2025-2026学年北师大版八年级数学下册期中仿真卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年八年级数学下册期中仿真卷（北师大版第一章-第四章），120分钟120分，融合几何（中心对称、平移旋转）与代数（不等式、因式分解），通过植树问题、“口袋公园”花木购买等情境，体现基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，落实几何直观、模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|中心对称图形、不等式解集、点对称|结合数轴、函数图象考查几何直观| |填空|5/15|坐标平移、旋转角度、垂直平分线|注重空间观念与运算能力结合| |解答|8/75|因式分解、不等式组、旋转证明、方案设计|“口袋公园”花木购买题体现模型意识，阅读材料分组分解题培养创新意识|

2025-2026学年八年级数学下册期中仿真卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第一章-第四章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜， ∴，∴A选项的结论不成立； ，∴B选项的结论不成立； ，∴C选项的结论不成立； ，∴D选项的结论成立． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键． 3．点关于原点的对称点是，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点是， ， 故选A． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是牢记关于原点对称的两个点的横坐标、纵坐标均互为相反数． 4．下列命题中是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．直角三角形的两个锐角不一定互余 C．三角形一个外角大于它任意一个内角 D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题真假，涉及对顶角、直角三角形性质、三角形外角性质、全等三角形性质等知识点，逐一分析每个选项，找出真命题即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； B、直角三角形的两个锐角一定互余，故原命题是假命题，不符合题意； C、三角形一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，故原命题是假命题，不符合题意； D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角相等，故原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 5．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 一次函数与一次函数的图象交于点， 关于的不等式的解集是：． 故选：C． 6．如图，在三角形中，，，，将三角形沿着点B到C的方向平移6个单位得到三角形，交于点O，，则阴影部分面积为（    ） A．90 B．72 C．45 D．36 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得，，，，再根据，然后根据梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由平移的性质知，，，，， ∵交于点O，， ∴， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全一样是解题的关键． 7．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查作图，解直角三角形，角平分线的性质定理，熟练掌握基本作图是解题的关键．过点作于点，证明，利用面积法进行计算即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ， 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选B． 8．八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设同学人数x人，则树有棵，根据题意列出一元一次不等式组即可． 【详解】解：设同学人数x人，则树有棵，由题意得： ， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确分析题目中的不等关系． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转、点的坐标变化规律及等腰三角形的性质．根据所给图形，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的位置重复出现． 又因为余2， 所以第2024次旋转后点的位置与第2次旋转后点的位置相同． 过点作轴的垂线，垂线为， 因为， 所以， 因为点坐标为， 所以． 在中，， 所以， 所以． 同理可得， ， 所以， 所以点的坐标为． 显然点和点关于轴对称， 所以点的坐标为， 即第2024次旋转后，点的坐标为． 故选：C． 10．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 【详解】解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位，再向上平移个单位后所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，依据平面直角坐标系中点的平移规律，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的平移规律为：横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减， 由点先向左平移个单位，横坐标计算为；再向上平移个单位，纵坐标计算为， ∴平移后点的坐标为， 故答案为：． 12．若，则的值为______________． 【答案】 【分析】利用提公因式法进行因式分解，代入计算即可求解． 【详解】解： ，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 13．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则___________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求即可． 【详解】解：， ， 绕点旋转得到， ， ． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，的周长为15，则的周长是_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，则，然后结合题意求解即可． 【详解】解：∵的周长为15， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴． 故答案为：9． 15．如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的判定与性质，过作交直线于，连接，由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过作交直线于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（9分）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）的综合运用，熟练掌握因式分解的一般步骤（一提、二套、三查）是解题的关键． （1）先找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． （2）将多项式看作平方差形式，利用平方差公式进行分解． （3）先提取公因式，再对余下的多项式使用完全平方公式进行二次分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．（8分）（1）解不等式，并把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解一元一次不等式组：，并求该不等式组的整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2）不等式组的解集为，整数解有：． 【分析】题目主要考查求不等式及不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解，再把不等式的解集在数轴上表示出即可； （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示如下： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解有：． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（请用黑色中性笔描黑） (2)将向左平移个单位，向下平移个单位，画出平移后对应的；点的对应点的坐标为 ，（请用黑色中性笔描黑） (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， (3) 【分析】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． （1）分别作出三个顶点绕点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据已知可得平移过程，将三个顶点分别向左平移个单位、向下平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可，的坐标即可求； （3）连接，，与的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）如图所示，即为所求： ∴的坐标为； （3）连接，， 由图可知交点为，即旋转中心的坐标为． 19．（8分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等． （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，结合已知可得，即可得证 （2）根据等腰三角形的性质可得，，勾股定理求得，进而根据，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）解：∵，平分 ∴， 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴的周长． 20．（10分）某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同． (1)求甲、乙两种花木的单价； (2)现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案． 【答案】(1)甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元 (2)购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要购买棵甲种花木，总费用为W元，先列不等式求得，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元， 由题意得：，解得：， 答：甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元； （2）解：设需要购买棵甲种花木，则购买棵乙种花木， 由题意得：，解得：， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴当时，取最小值， 此时乙种花木的数量为（棵）， 答：购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少． 21．（10分）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 22．（10分）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 23．（12分）【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）3，60 （2）；理由见解析 （3）有，的最小值为8 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形三边关系等，两点之间，线段最短等知识，综合性强，难度较大，证明三角形全等是解题根据﹒ （1）证即可得解； （2）证即可得解； （3）在射线BC上截取，连接，证明，进而证明是等边三角形，再证明点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得到，即可得到，由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值，求出，即可得到的最小值为8． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∴， 故答案为：3，60； （2）解：；理由如下： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴； （3）解：有最小值；理由如下： 如图，在射线BC上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 由“两点之间，线段最短”可得，，即当点E与点C重合时，，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下册期中仿真卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第一章-第四章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D． 2．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．点关于原点的对称点是，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 4．下列命题中是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．直角三角形的两个锐角不一定互余 C．三角形一个外角大于它任意一个内角 D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应角相等 5．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形中，，，，将三角形沿着点B到C的方向平移6个单位得到三角形，交于点O，，则阴影部分面积为（    ） A．90 B．72 C．45 D．36 7．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为（   ） A． B． C． D．1 8．八年级某班部分学生去植树，若每人平均植树4棵，还剩9棵，若每人平均植树5棵，则最后一名学生有但棵数不足2棵．若设同学人数x人，则下列列式正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位，再向上平移个单位后所得点的坐标是______． 12．若，则的值为______________． 13．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则___________． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，的周长为15，则的周长是_____． 15．如图，在中，，，点E，F分别在边，上，与交于点Q，若，，，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（9分）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 17．（8分）（1）解不等式，并把它的解集表示在如图所示的数轴上． （2）解一元一次不等式组：，并求该不等式组的整数解． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（请用黑色中性笔描黑） (2)将向左平移个单位，向下平移个单位，画出平移后对应的；点的对应点的坐标为 ，（请用黑色中性笔描黑） (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为 ． 19．（8分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且平分． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 20．（10分）某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同． (1)求甲、乙两种花木的单价； (2)现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案． 21．（10分）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 22．（10分）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 23．（12分）【初步感知】 已知为等边三角形． （1）如图1，若点D为边上一点．以为边向右侧作等边，连接．当时， ， 度； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段、、之间的数量关系为 ，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $