精品解析：2025年云南省大理白族自治州中考一模数学试题

2025年初中学业水平考试大理州模拟测试数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在数学史上，中国古代著作《九章算术》是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若公元前500年记作，则公元2025年记作（ ） A. B. 2025 C. 1525 D. 2525 2. 大理文旅数据显示，2025年春节假期大理州共接待游客万次，同比增长．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 要使有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A B. C. D. 10. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 12. 如图，是的直径，C、D是上的两点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 分形的概念是由数学家本华曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形，第2个图案有4个三角形，第3个图案有8个三角形，第4个图案有16个三角形，…，按此规律分形得到第个图案中三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 14. 某中学举办“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 15. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，，，P为上一动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解： =___． 17. 某校为了解八年级学生上学的交通方式，刘老师在八年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数约有_____人． 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其他 人数（人） 18. 已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 19. 已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，．求证：． 22. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 23. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是_____； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 24. 如图，中，，是边上的中线，过点C作，过点A作交于点E，连接，点O为与的交点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”． 已知函数． （1）求证：函数与轴有两个不同的交点； （2）若函数是在上的“极差函数”，且存在整数、，使得，求的值． 27. 如图，在中，且点为的中点，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点． （1）求证：为⊙O切线； （2）当，时，求圆⊙O的半径； （3）试探究线段、和之间数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试大理州模拟测试数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 在数学史上，中国古代著作《九章算术》是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若公元前500年记作，则公元2025年记作（ ） A. B. 2025 C. 1525 D. 2525 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若公元前500年记作，则公元2025年记作2025， 故选：B． 2. 大理文旅数据显示，2025年春节假期大理州共接待游客万次，同比增长．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：∵主视图和左视图是长方形， ∴几何体是柱体， ∵俯视图是圆， ∴该几何体是圆柱，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线与三角形其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比．本题中根据，可得，根据线段、的长度可求结果． 【详解】解：在中， ， ， ，， ． 故选：A． 6. 要使有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，即． 故选：B． 7. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 若一个正多边形的每一个外角都是，则该正多边形的内角和的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键．根据任何多边形的外角和都是，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和． 【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为：， 该正多边形的内角和为：． 故选：A． 9. 新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际运用---平均变化率问题，解决这类问题所用的等量关系一般是：．根据平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程，即可解题． 【详解】解：根据题意可得，， 故选：B． 10. 在中，，，，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据正切求边长，掌握正切的定义是解题的关键．根据正切的定义直接计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴ 故选：C． 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 12 B. 9 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【详解】解：∵ x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， 则x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x＝3或x＝6， 当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形； 当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15． 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论． 12. 如图，是的直径，C、D是上的两点，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆周角定理可得，然后利用得，根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：B． 13. 分形的概念是由数学家本华曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形，第2个图案有4个三角形，第3个图案有8个三角形，第4个图案有16个三角形，…，按此规律分形得到第个图案中三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据前面图案中三角形的个数，找出规律，即可求解． 【详解】解：第1个图案有2个三角形，即个； 第2个图案有4个三角形，即个； 第3个图案有8个二角形，即个； 第4个图案有16个三角形，即个； 则第个图案有个三角形， 只有D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据前面的图案，找出相关规律，即可求解． 14. 某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 98，97 B. 98，96 C. 96，98 D. 96，97 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从大到小的顺序，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 15. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，，，P为上一动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作于H，先证明，则，得到，设，由全等三角形的性质得到，则,在中，由勾股定理得到，则，求得，利用垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：如图，过点G作于H，则， ∵， ∴ 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴, 在中， ， 则， 解得， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作图、垂线段最短、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 17. 某校为了解八年级学生上学的交通方式，刘老师在八年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数约有_____人． 交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其他 人数（人） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案． 【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为： （人）， 故答案为：． 18. 已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积相等，都等于比例系数k，然后问题可求解． 【详解】解：因为点和点在反比例函数的图象上， 所以， 解得； 故答案为． 19. 已知圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式：，理解和牢记公式是解题的关键．根据侧面积加底面积，即可求解． 【详解】解：圆锥的高为，母线长为， ∴底面半径为 ∴圆锥的全面积为 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可． 【详解】解： ． 21. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 详解】证明：， 即． 在和中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22. “卡皮巴拉”以呆萌的形象、深受大家喜欢．某商场第一次用元购进一批“卡皮巴拉”玩偶，很快售完；该商场第二次购进该“卡皮巴拉”玩偶时，进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少件，求第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价是多少钱? 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，根据“同样用了元，购进的数量比第一次少了件”列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元，则第二次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程解， 答：第一次购进的“卡皮巴拉”玩偶每件的进价为元． 23. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是_____； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能结果，其中抽到“刘徽割圆术”的结果有1种， ∴抽到“刘徽割圆术”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果： 第二次 第一次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， ∴P（小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”）＝． 24. 如图，中，，是边上的中线，过点C作，过点A作交于点E，连接，点O为与的交点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）平行四边形是菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，再由30度角的性质求出，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵，是这上的中线 ∴， ∴平行四边形是菱形 【小问2详解】 由（1）得四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 25. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价元件 销售价元件 甲种布料 乙种布料 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件 （2）第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得到，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件， 根据题意得，， 解得， 答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件． 【小问2详解】 解：由题知：， 解得，， ， 即， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进甲种布料件，乙种布料件时获利最大，最大利润为元． 26. 定义：若函数在上的最大值记为，最小值记为且满足，则称函数是在上的“极差函数”． 已知函数． （1）求证：函数与轴有两个不同的交点； （2）若函数是在上的“极差函数”，且存在整数、，使得，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数的最值，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出，即可得证； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线，结合，可得，从而可得当时，随着的增大而增大，推出当时，取得最大值，当时，取得最小值，根据，求出，再由，得出方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 证明：∵函数：， ∴， ∵， ∴， 故函数与轴有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，当时，取得最小值， ∴， ∵，为整数，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 27. 如图，在中，且点为的中点，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点． （1）求证：为⊙O的切线； （2）当，时，求圆⊙O的半径； （3）试探究线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2）3；（3） 【解析】 【分析】（1）连接OM，证明OM∥BC，进而即可得到结论； （2）连接GF，先求出sin∠EAB＝，设OB＝OM＝r，则OA＝12−r，根据三角函数的定义，列出方程，即可求解； （3）过点O作OH⊥BG，则BH=，由sin∠BFG=，sin∠BOH=，得=，结合勾股定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）连接OM，如图： ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM， ∵OM＝OB， ∴∠ABM＝∠BMO， ∴∠BMO＝∠CBM， ∴BC∥OM， ∵AE⊥BC， ∴OM⊥AE， ∴AE为⊙O的切线； （2）连接GF，如图： ∵且点为的中点， ∴BE＝CE＝BC，∠AEB＝90°，AB=AC， ∵，， ∴BE＝4，AB＝12， ∴sin∠EAB＝， 设OB＝OM＝r，则OA＝12−r， ∵AE是⊙O切线， ∴∠AMO＝90°， ∴sin∠EAB＝=， ∴=，解得r＝3，即：⊙O的半径为3； （3）过点O作OH⊥BG，则BH=， ∵BF为⊙O直径， ∴∠BGF＝90°， ∴GF∥AE∥OH， ∴∠BFG＝∠EAB=∠BOH， ∵sin∠BFG=，sin∠BOH=， ∴=， ∵∠OHE=∠HEM=∠EMO=90°， ∴四边形OHEM是矩形， ∴EM=OH， ∴=， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线判定定理，垂径定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $