精品解析：2026年云南省大理州初中学业水平模拟测试 数学 试题卷

2026年初中学业水平考试大理州模拟测试 数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．若水库的水位升高3米时，水位变化记作米，则水位下降5米时，水位变化可记作（ ） A. 8米 B. 2米 C. 米 D. 米 2. 地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线 与直线、都相交．若 ，，则（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数y＝﹣的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 5. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与交于点 ，且．若则（ ） A. B. C. D. 7. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（ ） A. B. C. D. 9. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 线段 11. 某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 无法确定 12. 蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 13. 小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在 中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 15. 某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，是 的弦，点是的中点，交 于点 ．若，，则 的半径为________． 17. 分解因式：___ 18. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 19. 某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了________份作品． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，已知 ，，．求证： ． 22. 云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 23. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片． （1）请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数； （2）求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率． 24. 如图，平行四边形中，点 在对角线 的延长线上， 于点，过点 作交的延长线于点，且，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ，，，求线段 的长． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： （1）任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ （2）任务二：请给出最节省费用的购买方案． 26. 已知抛物线经过点，设、是常数． （1）求的值（用含的式子表示）； （2）点和点是抛物线 上的任意两点，且满足，记．若的值为整数，求的所有整数值． 27. 如图，是 的直径，点是 上异于、 的点，点是延长线上一点， 于点 ，且 平分 ，点 是弧 上一动点（不与、重合），连接交于点，设 的半径为 ． （1）当，求 ； （2）求证： 是 的切线； （3）在点 的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试大理州模拟测试 数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．若水库的水位升高3米时，水位变化记作米，则水位下降5米时，水位变化可记作（ ） A. 8米 B. 2米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】已知升高的记法，即可得到下降的记法． 【详解】水位下降5米时，水位变化记作米． 2. 地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得到答案． 【详解】解：． 3. 如图，直线 与直线、都相交．若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图： 由对顶角相等可得， ∵ ， ∴． 4. 反比例函数y＝﹣的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限． 【详解】解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0， ∴函数图象过二、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题关键是明确反比例函数y＝，k＞0，图象位于一、三象限；k＜0，图象位于二、四象限． 5. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、根据合并同类项法则，同类项合并时字母与字母的指数不变，系数相加，，故选项错误； B、，故选项错误； C、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故选项正确； D、表示9的算术平方根，结果为非负数，，故选项错误； 6. 如图，与 交于点 ，且．若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵与 交于点 ，且， ∴， ∵， ∴． 7. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可． 【详解】解：选项A的主视图是正方形； 选项B的主视图是三角形； 选项C的主视图是矩形； 选项D的主视图是圆． 故选：B． 8. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别观察分式的分子、分母、a的指数与序号n的关系，即可归纳得到第n个代数式． 【详解】解：第1个代数式为，分子等于序号1，分母等于序号1加1，a的指数等于序号1； 第2个代数式为，分子等于序号2，分母等于序号2加1，a的指数等于序号2； 第3个代数式为，分子等于序号3，分母等于序号3加1，a的指数等于序号3； ．．． ∴第个代数式中，分子为，分母为，的指数为，即第个代数式为． 9. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：根据被开方数为非负数，可知 解得： 故选：C． 10. 下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 线段 【答案】B 【解析】 【详解】解：等腰三角形沿底边中线所在直线折叠，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A不符合题意； 普通直角三角形不存在能使它折叠后完全重合的直线，只有特殊的等腰直角三角形才是轴对称图形， 选项B中直角三角形泛指任意直角三角形，不一定是轴对称图形，故B符合题意； 正方形沿对边中点连线或对角线折叠可完全重合，是轴对称图形，故C不符合题意； 线段沿它的中垂线或自身所在直线折叠可完全重合，是轴对称图形，故D不符合题意； 11. 某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论． 【详解】∵ ，，，且 ， ∴ ． ∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐， ∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班． 12. 蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 13. 小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式（其中为侧面积，为底面圆半径， 为母线长），计算即可得出结果． 【详解】解：∵测得圆锥底面半径为，母线长为， ∴生日帽的外表面积为． 14. 如图，在 中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在 中，，，， ∴． 15. 某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，再结合已知总场数列方程判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为36，因此列方程得． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，是 的弦，点是的中点，交于点 ．若，，则 的半径为________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 17. 分解因式：___ 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 18. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 19. 某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了________份作品． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题关键是找到已知数量与对应百分比，利用“总数 = 部分数量 ÷ 对应百分比”求解． 【详解】解：条形图中，等级的作品数量为份； 扇形图中，等级的作品占比为； 所以样本总量为， 即一共抽取了份作品． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】8 【解析】 【详解】解： ． 21. 如图，已知 ，，．求证： ． 【答案】 证明：， ， 即， 在 和 中， ， ， ． 【解析】 【分析】先证明，进而证明，进而得出结论． 【详解】略 22. 云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【解析】 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验 是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 23. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片． （1）请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数； （2）求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，分别是 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图即可得到答案； （2）找到符合要求的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种等可能结果，分别为， （抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 答：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 24. 如图，平行四边形中，点在对角线 的延长线上， 于点，过点作交的延长线于点，且，连接 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据，求出 ，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∵， ， 在 中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在 中，， ， ． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： （1）任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ （2）任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【答案】（1）每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元 （2）当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低 【解析】 【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰 元，列方程组，解方程组即可； （2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可． 【小问1详解】 解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰 元， ，解得，， 答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元； 【小问2详解】 解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元， ， 购买男款的数量不超过购买女款数量的 ，解得 随的增大而增大， 当时，的值最小 当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低， 此时，购买男款扎染服饰套． 当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低． 26. 已知抛物线经过点，设、是常数． （1）求的值（用含的式子表示）； （2）点和点是抛物线 上的任意两点，且满足，记．若的值为整数，求的所有整数值． 【答案】（1） （2）或2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及代数式的化简与求值． （１）将已知点的坐标代入二次函数解析式中，即可用含的式子表示； （２）先根据关于的表达式求出二次函数解析式，再将和分别代入解析式，结合化简的表达式，最后根据为整数且求出的所有整数值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点 ； 【小问2详解】 且 ， 点和点是抛物线上的任意两点 ， 　 　 　 　 　 的值为整数 ， 或2． 27. 如图，是 的直径，点是 上异于、 的点，点是延长线上一点， 于点 ，且平分 ，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设 的半径为． （1）当，求 ； （2）求证： 是 的切线； （3）在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：连接， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， 又是 的半径， 是 的切线； （3） 解：存在常数，，使等式成立，且，，证明如下： 连接， ， 四边形是 的内接四边形， ， ， ， ， ， ， 在Rt中， ， ， ∵， ， ， ， ， ∵， ，． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可； （2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明； （3）连接， ，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 解： 是 的直径， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $