2025-2026学年北师大版七年级数学下册期中仿真卷（二）

**基本信息** 七年级数学期中卷聚焦代数、几何与概率，以七巧板、杨辉三角渗透文化，病毒直径、衬衫包装数据联系现实，通过动态几何、整体思想等设计，考查抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|科学记数法、必然事件、整式运算、平行线判定|网格概率（第6题）、折叠验证平行（第7题）考查几何直观| |填空题|5/15|互补余角、整式化简、角平分线、新定义运算、杨辉三角|杨辉三角（第15题）体现数学文化，新定义运算（第14题）培养抽象能力| |解答题|8/75|计算、几何证明、尺规作图、概率应用、面积公式、整体思想、动态几何|动态几何（第23题）探究平行关系，整体思想（第22题）提升推理能力，概率表格（第20题）强化数据意识|

2025-2026学年七年级数学下册期中仿真卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下第一章-第三章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．某种病毒毒种的直径约为毫米，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列事件属于必然事件的是（    ） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 5．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 7．在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边互相平行的是（   ） A．如图1，展开后测得 B．如图3，测得 C．如图2，展开后测得且 D．在图4，展开后测得 8．若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 9．如图，直线，过点D作，若，则为（    ） A． B． C． D． 10．七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________ 12．已知，，则 ________． 13．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是_____． 14．定义新运算：，运用新运算计算：______． 15．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）计算： (1) (2) 17． （8分）先化简，再求值：，其中，． 18．（8分）已知：如图，直线，被直线所截，，．求证：． 证明：∵（已知），且（__________）， ∴（__________）． ∴（___________）． ∴_________（__________）． ∵（已知）， ∴_______（__________）． 即． ∴（__________）． 19．（8分）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 20．（9分）由于包装人员的疏忽，在50包型号为L的衬衫中混进了型号为M的衬衫，数据如下： M号衬衫数 0 1 4 5 7 9 10 11 包数 7 3 10 15 5 4 3 3 从中任取1包，求下列事件发生的概率： (1)包中没有混入M号衬衫； (2)包中混入的M号衬衫数不超过5件； (3)包中混入的M号衬衫数超过9件． 21．（10分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． (2)【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)若满足，求的值． (4)【拓展】如图③，某学校有一块劳动基地梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为平方米，米，求种草区域的面积和． 22．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 23．（12分）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下册期中仿真卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下第一章-第三章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．某种病毒毒种的直径约为毫米，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，需遵循科学记数法的形式，其中，为负整数，其绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：， 故选：C． 2．下列事件属于必然事件的是（    ） A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】C 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不合题意； B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，不合题意； C. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂除法，单项式乘法，积的乘方，合并同类项的法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：对各选项分别计算判断： 选项A：∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减， ∴，运算正确； 选项B：∵单项式乘法中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，运算错误； 选项C：∵根据积的乘方法则，， ∴，运算错误； 选项D：∵合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加， ∴，运算错误． 4．下列说法错误的是（   ） A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、平行公理、等角的余角相等．根据对顶角的定义对A和C进行判断；根据平行公理对B进行判断；根据余角的定义对D进行判断． 【详解】解：A、两直线相交，所形成的对顶角相等，说法正确，本选项不符合题意； B、平行于同一条直线的两直线平行，说法正确，本选项不符合题意； C、相等的角不一定为对顶角，原说法不正确，本选项符合题意； D、等角的余角相等，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 5．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方运算、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别进行化简运算，然后比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及有理数大小比较等知识，正确化简各数是解题关键． 6．如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，用阴影区域的块数除以总数即可求得答案． 【详解】解：阴影部分的面积为4，总面积为9，飞镖击中阴影部分的概率， 故选：C． 7．在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边互相平行的是（   ） A．如图1，展开后测得 B．如图3，测得 C．如图2，展开后测得且 D．在图4，展开后测得 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、无法得到，符合题意； C、由题意，，则：，能够得到，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； 故选B． 8．若等式（       ）成立，则括号内所填的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴括号内所填的代数式是； 故选：C． 9．如图，直线，过点D作，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10．七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________ 【答案】 /60度 【分析】两个角之和为 则这两个角互为补角，两个角之和为 则这两个角互为余角，根据互余互补的两个角的含义进行计算即可． 【详解】解：∵∠α与∠β互补，∠α＝150°， ∴ ∴的余角为 故答案为： 【点睛】本题考查的是互余互补的两个角之间的关系，掌握互为余角，互为补角的含义是解本题的关键． 12．已知，，则 ________． 【答案】12 【分析】逆用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是_____． 【答案】/145度 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角相等，邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键．根据对顶角相等，邻补角以及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．定义新运算：，运用新运算计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据，可以将所求式子变形，然后化简即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 15．我国宋朝数学家杨辉在其著作《九章算法》中提到了下面的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．                         观察“杨辉三角”与右侧的等式，根据各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角的应用，解答本题的关键是理解杨辉三角的规律，找出展开的多项式中各项系数之和． 找出展开各项的系数之和的规律为，即可解答． 【详解】解：，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ，系数之和是， ， 所以，展开各项系数之和是， 所以展开各项的系数之和为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握平方差、完全平方公式及相关运算法则． （1）先算乘方，再算乘除法，然后合并同类项即可； （2）先用平方差、完全平方公式展开，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（8分）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 18．（8分）已知：如图，直线，被直线所截，，．求证：． 证明：∵（已知），且（__________）， ∴（__________）． ∴（___________）． ∴_________（__________）． ∵（已知）， ∴_______（__________）． 即． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知），且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的性质） 即， ∴（内错角相等，两直线平行）． 19．（8分）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)作图见解析过程 (2) 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键． （1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．（9分）由于包装人员的疏忽，在50包型号为L的衬衫中混进了型号为M的衬衫，数据如下： M号衬衫数 0 1 4 5 7 9 10 11 包数 7 3 10 15 5 4 3 3 从中任取1包，求下列事件发生的概率： (1)包中没有混入M号衬衫； (2)包中混入的M号衬衫数不超过5件； (3)包中混入的M号衬衫数超过9件． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）用没有混入M号衬衫的包数除以总包数即可； （2）用混入的M号衬衫数不超过5件的包数除以总包数即可； （3）用混入的M号衬衫数超过9件的包数除以总包数即可． 【详解】（1）解：没有混入的M号衬衫的包数是7包， 所以P（没有混入的M号衬衫）； （2）解：混入的M号衬衫数不超过5的包数是包， 所以P（混入的M号衬衫数不超过5）； （3）解：混入的M号衬衫数超过9的包数是包， 所以P（混入的M号衬衫数超过9）． 21．（10分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． (2)【应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)若满足，求的值． (4)【拓展】如图③，某学校有一块劳动基地梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)平方米 【分析】（1）：由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，由题意得，由代入计算即可； （4）设，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为： ， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：217； （3）解：设，则，， ∴ ； （4）解：设， 由题意得：， ，即， （平方米）， 即种草区域的面积和为53平方米． 22．（12分）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 23．（12分）已知，直线，点E和点F分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. （1）由平行线的性质求出，由角平分线的定义得，进而可求出的度数； （2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴ （2），理由如下： 过点H作， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，； ∵， ∴， ∴． ∴ （3）由（1）知，， ∴． 如备用图1，当与共线前， ∵， ∴， ∴， 解得；    如备用图2，当与共线后， ∵， ∴， ∴， 解得；    综上可知，t的值为20或80． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $