巧用相对速度简化动撞动模型赏析-《中学生数理化》高考理化2026年3月刊.rbm

中学生表理化驾如识结辞气行展 巧用相对速度简化动撞动模型赏折 ■中央民族大学附属中学贵阳学校 侯光喜 在弹性正碰问题的探究中，动撞静模型 甲 是基础模型，利用动量守恒定律和机械能守 777777777777777777 恒定律推导撞后速度表达式的过程比较简 图2 单，而动撞动模型的数学推理和运算比较复 对比动撞静模型和动撞动模型的推导过 杂。若采用相对速度，将动撞动模型转换为 程可以发现，动撞动模型的推导不仅数学运算 相对简单的动撞静模型，则可避开复杂的数 量较大，而且所得碰撞后甲、乙两钢珠的速度 学推理和运算。 表达式的相似度较高，很容易弄混淆。那么， 一、回顾动撞静模型 用什么方法可以将这两个模型统一起来呢？ 如图1所示，在光滑的水平面上，一质量 在动撞动模型中，若将碰撞前的其中一 为1的钢珠甲以速度v1与其正前方质量为 个钢珠视为参考系，比如，将碰撞前质量为 2的静止钢珠乙发生弹性碰撞，设碰撞后钢 2以速度v2运动的钢珠乙视为参考系，则 珠甲的速度为1'，钢珠乙的速度为，'，根据 碰撞前钢珠甲相对钢珠乙的速度v12=1 动量守恒定律得m1v1=m11'十m22',根据 2,钢珠乙相对自己的速度为0（视为静止）， 根据动撞静模型的结论可知，碰撞后钢珠甲 机械能守恒定律得 2n1v7= 1 相对碰撞前钢珠乙的速度'-mu, m0,,解得= 1 n1-m2 21+1m2 m1十m2 1,2'= 碰撞后钢珠乙相对碰撞前自己的速度2'= 2m1 2m1 U1。 m1十m2 m1十m12,然后将'与u2'“还原”成相对 甲 地面的速度，则碰撞后钢珠甲的速度v1'= 777 v,十v12',钢珠乙的速度v2'=w2十v2',同样 图1 可得u1'= n1-m2 2m2 1十 7m1十n2 m1+m2 U2,v2'= 二、探究动撞动模型 77m2-17n1 如图2所示，在光滑的水平面上，一质量 2m1 U1 m1十m2 m1十mg 为1的钢珠甲以速度v1与其正前方质量为 三、典型习题剖析 2以速度v运动的钢珠乙发生弹性碰撞， 例1（同向碰撞）如图3所示，质量 设碰撞后钢珠甲的速度为1'，钢珠乙的速度 m1=4kg的弹性光滑小球A与质量m2= 为v2',根据动量守恒定律得m11十m2v2= 2kg的弹性光滑小球B在光滑水平面上沿 m1v1'十m2v2',根据机械能守恒定律得 同一条直线水平向右运动，小球A的速度 1 1 支mui士之m22m10”+2m,解 v1=6m/s,小球B的速度v2=3m/s,求两 小球发生正碰后的速度'与v′。 得1'= 1m17m2 2m2 U1十 B n1+m2 n1十7n2 1m2-17n1 27m1 U2十 图3 m1十1m2 1m1十m2 26 如视阳墙胸年行骨中学生凝理化 解法1：常规解法。 的结论得U,'=m1一m2 mm? 12=3m/s,V2'= 小球A与B发生弹性正碰，根据动量守 恒定律得m1v1十m2v2=m1U1'十m2v2',根据 m,十m,=12m/s,将这两个相对速度“还 2m1 机械能守恒定律得名mi+名m: 原”成相对地面的速度，则1'=2十12'=0， ”+名m,解得’- 1 v2′=v2十02g'=9m/s。 m1十7m2 小结：采用相对速度思想求解动撞动模 2m2 02,v2'=ng一m1 2m1 型问题的基本思路为选择动撞动模型中的某 02+ 1m1十m2 m1十m2 m1+m2 一物体在碰撞前的状态为参考系，将动撞动 代人数据得v1'=4m/s,v2'=7m/s。 模型转化为动撞静模型，先求出碰撞后的相 解法2：采用相对速度思想 对速度，再将相对速度“还原”为碰撞后的实 以碰撞前小球B为参考系，则碰撞前小 际对地速度。采用相对速度思想求解动撞动 球A相对小球B的速度12=U1一v2= 模型比采用常规方法求解的过程简便，运算 3m/s,小球A与B发生弹性正碰，根据动撞 量小，但对同学们灵活应用动撞静模型结论、 静模型的结论得u'一m1一m 2=1m/s, 厘清相对速度的关系提出了较高要求。 mm, 022′= 21m1 v2=4m/s,将这两个相对速 个银综训练 m1十m2 (2023年高考全国乙卷改编) 度“还原”成相对地面的速度，则1'=v2十 如图5所示，一竖直固定的长直 v12'=4m/s,v2'=v2十v22′=7m/s。 圆管内有一质量为M的静止薄 例2（相向碰撞）如图4所示，质量 圆盘，圆盘与管的上端口间的距 20 m1=4kg的弹性光滑小球A与质量m2= 离为l,圆管的长度为20l。一质 2kg的弹性光滑小球B在光滑水平面上相 向运动，小球A的速度v1=6m/s,小球B的 量m-子M的小球从餐的上端口 图5 速度v,=一3m/s,求两小球发生正碰后的 由静止开始下落，并撞在圆盘中 速度u1'与0，'。 心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受 B 重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不 刀777777777777777 接触，圆盘始终保持水平，小球与圆盘发生的 图4 碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空 解法1：常规解法。 气阻力，重力加速度为g。求： 小球A与B发生弹性正碰，根据动量守 (1)第一次碰撞后瞬间，小球和圆盘的速 恒定律得m11十m2U2=m11′十m20,',根据 度大小。 (2)第二次碰撞前瞬间，小球的速度大小。 机械能守恒定律得之，+1 2m2v号= (3)第二次碰撞后瞬间，小球和圆盘的速 m十合m,,解得- 度大小。 1 17m1十1m2 m1十m,0'=mgm1 +2m2 参考答案：(1)小球的速度大小为2可 2 2m1 m1十m,十 01 1m1十1m2 代人数据得1'=0，v,'=9m/s。 圆盘的速度大小为，(2)小球的速度大 解法2：采用相对速度思想。 小为18g 2 ;(3)小球的速度大小为0，圆盘 以碰撞前小球B为参考系，则碰撞前小 球A相对小球B的速度=1一=9m/s, 的速度大小为√2gl。 小球A与B发生弹性正碰，根据动撞静模型 (责任编辑张巧) 27