精品解析：2025年 天津市西青区当城中学一模数学试题

2024-2025年当城中学九年级数学结课试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 计算，正确结果是（　　） A. B. C. 16 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算； 先算括号内的减法，再算乘法即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是2030000000年用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：； 故选：B 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可． 【详解】解： ； 故选：D． 5. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看到的图形解答． 【详解】从左边看第一层是两个小正方形，第二层是左边一个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 6. 估计+1的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用2＜＜3，进而得出答案． 【详解】解：∵2＜＜3， ∴3＜+1＜4， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 7. 已知是反比例函数的图像上三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质即可得． 【详解】解：在反比例函数中， 此反比例函数的图像位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 是反比例函数的图像上三点， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． 8. 设方程的两实数根为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是一元二次方程的两实数根， ，， ； 故选：A． 9. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组求出方程组的解即可得答案． 【详解】， ①-②得：5x=-5， 解得：x=-1， 把x=-1代入②得：y=2， ∴方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组得方法是解题关键． 10. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出是解题的关键． 11. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，可知是等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等，可得：，根据三角形内角和定理可以求出，由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，利用三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：由旋转可知，， ， 在中，， ， 由旋转可知， ， 在中，． 故选：B． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为， 故答案为：． 14. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方法则：等于积中每一个因式分别乘方再相乘．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 计算的结果等于___． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据平方差公式计算求值即可； 【详解】解：， 故答案为：-1； 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握平方差公式是解题关键． 16. 某厂2021年生产A产品成本是5000元，随着技术研发进步，2023年生产A产品成本是3000元．设这两年A产品成本年平均下降率为x，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，由2021年生产A产品成本2023年生产A产品成本列方程即可． 【详解】解：设这两年A产品成本年平均下降率为x， 根据题意，得， 故答案为：． 17. 如图，是的两条切线，切点分别为．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为_______ （结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和计算出，然后根据扇形的面积公式计算． 【详解】解：∵是的两条切线，切点分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点均在格点上，顶点B在网格线上． （1）线段的长等于_______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中， ①画出圆心O ②画出一个以为边的矩形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1） （2）①画图见解析；②画图见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）①如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O，则为圆心； ②连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：； 【小问2详解】 解：①如图， 取格点 D， 连接与圆相交于点 P，连接； 取圆与网格线的交点E，F，连接，与相交于点O，则为圆心； 理由：∵， ∴为直径， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， ∴为圆心； ②连接并延长，与圆相交于点Q； 连接， ， ， 则四边形 即为所求． 理由：∵为直径， ∴， ∵为直径， ∴， ∴四边形为矩形； 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理以及勾股定理的逆定理、矩形的判定，圆周角定理的应用，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）在数轴上表示出两不等式的解集范围； （4）确定两不等式解集的公共部分； 【小问1详解】 解：解不等式①，得，，解得； 【小问2详解】 解：解不等式②，得，，解得； 【小问3详解】 解：不等式①和②的解集在数轴上表示： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为：； 【点睛】本题考查了不等式组的解法，掌握不等式组解集的确定方法是解题关键． 20. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题； （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，扇形统计图中的m的值为_______； （2）求本次抽取学生4月份“读书”的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数． 【答案】（1）60，35；（2）平均数是3；众数是3；中位数是3；（3）140人 【解析】 【分析】（1）根据公式样本容量=及其变形计算即可； （2）根据统计图的意义，确定准数据，通常为横轴上标注的数为数据，根据三数的定义计算即可； （3）利用样本估计整体的思想计算：总量×． 【详解】解：（1）根据题意，得　样本容量==60， ∵, ∴m=35； 故答案为：60，35； （2）4月份“读书量”为4本的学生比例为20%， “读书量”为4本的学生数为(人)， ∴， ∴这60个样本数据的平均数是3． ∵在这组样本数据中，3出现了21次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数是3． 将这组样本数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是3， 有， ∴这组样本数据的中位数是3． （3）∵在60名学生中，4月份“读书量”为4本的学生比例为20%， ∴． 答：估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人有140人． 【点睛】本题考查了样本与总体，数据的集中趋势，样本估计总体的思想，准确获得解题信息，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义并能准确计算是解题的关键． 21. 在中，点A，点B，点P在圆上，． （1）如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； （2）如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由半径经过弦的中点．可得，则，，由，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意得，由切线的性质可知，则，由，可得，则为等边三角形，，，由勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：∵半径经过弦的中点． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．（参考数据：，，，） （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到1米）． 【答案】（1）大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）大桥立柱在水面以上的高度为51米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在中，根据正弦的定义求出； （2）在中，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， （米）， 在中，（米）， 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； 【小问2详解】 解：在中，米， （米）， 在中，（米）， （米， 答：大桥立柱在水面以上的高度为51米． 23. 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的墙一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． （1）用含有的代数式表示为______； （2）若矩形花圃的面积为，求边的长． （3）当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数最值的应用， （1）由题意结合矩形的周长即可得出结论； （2）由矩形花圃面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题； （3）先用含的代数式表示出矩形花圃的面积，再根据二次函数的最值求解即可； 解题的关键是：（1）利用矩形的周长公式，找出关于的关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）建立矩形的面积关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）； 当时，（符合题意）； 答：边的长； 【小问3详解】 ∵矩形花圃的面积： ， 又∵， ∴当时，矩形花圃的面积有最大值，最大值是， 答：当矩形花圃的面积最大时，的长是，矩形花圃面积的最大值是． 24. 在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，． （1）填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______； （2）如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； （3）若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故； 故答案为：； （2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；； （3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为 ；当最小时，M在线段上，，即最小值为． 【小问1详解】 解：过作轴于H，如图： ，D为中点， ， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ， ∵点落在y轴上， ； ，C为中点， ， ， 轴，， ， ， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点落在上时，过作轴于M，如图： 由（1）知，，，， ， ，， ， ， ； ∴点的坐标为，的长为； 【小问3详解】 解：如图： ∵C，D分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ，， 是的中点， ， ， 在以O为圆心，为半径的圆上运动； 当最大时，如图： 此时M在的延长线上， ， ， ； 即最大值为； 当最小时，如图： 此时M在线段上，， 最小值为； 综上所述，最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握含的直角三角形三边的关系． 25. 已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （2）已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】（1）①，；②，最大值是 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． 【小问2详解】 解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年当城中学九年级数学结课试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 计算，正确结果是（　　） A. B. C. 16 D. 4 2. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是2030000000年用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 估计+1的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 已知是反比例函数的图像上三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设方程的两实数根为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 9. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，交于点．当点落在边上时，的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 14. 计算的结果为______． 15. 计算的结果等于___． 16. 某厂2021年生产A产品成本是5000元，随着技术研发进步，2023年生产A产品成本是3000元．设这两年A产品成本年平均下降率为x，可列方程为___________． 17. 如图，是的两条切线，切点分别为．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为_______ （结果保留）． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点均在格点上，顶点B在网格线上． （1）线段的长等于_______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中， ①画出圆心O ②画出一个以为边的矩形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 三、解答题：本题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______． 20. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，校教导处对本校八年级学生4月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题； （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为________，扇形统计图中的m的值为_______； （2）求本次抽取学生4月份“读书”的样本数据的平均数、众数和中位数； （3）已知该校八年级有700名学生，请你估计该校八年级学生中4月份“读书量”为4本的学生人数． 21. 在中，点A，点B，点P在圆上，． （1）如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； （2）如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 22. 如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．（参考数据：，，，） （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到1米）． 23. 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的墙一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． （1）用含有的代数式表示为______； （2）若矩形花圃的面积为，求边的长． （3）当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，点，， )，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转得点C，D的对应点分别为点，． （1）填空∶如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为______； （2）如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； （3）若M为的中点，求的最大值和最小值(直接写出结果即可)． 25. 已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． （1）若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； （2）已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $