专题5.2 复数的四则运算（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题5.2 复数的四则运算 教学目标 1. 掌握复数加法、减法的运算法则，能熟练进行复数加减运算，理解其几何意义 2. 掌握复数乘法的运算法则，能进行复数乘法运算，掌握乘法运算性质 3. 掌握复数除法的运算法则（分母实数化），能熟练进行复数除法运算 4. 熟练掌握i的幂运算规律，能解决与i幂运算相关的问题 5. 能进行复数的混合运算，结合共轭复数、模的性质解决综合问题 教学重难点 1. 重点 （1）复数加法、减法、乘法、除法的运算法则及应用 （2）i的幂运算规律、复数混合运算 2. 难点：复数除法的分母实数化运算、复数运算与模、共轭复数的综合应用 知识点01复数的四则运算 设，（a、b、c、），则 （1）加减：__________________________； （2）乘法：__________________________； （3）复数的除法运算 （） 注意：（1）复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似，注意；. （2）对任意、、，有 复数加法运算律： ①；②； 复数乘法运算律： ①；②；③. 【答案】 【即学即练】 1．计算下列复数运算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)0 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． （4）原式． （5）因为，所以， 原式 知识点02 复数加、减运算的几何意义 设复数，在复平面上所对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形（如图），则向量就是复数与的_____对应的向量． 由复数减法的定义以及复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义．如图，向量就是复数与的_______对应的向量． 【答案】和 差 【即学即练】 2．在复平面内，、对应的点分别为A、B，对应的点为C，O为坐标原点，则 （1）四边形为___________形. （2）若，则四边形为___________形. （3）若，则四边形为___________形. （4）若且，则四边形为___________形. 【答案】 平行四边 矩 菱 正方 知识点03 复数的平方根 （1）设复数，（a、b、c、）满足：，则称___________为的一个平方根，则其另一个平方根为___________； （2）若实数，则其在复数集内的平方根为___________. 【答案】 【即学即练】 3．计算： 【答案】因为， 所以原式 题型01 复数加减运算及应用 【典例1】(25-26高一下·南开大学附属中学·)若复数，满足，，其中为虚数单位，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【来源】南开大学附属中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段检测数学试卷 【详解】设，，则，即. 又，则，.所以，， 即，所以. 又， 所以. 【变式1】(25-26高一·福建厦门海沧实验中学·)已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建厦门海沧实验中学2025-2026学年第二学期高一数学3月阶段性检测试卷 【详解】因为复数，，则. 【变式2】(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数，则___________． 【答案】 【来源】贵州贵阳市2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷 【详解】. 【变式3】在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 【变式4】（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：D 【变式5】(25-26高一下·重庆巴蜀中学校·)已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题 【详解】在复平面中，设，分别与向量，对应，由题意可得，， 因为，即，解得，即． 题型02 复数乘法运算及应用 【典例1】(25-26高一下·贵州贵阳第一中学·月考)若复数，则复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 【详解】由复数的运算法则，可得复数，则. 【变式1】已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】河北石家庄市2026届普通高等学校毕业年级教学质量检测（二）数学试题 【详解】解：由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限. 【变式2】(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【来源】浙江宁波市鄞州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科期中试题 【详解】因为复数，所以复数的虚部为. 【变式3】(25-26高三·天津河北区·)已知（），则_____． 【答案】2 【来源】天津市河北区2025-2026学年度高三年级总复习质量检测（一）数学试题 【详解】因为，所以，则. 【变式4】(25-26高一下·河北邯郸永年区第二中学等校·)设是实数，复数，（是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； (2)求的最小值． 【来源】河北邯郸市永年区第二中学等校2025-2026学年下学期阶段检测一高一数学 【详解】（1），则，解得． （2），则，， ， 当时，的最小值为． 题型03 复数除法运算及应用 【典例1】(25-26高一·宁夏固原第一中学·月考)设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【来源】宁夏固原市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级月考一数学试卷 【详解】，在复平面内所对应的点为， 所以复数在复平面内所对应的点位于第四象限. 【变式1】(24-25高一下·安徽淮北濉溪县孙疃中学·调研)计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省淮北市濉溪县孙疃中学2024-2025学年高一下学期学情调研测试数学试题 【详解】由题可知. 【变式2】设，则在复平面内z对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由，得对应点坐标，第三象限． 【变式3】复数（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西榆林市靖边中学等校2026届高三下学期3月份质量检测数学试题 【详解】因为虚数单位的幂的周期为，满足，所以，因此，代入原式计算可得；. 【变式4】若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【来源】重庆市万州第一中学2026届高三下学期4月高考模拟调研卷（六）数学试题 【详解】依题意，互为共轭复数，由，得， 因此，A正确. 【变式5】已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】陕西宝鸡中学2026届高三下学期冲刺（一） 数学试题 【详解】解：，， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 题型04 复数混合运算 【典例1】(25-26高一下·河北唐山第二中学·月考)，则________. 【答案】 【来源】河北唐山第二中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 【详解】由已知，所以 . 【变式1】若复数满足，则复数的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南宣威市第七中学2026届高考三月适应性监测数学试题 【详解】由，得，则，的虚部为. 【变式2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖北十堰市2026届高三下学期3月调研考试数学试题 【详解】由，得． 【变式3】已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______. 【答案】/ 【来源】湖北省荆州市2026届高三上学期1月质量检测数学试题 【详解】因为，整理得，所以，解得：，， 所以，利用辅助角公式化简得， 又因为余弦函数的值域是，所以当时，取得最大值， 即.答案为：. 【变式4】(25-26高一下·湖南名校联合体·)计算：____________． 【答案】 【来源】湖南省名校联合体2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题 【详解】解：． 题型05 复数运算与模、共轭复数综合 【典例1】(25-26高一·内蒙古赤峰第四中学·月考)复数 ，则 __________. 【答案】 【来源】内蒙古赤峰第四中学2025-2026学年第二学期4月月考试题高一数学试题 【详解】依题意，所以，所以， 因此：. 【变式1】已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【来源】2026届河北省部分高中高三一模考试数学试题 【详解】由题意，故. 【变式2】若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西咸阳彩虹学校2026届高三冲刺（二） 数学试题 【详解】设，则，代入得到， 即，所以，即 ，所以，则. 【变式3】复数满足，则_____. 【答案】 【来源】贵州黔西南布依族苗族自治州册亨县第一高级中学2025-2026学年高一第二学期第一次月考试题 【详解】由题意，复数，得，∴． 【变式4】(25-26高一下·湖南衡阳耒阳第一中学等校·)已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【来源】湖南衡阳市耒阳市第一中学等校2025-2026学年高一下学期3月联考数学试题 【详解】，故. 【变式5】(25-26高一下·吉林长春第八中学·月考)已知，则（   ） A． B．i C．0 D．1 【答案】A 【来源】吉林长春市第八中学2025-2026学年度下学期月考高一年级数学试卷 【详解】由复数，可得，所以. 题型06 复数中的最值问题 【典例1】(25-26高三·上海长宁区·调研)已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【来源】上海市长宁区2025-2026学年第二学期高三数学教学质量调研试卷 【详解】设则，，化简得：， ，又，所以，所以，所以的最小值为. 【变式1】(25-26高一下·山东临沂郯城美澳学校·)若，则的最大值为___________． 【答案】 【来源】山东临沂市郯城美澳学校2025-2026学年高一下学期数学阶段检测题 【详解】设在复平面内与复数对应的点为，与对应的点为，则表示点与点之间的距离为，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，因为，所以的最大值为. 【变式2】(25-26高二上·上海建平中学·期末)已知为复数，则的最小值为______． 【答案】 【来源】上海市建平中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故；表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离；故表示复平面内，点到两点的距离之和，显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 【变式3】(25-26高一下·陕西西安铁一中学·月考)已知复数分别满足，则的取值范围为________． 【答案】 【来源】陕西西安市铁一中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷 【详解】由复数，分别满足，可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 设，则，可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示，可得， 所以，所以的取值范围为. 【变式4】(25-26高一下·四川广元外国语学校·)若，则的最大值为_______________． 【答案】 【来源】四川省广元外国语学校2025-2026学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题 【详解】设，，设，则， 从而 ，即所求最大值为. 此时 一、单选题： 1．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【来源】贵州贵阳市2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷 【详解】． 2．(25-26高二·浙江杭州西湖区绿城育华·期中)已知复数为，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州市西湖区绿城育华2025-2026学年高二上期中考数学试题 【详解】，，． 3．(25-26高三下·青海西宁大通县朔山中学·)（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【来源】青海西宁市大通县朔山中学2025-2026学年高三下学期3月学情导航数学试卷 【详解】． 4．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【来源】江苏高邮市2026届高三第二学期期初学情调研测试数学试题 【详解】由题意得，由复数的模长公式得，故D正确. 5．(25-26高一下·福建厦门第二外国语学校·)复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】福建厦门市第二外国语学校2025-2026学年高一下学期第一次阶段测试数学试卷 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 6．(25-26高一下·广东中山华侨中学·)已知，则（   ） A．z的虚部为 B． C． D．z在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【来源】广东中山市华侨中学2025-2026学年高一下学期第一次段考数学试题 【详解】∵，∴ 的虚部为1,  的共轭复数为，，在复平面内对应的点为 ，在第一象限. 7．(25-26高一下·吉林长春第八中学·月考)已知，则（   ） A． B．i C．0 D．1 【答案】A 【来源】吉林长春市第八中学2025-2026学年度下学期月考高一年级数学试卷 【详解】由复数，可得，所以. 8．(25-26高一下·山东济南莱芜第二中学·期中)已知复数，则的虚部为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【来源】山东济南市莱芜第二中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题 【详解】，则的虚部为. 9．已知复数满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【来源】重庆市巴蜀中学校2026届高三下学期二模数学试题 【详解】由，所以． 10．(25-26高一下·福建厦门第二外国语学校·)复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【来源】福建厦门市第二外国语学校2025-2026学年高一下学期第一次阶段测试数学试卷 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 11．(25-26高一·福建南平顺昌县第一中学·)复数（其中是虚数单位）则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建南平市顺昌县第一中学2025-2026学年第二学期高一年级4月适应性练习数学试题 【详解】复数，，所以的虚部是． 12．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【来源】浙江宁波市鄞州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科期中试题 【详解】因为复数，所以复数的虚部为. 13．(25-26高三下·四川泸州高级中学校·)在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【来源】四川泸州市高级中学校2025-2026学年高三下学期数学冲刺训练四 【详解】由题意知，，则， 所以. 14．已知复数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 【答案】A 【来源】重庆市第一中学校2026届高三下学期3月月考数学试卷 【详解】设，则， 由，得，解得， 则，当且仅当时等号成立，所以有最小值1，无最大值. 二、多选题： 15．(25-26高一下·江苏无锡江阴第二中学·)已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ） A．复数的模是 B． C． D．若复数满足，则最小值 【答案】ACD 【来源】江苏无锡市江阴市第二中学2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷 【详解】对于A，复数的模为, 故A正确；对于B，两个复数不能比较大小，故B错误；对于C，设，则，，所以，故C正确；对于D，由，可知在复平面上对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 又原点到的距离为，所以最小值为，故D正确. 16．(25-26高一下·山东临沂郯城美澳学校·)已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【来源】山东临沂市郯城美澳学校2025-2026学年高一下学期数学阶段检测题 【详解】A选项，，A正确；B选项，，故复数的虚部为，B正确；C选项，由题意，又，则向量，故向量对应的复数为，C不正确；D选项，若复数是关于的方程的一个根，则，故和均为方程的根，故，，所以，，故，，，D正确. 17．(25-26高一下·福建厦门同安实验中学·月考)设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的虚部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【来源】福建厦门市同安实验中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷 【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，点Z的坐标为，则，因为是关于的方程的一个根，所以， 整理得，所以，解得，所以，故B正确； 对于C，若，则，所以的虚部为，故C错误；对于D，因为，所以点的轨迹为圆心为，半径分别为1和围成的圆环， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 18．已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】山东济南市2026届高三第二次模拟考试数学试题 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，A正确；对B，若，则，若，则，B错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 19．(25-26高一下·广西贵港平南县·期中)如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（   ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【来源】广西壮族自治区贵港市平南县2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题 【详解】对A：由图可知，，，因为，所以，故A正确；对B：因为，为纯虚数，所以B正确；对CD：因为，所以在复平面内对应的点为，其位于第四象限，故C不正确，D正确．故选：ABD. 三、填空题： 20．已知复数，则__________. 【答案】 【来源】2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷 【详解】由题意得. 21．若，则______ 【答案】 【来源】浙江宁波市镇海中学2025学年第二学期期初考试高一年级数学试卷 【详解】因为，所以， 所以. 22．(24-25高一下·浙江义乌中学·月考)若，则的最大值为_____． 【答案】 【来源】浙江省义乌中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷 【详解】复数在复平面对应的点满足，几何意义为：复平面内动点的轨迹是以为圆心，半径的圆；的几何意义是动点到原点的距离。 计算原点到圆心的距离：，因此圆上点到原点的最大距离为，即的最大值为. 23．(25-26高一下·重庆万州第三中学·月考)若，为实数，则的最小值为________． 【答案】 【来源】重庆市万州第三中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题 【详解】由可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.为实数，故对应复平面内的点在实轴上.表示圆上动点到实轴上动点的距离，设为到实轴的距离.圆心到实轴的距离为，因此. 四、解答题： 24．(25-26高一下·安徽太湖中学等校·)已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【来源】安徽省太湖中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题A 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 25．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 【来源】浙江宁波市鄞州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学学科期中试题 【详解】（1）因为复数为虚数，所以，所以. （2）因为复数满足，所以， 化简得，所以. 所以. （3）因为复数，，所以. 所以， 根据二次函数的性质可得，所以， 所以的最小值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 复数的四则运算 教学目标 1. 掌握复数加法、减法的运算法则，能熟练进行复数加减运算，理解其几何意义 2. 掌握复数乘法的运算法则，能进行复数乘法运算，掌握乘法运算性质 3. 掌握复数除法的运算法则（分母实数化），能熟练进行复数除法运算 4. 熟练掌握i的幂运算规律，能解决与i幂运算相关的问题 5. 能进行复数的混合运算，结合共轭复数、模的性质解决综合问题 教学重难点 1. 重点 （1）复数加法、减法、乘法、除法的运算法则及应用 （2）i的幂运算规律、复数混合运算 2. 难点：复数除法的分母实数化运算、复数运算与模、共轭复数的综合应用 知识点01复数的四则运算 设，（a、b、c、），则 （1）加减：__________________________； （2）乘法：__________________________； （3）复数的除法运算 （） 注意：（1）复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似，注意；. （2）对任意、、，有 复数加法运算律： ①；②； 复数乘法运算律： ①；②；③. 【即学即练】 1．计算下列复数运算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 知识点02 复数加、减运算的几何意义 设复数，在复平面上所对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形（如图），则向量就是复数与的_____对应的向量． 由复数减法的定义以及复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义．如图，向量就是复数与的_______对应的向量． 【即学即练】 2．在复平面内，、对应的点分别为A、B，对应的点为C，O为坐标原点，则 （1）四边形为___________形. （2）若，则四边形为___________形. （3）若，则四边形为___________形. （4）若且，则四边形为___________形. 知识点03 复数的平方根 （1）设复数，（a、b、c、）满足：，则称___________为的一个平方根，则其另一个平方根为___________； （2）若实数，则其在复数集内的平方根为___________. 【即学即练】 3．计算： 题型01 复数加减运算及应用 【典例1】(25-26高一下·南开大学附属中学·)若复数，满足，，其中为虚数单位，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式1】(25-26高一·福建厦门海沧实验中学·)已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一下·贵州贵阳·月考)已知复数，则___________． 【变式3】在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（   ） A． B． C． D． 【变式5】(25-26高一下·重庆巴蜀中学校·)已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型02 复数乘法运算及应用 【典例1】(25-26高一下·贵州贵阳第一中学·月考)若复数，则复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 【变式3】(25-26高三·天津河北区·)已知（），则_____． 【变式4】(25-26高一下·河北邯郸永年区第二中学等校·)设是实数，复数，（是虚数单位）． (1)若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； (2)求的最小值． 题型03 复数除法运算及应用 【典例1】(25-26高一·宁夏固原第一中学·月考)设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】(24-25高一下·安徽淮北濉溪县孙疃中学·调研)计算：（ ） A． B． C． D． 【变式2】设，则在复平面内z对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】复数（    ） A． B． C． D． 【变式4】若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式5】已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型04 复数混合运算 【典例1】(25-26高一下·河北唐山第二中学·月考)，则________. 【变式1】若复数满足，则复数的虚部为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______. 【变式4】(25-26高一下·湖南名校联合体·)计算：____________． 题型05 复数运算与模、共轭复数综合 【典例1】(25-26高一·内蒙古赤峰第四中学·月考)复数 ，则 __________. 【变式1】已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则|z| =（    ） A． B． C． D．2 【变式2】若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】复数满足，则_____. 【变式4】(25-26高一下·湖南衡阳耒阳第一中学等校·)已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【变式5】(25-26高一下·吉林长春第八中学·月考)已知，则（   ） A． B．i C．0 D．1 题型06 复数中的最值问题 【典例1】(25-26高三·上海长宁区·调研)已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【变式1】(25-26高一下·山东临沂郯城美澳学校·)若，则的最大值为___________． 【变式2】(25-26高二上·上海建平中学·期末)已知为复数，则的最小值为______． 【变式3】(25-26高一下·陕西西安铁一中学·月考)已知复数分别满足，则的取值范围为________． 【变式4】(25-26高一下·四川广元外国语学校·)若，则的最大值为_______________． 一、单选题： 1．(25-26高一下·贵州贵阳·月考)计算（为虚数单位）的结果是（   ） A．3 B． C． D．1 2．(25-26高二·浙江杭州西湖区绿城育华·期中)已知复数为，则（   ） A．4 B． C． D． 3．(25-26高三下·青海西宁大通县朔山中学·)（    ） A．0 B． C． D． 4．若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．(25-26高一下·福建厦门第二外国语学校·)复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(25-26高一下·广东中山华侨中学·)已知，则（   ） A．z的虚部为 B． C． D．z在复平面内对应的点在第二象限 7．(25-26高一下·吉林长春第八中学·月考)已知，则（   ） A． B．i C．0 D．1 8．(25-26高一下·山东济南莱芜第二中学·期中)已知复数，则的虚部为（   ） A． B．2 C．1 D． 9．已知复数满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 10．(25-26高一下·福建厦门第二外国语学校·)复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．(25-26高一·福建南平顺昌县第一中学·)复数（其中是虚数单位）则的虚部是（   ） A． B． C． D． 12．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数的虚部为（   ） A． B． C．4 D． 13．(25-26高三下·四川泸州高级中学校·)在复平面内，复数对应的点是，则（ ） A．5 B． C．2 D． 14．已知复数满足，则（    ） A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值2 D．有最大值2 二、多选题： 15．(25-26高一下·江苏无锡江阴第二中学·)已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（    ） A．复数的模是 B． C． D．若复数满足，则最小值 16．(25-26高一下·山东临沂郯城美澳学校·)已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 17．(25-26高一下·福建厦门同安实验中学·月考)设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的虚部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 18．已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 19．(25-26高一下·广西贵港平南县·期中)如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（   ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．在复平面内对应的点位于第四象限 三、填空题： 20．已知复数，则__________. 21．若，则______ 22．(24-25高一下·浙江义乌中学·月考)若，则的最大值为_____． 23．(25-26高一下·重庆万州第三中学·月考)若，为实数，则的最小值为________． 四、解答题： 24．(25-26高一下·安徽太湖中学等校·)已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 25．(25-26高一·浙江宁波鄞州中学·期中)复数其中，复数满足，其中为虚数单位． (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求与； (3)求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $