专题03直角三角形期中复习讲义（复习重点+10大核心题型+巩固提升）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题03直角三角形期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记直角三角形定义、核心性质及判定定理，能熟练运用进行计算和证明； 2.掌握核心题型解题思路，突破易错点，熟练运用HL判定直角三角形全等及全等性质； 3.灵活处理直角三角形与勾股定理、全等三角形的综合问题，提升解题准确率； 4.掌握图形中常用辅助线做法，理解逆命题、互逆命题、定理与证明、互逆定理的概念并能举例说明。 核心题型◆归纳 题型1直角三角形的两个锐角互余 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 题型3写出命题的逆命题 题型4判断是否为互逆命题 题型5定理与证明 题型6互逆定理 题型7用HL证全等 题型8全等的性质和HL综合 题型9直角三角形与折叠问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、直角三角形定义 有一个角为90°的三角形叫直角三角形，直角对边为斜边，另两边为直角边，记作Rt△ABC（∠C为直角）。 知识点二、直角三角形的性质 1. 两锐角互余（∠A+∠B=90°，∠C=90°）； 几何语言：在△ABC中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°. 2. 勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方，即+=（a、b为直角边，c为斜边）； 3.30°角所对直角边=斜边的一半；如图,在Rt△ABC中，∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC= AB 4.斜边上的中线=斜边的一半； Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,AD=BD,∴CD= AB(或CD=AD=BD)。 4.对称性：等腰直角三角形是轴对称图形 知识点三、直角三角形判定定理 1：有一个角是90°的三角形是直角三角形；（定义法） 2.：两锐角互余的三角形是直角三角形；（角的判定） 3.勾股定理逆定理：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股定理逆定理） 4.特殊判定：在一个三角形中，若它斜边上的中线等于斜边的一半，这个三角形为三角形。 知识点四、解题常用辅助线 1.作斜边上的中线、高，构造直角三角形； 2.延长直角边、构造全等直角三角形，转化角和线段； 3.含30°角时，构造对应直角三角形利用特殊性质求解。 知识点五、直角三角形全等——HL判定及全等性质 1.全等性质：对应边、对应角相等；对应中线、高、角平分线相等。 2. HL判定：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等（直角三角形专属）。 知识点六、逆命题、互逆命题、定理与证明、互逆定理 1.逆命题：互换原命题题设与结论； 2.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（原命题成立，逆命题不一定成立）； 3.定理：经推理证实的真命题；证明：通过逻辑推理得出结论的过程； 4.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明为真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理互为逆定理（如勾股定理与逆定理） 题型解析◆精准备考 题型1直角三角形的两个锐角互余 1．如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 2．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．在四边形中，，点在上，． (1)求证：． (2)已知，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得证； （2）根据得到，，根据勾股定理求出，证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 1．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果． 【详解】解：A．∵ ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，不符合要求； B．∵，三角形内角和为， 设，，， ∴， 解得：， ∴最大角， ∴不能判定为直角三角形，符合要求； C．∵， 设，，， ∴， ， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； D．∵，， ∴，得， ∴能判定是直角三角形，不符合要求． 2．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 3．如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见详解；②，理由见详解 【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 题型3写出命题的逆命题 1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查原命题与逆命题的真假判断，先写出每个选项的逆命题，再结合初中知识分别判断原命题和逆命题的真假即可得到结果. 【详解】解：选项A：原命题全等三角形的对应角相等是真命题， 逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题直角三角形的两个锐角互余是真命题， 逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为=， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合要求； 选项C：原命题若，则是真命题， 逆命题为若，则，是假命题， 例如时但，不符合要求； 选项D：原命题若，则是假命题，时也可以是，不符合要求； 故选B 2．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 3．完成下列各题： (1)命题：“若，，则．”写出它的逆命题，并判断逆命题的真假． (2)如图，，是等边的两边，上的点，且，求证：． 【答案】(1)命题为“若，则，．”； 逆命题是假命题 (2)证明见解析 【分析】（1）根据逆命题的定义求解即可； （2）证明即可得到． 【详解】（1）解：“若，，则．”的逆命题为“若，则，．” 若，则，或，； ∴它的逆命题是假命题； （2）解：∵等边， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 题型4判断是否为互逆命题 1．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 2．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 3．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 题型5定理与证明 1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 2．“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 【答案】定理 【分析】本题主要考查了公理和定理的判定，根据公理和定理的定义进行判断即可．解题的关键是熟练掌握公理：人类理性认知中不证自明的基本事实（如“两点确定一条直线”），经过长期实践检验被普遍接受，构成数学体系的逻辑起点；定理：通过严格逻辑证明从公理、定义或其他定理推导出的真命题，其真实性依赖于演绎推理过程． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理． 故答案为：定理． 3．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 【答案】(1)依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． (2)依据：等量代换，是公理． (3)依据：两点之间线段最短，是定理． 【分析】此题主要考查了命题与定理，根据公理与定理的概念：公理是不需要证明的，由实践得出的结论，定理是由公理得出来的，也可以说是公理的推论，是需要证明的． （1）根据全等三角形的判定得出依据以及是定理； （2）根据等量代换得出，进而得出理由． （3）根据三角形的三边关系解答即可； 【详解】（1）解：在和中，，则，依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理． （2）解：如果，那么，依据：等量代换，是公理． （3）解：三角形的任意两边之和大于第三边，依据：两点之间线段最短，是根据公理推导出来的，是定理． 题型6互逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 2．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了写出原定理的逆定理．原定理的逆定理是通过交换条件和结论得到的，因此逆定理的结论是原定理的条件，即三角形是等腰三角形． 【详解】解：定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是等腰三角形． 如图，三角形，设为底边上的高和中线． 由于是高，则， ∴； 由于是中线，则． 在和中， ， 因此，即三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰． 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 题型7用HL证全等 1．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 2．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)作，求的长； (2)过点作交轴于点，求的面积； (3)如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用直角三角形的面积的不同表示方法列等积式即可求解； （2）设，利用勾股定理求出的坐标，进而面积可求； （3）取点，连接，过点作于点，通过论证，可得，则，进而利用，得到的值. 【详解】（1）解：∵，， ，， ； ∵， ∴， 即：， ； （2）解：如图，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ； （3）解：如图，取点，连接， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中， ， ， ∵ ， 在和中， ∵，， ， ， ∵，则， 在中，， ， 或． 题型8全等的性质和HL综合 1.．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【答案】A 【分析】连接，证明出，得到，即可得到点一定在的平分线上． 【详解】解：如图，连接 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴点一定在的平分线上． 2．如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 【答案】7 【分析】证明，得出，，即可得解． 【详解】，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 3．如图，已知点在同一条直线上，，，，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定．利用证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型9直角三角形与折叠问题 1．如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形内角和求出，再 利用平行线的同位角相等得到，由折叠性质得，进而算出． 【详解】解：在中，，， 根据直角三角形两锐角互余，得： ∵， ∴根据平行线的同位角相等，得： 折叠后点落在点处，根据折叠的性质，对应角相等，得 ∵是平角（）， ∴． 2．一张长方形纸片，沿着对角线折叠后的图形如图，交于点，已知，则________度． 【答案】29 【分析】根据长方形的性质得到，进而得到的度数，由折叠的性质得，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，． 3．如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)若，交的平分线于点，，求的大小． (2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处． ①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________； ②若，，则的度数___________． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查了三角形的内角和问题，掌握平行线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和三角形的内角和即可得到结论； （2）①分两种情况讨论：当点Q落在上时，利用折叠的性质和三角形内角和定理计算即可．当点Q落在上时，利用折叠的性质和平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．②分两种情形：当点Q在平行线，之间时．当点Q在下方时，结合平行线的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴，     ∴； （2）解：①当点Q落在上时， 由折叠的性质得：， ∴． 当点Q落在上时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的的值为或， 故答案为：或． ②当点Q在平行线之间时． 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在下方时， 由折叠的性质得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或 过关检测◆提升 一、单选题 1．将一副直角三角板和（，）按照如图所示的方式摆放，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过平行线的性质得到，再通过三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．下列命题的逆命题错误的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．若，则 D．全等三角形的三对对应角相等 【答案】D 【分析】先根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论得到每个选项的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】根据逆命题定义，交换原命题的条件和结论得到逆命题，逐一判断： A、逆命题为“如果一个三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，逆命题正确； B、逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，逆命题正确； C、逆命题为“若，则”，逆命题正确； D、逆命题为“如果两个三角形的三对对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形”，存在三对对应角相等但边长不相等的三角形，并不全等，故逆命题错误； 故选：D． 3．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 4．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 5．如图，已知，，则可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可知这两个三角形是直角三角形，再结合已知边 和公共边，利用斜边、直角边定理即可判定． 【详解】解：， 和 都是直角三角形． 在 和 中， ， ． 二、填空题 6．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再判断逆命题是否为定理即可． 【详解】解：原命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的题设为“一个三角形中两个锐角互余”， 结论为“这个三角形是直角三角形”， 交换题设与结论得到逆命题为“直角三角形的两锐角互余”， 该逆命题是经过推理证实的真命题， 因此它是定理． 7．如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件______（写出一种即可），可以根据“”得到． 【答案】（或） 【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据题意两个直角三角形的斜边为公共边，因此只需要条件一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴和都是直角三角形， 当时，又∵， ∴， 当时，又∵， ∴． 8．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 9．已知是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则等于________度． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示， 当时，； 如图所示， 当时， ∵是的高， ∴， ∴． 10．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，已知在锐角中，分别是和边上的高，它们交于点． (1)若和的度数之比为． ①则___________°，___________°； ②___________°． (2)若，则___________； (3)与之间满足怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①40,60 ②140 (2)130 (3) 【分析】（1）①先设，再根据三角形内角和定理得出方程，求出解即可； ②根据高线的定义得，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，最后根据补角定义得出答案； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出，然后根据补角定义得出答案； （3）仿照解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴设， 则， 解得， ∴； ②∵是边上的高，是边上的高，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ． 12．已知：如图，在中，，垂足为点C，与相交于点F，． 求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直的定义，三角形内角和定理等知识﹒ （1）根据得到，利用“”证明，即可得到； （2）根据，得到，结合证明，即可证明﹒ 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 13．写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)如果两个角相等，那么这两个角是直角 (3)如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除 【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】（1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”； （2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”； （3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”． 14．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由见解析 (2)说法正确，理由见解析 (3)说法错误，理由见解析 (4)说法错误，理由见解析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 15．问题提出：如图，长方形的边上有一点，将长方形沿着直线折叠，顶点落在点处，． (1)分析探究：结合折叠性质，探索线段与的数量关系，并说明理由． (2)实践解决：若，，求长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由长方形的性质可得，由折叠的性质可得，再证明，即可得证； （2）设，则，由折叠的性质可得，，求出，，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，如图， ∵四边形为长方形， ∴， 由折叠的性质可得：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， 由折叠的性质可得，， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形期中复习讲义 期中复习◆重点 1.牢记直角三角形定义、核心性质及判定定理，能熟练运用进行计算和证明； 2.掌握核心题型解题思路，突破易错点，熟练运用HL判定直角三角形全等及全等性质； 3.灵活处理直角三角形与勾股定理、全等三角形的综合问题，提升解题准确率； 4.掌握图形中常用辅助线做法，理解逆命题、互逆命题、定理与证明、互逆定理的概念并能举例说明。 核心题型◆归纳 题型1直角三角形的两个锐角互余 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 题型3写出命题的逆命题 题型4判断是否为互逆命题 题型5定理与证明 题型6互逆定理 题型7用HL证全等 题型8全等的性质和HL综合 题型9直角三角形与折叠问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、直角三角形定义 有一个角为90°的三角形叫直角三角形，直角对边为斜边，另两边为直角边，记作Rt△ABC（∠C为直角）。 知识点二、直角三角形的性质 1. 两锐角互余（∠A+∠B=90°，∠C=90°）； 几何语言：在△ABC中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°. 2. 勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方，即+=（a、b为直角边，c为斜边）； 3.30°角所对直角边=斜边的一半；如图,在Rt△ABC中，∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC= AB 4.斜边上的中线=斜边的一半； Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,AD=BD,∴CD= AB(或CD=AD=BD)。 4.对称性：等腰直角三角形是轴对称图形 知识点三、直角三角形判定定理 1：有一个角是90°的三角形是直角三角形；（定义法） 2.：两锐角互余的三角形是直角三角形；（角的判定） 3.勾股定理逆定理：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股定理逆定理） 4.特殊判定：在一个三角形中，若它斜边上的中线等于斜边的一半，这个三角形为三角形。 知识点四、解题常用辅助线 1.作斜边上的中线、高，构造直角三角形； 2.延长直角边、构造全等直角三角形，转化角和线段； 3.含30°角时，构造对应直角三角形利用特殊性质求解。 知识点五、直角三角形全等——HL判定及全等性质 1.全等性质：对应边、对应角相等；对应中线、高、角平分线相等。 2. HL判定：斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等（直角三角形专属）。 知识点六、逆命题、互逆命题、定理与证明、互逆定理 1.逆命题：互换原命题题设与结论； 2.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。（原命题成立，逆命题不一定成立）； 3.定理：经推理证实的真命题；证明：通过逻辑推理得出结论的过程； 4.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明为真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理互为逆定理（如勾股定理与逆定理） 题型解析◆精准备考 题型1直角三角形的两个锐角互余 1．如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是________． 3．在四边形中，，点在上，． (1)求证：． (2)已知，求的面积． 题型2锐角互余的三角形是直角三角形 1．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 3．如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 题型3写出命题的逆命题 1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．若，则 D．若，则 2．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 3．完成下列各题： (1)命题：“若，，则．”写出它的逆命题，并判断逆命题的真假． (2)如图，，是等边的两边，上的点，且，求证：． 题型4判断是否为互逆命题 1．判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 2．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________． 3．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 题型5定理与证明 1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．“直角三角形的两个锐角互余”是______．（填“公理”或“定理”） 3．根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定理． (1)在和中，，则； (2)如果，那么； (3)三角形的任意两边之和大于第三边． 题型6互逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 2．定理“等腰三角形底边上的高是底边的中线”的逆定理是：如果一个三角形底边上的高是底边的中线，那么这个三角形是_________三角形． 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 题型7用HL证全等 1．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 2．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)作，求的长； (2)过点作交轴于点，求的面积； (3)如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 题型8全等的性质和HL综合 1.．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 2．如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 3．如图，已知点在同一条直线上，，，，，求证． 题型9直角三角形与折叠问题 1．如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．一张长方形纸片，沿着对角线折叠后的图形如图，交于点，已知，则________度． 3．如图1，直线，直线与直线，相交于点，点是射线上的一个动点（不包括端点）． (1)若，交的平分线于点，，求的大小． (2)如图2，连接．将沿折叠，顶点落在点处． ①若，点刚好落在其中的一条平行线上，则的大小为___________； ②若，，则的度数___________． 过关检测◆提升 一、单选题 1．将一副直角三角板和（，）按照如图所示的方式摆放，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题的逆命题错误的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．若，则 D．全等三角形的三对对应角相等 3．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 4．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 5．如图，已知，，则可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 7．如图，四边形中，，连接，请你添加一个条件______（写出一种即可），可以根据“”得到． 8．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为_____． 9．已知是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则等于________度． 10．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 三、解答题 11．如图，已知在锐角中，分别是和边上的高，它们交于点． (1)若和的度数之比为． ①则___________°，___________°； ②___________°． (2)若，则___________； (3)与之间满足怎样的数量关系？请说明理由． 12．已知：如图，在中，，垂足为点C，与相交于点F，． 求证：    (1)； (2)． 13．写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 14．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 15．问题提出：如图，长方形的边上有一点，将长方形沿着直线折叠，顶点落在点处，． (1)分析探究：结合折叠性质，探索线段与的数量关系，并说明理由． (2)实践解决：若，，求长． 学科网（北京）股份有限公司 $