专题07图形的平移与旋转 期中复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

07图形的平移与旋转 期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记平移、旋转的定义、核心要素及性质，能精准区分两种图形变换，掌握其本质特征； 2.熟练掌握平移、旋转的画图步骤，能根据题目要求规范画出变换后的图形，标注完整要素； 3.能运用平移、旋转的性质，解决边长、角度、面积计算及图形全等判断等实际问题； 核心题型◆归纳 题型1图形的平移 题型2利用平移的性质求解 题型3利用平移解决实际问题 题型4平移（作图） 题型5由平移方式确定点的坐标 题型6平移综合题（几何变换） 题型7坐标系中的平移 题型8找旋转中心、旋转角、对应点 题型9旋转的性质及辨析 题型10根据旋转的性质说明线段或角相等 题型11旋转中的规律问题 题型12坐标系中的旋转 题型13求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型14面积问题（旋转综合题） 题型15根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型16已知两点关于原点对称求参数 题型17中心对称图形规律问题 题型18提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移（如下图）. 2.关键点：① 平移的两个要素：方向和距离；② 平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置；③ 平移的方向可以是任意方向，但必须是直线方向。 3. 核心性质： （1）对应点：平移后，图形上每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，连接各组对应点的线段平行且相等（方向与平移方向一致）； （2）对应线段：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段的方向与平移方向一致； （3）对应角：对应角相等； （4）图形全等：平移前后的两个图形全等（面积、周长、形状完全相同）。 4.平移画图方法： 5.平移的常见应用 ① 计算平移后图形的顶点坐标； ② 求平移后图形的周长、面积； ③ 判断多个图形是否通过平移得到。 知识点二、图形的旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2.关键要点：① 旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； ② 旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置； ③ 旋转中心可以在图形上、图形内，也可以在图形外。 3.核心性质 （1）对应点：图形上的每个点都绕旋转中心旋转了相同的角度，连接各组对应点与旋转中心的线段长度相等； （2）旋转角：各组对应点与旋转中心连线的夹角都相等，都等于旋转角； （3）对应线段：对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角（或与旋转角互补）； （4）对应角：对应角相等； （5）图形全等：旋转前后的两个图形全等。 4.旋转画图步骤： （1）找关键点：找出原图形的所有顶点（或线段端点、交点）； （2）定旋转要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角； （3）画对应点：以旋转中心为顶点，以关键点与旋转中心的连线为一边，按旋转方向画一个角等于旋转角，在角的另一边截取线段，使截取的长度等于关键点到旋转中心的距离，得到对应点； （4）连对应点：顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形，标注旋转中心、旋转方向和旋转角。 5.旋转的常见应用 ① 计算旋转角、对应线段长度、对应角大小； ② 判断图形是否为旋转对称图形（绕某点旋转一定角度后与自身重合）； ③ 平面直角坐标系中，求旋转后顶点的坐标。 知识点三、平移与旋转的区别与联系 知识点四、中心对称图形 1.定义：平面内，将图形绕某一定点（对称中心）旋转180°，若旋转后与原图形完全重合，即为中心对称图形（如下图）。 提示：对称中心唯一，旋转角固定为180°，不改变图形形状、大小，仅改变点的位置。 2.核心性质： （1）对称点：任意点与其对称点的连线过对称中心，且被对称中心平分； （2）对应线段：平行（或共线）且相等，对应线段中点与对称中心重合； （3）本质：特殊的旋转对称图形（旋转角180°），旋转后与自身重合。 3.常见中心对称图形：平行四边形（不含特殊平行四边形）、矩形、菱形、正方形、圆形、正偶数边形、线段。 4.中心对称与中心对称图形 5.中心对称图形与轴对称图形的区别 （1）中心对称图形必是旋转对称图形（旋转180°），反之不一定（如正三角形）； （2）中心对称依赖“点”（对称中心），轴对称依赖“直线”（对称轴），部分图形兼具二者（如正方形、圆形）。 重点知识◆梳理 题型1图形的平移 1．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作由一个基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个． 3．如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 题型2利用平移的性质求解 1．如图，将三角形沿方向平移至三角形，若，，则平移距离为 （    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，将沿向右平移，得到，与交于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 3．将沿边向右平移得到，如图． (1)若，则 度； (2)若的周长为15，，求四边形的周长． 题型3利用平移解决实际问题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 2．如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 3．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 题型4平移（作图） 1．如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    3．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 题型5由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 3．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 题型6平移综合题（几何变换） 1．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 2．如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将三角形按照某一方向经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出平移之后的三角形； (2)连接，，则这两条线段的数量关系是___________，位置关系是___________； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积． 题型7坐标系中的平移 1．2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点，无人机从巡检起点出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点．当无人机位置到基站O的距离大于的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（   ） A．B． C． D． 2．我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向上平移个长度单位得到．将函数的图象向______平移______个长度单位得到函数的图象． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，文化馆，超市的坐标； (3)已知游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度，请在图中标出游乐场位置，并写出点坐标． 题型8找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 题型9旋转的性质及辨析 1．下列关于旋转和平移的说法正确的是（    ） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 2．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 3．已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 题型10根据的旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 3．如图，在中，，．以为边作等边（点C、D在直线的同侧），分别延长、至点P、点Q，使得，连接、，延长交于点K． (1)请你依据题意，补全图形； (2)求的大小； (3)连接，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 题型11旋转中的规律性问题 1．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时针转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 2．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 3．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 题型12坐标系中的旋转 1．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点坐标为____________； (3)计算的面积； (4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标． 题型13求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上． (1)将绕C点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出． (2)将向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到，请在图中画出． (3)若将绕原点O旋转，A的对应点的坐标是________． (4)在y轴上找一点P，使周长最小，点P的坐标为________． 题型14面积问题（旋转综合题） 1．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 2．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 3．如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 题型15根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 3．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 题型16已知两点关于原点对称求参数 1．若点关于原点的对称点是，则的值是（   ）． A． B． C． D． 2．已知点和点关于原点对称，则___________． 3．已知点与点关于原点对称，求的值． 题型17中心对称图形规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 过关检测◆提升 一、单选题 1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．如图的边的长为，将向上平移得到，且，图中阴影部分的面积为，则平移距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 4．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 6．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 二、填空题 7．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 8．将点向_____平移____个单位长度后，平移后坐标变为． 9．下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 10．将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 11．点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为___________． 12．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为_____ 三、解答题 13．如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑宽度相同的横、纵走向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． ​ 14．在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，画出相应的图形，并直接写出点的坐标________． (2)在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使（表示三角形的面积）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点在轴上，连接，，若，求点的坐标． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 16．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 17．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 18．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07图形的平移与旋转 期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记平移、旋转的定义、核心要素及性质，能精准区分两种图形变换，掌握其本质特征； 2.熟练掌握平移、旋转的画图步骤，能根据题目要求规范画出变换后的图形，标注完整要素； 3.能运用平移、旋转的性质，解决边长、角度、面积计算及图形全等判断等实际问题； 核心题型◆归纳 题型1图形的平移 题型2利用平移的性质求解 题型3利用平移解决实际问题 题型4平移（作图） 题型5由平移方式确定点的坐标 题型6平移综合题（几何变换） 题型7坐标系中的平移 题型8找旋转中心、旋转角、对应点 题型9旋转的性质及辨析 题型10根据旋转的性质说明线段或角相等 题型11旋转中的规律问题 题型12坐标系中的旋转 题型13求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型14面积问题（旋转综合题） 题型15根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型16已知两点关于原点对称求参数 题型17中心对称图形规律问题 题型18提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移（如下图）. 2.关键点：① 平移的两个要素：方向和距离；② 平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置；③ 平移的方向可以是任意方向，但必须是直线方向。 3. 核心性质： （1）对应点：平移后，图形上每个点都沿同一个方向移动了相同的距离，连接各组对应点的线段平行且相等（方向与平移方向一致）； （2）对应线段：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段的方向与平移方向一致； （3）对应角：对应角相等； （4）图形全等：平移前后的两个图形全等（面积、周长、形状完全相同）。 4.平移画图方法： 5.平移的常见应用 ① 计算平移后图形的顶点坐标； ② 求平移后图形的周长、面积； ③ 判断多个图形是否通过平移得到。 知识点二、图形的旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 2.关键要点：① 旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角； ② 旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置； ③ 旋转中心可以在图形上、图形内，也可以在图形外。 3.核心性质 （1）对应点：图形上的每个点都绕旋转中心旋转了相同的角度，连接各组对应点与旋转中心的线段长度相等； （2）旋转角：各组对应点与旋转中心连线的夹角都相等，都等于旋转角； （3）对应线段：对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角（或与旋转角互补）； （4）对应角：对应角相等； （5）图形全等：旋转前后的两个图形全等。 4.旋转画图步骤： （1）找关键点：找出原图形的所有顶点（或线段端点、交点）； （2）定旋转要素：明确旋转中心、旋转方向、旋转角； （3）画对应点：以旋转中心为顶点，以关键点与旋转中心的连线为一边，按旋转方向画一个角等于旋转角，在角的另一边截取线段，使截取的长度等于关键点到旋转中心的距离，得到对应点； （4）连对应点：顺次连接所有对应点，得到旋转后的图形，标注旋转中心、旋转方向和旋转角。 5.旋转的常见应用 ① 计算旋转角、对应线段长度、对应角大小； ② 判断图形是否为旋转对称图形（绕某点旋转一定角度后与自身重合）； ③ 平面直角坐标系中，求旋转后顶点的坐标。 知识点三、平移与旋转的区别与联系 知识点四、中心对称图形 1.定义：平面内，将图形绕某一定点（对称中心）旋转180°，若旋转后与原图形完全重合，即为中心对称图形（如下图）。 提示：对称中心唯一，旋转角固定为180°，不改变图形形状、大小，仅改变点的位置。 2.核心性质： （1）对称点：任意点与其对称点的连线过对称中心，且被对称中心平分； （2）对应线段：平行（或共线）且相等，对应线段中点与对称中心重合； （3）本质：特殊的旋转对称图形（旋转角180°），旋转后与自身重合。 3.常见中心对称图形：平行四边形（不含特殊平行四边形）、矩形、菱形、正方形、圆形、正偶数边形、线段。 4.中心对称与中心对称图形 5.中心对称图形与轴对称图形的区别 （1）中心对称图形必是旋转对称图形（旋转180°），反之不一定（如正三角形）； （2）中心对称依赖“点”（对称中心），轴对称依赖“直线”（对称轴），部分图形兼具二者（如正方形、圆形）。 重点知识◆梳理 题型1图形的平移 1．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作由一个基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移前后图形的形状，大小和方向都不发生改变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】A、本选项的图案不可以看作由基本图案经过平移得到； B、本选项的图案不可以看作由基本图案经过平移得到； C、本选项的图案可以看作由基本图案经过平移得到； D、本选项的图案不可以看作由基本图案经过平移得到． 故选：C． 2．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的平移，轴对称图形等知识，掌握正方形的结构特征是解答本题的关键．根据正方形是轴对称图形，正方形的对称轴有4条，沿着正方形的对称轴方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形；要使平移后的正方形顶点还在格点上，且沿对称轴平移，即向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移，据此可选出正确答案． 【详解】解：因为正方形是轴对称图形，有四条对称轴， 所以沿着正方形的对称轴的方向进行平移，平移前后的两个图形一定能组成轴对称图形， 观察图形可知，向上平移，向下平移，向右平移，向右上，向右下平移时，平移前后的两个正方形组成的图形都是轴对称图形． 综上可知，使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有5个． 故答案为：5． 3．如图，在方格纸中，将风筝平移、使得风筝的点移到了点处，画出平移后的风筝． 【答案】见解析 【分析】根据点对应点作图即可． 【详解】解：由题意得；点向右平移个单位，向下平移个单位到点， 所作图形如下所示： 题型2利用平移的性质求解 1．如图，将三角形沿方向平移至三角形，若，，则平移距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移性质得，再根据， 求得线段的长即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移距离为． 2．如图，在中，，，将沿向右平移，得到，与交于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点，连接，若，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ． 3．将沿边向右平移得到，如图． (1)若，则 度； (2)若的周长为15，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2) 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵沿边向右平移得到，， ； （2）解：由平移的性质知：，， ∵的周长为15， ∴， 即， 又∵， 四边形的周长 ． 题型3利用平移解决实际问题 1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 2．如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是____． 【答案】96 【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，再利用长方形空地的面积减去绿化部分的面积求解即可． 【详解】解析：解：根据题意，得， 故答案为：96． 3．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 题型4平移（作图） 1．如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 【详解】解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 2．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)22 【分析】（1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （2）根据平移的性质可得，，在平移的过程中线段扫过的面积是四边形的面积，利用网格图的特征，通过割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2） 解：． 题型5由平移方式确定点的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向上平移6个单位长度，向左平移3个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，掌握平移时点的坐标变化规律即可求解，规律为：向上平移时纵坐标增加，横坐标不变；向左平移时横坐标减小，纵坐标不变． 【详解】解：∵ 将点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加， ∴ 第一次平移后点的坐标为， ∵ 再向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标减， ∴ 点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，如果将先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据点的平移规律，横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，计算平移后点的坐标即可． 【详解】解：点的对应点的坐标为，即． 3．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或； (3)当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【分析】（1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可； （2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的一半， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 题型6平移综合题（几何变换） 1．如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴BE＝CF＝a， ∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4， ∴8＝a+4+a， ∴a＝2，故结论Ⅰ正确； ∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为22， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝22， ∴AB+BC+CF+AC+AD＝22， ∵三角形ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22， ∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确， ∴Ⅰ对Ⅱ不对， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 2．如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】60 【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可． 【详解】解：根据平移可知 BE=6，EF=BC=12， ∵CG=4， ∴BG=8， ∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60． 故答案为：60． 【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键． 3．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为，将三角形按照某一方向经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出平移之后的三角形； (2)连接，，则这两条线段的数量关系是___________，位置关系是___________； (3)求线段在平移过程中扫过区域的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质，图形平移后，对应点的平移方向和距离完全相同．由点的对应点，可确定的平移方向与距离，再将点、按相同的平移规律平移，得到对应点、，顺次连接、、，即可画出平移后的； （2）根据平移的基本性质：平移后，对应点所连的线段平行且相等．、均为平移前后对应点的连线，因此可直接得出两条线段的数量关系与位置关系； （3）线段在平移过程中扫过的区域为平行四边形．利用网格的特点，采用割补法计算面积：用包含该平行四边形的矩形面积，减去周围多余的直角三角形的面积，代入网格中对应的边长数值计算，即可得到线段扫过区域的面积． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：如图可得，． （3）解：如图，线段扫过区域的面积为： 题型7坐标系中的平移 1．2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点，无人机从巡检起点出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点．当无人机位置到基站O的距离大于的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，理解启动“信号增强模式”的条件是解题关键．如图，作点关于轴的对称点，连接，当无人机处于“信号增强模式”时，点处于之间，结合数轴和坐标，即可得解． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，此时，， 当无人机处于“信号增强模式”时，点处于之间， y的取值范围为， 故选：D． 2．我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向上平移个长度单位得到．将函数的图象向______平移______个长度单位得到函数的图象． 【答案】 左 【分析】根据函数图象平移的左加右减法则，对目标函数解析式变形后即可判断平移方向和平移单位． 【详解】解：函数图象平移遵循左加右减的规律， 对于原函数，目标函数可变形为， 符合自变量加正数，图象向左平移对应单位的规律， 因此将的图象向左平移2个单位长度可得到的图象． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为． (1)根据题目条件，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，文化馆，超市的坐标； (3)已知游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度，请在图中标出游乐场位置，并写出点坐标． 【答案】(1)见详解 (2)体育场：，文化馆：，超市： (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与坐标表示，解题关键是根据已知点的坐标确定原点位置，再据此写出其他点的坐标，并结合方向与距离确定未知点的位置．先由火车站的坐标确定x轴与y轴，再根据方格纸写出各点坐标，最后根据方向和距离确定游乐场的位置与坐标． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系； （2）解：如图，体育场：，文化馆：，超市：； （3）解：如图，市场的坐标为， 游乐场在市场的西南方向上且相距个单位长度， 所以在方格纸中，沿该方向移动个单位，即向左、向下各移动2个单位长度， 点P的坐标为． 题型8找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 2．如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 【答案】点 【分析】根据旋转的性质，旋转点到旋转中心的距离相等即可求解． 【详解】解：观察图象，可知点对应点， 在点、、中，仅有， 故点H为旋转中心． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形； （2）分别找出各个顶点关于原点对称的点从而画出图形； （3）根据图形，结合网格特征即可得出旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如（1）中图，即为所求． （3）解：如（1）中图，连接，， 由网格特征可知，，的交点坐标为， ∴旋转中心的坐标为． 题型9旋转的性质及辨析 1．下列关于旋转和平移的说法正确的是（    ） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 【答案】C 【分析】平移和旋转都是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小，结合旋转的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平移和旋转都是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置， ∴A选项说旋转改变图形形状错误，D选项说平移和旋转可改变图形大小错误； ∵旋转会改变图形的方向，平移不改变图形方向，所以旋转得到的图形无法通过平移得到， ∴B选项错误； 由旋转的性质可知，旋转的对应点到旋转中心距离相等， ∴C选项正确． 2．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 3．已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质， 对于（1），根据旋转可知，，再表示，然后根据的度数，可得答案； 对于（2），设旋转时间是ts，并表示，即可得出，最后代入可得结论； 对于（3），根据题意可得，再根据，可得，然后代入得出答案． 【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）设旋转时间是ts，则， ∵， ∴， 则， ∴； （3）∵M，N两点的速度之比是， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型10根据的旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，在中，，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 【答案】/50度 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∴． 3．如图，在中，，．以为边作等边（点C、D在直线的同侧），分别延长、至点P、点Q，使得，连接、，延长交于点K． (1)请你依据题意，补全图形； (2)求的大小； (3)连接，判断线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题干作图即可； （2）证明，得出，再利用，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转，使和重合，设点旋转后为点，连接，过点作于点，由旋转可知，，，，证明，，再利用即可求证． 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 将绕点逆时针旋转， ∵，， ∴绕点逆时针旋转后和重合， 设点旋转后为点，连接，过点作于点， 由旋转可知，，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 题型11旋转中的规律问题 1．如图，图形的五条边相等，位置如图所示，点A，E分别与数轴上的对应，将该图形沿着数轴顺时针转动了一次，点B对应的数是0，若将该图形从原始位置顺时针转动了2023次后，关于点D说法正确的是 （    ） A．点D对应的数是2022 B．点D对应的数是2023 C．点D不在数轴上 D．点D对应的数是 【答案】A 【分析】本题主要查了图形类规律题．根据题意得到转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上，再由，可得从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上，即可求解． 【详解】解：根据题意得：转动3次时点D在数轴上，且以后每转动5次，点D在数轴上， ∵， ∴从原始位置顺时计转动了2023次后，点D在数轴上， ∵点A在数轴上的对应的数为， ∴点D对应的数是． 则A选项符合题意． 故选：A． 2．如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 题型12坐标系中旋转 1．直角坐标平面上有一点，其中，先将点A沿着直线翻折，得到点B，再将点B绕着原点逆时针旋转后得到点C，那么点C与点A的位置关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】先根据轴对称的坐标变换规律得到点B的坐标，再根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律得到点C的坐标，最后对比点A和点C的坐标，判断二者位置关系． 【详解】解：∵ 点沿直线翻折得到点B，点关于对称时横纵坐标互换， ∴ 点B的坐标为． ∵ 平面内任意点绕原点逆时针旋转后，所得点的坐标为， ∴ 将代入得，点C的坐标为． ∵ 点与点纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴ 点A与点C关于轴对称． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 3．如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的； (2)点坐标为____________； (3)计算的面积； (4)若为平面内一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或或或 【分析】本题考查了轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，旋转变换，掌握相关知识点并正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，做出点，再连线，即可求解； （2）根据图形，即可求解； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）分别将线段绕点A顺时针旋转、逆时针旋转，将线段绕点B顺时针旋转、逆时针旋转，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可知，点坐标为． （3）解：由图可知，． （4）解：如图，将线段绕点A逆时针旋转，得到， 根据旋转可知，此时是以为直角边的等腰直角三角形， 由图可知点坐标为； 同理，将线段绕点A顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B顺时针旋转，得到，点坐标为； 将线段绕点B逆时针旋转，得到，点坐标为； 综上可知，点P坐标为或或或． 题型13求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可． 【详解】解：∵点绕原点旋转， ∴ 旋转后点的坐标为， ∵ 再向右平移个单位长度得点， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，线段绕点逆时针旋转得到线段，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，根据旋转得，，证明得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵点， ∴，， 根据旋转得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点坐标为． 3．如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上． (1)将绕C点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出． (2)将向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到，请在图中画出． (3)若将绕原点O旋转，A的对应点的坐标是________． (4)在y轴上找一点P，使周长最小，点P的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据旋转的性质得出绕点C按逆时针方向旋转得到的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质得出各顶点的对应点,再顺次连接即可； （3）找出点关于原点对称的点的坐标即可； （4）作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴关于原点对称的点的坐标为， ∴A的对应点的坐标是； （4）解：如图，作点B关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为 题型14面积问题（旋转综合题） 1．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 2．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 3．如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 题型15根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 2．如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 3．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 【答案】2 【分析】根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：， ， 与关于原点成中心对称， ． 题型16已知两点关于原点对称求参数 1．若点关于原点的对称点是，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点，它们的横纵坐标互为相反数，由此得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴． 2．已知点和点关于原点对称，则___________． 【答案】/ 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ， ． 3．已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】8 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，掌握关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，列出关于和的方程组，求解后计算的值． 【详解】解：点与点关于原点对称， 将得： 解得 代入①得： 故原方程组的解为： 则． 题型17中心对称图形规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 过关检测◆提升 一、单选题 1．甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是A选项． 2．如图的边的长为，将向上平移得到，且，图中阴影部分的面积为，则平移距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移，可知，可得，进行求解即可． 【详解】解：三角形的边的长为．将三角形向上平移得到三角形，且， 则：，四边形是长方形， ∴ ∴， 解得 ∴平移距离为． 3．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 4．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平移或旋转的定义，熟练掌握平移或旋转的定义是解题的关键．根据平移或旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到． 故选：B． 5．如图，将先向右平移，使点与点重合，再将所得的三角形绕点逆时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，先求出的各点坐标，再求出，利用三角形的性质即可得点，即为点． 【详解】解：依题意，平移得到和旋转所得图形，过点作轴垂线，垂足为，连接，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示， ∵的坐标为，，，点与点重合， ∴三角形整体向右平移个单位长度， ∴的坐标为，，， 由图可得，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将点逆时针旋转，点的对应点即为点， 故选：A． 6．如图所示的是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析即可． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成中心对称图形的方法有3种： 二、填空题 7．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，只有将方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形， 故这样的小方格有个． 8．将点向_____平移____个单位长度后，平移后坐标变为． 【答案】 左 5 【分析】点的平移规律为：横坐标右移加、左移减；纵坐标上移加、下移减．本题中平移前后的坐标，纵坐标不变，只需分析横坐标的变化即可确定平移情况． 【详解】解：∵点平移后的坐标为，，， ∴点向左平移5个单位长度后，坐标变为． 9．下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，熟练掌握“中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形”是解题的关键． 判断每个图形是否为中心对称图形（绕某点旋转能与自身重合的图形），依次分析每个图形的旋转性质． 【详解】解：①正方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ②长方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ③等边三角形：绕某点旋转不能与自身重合； ④线段：绕中点旋转能与自身重合； ⑤角：绕某点旋转不能与自身重合； ⑥平行四边形：绕对角线交点旋转能与自身重合． 故答案为：①②④⑥． 10．将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，那么的值为_________． 【答案】2 【分析】平面直角坐标系中，点的平移遵循规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．据此列方程组解答． 【详解】解：，先向下平移4个单位（纵坐标减4），再向右平移3个单位（横坐标加3），得到，因此可得方程组： 横坐标：，解得； 纵坐标：，解得； 因此． 11．点A向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到点，则点A坐标为___________． 【答案】 【分析】将点B反向平移求出点A坐标； 【详解】点B（0，2）向上平移2个单位，向左平移三个单位后点坐标为（-3，4）， 故A（-3，4）． 【点睛】本题考查了点的平移规律，熟练掌握坐标中点的平移规律是解题的关键． 12．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为_____ 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，   ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，   ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 三、解答题 13．如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑宽度相同的横、纵走向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． ​ 【答案】平方米；20平方米 【分析】通过平移，绿化面积等于长为米，宽为米的长方形的面积． 【详解】解：根据题意得： （平方米）， 则绿化的面积是平方米； 当，时， 绿化面积是：（平方米）． 14．在直角坐标系中，已知线段，点的坐标为，点的坐标为，如图所示． (1)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，画出相应的图形，并直接写出点的坐标________． (2)在（1）的条件下，在轴上是否存在一点，使（表示三角形的面积）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点在轴上，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)存在点，使，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与平移变换-平移，三角形的面积，一次函数与几何图形综合题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程或函数解决问题． （1）首先根据，点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案； （2）设点， 则，进而表示出， 再计算出，根据列式，解方程即可得解； （3）由于点在轴上，故设，根据，点的坐标找到点的平移方式，得到， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点，利用待定系数法求得直线的解析式，令，得到点的坐标，最后根据列式，解方程即可得解． 【详解】（1）解：画出对应的图形如下： 点平移后的对应点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， 点平移后的对应点为，即． 故答案为：． （2）解：设点， 则， ， ，， ，即， 或， 或， 存在点，使，点的坐标为或． （3）解：点在轴上， 设， 点的对应点为，点的坐标为， 线段向左平移个单位，再向上或向下平移个单位， ， 设直线的解析式为，直线与轴相交于点， 将点和点代入得： ，解得， ， 令，则， ， ， 令，则有：或， 解得或， 或， 点的坐标为或． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【分析】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【详解】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 16．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 17．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求； （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求． 18．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点、、三点共线，分类讨论，根据（1），（2）中的结论即可求解． 【详解】解：． 理由：如图所示，连接，设交于点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图所示，连接， 由（1）可知：， ∵、、三点共线 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3），，、、三点共线， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ①如图所示，连接， 由（2）可知：， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴（此时，不符合题意，舍去）； ③如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $