例析在弹簧弹力作用下物体运动的图像问题-《中学生数理化》高考理化2026年3月刊.rbm

例析在弹簧弹力作用 ■广东省深圳市南山为明学校 在弹簧弹力作用下，物体的运动大多与 简谐运动相关联。描述简谐运动的物理量有 力、速度、加速度、位移、位置坐标、动量、动 能、势能等，这些物理量几乎涵盖了力学中的 重要物理量，因此弄清描述简谐运动的物理 量的特征及其变化规律，是分析与求解含弹 簧类图像问题的关键所在。下面将逐类分析 在弹簧弹力作用下物体运动的图像问题，供 同学们参考。 一、外力与位移的关系图像 因为弹簧弹力是一个变力，所以要想维 持物体做匀变速运动，施加的外力就一定是 变力。若想借助图像反映外力随位移变化的 规律，则应用牛顿运动定律建立方程，推导出 外力随位移变化的函数表达式是关键。 例1（多选题）如 图1所示，轻质弹簧左端 000000000y 与竖直墙拴接，右端紧靠 物块（不拴接），弹簧处于 图1 原长状态时其右端位于A点。使得物块压 缩弹簧至O点并锁定，测得OA=x。。现解 除锁定的同时将另一水平外力F作用在物块 *+***￥**牛*年+*年￥*** 械能最小 D.小球从初始位置开始，在竖直平面内 运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 2.如图9所示，在Oxy平面内，cd边界 与x轴垂直，在其右方竖 直平面内，第一、二象限 存在垂直于纸面向外的 匀强磁场，第三、四象限 存在垂直于纸面向内的 匀强磁场，磁场区域覆盖 di 有竖直向上的外加匀强 图9 电场。一个质量为m、电荷量为十q的小球 从P点与cd边界成日=30°角以速度v。射 人，小球到达坐标原点O时恰好以速度。竖 服新题璃开中学生款理化 、物体运动的图像问题 许冬保（特级教师、正高级教师） 上，使其向右做匀变速直线运动。已知物块与 地面间的滑动摩棕力大小恒定，弹簧处于弹性 限度内，则弹簧右端到达A点前外力F随物 块位移x的变化图像可能是图2中的( )。 B. 图2 解析：设弹簧的劲度系数为k,质量为m 的物块在外力F、弹簧弹力k(x。一x)及地面 滑动摩擦力f的作用下，向右做加速度为a 的匀变速直线运动。根据牛顿第二定律得 F十k(x。一x)一f=ma,变形得F=kx十 (f十ma一kx。)。可见，外力F随x按一次 函数规律变化。考虑F-x图像的纵轴截距， 当x=0时，有F=f十ma一kxo,因此F-x 图像的纵轴截距可能大于零，可能小于零，也 可能等于零。 答案：BCD ,点评：本题中物块的运动是匀变速直线 运动，并非简谐运动，但在讨论力与运动的关 8*8**0**名+2*8*8***￥*+*2*名 直向下运动，此时去掉外加匀强电场。已知 两匀强磁场的磁感应强度大小均为B= 重力加速度为g。求： (1)外加电场的电场强度和P点到y轴 的距离。 (2)小球第一次到达最低点时的速率。 (3)小球从过坐标原点O到第一次到达 最低点所用的时间。 参考答案：1.AB 2.(1)E=m8 = (2+√5)号 ；(2)= 2g 3Tvo (1十√2)uo;(3)t= 4g (责任编辑张巧) 35 中学生表理化丝新群餐费 系时，与简谐运动的分析方法是相同的。根 据试题情境，应用牛顿第二定律，写出外力F 随位移x变化的数学表达式，通过讨论，即可 选出正确答案。 二、外力与时间的关系图像 讨论外力与时间的关系，需要从两个视 角展开，一是根据牛顿运动定律建立外力与 加速度之间的关系，二是根据运动性质确定 加速度与时间的关系。综合这两个分析结 果，即可确定外力随时间变化的规律。 例2如图3所示， 一滑块置于光滑水平面 000000070000000 上，两相同轻质弹簧一端 固定，另一端与滑块连接。 图3 t=0时刻，两弹簧均处于原长状态，此时滑块 所在位置为O,以水平向右为正方向，某时刻 t滑块所受合外力为F,弹簧始终处于弹性限 度内，则滑块从t=0时刻开始到第一次回到 O点的过程中，图4中的F-t图像可能正确 的是( 图4 解析：滑块的位移随时间按正弦规律变 化，设振幅为A,圆频率为w,则x=A sin @t。 滑块受到的合外力是两弹簧的弹力之和，滑 块做简谐运动，合外力提供回复力，回复力与 滑块位移的关系为F=一kx,负号表示合外 力的方向指向平衡位置。将位移x的关系式 代入得F=一kAsin wt,因此滑块从t=0时 刻开始到第一次回到O点所用的时间为半 个周期，对应的F:图像应为0一号时间内 的正弦曲线。 答案：C 点评：滑块做简谐运动，易得回复力F 与相对平衡位置位移x之间的关系，对于简 谐运动来说，位移x随时间t按正弦规律变 化。因此，依照简谐运动的规律，厘清物理量 36 之间的关系，即可顺利完成推理与论证。 三、速度与时间的关系图像 在弹簧弹力作用下，物体的运动可能是 变加速运动、匀变速直线运动、匀速运动或简 谐运动等。判断物体的速度与时间的关系是 常考的一类问题，且多以图像的形式呈现。 例3（多选题）如图5甲所示，物块 a、b间拴接一个压缩后被锁定的轻质弹簧， 整个系统静置在光滑水平地面上，其中物块 α最初与左侧的固定挡板相接触，物块b的 质量为1kg。现解除对弹簧的锁定，在物块 a离开挡板后，物块b的w-t图像如图5乙所 示。下列分析正确的是( )。 tu(m.s) 000000000H 甲 乙 图5 A.物块a的质量为1kg B.物块a的最大速度为4m/s C.在物块a离开挡板后，弹簧的最大弹 性势能为1.5J D.在物块a离开挡板后，由物块a、b及 弹簧组成的系统的动量和机械能都守恒 解析：解除对时弹簧的锁定后，物块b向右 运动，弹簧（处于压缩状态）伸长，当弹簧第一 次恢复到原长时，物块b的速度最大，此后， 弹簧发生伸长形变，物块a将离开挡板。根 据物块b的o-t图像可知，当t=0时，物块b 的速度为3m/s;当物块b的速度为1m/s 时，其加速度为零，表明此时弹簧第二次处于 原长状态。从物块a离开挡板至弹簧第二次 处于原长状态的过程中，由物块a、b及弹簧 组成的系统动量守恒，机械能也守恒，则 m,00=m,u。十m60,2mi=2m.0十 1 m,u,其中m6=1kg,0o=3m/s,6= 1m/s,解得m。=0.5kg,v。=4m/s,选项A 错误，D正确。当弹簧第二次恢复原长时，物 块a的速度最大，即物块a的最大速度为 4m/s,选项B正确。当物块a、b的速度相 同时，弹簧的形变量最大，弹性势能最大，根 据动量守恒定律得m6vo=(m。十mb)v,解得 物块a、b的共同速度v=2m/s。弹簧的弹 性势能等于系统动能的减少量，则Em 1 2m6%。一之(m十m)2=1.5J,选项C正确 答案：BCD ,点评：在物块α离开挡板后，物块b做周 期性运动（进一步的理论分析可知，由物块 α、b及弹簧组成的系统相对质心做简谐运 动，质心心又相对地面参考系做匀速运动)。因 为物块α、b之间弹簧弹力的作用是相互的， 所以物块a同样在做周期性运动，且a、b两 物块的运动周期相等。 四、速度与位置坐标的关系图像 对于做匀变速直线运动的物体而言，若 将x=0记为初始位置的坐标，则经过一段时 间产生的位移等于对应的位置坐标，且某时 刻物体的速度与位置坐标的关系为v2=十 2ax。对于由弹簧连接的物体系统而言，因 为弹簧弹力为变力，所以物体的速度与位置 坐标的关系较为复杂。以物体在弹簧弹力作 用下做简谐运动为例，剖析物体的速度与位 置坐标的关系，可以以小见大，领悟这类图像 问题的求解方法。 例4（多选题）在水平面上放置一弹 簧振子，用外力迫使弹簧振子运动起来。若 不计弹簧质量及一切摩擦阻力的影响，则弹 簧振子做简谐运动。如犭 图6所示，当弹簧为原长 时，物块位于O点，并记 为t=0时刻，取水平向 图6 右为x轴正方向。某时刻t,物块的速度为 ,则图7中的v与x的关系图像可能正确的 是( ）。 图7 新他额油星器膏中学生教理化 解析：弹簧振子做简谐运动，某时刻t物 块的位置坐标和速度分别为x=Asin wt, v=Awcos wt,其中A、w分别表示振幅与圆 频率。设弹簧的劲度系数为k,物块的质量 A+ 为m,则w三/，根据数学知识得 A=1,这是一个椭圆的方程；若“ 1rad/s,则v2十x2=A2,这是一个圆的方程。 答案：AB 点评：在物理学上，速度一位置图像构成 的是一个相平面，可用来直观地描述弹簧振 子的相位分布特性。 五、加速度与时间的关系图像 加速度与时间的关系是力与时间关系的 演变。在分析方法上，二者基本相同。不同 的是力与时间关系图像与坐标轴所围图形的 面积表示的是力的冲量，而加速度与时间关 系图像与坐标轴所围图形的面积表示的是速 度的变化量。 例5（多选题）如图8甲所示，质量分 别为mA、mB的A、B两物体用轻质弹簧连接 构成一个系统，外力F作用在物体A上，系 统静止在光滑水平面上（物体B紧靠墙面）， 此时弹簧的形变量为x。撤去外力F并开始 计时，A、B两物体的a-t图像如图8乙所示， S1表示0t1时间内物体A的α-t图像与坐 标轴所围图形的面积大小，S,、S:分别表示 t1一t2时间内物体A、B的a-t图像与坐标轴 所围图形的面积大小。已知物体A在t=t1 时刻的速度为。。下列说法正确的是( )。 000000000列 图8 A.0一t1时间内，墙对物体B的冲量等 于mAU0 B.mamB C.物体B开始运动后，弹簧的最大形变 37 中学生数理化筒中理化2026年3月 解题篇创新题追根溯源 量等于x D.S-S,=S: 解析：根据A、B两物体的a-t图像可 知，t=t1时刻A、B两物体的加速度均为零， 说明此时弹簧处于原长状态。根据动量定理 可知，墙对物体B的冲量大小等于mAvo;t= t2时刻物体B的加速度达最大，A、B两物体 的加速度大小关系为aa4,根据牛顿运动 定律可知，当A、B两物体之间的相互作用力 相等时，若二者的加速度大小关系为αa> aA,则mA>mB;在物体B开始运动后，由物 体A、B及弹簧组成的系统的动能不为零，因 此弹簧的最大形变量小于x;根据α-t图像与 坐标轴所围图形的面积表示物体速度的变化 量可知，t=t2时刻，弹簧处于最大伸长状态， A、B两物体的速度相同，则S1一S2=S。 答案：ABD 点评：撤去外力F,在物体B离开墙后 的运动过程中，系统所受外力的合力为零，只 有A、B两物体之间的相互作用，满足动量守 恒定律与机械能守恒定律的条件。当加速度 为零时，弹簧处于原长状态；当加速度最大 时，弹簧的弹力最大，其形变量最大，A、B两 物体具有相同的速度。可见，从A、B两物体 的a-t图像中挖掘出有价值的信息是分析与 求解问题的关键所在。 六、加速度与位移的关系图像 加速度与位移的关系是力与位移关系的 演变。在分析方法上，二者基本相同。不同 的是力与位移关系图像与坐标轴所围图形的 面积表示的是相应的力（可以是合力，也可以 是某个力)所做的功，而加速度与位移关系图 像与坐标轴所围图形的面积表示的是单位质 量物体所受合外力做的功或单位质量物体在 一段位移中的动能增加量。 例6（多选题）如图9甲所示，轻弹簧 竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为 m的小球（可视为质点），从离弹簧上端高为 x。处由静止下落，接触弹簧后继续向下运 动。若以小球开始下落的位置为坐标原点， 以竖直向下为正方向，建立直线坐标轴Ox, 作出小球的加速度a随小球位置坐标x的变 38 化关系如图9乙所示。已知当弹簧被压缩至 最低点时，小球所在位置坐标为x2,不计空 气阻力，弹簧的弹性势能B:=子kx,式中大 为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力 加速度为g。以下结论正确的是( ）。 图9 A.k=mg x1一x0 B.k=mg TI C.x2=2x1-x0D.x2=x1十√x1-x8 解析：根据小球的a-x图像可知，小球在 位置坐标x1处的加速度为0，速度最大，根 据平衡条件得k(x1一x。)=mg,解得k g一，选项A正确，B错误。小球从离弹 x1一x 簧上端高为x。处由静止开始做自由落体运 动，落到弹簧上端时存在初速度，小球从接触 弹簧到运动至最低点，以x1为分界点，分界 点上、下的弹簧压缩量不对称，且满足关系式 x2一x1>x1一x0,即x2>2x1一x6,选项C错 误。小球从初始位置运动到最低点的过程 1 中，根据机械能守恒定律得mgx:=之k· (x2一x),将k=mg代入并整理得工， x1-x0 （x2-xo)2 2(x1一)，解得x:=x1十-x,选项D 正确。 答案：AD ,点评：小球的下落运动包括自由落体运 动与简谐运动。根据简谐运动的对称性特点 进行分析不难得知，因为小球落在弹簧上端 时有初速度，所以小球从接触弹簧至将弹簧 压缩到最低，点的过程中，运动时间小于小球 做简谐运动的半个周期，且相对平衡位置而 言，前段运动时间小于后段运动时间，前段位 移小于后段位移。 (责任编辑张巧)