精品解析：2026年天津市西青区九年级一模数学试题

西青区2025-2026学年第二学期九年级第一次质量检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、考场号、座位号、准考证号填写在“答题卡”上；用2B铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. 1 C. D. 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 2025年10月1日，我国自主研发的智能机器人参与的“科技与运动”主题徒步活动在上海举行，活动全程约15公里，在此过程中采用双足步态的人形机器人要完成约180000次精密关节运动．将数据180000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转 得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若， ，的周长是15，则的周长为（ ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 29 12. 在中，， ．动点M从点B出发，以 的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当 时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有15个球，其中有4个红球、11个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 14. 计算的结果等于_________． 15. 计算的结果等于______． 16. 函数 的图象不经过第______象限． 17. 如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，半圆的直径经过格点A，B，点D是半圆上一点． ①线段的长等于______； ②若，点M在线段上，点N在线段上，在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，画出点M和点N，使得最短，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为___，图①中m的值为___，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数和中位数分别为____和____； （2）求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？ 21. 已知是的直径，线段和是的弦． （1）如图①， ，垂足是E，若的半径是5， ，求弦，的长； （2）如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据： ，， ，） 23. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． （1）填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______ ，出发______快车返回甲地； （2）直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； （3）在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限， 的顶点，点C在第二象限， ，． （1）填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）将 沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（b，c为常数， ）经过点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）点是抛物线上任意一点． ①当 时，求b的值； ②若点是x轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西青区2025-2026学年第二学期九年级第一次质量检测 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、考场号、座位号、准考证号填写在“答题卡”上；用2B铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是 故选：D 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出 ，即可得出． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：“典”字沿中间竖直线对折后，左右两部分能够完全重合，因此是轴对称图形；“枕”“席”“文”沿任意直线对折后，两侧部分均无法完全重合，不是轴对称图形． 5. 2025年10月1日，我国自主研发的智能机器人参与的“科技与运动”主题徒步活动在上海举行，活动全程约15公里，在此过程中采用双足步态的人形机器人要完成约180000次精密关节运动．将数据180000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 6. 的值等于（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 7. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对异分母分式通分，再根据同分母分式加法法则计算，得到结果后匹配选项即可． 【详解】解：． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应纵坐标后直接比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ∵ ， ∴ ． 9. 我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺、绢四尺，共价四钱八分，又绫七尺，绢二尺、共价六钱八分．问：绫、绢各价若下？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意，三尺绫和四尺绢共值四钱八分（即48分），七尺绫和二尺绢共值六钱八分（即68分），设每尺绫x分、每尺绢y分，直接列出方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分、每尺绢的价格是分 ∵三尺绫和四尺绢共值48分， ∴； ∵七尺绫和二尺绢共值68分， ∴； ∴方程组为， 故选：D． 10. 如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把逆时针旋转 得到，点B，E的对应点分别为D，F，的延长线与相交于点G，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可排除选项． 【详解】解：由旋转的性质可知： ， ∴，， ，故A错误； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ，即 ，故C正确； 由题干可知点E是正方形中边上任意一点，所以不一定有， ，故B、D错误． 11. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若， ，的周长是15，则的周长为（ ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】 ，，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即可． 【详解】解：由题意可得：，， ． 12. 在中，， ．动点M从点B出发，以 的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当 时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵， ， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵ ， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有15个球，其中有4个红球、11个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意可知从袋子中随机取出一个球有15种等可能的结果，其中取出的球是红球的结果有4种，故随机取出一个球是红球的概率为． 14. 计算的结果等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，根据幂的乘方计算法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘）计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 16. 函数 的图象不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【详解】解：在一次函数 中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 17. 如图，中，，，，E为 边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】①根据中点的性质及等边三角形的判定和性质得出，为等边三角形，即可求解； ②连接，根据三角形中位线的判定和性质得出，再由三角形外角的性质得出 ，确定，得出 ，再由勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：①∵，E为 边中点， ∴ ， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴； ②连接， ∵， ∴O为中点， 由①得E为 中点， ∴， 由①得：， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵F是线段中点， ∴， ∴． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，半圆的直径经过格点A，B，点D是半圆上一点． ①线段的长等于______； ②若，点M在线段上，点N在线段上，在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，画出点M和点N，使得最短，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 【答案】 ①. ②. 如图，取格点E，连接与半圆交于点F，连接并延长与交于点G，连接与交于点N，连接 并延长与交于点M，则点M，N即为所求． 【解析】 【分析】①根据勾股定理即可解答； ②取格点E，连接与半圆交于点F，可得 为等腰直角三角形，得到，连接并延长与交于点G，根据，可得点和点关于对称，连接与交于点N，连接 并延长与交于点M，则可得，所以，根据垂线段最短可得此时最短． 【详解】解：（1）； （2）略 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_____； （2）解不等式②，得_____； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）数轴表示如下所示： （4） 【解析】 【分析】（1）按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）根据（1）（2）所求在数轴上表示出对应不等式的解集即可； （4）根据（3）即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 移项得 ， 合并同类项得； 【小问2详解】 解： 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为1得 ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）可知原不等式组的解集为 ． 20. 为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为___，图①中m的值为___，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数和中位数分别为____和____； （2）求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？ 【答案】（1）40，20，6，6 （2）6.1 （3）125 【解析】 【分析】（1）根据天的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和5天的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，假期参加社区服务的时间是8天的学生占 ，用八年级共有学生数乘以 即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，6出现了12次，次数最多， 众数是6， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第20，21名学生的数据值都是6， 中位数是． 【小问2详解】 观察条形统计图， ， 统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数是6.1． 【小问3详解】 在所指取的样本中，假期参加社区服务的时间是8天的学生人数占 ， 根据样本数据，估计该校八年级500名学生中，假期参加社区服务的时间是8天的学生人数约占 ，有． 估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的学生人数约为125． 21. 已知是的直径，线段和是的弦． （1）如图①， ，垂足是E，若的半径是5， ，求弦，的长； （2）如图②，点C是的中点，过点A作的切线，与的延长线交于点M，连接，若，求和的大小． 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，由垂径定理求出，再利用勾股定理求出即可． （2）连接，由直径所对的圆周角等于90度得出，进而求出，再根据等弧所对的圆周角相等得出，进而可求出，由切线的定义进一步得出，由圆内接四边形的性质得出， 最后再利用三角形外角的定义即可求出． 【小问1详解】 解：连接． ， ． 在中，， ． ． ，是的直径， ． 在 中，， ． ． 【小问2详解】 解：如图，连接． 是的直径， ． ． 点C是的中点， ． ． ． 切于点A，是的直径， ．即． ． ， ． ． 22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据： ，， ，） 【答案】32m 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作 于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作 于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在 中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为 . 23. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． （1）填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______ ，出发______快车返回甲地； （2）直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； （3）在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【小问1详解】 解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车 个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； 【小问2详解】 解：当 时，； 当时，； 当时， ； 综上，； 【小问3详解】 解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，点A在第一象限， 的顶点，点C在第二象限， ，． （1）填空：如图①，点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）将 沿水平方向向右平移，得到，点C，O，D的对应点分别为，，．设． ①如图②，若边与边，分别相交于点M，N，边与边相交于点P，当与等边重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②设平移后两三角形重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）过A作于H，解直角三角形求出、、的长度，即可求解； （2）①求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而求出，然后在中，解直角三角形即可；求出当和O重合时和当在上时两种情况下t的值即可求出t的取值范围 ②分，讨论，根据割补法求出S关于t的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过A作于H， ∵等边的顶点， ∴，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴， ∵ 的顶点， ∴， ∵ ，， ∴， 又点C在第二象限， ∴； 【小问2详解】 解：①∵平移， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 当和O重合时，如图， 当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，如图， 此时重叠部分为五边形， ②当在上时，如图， ， ∴， ∴当时，重叠部分为五边形，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S有最大值为， 当时，，当时，， ∴S的最小值为 ∴； 当时，如图，过P作于Q， 此时重叠部分为四边形， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S随t的增大而减小， ∴当时，S有上限为，当时，S有最小值为， ∴， 又， ∴． 25. 已知抛物线（b，c为常数， ）经过点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）点是抛物线上任意一点． ①当 时，求b的值； ②若点是x轴正半轴上的动点，当的最小值为时，求b的值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式，然后利用顶点式求顶点坐标； （2）①表示出点的坐标，过点D作轴，则，得出相关线段的长度，然后列方程求解； ②在x轴上方构造，使得，，则，确定何时取得最小值，利用锐角三角函数表示出相关线段的长度，然后列出方程求解． 【小问1详解】 解：拋物线经过点， ，即， 当时，． 拋物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①如图所示， 由（1）知，抛物线的解析式为， 点是拋物线上一点， ， 由 ，得，， 点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧． 过点D作轴，则， ∵， ∴． ． 当 时，则，解得或， 当 时，， ∴抛物线与x轴交点，与y轴交点， 可得． ． ， ． 解得 ； ②如图所示，在x轴上方构造，使得，，则． 由可知，点D，M，N在一条直线上且时，取得最小值，此时． 在中，， ． 在中，，， ，． 由（1）知，即， 可得．则． ， ． 将代入上式， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $