6.4.3.1余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

用数学精度，筑家国担当 6.4.3余弦定理 1 2 3 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 学会用余弦定理解决三类基本的解三角形问题. 培养学生在方程思想指导下处理理解三角形问题的运算能力，理解事物间的普遍联系与辩证统一. 学 习 目 标 港珠澳大桥 为保障港珠澳大桥海中桥墩精准施工，工程团队在海面设立两个勘测基点 A、B，定位海中主桥墩 C，测得以下数据： 基点 A、B 相距 6 km；基点 A 到主桥墩 C 的距离为4 km，∠BAC=120° 则基点 B 到主桥墩 C 的直线距离 BC是多少？ 问题1：你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在，已知：，，，求 追问：这个三角形是唯一确定的吗？ 是 新知探究 问题1：初中数学学习中，判定三角形全等的方法有哪些？ 回忆旧知 SSS（边边边）：三边对应相等 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等 HL（斜边、直角边）：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等 单击此处编辑母版标题样式 问题2：为什么这些方法可以判断全等呢？ 给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。三角形的边角之间相互依存、相互制约，体现了事物间普遍联系与辩证统一的哲学思想。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题。 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，应该如何表示另一边呢？ 探究：在，已知：，，，求 上节课我们学习了用向量解决几何问题，那么这一问题你能否借助向量探究呢？ 新知探究 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，应该如何表示呢？ 探究：在，已知：，，，求 新知探究 求向量的模 问题2：在中，三个角所对的边分别是,怎样用和表示？ b c=？ a 设，，，那么 ①把几何元素用向量表示： ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： 新知探究 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . b c a 新知探究 利用余弦定理，已知三边，能求什么？ 余弦定理(law of cosines) 余弦定理的推论 SSS （1）轮换对称，简洁优美； （2）每个等式中有同一个三角形的四个元素.---（三边一角） （3）三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. SAS 典例分析 余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.特别的，当定理中的角为时，你能得到什么？ 当时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 新知探究 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. b c a 角A的对边边长：a 角B的对边边长：b 角C的对边边长：c 新知探究 思考：当角为直角时，有，当角为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 新知探究 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . 课堂总结 思考1：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 思考2：你能用其它方法证明余弦定理吗？ 由余弦定理，我们可知：已知三角形的两边及其夹角，可直接求出第三边. 几何法 情况一：当为直角 情况二：当为锐角 情况三：当为钝角， 课后拓展 特殊 一般 情况一：当为直角 情况二：当为锐角 情况三：当为钝角， 课后拓展 () 在中，内角，，所对的边分别为如图以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 由两点间距离公式得： = 即 同理可证 ， 坐标法 课后拓展 课后拓展 感谢您的观看 202X/01/01 汇报人：WPS EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $