只）. 当一只兔被假设成一只鸡后，脚的数量会减少4-2=2（只）， 所以兔子有 24÷2 = 12（只）, 鸡有 35-12 = 23（只）． （算术法） 假设全都为鸡后，笼中脚的总数为什么发生变化呢？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 3 根据题意，列出方程 设笼中有鸡 x 只， 2x + 4 (35 - x) = 94． 鸡脚的总数 + 兔脚的总数 = 94． 鸡的数量 + 兔的数量 = 35； 兔有 (35-x) 只． 问题探究 问 题 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足. 问鸡、兔各几何． 分析 方法二 （一元一次方程方法） 解得 x=23． 所以 35-x=12． 答：鸡有23只，兔有12只． 解 设一个未知量，先根据一个已知条件用代数式表示另一个未知量，再由另一个已知条件列出方程求解． 2x 4 (35 - x) 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 4 2x + 4y = 94 . ② 鸡脚的总数 + 兔脚的总数 = 94． 鸡的数量 + 兔的数量 = 35； 问题探究 问 题 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足. 问鸡、兔各几何． 分析 方法三 设笼中有鸡 x 只、兔 y 只. x + y = 35 ， ① 根据题意，可得方程 解 设两个未知量，就可以由两个已知条件直接列出符合条件的两个方程． 2x 4 y 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 5 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程. 方法三 新知讲授 2x + 4y = 94 . ② 设笼中有鸡 x 只、兔 y 只. x + y = 35 ， ① 根据题意，可得方程 解 这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 6 设笼中有鸡 x 只、兔 y 只．根据题意，可得 x + y = 35， ① 2x + 4y = 94． ② 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程． 由几个方程组成的一组方程叫作方程组． 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作二元一次方程组． 方法三 新知讲授 方程 方程组 问题 方程组 是二元一次方程组吗？ 答：是二元一次方程组． 方程组中含两个未知数． √ 含未知数的项都是一次项． √ 解 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 7 设笼中有鸡 x 只、兔 y 只．根据题意，可得 x + y = 35， ① 2x + 4y = 94． ② 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程． 由几个方程组成的一组方程叫作方程组． 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作二元一次方程组． 方法三 新知讲授 方程组 解 一般地，在二元一次方程组中，使每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫作此二元一次方程组的解． 检验：当x=23，y=12时， 方程①的左边=23+12=35=右边， 方程②的左边=2×23+4×12=94=右边， 所以， 是这个方程组的解． （二元一次方程组方法） 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 8 新知讲授 设两个未知量，由两个已知条件直接列出符合条件的两个方程． 设一个未知量，先根据一个已知条件用代数式表示另一个未知量，再由另一个已知条件列出方程． 通过逻辑推理和直接运算解决问题． 需要较强的推理能力． 若涉及多个复杂数量关系时，用一个未知量表示其他未知量可能会稍显复杂． 建模直接，能够清晰直接地反映问题中的数量关系． 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 9 下列方程组中，哪些是二元一次方程组？ （1） 练习1 （2） （3） （4） 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作二元一次方程组． 不是 不是 不是 是 答： 是二元一次方程组． 课堂练习 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 10 所以 不是 原方程组的解； 当x=3，y=4时，方程①左右两边的值不相等， 所以 是 原方程组的解． 所以 不是 原方程组的解； 判断下列三组值是否为二元一次方程组 的解？ 练习2 在二元一次方程组中，使每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫作此二元一次方程组的解． 当x=5，y=5时，方程①左右两边的值相等， 方程②左右两边的值不相等， ① ② 解 方程②左右两边的值相等， 当x=4，y=6时，方程①左右两边的值相等， 方程②左右两边的值相等， 课堂练习 课堂练习 思考 解 设小海购买羽毛球 x 只、乒乓球 y 只. x =2y， 5x +2y=24 . 根据题意，可得方程组 分析 羽毛球的数量=乒乓球数量× 2； 羽毛球总价 + 乒乓球总价 = 24 ． 5x 2y 小海购买羽毛球和乒乓球若干，所购买的羽毛球数量是乒乓球数量的 2 倍，每只羽毛球的价格是 5 元，每只乒乓球的价格是 2 元，小海共花费 24 元．小海购买羽毛球、乒乓球的数量各是多少？你能列出符合题意的方程组吗？ 解：设小海购买乒乓球y只，羽毛球2y只. 根据题意，列得方程5 ⸱ 2y+2 ⸱ y=24. 解得 y=2. 所以 2y=4. 答：小海购买羽毛球4只，乒乓球2只. 这两种方法之间有怎样的联系？对解这个二元一次方程组有怎样的启发呢？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 12 延伸阅读 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗. 问上、中、下禾实一秉各几何？ ——《九章算术》 “方程”是中国古代数学对于包含多个未知量的联立一次方程组的定义．《九章算术》在世界上最早提出了求解方程组的概念，题目中的数量关系用现在的一次方程组即表示为： 公元一世纪左右 延伸阅读 程，课程也. 群物总杂，各列有数，总言其实. 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程. ——刘徽：《九章算术注》 对“方程”的注解来自魏晋时期数学家刘徽的《九章算术注》，“如物数程之”，即有几个未知数列几个等式．而用算筹摆各未知量系数和常数项时好比方阵，故叫“方程”，就是现代数学上所说的一次方程组． 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作二元一次方程组． 二元一次方程组 相关概念 解二元一次方程组 二元一次方程组的应用 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程． 由几个方程组成的一组方程叫作方程组． 在二元一次方程组中，使每个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫作此二元一次方程组的解． 课堂小结 实际问题 二元一次方程组是刻画现实生活中数量关系的有效模型. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 15 结束语 方程（组）是刻画现实世界数量之间相等关系的重要模型， 是一类应用广泛的数学工具. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 其他一些格式（原则上参考教材）： 1.句号用点句号“.”；2. 小题之间间隔用分号；3. 几何图形中的字母标注为斜体；4. 英文字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，单位名称为“非斜体”；…… 16 $