12.3 图形的中心对称第2课时中心对称图形（教学课件）数学新教材青岛版八年级下册

12.3 图形的中心对称 第2课时中心对称图形 第十二章 图形的平移与旋转 学 习 目 标 1 2 3 理解中心对称图形的定义，能准确区分中心对称与中心对称图形。 掌握中心对称图形的性质，能判断常见图形是否为中心对称图形。 能利用中心对称图形的性质解决面积等分等实际问题 知识回顾 问题1：什么是中心对称？ 在平面内，将一个图形绕某定点旋转 180∘ 后与另一个图形重合，称这两个图形关于该点成中心对称； 问题2：中心对称有哪些性质？ 性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分。 知识导入 这种 “旋转 180∘ 后与自身重合” 的图形和我们上节课学的 “两个图形成中心对称” 有什么区别？ 今天我们就来研究这类特殊的图形 —— 中心对称图形，探究它的定义、性质与应用。 这些图形绕着某一点旋转 180∘ 后，能与自身完全重合。 知识探究 探究 1：中心对称图形的定义 观察与发现 问题1：观察图 12.3-4 中的双鱼剪纸、太阳神鸟、北京冬奥会大雪花，它们绕某定点旋转 180∘ 后能与自身重合吗？ 归纳：这三个图案绕各自中心旋转180∘ 后都能与自身重合。 知识探究 探究 1：中心对称图形的定义 观察与发现 问题2：如图 12.3-5，点 O 是线段 AB 的中点，将线段 AB 绕点 O 旋转 180∘后，能否与自身重合？ A B 结论：线段AB绕中点 O 旋转 180∘，点 A 转到点 B 位置，点 B 转到点 A 位置，线段与自身完全重合。 知识探究 探究 1：中心对称图形的定义 观察与发现 问题3：如图 12.3-6，□ABCD 关于对角线交点 O 成中心对称的图形是哪个图形？ 结论：□ABCD 绕点 O 旋转 180∘ 后，顶点 A 与 C 互换，B 与 D 互换，图形与自身重合，因此与自身成中心对称。 O B A C D 知识探究 探究 1：中心对称图形的定义 观察与发现 问题4：结合上述操作，你能给 “中心对称图形” 下一个定义吗？ 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 中心对称图形的定义 中心对称图形是指一个图形. 注意： 知识探究 探究2：中心对称图形的性质 观察与发现 问题1：如果一个图形与自身关于点 O 成中心对称，那么这个图形上的任一点 P，关于点 O 的对称点 P′ 在这个图形上吗？ P P′ 结论：根据中心对称图形的定义，图形绕O 旋转 180∘ 后与自身重合，因此点 P 的对称点 P′必然在图形上。 知识探究 探究2：中心对称图形的性质 观察与发现 问题1：一个图形若与自身成中心对称（如平行四边形），过其对称中心作一条直线，这条直线将这个图形分成两部分，这两部分图形有什么关系？ A B D C O 直线两侧的图形关于点O成中心对称，这两部分图形全等。 归纳：经过对称中心的任一条直线，将中心对称图形分为两个全等的图形。 知识探究 探究2：中心对称图形的性质 观察与发现 问题3：常见的中心对称图形有哪些？它们的对称中心分别是什么？ 线段（对称中心是中点）、平行四边形（对称中心是对角线交点）、矩形、菱形、正方形（对称中心是对角线交点）等 知识探究 探究2：中心对称图形的性质 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 概括与表达 定义：在平面内,如果一个图形经过中心对称能与自身重合,那么这个图形叫作中心对称图形(centralsymmetricfigure)。 性质：经过对称中心的任一条直线,将中心对称图形分为两个全等的图形。 典例解析 例2 如图12.3-8,ABCD 是一块正方形的土地, 要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路,把这块土地分成面积相等的四部分。除了连接正方形的两条对角线或两组对边的中点外,你还有什么方案? 请画出图形, 并说明理由。 解:如图12.3-9,过正方形的对称中心O,任意作两条互相垂直的直线EG,HF,分别交BC,AD 于点E,G,交AB,CD 于点 H,F,则EG与HF可作为小路的位置。理由如下: G E H F O 典例解析 将四边形OGAH,OHBE,OECF,OFDG 的面积分别 记为S1,S2,S3, S4,正方形ABCD的面积记为S。 G E H F O 因为EG 经过正方形ABCD 的对称中心O, 所以四边形GABE 与四边形ECDG 全等。 所以S1+S2=S3+S4=S。 同理S2+S3=S1+S4=S。 所以S1=S3,S2=S4。 转化思想将面积等分问题转化为图形全等问题 典例解析 因为∠HOG=90°=∠AOB, 所以∠AOG=∠BOH。 G E H F O 在△AOG 和△BOH 中, ∠GAO=∠HBO,OA=OB,∠AOG=∠BOH, 所以△AOG≌△BOH。 同理△AOH≌△BOE。 所以S1=S△AOG+S△AOH =S△BOH +S△BOE=S2。 所以S1=S2=S3=S4, 即HF和GE把正方形ABCD 分成面积相等的四部分。 构造思想通过连接对角线构造全等三角形证明面积相等 连接OA,OB。 因为四边形ABCD 是正方形, 所以OA=OB,∠GAO=∠HBO=45°,∠AOB=90°。 新知进阶 1.正三角形是中心对称图形吗? 正六边形呢? 有哪些正多边形是中心对称图形? 解：正三角形绕中心旋转 180∘ 后不能与自身重合，不是中心对称图形； 正六边形绕中心旋转 180∘ 后能与自身重合，是中心对称图形； 规律：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形不是中心对称图形。 新知进阶 2.在如图所示的四个图形中,哪些是轴对称图形? 哪些是中心对称图形? 是轴对称图形（5 条对称轴），不是中心对称图形； 是轴对称图形（2 条对称轴），也是中心对称图形（对称中心是两圆交点）； 是轴对称图形（3 条对称轴），不是中心对称图形； 是轴对称图形（4 条对称轴），也是中心对称图形（对称中心是正方形中心）。 课堂练习 1.下列图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 等腰梯形 C. 正五边形 D. 正六边形 D 2.下列说法正确的是（ ） A. 中心对称图形必是轴对称图形 B. 轴对称图形必是中心对称图形 C. 线段是中心对称图形，对称中心是它的中点 D. 平行四边形是轴对称图形 C 课堂练习 3.过矩形的对称中心任意作一条直线，将矩形分成两部分，这两部分的面积关系是______（填 “相等” 或 “不相等”）。 相等 4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． D 课堂练习 5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） 6. 在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正六边形、圆、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ） A． 3个 B．4个 C．5个 D．6个 A C 课堂练习 7.（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形， 但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 课堂练习 8.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为_______. 解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，易得阴影部分的面积为3． 3 课堂总结 课堂总结 知识梳理： 定义：绕定点旋转 180∘ 与自身重合 → 中心对称图形 性质： 1. 对称点的对称点仍在图形上 2. 过对称中心的直线分图形为两个全等部分 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形 应用：面积等分（过对称中心作直线） 感谢聆听! $