第12章 图形的平移与旋转（复习课件）数学新教材青岛版八年级下册

单元复习课件 第12章 图形的平移与旋转 新教材青岛版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1。掌握平移与旋转的有关概念，了解中心对称，中心对称图形的概念，理解平移与旋转是图形的一种基本变换，掌握关于点平移与旋转的坐标特征。 3.会运用平移与旋转的性质作图，并应用它们的性质解决实际问 题。 2. 理解平移与旋转的性质，中心对称(图形)的性质。 单元学习目标 概念 图形的变换 图形变换与坐标 中心对称 平移 旋转 性质 作图 概念 性质 作图 中心对称图形 平移两要素 旋转三要素 单元知识图谱 考点一、平移及其有关的概念 在平面内,将一个图形上所有的点都沿着 移 动 ,图形的这种变化叫作平移。 图形平移的两要素： 。 1.平移的概念 同一方向 相同的距离 平移的方向与平移的距离 平移前图形上的点与平移后它所到达的点叫作 。 对应点 图形平移的实质是 。 点的平移 考点串讲 注意：(1)平移的前提是在同一个平面内，物体在曲面上的运动不称为平移；(2)必须是沿同一方向移动，即在平面内必须是沿 运动，而不是沿曲线运动；(3)图形的平移，只与图形的 有关，与运动的速度等因素无关，也就是说我们关注的是图形在不同时刻之间的 变化。 考点一、平移及其有关的概念 直线 位置 位置 考点串讲 考点一、平移及其有关的概念 △ABC经过平移得到的△DEF，点A、B、C分别移到点D、E、F. D E F A B C 2.对应线段： 线段AB、AC、BC的对应线段分别是DE、DF、EF； 3.对应点所连线段： 线段AD，线段BE，线段CF。 考点串讲 注意：(1)要区分对应点的连线和对应线段，不能将二者混淆； (2)在平移过程中，对应线段可能在同一条直线上，对应点的连线也可能在同一条直线上。 考点一、平移及其有关的概念 考点串讲 考点二、平移的性质 平移的基本性质说的是对应点的关系，对于对应线段和对应角也有相应的性质。 （1）平移前后，对应线段①______，对应角②______； （2）连接各组对应点的线段③____________________， 对应点平移距离等于图形平移的距离； （3）平移前后的图形④______ 相等 相等 平行（或共线）且相等 全等 考点串讲 考点三、平移作图的一般步骤： (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点(图形的顶点、拐点、连接点)； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （平行和相等可以按照平移方向和距离，也可以按照 对应边的关系）； (4)连：按原图顺次连接对应点． 考点串讲 考点四、坐标系中的图形平移 1.点沿坐标轴平移坐标变化规律 （1）原图形向右(向左)平移a个单位长度： 对应点的坐标为 ； 左减右加 （2）原图形向上(向下)平移b个单位长度： 对应点的坐标为 . (x±a，y) (x，y±b) 上加下减 考点串讲 2.沿非坐标轴方向平移后的图形变化与坐标变化： （2）平移的方向： (1)一个图形沿非坐标轴方向平移可以看作这个图形依次沿x轴方向，y轴方向平移后所得到的图形。 平移的距离： P(x,y) 图形沿x轴方向平移a个单位长度 图形沿y轴方向平移b个单位长度 平移后图形上点 P（x±a,y±b) 考点四、坐标系中的图形平移 从原图形上一点到其对应点的方向. 考点串讲 考点五、旋转及有关的概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某一个方向(逆时针或顺时针方向)转动一定的角度，图形的这种变化叫做旋转.这个定点叫做旋转中心;这个角叫作旋转角 1.旋转的概念 2.旋转三要素： 。 旋转中心、 旋转方向、 旋转角度 考点串讲 考点五、旋转及有关的概念 3.旋转中的对应元素： 对应点: 旋转前图形上的点与旋转后所达到的点叫做对应点; 对应线段: 对应角: 旋转前图形上的线段与旋转后所达到的线段叫做对应线段; 旋转前图形上的角与旋转后所达到的角叫做对应角; 考点串讲 考点五、旋转及有关的概念 注意 (1)旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点， 还可以是图形内的一点。 (2)若将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，则图 形上每一个点同时按相同的方向转动相同的角度。 考点串讲 考点六、旋转的基本性质 一个图形和它经过旋转得到的图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 1.旋转的基本性质： 考点串讲 考点六、旋转的性质 类型 性质 图示 线段 旋转角 图形 △ABC以点O为旋转中心按逆时针方向旋转得到 △A'B'C'。 对应点到旋转中心的距离相等。 OA=OA',OB=OB',OC=OC',OP= OP' 对应点与旋转中心所连线段的夹角 都等于旋转角。 ∠A'OA=∠B'OB=∠C'OC=∠P'OP P P' 旋转只改变了位置，不改变图形的大小和形状,旋转前、后的图形全等。 2.旋转基本性质的几何语言： 考点串讲 (1)定：确定旋转中心，旋转方向，旋转角； (2)找：找出图形上的关键点； (3)旋：将原图中的每一个关键点与旋转中心连接，所连的线段按指定的方向旋转一定的角度(旋转角)，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形的顺序连接这些对应点； (5)写：写出所画的图形。 考点七、旋转作图 1.旋转作图的步骤 考点串讲 考点八、平面直角坐标系中图形的旋转 图形旋转后，图形上的点的坐标变化较为复杂，这里我们只研究把一个图形以原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转时，任一点(a,b)的坐标与变换后坐标的情况，如下表： 旋转方向 旋转90° 旋转180° 旋转270° 逆时针方向 顺时针方向 (-b,a) (-a,-b) (b,-a) (b,-a) (-a,-b) (-b,a) 考点串讲 考点九、中心对称和成中心对称的概念 在平面内将一个图形绕着某一定点旋转 °，图形的这种变化叫作中心对称,这个定点叫作对称中心。 1. 中心对称的概念： 180 一个图形经过中心对称能与另一个图形 ,就说这两个图形关于这个对称中心成中心对称。其中对应点叫作关于对称中心的对称点。 2. 成中心对称的概念： 重合 考点串讲 考点十、中心对称的基本性质 1.中心对称的基本性质： 成中心对称的两个图形中,对称点的连线经过 ,且 。 对称中心 被对称中心平分 2.中心对称基本性质的几何语言： ∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴A，O，A'三点共线，且OA=OA'. 考点串讲 考点十一、作一个图形的中心对称图形 作一个图形关于某一点成中心对称的图形的步骤： (3)连：将对应点按原图形关键点的排列顺序依次连接 起来，得到成中心对称的图形。 (1)连：连接原图形上的关键点和对称中心； (2)延：延长关键点到对称中心的线段，使得对应点与对 称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等； 考点串讲 考点十二、中心对称图形 在平面内，如果一个图形经过中心对称能与 ，那么这个图形叫作中心对称图形。 1.中心对称图形的定义： 经过对称中心的任一条直线,将中心对称图形分为 。 自身重合 两个全等的图形 考点串讲 考点十二、中心对称图形 2.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 名称 中心对称 中心对称图形 区别 联系 (1)是针对2个图形而言的 (2)是指两个图形的(位置)关系 (3)对称点在两个图形上 (4)对称中心在两个图形之间 (1)是针对1个图形而言的 (2)是指具有某种性质的一个图形 (3)对称点在一个图形上 (4)对称中心在图形上或其内部 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则成为中心对称图形；若把中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们成中心对称。 考点串讲 考点十三、关于原点对称的点的坐标 (1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ， 即点P(x,y)关于原点的对称点为 ; (2)如果两个点的横坐标互为 ，纵坐标也互 为 ，那么这两个点关于 。 相反 原点对称 P'(-x,-y) 相反数 相反数 考点串讲 题型一、网格中的平移作图 例1、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，点A平移到点D的位置，点B,C平移后的对应点分别是E,F. (1)画出平移后的△DEF. (2)线段BE,CF之间的关系是。 (3)过点A作BC的平行线l1. (4)作出△ABC在BC边上的高。(5)△DEF的面积是。 题型剖析 题型一、网格中的平移作图 (5)利用分割法求出面积即可。 分析：(1)由点A及其对应点D得出平移方向和距离，再作 出点 B,C的对应点，顺次连接可得； (2)由平移变换的性质可得； (3)将BC向上平移过点A即直线l1; (4)根据网格结构特征和三角形高 线的定义作出图形即可； 题型剖析 题型一、网格中的平移作图 (5)S△DEF的面积=x(2+4)x4-x2x3-x1x4=7. 解：(1)如图所示，△DEF即所求； (2)由平移的性质知BE=CF, BE// CF； (3)如图所示，直线l1即所作。 (4)如图所示，AG即BC边上的高。 题型剖析 题型一、网格中的平移作图 方法总结： (1)作平移图：在网格中画平移后的图形，可先确定原图形中的关键点， 再确定原图形中关键点的对应点，即可得到平移后的图形。 （2）平移性质的应用：对应点的连线相等且平行。 题型剖析 题型一、网格中的平移作图 变式题：如图所示，在由边长为1的小正方形构成的网格中， △ABC的顶点都在格点上，建立适当的平面直角坐标系xoy，使得点A,B的坐标分别为(2,3),(3,2). (1)画出平面直角坐标系； (2)画出将ABC沿y轴翻折，再向左 平移1个单位长度得到的A'B'C'; (3)点P(m,n)是ABC内部的一点， 写出点P经过(2)中两次变换后的对应点P"的坐标。 题型剖析 题型一、网格中的平移作图 解：(1)如图所示； (2)如图所示，A'B'C'即所求作。 (3)P'的坐标为(-m-1,n). 题型剖析 题型二、直角坐标系中的图形平移 例2、如图所示，△DEF是由△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题。 (1)分别写出下列各点的坐标： A ;B ;C ; D ;E ;F 。 题型剖析 题型二、直角坐标系中的图形平移 (2)写出△DEF是由△ABC经过怎样的变换得到的； (3))如果将DEF看成是由ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向与平移距离； (4)若点Q(a+3,7-b)是由点P(2a,2b-3)通过 上述变换得到的，求a-b的平方根。 分析：平移时，因为图形上各点的变化情况相同， 所以由对应点坐标的变化也可判断出图形平移的方向和距离。 题型剖析 解：(1)由题意得，A(4,3);B(3,1);C(1,2); D(-1,-2);E(-2,-4);F(-4,-3). 题型二、直角坐标系中的图形平移 (2)由所给图形可知，先将△ABC向下 平移5个单位长度，再向左平移5个单 位长度得到△DEF.(或先将△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△DEF); 题型剖析 (3)连接AD,由图可知，AD==5. 题型二、直角坐标系中的图形平移 所以如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是沿射线AD的方向，平移的距离是5个单位长度。 题型剖析 题型二、直角坐标系中的图形平移 (4)结合(2)中所得变换方式可知， 2a-5=a+3, 2b-3-5=7-b， 解得a=8,b=5, 所以a-b=8-5=3， 则a-b的平方根为3. 题型剖析 题型二、直角坐标系中的图形平移 方法总结： (1)观察平移后的图形，根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加， 下移减可以得出平移图形的过程。 (2)一次平移的方向是由原图形上的点到平移后图形上的对应点的方向。 若沿x轴方向平移 a(a>0)个单位长度，沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度，则原图形一次平移的距离为. 题型剖析 题型三、直角坐标系中的图形平移 例3、图形的操作过程：(本题中四个长方形的水平方向的边长均为a个单位长度，竖直方向的边长均为b个单位长在图①中，将线段A1A2向左平移1个单位长度到 B1B2，得到封闭图形 A1A2B1B2(即阴影部分); 在图②中，将折线A1A2A3向左 平移1个单位长度到B1B2B3， 得到封闭图形A1A2A3B1B2B3(即阴影部分)； 题型剖析 题型三、直角坐标系中的图形平移 (1)在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向左平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影； (2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： S1= ;S2= ; S3= . ab-b ab-b ab-b 题型剖析 ab-b。理由： (3)联想与探索：如图所示，在一长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的。 题型三、直角坐标系中的图形平移 如图所示，它的面积等于原长方 形的面积减去最右侧小长方形的面积。 题型剖析 题型三、直角坐标系中的图形平移 方法总结： 转化法 当阴影部分的左，右边界由直线变为折线或曲线时，阴影部分由规则图形变为不规则图形，而不规则图形的问题可以通过平移转化成规则图形的问题来解决。 题型剖析 1 m 1 m 21 m 15 m A C D B 解：长草部分的面积为 (21 - 1)×(15 - 1) = 280 (m2). 变式：如图是一块长方形的草地，长为 21 m. 宽为 15 m 在草地上有两条宽为 1 m 的小道，长方形的草地上除小道外长满青草. 问长草部分的面积为多少? 题型三、直角坐标系中的图形平移 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 例4、在△ABC中，∠CAB=135,AC=2,△ABC顺时针旋转一定角度后与△ADE重合，点E落在AB边上，且点E是AB的中点。 (1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数； (2)如图所示，连接DC，求出DC的长。 分析：(1)△ABC顺时针旋转一定角度后 与△ADE重合，在旋转过程中，点A始终不动，由此可确定点A是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角即旋转角； 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 (2)易求∠DAC=90°，利用点E是AB的中点及对应点到旋转中心的距离相等，可得AD的长，再利用勾股定理即可求出DC的长。 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 解：(1)∵△ABC顺时针旋转一定角度后与△ADE重合， (2)∵△ABC顺时针旋转一定角度后与△ADE重合， ∴旋转中心是点A，旋转角的度数为∠BAD=∠CAE=135°. ∴△ABC≌△ADE， ∴AC=AE=2,AB=AD. ∵点E是AB的中点， ∴AD=AB=2AE=4. 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 ∵∠DAC=360°-2x135°=90°, ∴在RtADC中， DC= = =2 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 方法总结： 确定旋转中心与旋转角的方法 （1）在图形的旋转变换中，判断哪一个点是旋转中心，要分旋转中心在图形上和不在图形上两种情况。若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，该点就是旋转中心；若不在图形上，对应点的连线的垂平分线的交点就是旋转中心。 （2）旋转角就是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 变式：如图，将钝角△ABC(其中∠ABC=120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1. (1)写出旋转角的度数； (2)求证：∠A1AC=∠C1. 题型剖析 题型四、图形旋转中的三要素及计算 (1)解：∵∠ABC=120°, (2)证明：由旋转得ABC≌A1BC1, ∴AB=A1B,∠C=∠C1. 由(1)知∠ABA=60°,A1AB是等边三形。 ∴∠BAA1=60°,∠BAA1=∠CBC1. ∴AA1//BC.∴∠A1AC=∠C=∠C1. ∴∠CBC=180°-∠ABC =180°-120°=60°. ∴旋转角为60°. 题型剖析 题型五、直角坐标系中的旋转作图 例5、如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2),BA⊥x轴于点A. (1)画出将△OAB绕原点旋转180后所得的△OA1B1，并写出点A1,B1的坐标。 (2)将△OAB 平移得到△O2A2B2 点A的对应点是A2，点B对应点B2 的坐标为(2,-2)。作出△O2A2B2， 并写出点O2，A2 的坐标。 题型剖析 题型五、直角坐标系中的旋转作图 (3)△OA1B1与△O2A2B2成中心对称吗?如果是，找出对称中心，并写出对称中心的坐标。 分析：(1)将△OAB绕原点旋 转180°，即作出与△OAB关于点O成中心对称的△OA1B1; (2)由点B(4,2)到点 B2(2,-2)知， 将△OAB先向下平移4格，再向左平移2格得到△O2A2B2; (3)通过对称点的坐标特点进行判断。 题型剖析 题型五、直角坐标系中的旋转作图 解：(1)如图，A1(-4,0),B1(-4,-2). (2)如图，O2(-2,-4),A2(2,-4). (3)△OA1B1与△O2A2B2成中心对称， 对称中心的坐标是(-1,-2). 题型剖析 方法总结： 以网格为依托的平移，旋转及中心对称的作图，要充分利用网格的小正方形，小正方形的边长代表1个单位长度，小正方形的每个角都是直角。同时，在平面直角坐标系中，要掌握平移，旋转，中心对称与点的坐标的变化规律。 题型五、直角坐标系中的旋转作图 题型剖析 题型五、直角坐标系中的旋转作图 变式：如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(-3,3),C(-4,1). (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标： (2)画出△ABC绕点A按逆时针 方向旋转90°后的△AB2B2， 并写出点C的对应点C2的坐标。 题型剖析 题型五、直角坐标系中的旋转作图 分析：(1)先利用轴对称的性质，确定点A,B,C关于y轴对称的点A1,B1,C1，再顺次连接即可。 (2)已知旋转中心，要作出旋转图形，还需要确定旋转方向和旋转角。由题意知，旋转中心在格点上， 且按逆时针方向旋转，旋转前后 对应线段的夹角(旋转角)为90°. 题型剖析 题型五、直角坐标系中的旋转作图 解：(1)如图所示，点B1的坐标为(3,3). (2)如图所示，点C2的坐标为(-3,-4). 题型剖析 题型六、图形旋转的线段问题 例6、手拉手模型 （济南26题12分）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 在 △ABC 的内部，连接 AD ， 将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60 ，得到 线段AE ，连接 BD,DE,CE. （1）判断线段 BD与CE的数量关系并给出证明； 题型剖析 解： . 证明： 是等边三角形， ， . 是由 绕点 逆时针旋转 得到的， ， ， ， ， ， . 即 ， 题型六、图形旋转的线段问题 题型剖析 （2）延长 交直线 于点 . ①如图2，当点 与点 重合时，直接用等式表示线段 ， 和 的数量关系为_ _____________； ②如图3，当点 为线段 中点， 且 时， 猜想 的度数并说明理由. 图2 图3 题型六、图形旋转的线段问题 题型剖析 （3）解： .理由如下： 如图3，连接 ，作 于点 ， 图3 . 是 的中点， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， 题型六、图形旋转的线段问题 题型剖析 题型六、图形旋转的线段问题 ， ， 图3 ， ， ， ， ， . 由（1）得 . . 题型剖析 方法总结： 利用旋转来解决问题要抓住以下几点： (1)旋转中的变(图形的位置变)与不变(图形的形状，大小不变); (2)旋转前后的对应关系(顶点，边，角); (3)旋转过程中的相等关系。 题型六、图形旋转的线段问题 题型剖析 1.如图，将 沿 方向平移至 处. 若 ，则 的长为___. 1 分析：因为ABC沿BC方向平移至DEF处，根据平移性质可知BE和CF是对应线段， 所以 BE=CF 已知EC=2BE=2，可知BE=1 因为BE=CF,所以CF=1 针对训练 2.如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置.已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9. 若 ，则 等于( ) A.2 B.3 C.4 D. B 解析：令A'B',A'C'分别与BC交于点E,F.∵SABC=16,SAEF=9，且AD为BC边的中线， ∴SDE=SEF=，SBD=SBC=8 .∵将ABC沿BC边上的中线AD平移得到A'B'C',∴A'E//AB,:.DA'E∽DAB，则 ()2= ,9 即()2==解得A'D=3或A'D=-(舍去)。故选B E F 针对训练 B 3.我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 解析：A是轴对称图形，不是中心对称图形； B既是中心对称图形，又是轴对称图形； C是中心对称图形，不是轴对称图形；D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形。答案：B 针对训练 4.如图，点 是正方形 内的一点，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 . 若 ，则 ____度. 80 [解析]：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°.∵∠ABE=55°,∴∠EBC= ∠ABC-∠ABE=35°。由旋转，得BE=BF, ∠EBF=90°,∴∠BEF=∠BFE=45°. ∵∠EGC是∠BEG的一个外角， ∴∠EGC=∠BEF+ ∠EBC=80°. 针对训练 5.如图，在直角坐标系中，线段 是将 绕 着点 逆时针旋转一定角度后得到的 的一部分，则点 的对应点 的坐标是( ) A. B. C. D. A 解析：线段A1B1是将ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定角度后得到的A1B1C1的一部分。∴A的对应点为A1.∵∠APA1=90°.∴旋转角为90°.∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点C1 的坐标为(-2,3)。故选A. 针对训练 6.【情境再现】 甲、乙两个含 角的直角三角尺 如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足 处. 将甲绕点 顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图 软件按图②作出示意图，并连接 ， ， 如图③所示， 交 于点 ， 交 于点 ， 通过证明 ，可得 . 请你证明： . 图① 图② 图③ 针对训练 证明：由阅读材料知 ， ， ， ， . ， ，即 . 在 和 中， ， . 针对训练 【迁移应用】 延长 分别交 ， 所在直线 于点 ， ，如图④，猜想并证明 与 的位置关系. 图④ 针对训练 解：猜想： . 证明：由 【情境再现】知， . . ， . . ， ， ， . 针对训练 【拓展延伸】 小亮将图②中的甲、乙换成含 角的 直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 ， ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明 与 的数量关系. 图⑤ 图⑥ 针对训练 解：猜想： . 证明：设 交 于点 ， 交 于点 ，如图⑥. 由题意得 ， 是含 角的直角三角形， ， ， 图⑥ ， ， ， ， ， ， ， ， . ， 针对训练 ， ， ， ， . 图⑥ 针对训练 旋转 图形的变化 平移 概念 旋转三要素 基本性质 旋转作图 旋转与坐标 图形的中心对称 概念 平移两要素 基本性质 平移作图 平移与坐标 课堂总结 感谢聆听! $