5.3.2 复数乘除运算的几何意义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s,·必修第二册 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.求复数x=1十cos0+isin0(π<0<2π)的模与辐 角主值. 解g=1十os0叶ion0=1+(2cos号一-1十2 ·sin号cos号-2as号o号+iin号） ①. <02x,<号<，ic0s9<0. ·22 3.2 复数乘除 课程标准 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算 2.掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点 课前 [情境引入] 复数代数形式可进行加、减、乘、除四则运算. 问题三角形式表示的两个复数的乘积，可否由代数 形式的乘法法则得出？ 提示：三角形式下两个复数的乘积仍可按代数形式进 行计算，但过程繁杂，运用三角形式下两复数的乘 法法则可使运算简便 [知识梳理] 1.复数三角形式的乘法 设复数名=r(cos(+isin0,),之2=r2(cos6,+isin02), 则x12=r1(cos91+isin9,)·r2(cos02十isin02) =r1r2[cos(0,+0,)+isin(0+0,门，即由两个复数 之1，之2的三角形式可得1之2的三角形式，之1的模乘 以之2的模等于之1之2的模，名1的辐角与2的辐角之 和是之1之2的辐角. 简记为：模数相乘，辐角相加 几何意义：设1，对应的向量分别为OZ,OZ2, 将OZ绕原点旋转0，再将OZ1的模变为原来的r 倍，如果所得向量为OZ,则OZ对应的复数即 为2122 2.复数的乘方 Er(cos 0+isin 0)]"=r"[cos(ne)+isin (ne)],nE N,即复数n次幂的模等于模的n次方，辐角等于复 数辐角的n倍. 简记为：模数乘方，辐角n倍. 3.复数三角形的除法 设复数名=r(cos月十isin0,),之2=r2(cos6+isin02), 则空=r（cos8+isin9〉=2[cos(8,-A,)+ z2 r2 (cos 02+isin 02)r2 ·2 ①式右端=一 =-2c0s 引os(x+号)+isim(x+号)] 1=r=-2s号ag=x+号+2m∈2D “受<号<<+号 3 ∠2， 8g=+号 运算的儿何意义 素养解读 从向量的角度理解复数的三角形式的乘、除、乘 方运算及几何意义，培养学生的逻辑推理素养， 提升数学运算素养 预习学案 对应学生用书P152 isin(01一02)]，即由两个复数之1，之2（x2≠0)的三角 形式可得兰的三角形式；名的模除以2的模等于 兰的被，的辐角减去名的辐角是号的辐角。 简记为：模数相除，辐角相减 。思考1.三角形式下两个复数相乘，积的辐角等于 这两个复数的辐角的和，能将其中“辐角”换为“辐 角主值”吗，即arg(之之2)与arg之，arg之2有怎样 的关系？ 提示：积的辐角等于原来两个复数的辐角集合中 各任取一个，求和角，所有和角组成的集合，即为 积的辐角的集合，而积的辐角主值不一定等于这 两个复数的辐角主值和.arg(z122)=arg名十arg 之2十2k元，其中整数k使arg1十arg之2十2kπ∈ [0,2x). 2.由三角形式的乘法法则，结合向量知识，如何理解 复数乘法的几何意义？ 提示：复数的乘法实质上就是向量的旋转和伸缩， 旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集合中 取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复 数的模的大小. [预习自测] 1.把复数a十bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原 点O点按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复 数为 () A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai 解析：C[按顺时针旋转90°，即将复数与一i相 乘，所求复数为(a+bi)·(-i)=b-ai.] 2.(w景+m)(看+in) 解析：(os+isn)·cs+isn君) =3√2Xi=3√2i 答案：3√2i ● 课堂 题型一 复数三角形式的乘法 [例1门 计算下列各式： (2)3(cos20°+isin20°)·[2(cos50°+isin50)] [10(cos80°+isin80°)]； ((cosxisin] [思路点拔]运用复数三角形式的乘法运算法则 直接求解： 解：1D原式=2x3[(管+)十m(管+看] -6(cosg+isin) =-3√5+31. (2)原式=3×2×10[cos(20°+50°+80)+ isin(20°+50°+80)]=60(cos150°+isin150°)= 30√3+30i, (8(-1+i(as+isn军)] 巨(os+isin)·【(os+isin)] [o(竖+)+im(经+到】 cosx+im受 =6i. 规律方法 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把 辐角相加作为积的辐角.若遇到复数的代数形式 与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成 代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形 式相乘或三角形式相乘 ◇[变式训练 1.已知x1=8(cos240°+isin240),z2=2(cos150°- isin150°)，求1z2的代数形式. 解：z2=2(c0s150°-isin150)=2[c0s(-150)+ isin(-150)],∴.x1之2=8×2[c0s(240°-150)+ isin(240°-150°)]=16(cos90°+isin90°)=16i. 题型二 复数三角形式的除法 [例2]计算： [2(cos120°+isin120y1 汇思路点拨]直接运用复数三角形式的除法法则 进行运算. 26 第五章复数 3.计算(cosπ十isin) cos+isin号】 解析：(cosx十isin)÷(cos5+isin】 2 互动学案 对应学生用书P153 [解]÷[2(cos120+isin120)]=-i÷ [2(c0s120°+isin120)]-=(cos270°+isin270) ÷[2(cos120°+isin120)]-2[cos(270°-120) +isin(270°-120°)]=2(cos150°+isin150)= -√3+i. 规律方法 两个三角形式的复数相除（除数不为0），则商还 是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的 模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除 数的辐角所得的差.出现复数的代数形式先转化 为复数的三角形式再计算。 ◇[变式训练] 2.计算： 4(eos誓+isin)片[(osξ+in]】 (2)1+i)(-5+i0(1+iD (-1-i)2(-1+i) 解.4(m誓+in)(m晋+im] =m(g号）片wn(餐晋】 2(o登+isin受)2x (2):1+5i=2(cos号+isin号)-5+i 2cosisincosisin -1-(cos要+isin),-1+ a+m与 、 (-1-i)2(-1+i) 4:传+晋+）im爱+警+】 2[受+)+in(受+】 2(倍+餐+受)十 -o(号+in(日】-5+i 数学s·必修第二册 题型三复数乘法、除法的几何意艾】 [例3]若OZ1与OZ2分别表示复数1=1+2√3i, x2=7+√③i,求∠ZOZ1并判断△OZ1Z2的形状. 0 汇思路点拨]运用复数乘法、除法的几何意义 求解 [解]欲求∠2,0Z,可计算立.立=1十2⑧ 之 之2 7+√3i (1+23i)(7-√3i)_1+√3 (7+√3i)(7-√3i) 4 2(o营+im)∠z,02,=号，且 OZ, 司，由余接定里，设102=，102,1=2666>01. 则乙乙，P=k+(2)2-2h·2k·c0s3=3k, .|Z1Z2|=3k,而2+（√3k)2=(2k)2, △OZ1Z2为有一锐角为60°的直角三角形. 随堂。 ● 1.若复数 为实数，则正整数n的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B[周为=所以 =”为实 数，所以n的最小值为2.] 2.g=2c0s20+isin209).则号 解折：}-2c+080-2cas(-20十 cos0°+isin0° isin(-20°)]. 答案：2[cos(-20)+isin(-20°)】 3.计算：（√W3+i)(cos60°+isin60°） 解析：（√3+i)(cos60°+isin60°） =2(cos30°+isin30°)(cos60°+isin60°) =2(c0s90°+isin90°)=2i. 答案：2i ·26 规律方法 复数相乘、相除实质上就是复数所对向量的旋转 和伸缩，旋转的角度与方向，取决于另一复数的辐 角的正、负与大小 ◇[变式训练] 3.设复数之1之2对应的向量分别为OZ,OZ2,0为坐 标原点，且名，=一1十√5i,若把OZ,绕原点逆时针旋 转，把02，绕原点顺时针旋转3，所得两向量恰 好重合，求复数x2· 解：依题知(-1十)·(s+iin) ∴.x2=（-1+√3i) 3+isin 3π 4 =2(os+isin）os+isin）· =os+5+)+isin(++)】 步步夯实 对应学生用书P154 4.计算：2(cos5°+isin5°)×4(cos30°+isin30°)× (c0s25+isin25). 1 解：2(cos5°+isin5°)×4(cos30°+isin30°)× 0s25°+isin25)=8(cos35°+isin3 (cois(isin 60 2+2√i 5.计算：2i÷ [2(cos30+isin30): 解：2i÷[2(cos30°+isin30)]=2(cos90+ isin90')÷[2(cos30+isin30)]=4(cos60°+ isin60)=2+2√5i. 课后。 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.复数x=cos无十isin无是方程x十a=0的一个 根，那么a的值为 ( A9+ 取+ c9- 解析：D:=(cos+iin无)=cos 2计算4(m危+n)·[2(血受+dn)]的结 果是 A2(eo登+-isin B.2(sm+ios) C2(os平+isin) D.cosisin 解析：C[原式 4os是+in):[侵(o若+isin君)] [o(能+)+isim(危+若)】 =2(cos+in晋) 3.已知关于x的实系数方程x2+x十p=0的两虚根 a,b满足a一b=3,则p的值是 A.-2 c号 D.1 解析：C[方程x2+x十p=0的两虚根a,b互为 共轭复数，设a=r(cos0十isin),则b=r[cos(-)十 isin (-0)],=r,a+b=-1,a-b=3,..2rcos 0 =一1,2sm0=3r=号即号] 4.(s斧+n)-(m危十i血)的结果是 A.vE(os吾+isin5) R号+ c D.Vcos吾-isin若) ·26 第五章复数 素养提升 对应学生课时P94 解桥.C6(cos+isin)(cas登+n) （晋im)-g+)-+] 5.(多选)设元<0<5，则复数os20十iin22的辐角 cos 0-isin a 主值不可能是 A.2x-30 B.30-2元 C.30 D.30-元 解析：ACD [-cos 20+isin 20 cos 0-isin 0 cos 20+isin 20 cos (-0)+isin (-0) =cos30+isin30,,元<0< 3m<0<1 ,.argz=30-2x.] 6.(多选)设之1，x2是复数，arg之1=a,arg之2=B,则 arg(名1·之2)有可能是下列情况中的 () A.a+B B.a十B-2x C.2π-(a+3) D.π十a+3 解析：AB[设z1=r1(cosa十isin a),z2=r2(cos3 十isin3),则a1之2=r1r2[cos(a+)+isin(a十B)], ∴.arg(之2)=a十3+2kπ(k∈ZD且arg(a之2)∈[0,2x.] 解析：原式 -3[os(瞪+号)十ian(最x+] -3(+iin买)-3-3 答案：-3-31 8.设x=(-3√2+3√2i),n∈N.当z∈R时，n的 最小值为 解析：=(-3E+3a)=[(ams要+in)] 四=kx(k∈Zn=音Ck∈Z),又n∈N, 4 .n的最小值为4. 答案：4 数学s·必修第二册 9.如果向量OZ对应复数4i,OZ绕原点O逆时针旋转 45°后再把模变为原来的√2倍，得到向量OZ1,那么 与OZ,对应的复数是 ,其模是 解析：1=4i·√2(c0s45°+isin45)=4W2·[cos (90°+45)+isin(90°+45)]=-4+4i;x1|= √(-4)+4=4√2. 答案：-4+4i4√2 10.设复数1=5十i,复数2满足之2=2，已知名1号 的对应点在虚轴的负半轴上，且arg之2∈(0，π)， 求之2的代数形式， 解：因为=2(os+iin看) 设x2=2(cosa十isin a),a∈(0，x), 所以x号=8[cos(2a+看)+isim(2a+看)] 由题设知2a =2张x+受， 6 所以a=k元十 k∈， 又aE(0,,所以a=经， 所以=2(@+in）-1+i ÷(3i): (2)[2(cos50°+isin50°)]4 解，)原式-[o()十isn()] [(o受+im] =【m（g)+im（9g】 ÷[(os登+isin登)】 (os+isin)片[(os受+isin] as(号)+im(号】 =号(ea若+im)=+ (2)原式=「 1 2(cos50°+isin50)] ()[es(-50)+isin(-50)] =6[eos(-20)+isin(-20")]. ·26 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.若复数之满足arg(x十4)=否，则：的最小值为 A.1 B.2 C.23 D.3√2 解：B[设4=m吾十m) -4+2r·i.= √r2-4√5r+16=√(r-2√3)2+4，.zmm=2. 求名1·之2的辐角的主值. 解a1·=00s3 50π =2 cos ox+isin 21 arg(之1·之2) 50x一2x 8元 21 21 素养培优 SU YANG PEI YOU 14.已知=-士-2i-·名=0，rg=7得， 7π 若1，x2在复平面上分别对应点A,B,且|AB|= √2，求x1的立方根. 解：由题设知x=1一i,因为AB=√2， 即x1-x2=√2， 所以x1一22|=|z22-22=|(1十i)z2一x2| |iz2=x2=2, 21=z22=(1+i)x2 =E(os至+isin)(cos7资+iin7) =(os晋+in) 5π 所以之1的立方根为 +2 +2kx isin 6 3 =0.1,2,即万(cos语+in) (紧+in)(o器+sin器 62