2025-2026学年北师大版八年级数学下册期中仿真卷（二）

**基本信息** 聚焦北师大版八年级下册前四章核心内容，通过几何变换（如23题旋转构造全等）、实际应用（如21题商场利润计算）等情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|中心对称与轴对称（1题）、不等式解集（4题）|结合图形辨析与符号运算，基础知识点全覆盖| |填空题|5/15|旋转角度计算（11题）、等边三角形最值（15题）|融入动态几何，考查空间观念与转化思想| |解答题|8/75|尺规作图（18题）、利润不等式（21题）、几何变换证明（23题）|分层设计，如23题通过旋转探究线段关系，培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年八年级数学下册期中仿真卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第一章-第四章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．若，则下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．若某个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 5．用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 6．多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（     ） A．3 B．6 C． D． 7．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（   ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 9．如图，已知，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形．若，则△A4B4A5的边长为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 10．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 12．如图，，，，若，则___________． 13．已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 14．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长______尺． 15．如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是________．     三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）解不等式（组） (1)解不等式 (2)求不等式组的整数解． 17．（8分）因式分解： (1)； (2)． 18．（8分）如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)是__________三角形； (2)平移，使得点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为__________，在平移过程中扫过的面积为__________； (3)将绕原点旋转得到，在图中画出； (4)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接，则的最小值为__________． 20．（10分）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（10分）某商场用2700元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏，这两种日光灯的进价、标价如下表：             类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 35 65 标价（元/盏） 50 100 (1)求这两种日光灯各购进多少盏？ (2)若A型日光灯按标价的9折出售，要使这批日光灯全部售出后商场获得不少于700元的利润，则B型日光灯应按标价的至少几折出售？ 22．（10分）若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 23．（12分）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下册期中仿真卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：八年级下第一章-第四章（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．若，则下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质对所给不等式变形判断即可． 【详解】A．在不等号两边同时加 ，不等号方向不变，故本选项不符合题意； B．在不等号两边同时减5，不等号方向不变，故本选项不符合题意； C．在不等号两边同时乘 ，不等号方向不变，故本选项不符合题意； D．在不等号两边同时乘，不等号方向改变，故本选项符合题意； 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该选项右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B．该选项右边没有化为几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．该选项左边是整式积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．该选项将多项式化为两个整式的积，且变形正确，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 4．若某个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集，解题关键是掌握大于或大于等于向右边，小于或小于等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解．根据实心圆圈向右表示大于等于，空心圆圈向左表示小于，结合数轴可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是， 故选：C． 5．用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需确定原结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立， 本题原结论为 ， 其否定为 ， ∴ 第一步应假设． 6．多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（     ） A．3 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】∵x2−mxy+9y2能用完全平方因式分解， ∴m=±6， 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是因式分解-运用公式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-运用公式法. 7．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用；设至少答对x道题才能获奖，根据题意列出不等式，解不等式求得其最小整数解即可. 【详解】解：设答对x道题才能获奖，根据题意得： ， 解得：， ∵只能取整数， ∴的最小整数解为，即至少要选对道题才能获奖. 故选：C． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为（   ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，设OE＝x，然后利用三角形面积公式得到S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，于是可得到关于x的方程，从而可得到OF的长度． 【详解】解：∵点O为△ABC的三条角平分线的交点， ∴OE＝OF＝OD， 设OE＝x， ∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB， ∴ ∴5x+3x+4x＝24， ∴x＝2， ∴点O到AB的距离等于2． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，面积法的应用是解题的关键． 9．如图，已知，点、、……在射线上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形．若，则△A4B4A5的边长为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质．熟记相关性质、找到规律是解题关键．分别找到、、的边长，总结规律即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的边长为， 同理：， 即的边长为， … 依此类推，则的边长为， 则的边长为； 故选：A． 10．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于29”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算规则，第1次、第2次运算结果不大于29，第3次运算结果大于29，据此列出一元一次不等式组求解即可.． 【详解】解：由题意可知，程序运算进行了3次才停止，说明前两次运算结果均不大于29，第三次运算结果大于29， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为：， 根据题意列出不等式组为： 解得， 此时，符合题意， 故选：A． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 12．如图，，，，若，则___________． 【答案】4 【分析】过P点作于E，再利用平行线的性质得到，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到，根据角平分线的性质得到，从而得到的长． 【详解】解：过P点作于E，如图， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1， 当时，函数值， ∴不等式的解集为． 14．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长______尺． 【答案】9 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”．首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，尺， （尺）， ∴（尺）． 故答案为：9． 15．如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是________．     【答案】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 依据由题，先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：由题意，连接， ∵等边中，是边上的高， ∴是边上的中线，即垂直平分． ∴． ∴当B、F、E三点共线时，为最小值． ∵等边中，E是边的中点， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（8分）解不等式（组） (1)解不等式 (2)求不等式组的整数解． 【答案】(1) (2)，0，1 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得：； （2）解：， 解不等式得： 解不等式得：， 所以原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，0，1． 17．（8分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．（8分）如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质，得到，由等腰对等角得，由三角形的内角和得到，再由三角形的外角性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求作图形； （2）解：由（1）知：直线是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， 是的外角， ， ． 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)是__________三角形； (2)平移，使得点A的对应点的坐标为，则点C的对应点的坐标为__________，在平移过程中扫过的面积为__________； (3)将绕原点旋转得到，在图中画出； (4)M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接，则的最小值为__________． 【答案】(1)等腰直角 (2)， (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据两点之间距离公式和勾股定理逆定理即可求解； （2）先根据点确定平移的方式以及距离，再由平移的方式以及距离确定点平移后的对应点，平移过程中扫过的面积为平行四边形的面积与的面积和，据此根据割补法以及三角形面积公式求解； （3）分别作出点关于原点的对称的点，再分别连接即可； （4）取点，连接交x轴于点，将向左平移1个单位，点落在点，则，那么，则根据两点间线段最短得的最小值，再由两点之间距离公式求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （2）解：∵，平移，使得点A的对应点的坐标为， ∴点向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点， ∴点经过平移后为， 如图： 平行四边形的面积为：， ， 则扫过的面积为：， 故答案为：，； （3）解：即为所作： （4）解：如图，取点，连接交x轴于点， 将向左平移1个单位，点落在点 ∴， ∴， 根据两点间线段最短得的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，作图−旋转变换，两点之间距离公式，等腰三角形的定义等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．（10分）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（10分）某商场用2700元购进A、B两种新型节能日光灯共60盏，这两种日光灯的进价、标价如下表：             类型 价格 A型 B型 进价（元/盏） 35 65 标价（元/盏） 50 100 (1)求这两种日光灯各购进多少盏？ (2)若A型日光灯按标价的9折出售，要使这批日光灯全部售出后商场获得不少于700元的利润，则B型日光灯应按标价的至少几折出售？ 【答案】(1)购A型日光灯40盏，购B型日光灯20盏； (2)B型日光灯应按标价的至少8折出售． 【分析】（1）设购A型日光灯x盏，购B型日光灯y盏，依题意列出方程组，求解即可； （2）设B型日光灯应按标价的m折出售，由题意列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购A型日光灯x盏，购B型日光灯y盏，由题意得： ， 解得：， 答：购A型日光灯40盏，购B型日光灯20盏； （2）解：设B型日光灯应按标价的m折出售，由题意得： ， 解得：， 答：B型日光灯应按标价的至少8折出售． 22．（10分）若满足，求的值． 解：设，，则，． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)13 (3)28 【分析】（1）设，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （2）设，，得，，再把通过配方化为，代入有关的值计算即可； （3）根据阴影部分的面积，设，，得，，把化为，代入有关的值计算即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴； （3）解：∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为28． 23．（12分）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 【答案】（）①；②证明见解析；（） 【分析】（）①由勾股定理可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；②由旋转的性质可得，，，，进而可证，得到，再根据得到，即可求证； （）作于，由勾股定理得，进而得，又由等腰三角形的判定可得，即得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， 则，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，’ ∴； （）作于，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $