例谈圆锥曲线中定点问题的求解策略-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

例谈圆锥曲线中定 ■湖南省郴州市第 圆锥曲线中的定点问题是高考的重难点 之一，主要以解答题的形式考查，试题难度较 大，对同学们的代数恒等变形能力和计算能 力有较高的要求。在实际解题过程中，许多 同学常因对题型规律把握不足、解法选择不 当，陷人运算烦琐或思路混乱的困境。本文 结合圆锥曲线中的典型例题，系统阐释了三 类核心策略：一是特殊到一般法，适用于大多 数定点问题；二是引进参数法，适用于一般动 直线问题；三是齐次化处理法，适用于与斜率 相关的定点问题。 一、特殊到一般法 例1巳知双南线C号一养 =1(a 0,b>0)的左顶点为A,过左焦点F的直线 与双曲线C交于P,Q两点。当PQ⊥x轴 时，PA|=√I0,△PAQ的面积为3。 (1)求双曲线C的方程； (2)证明：以PQ为直径的圆经过定点。 解析：(1)如图1，当PQ x轴时，P,Q两点的横坐标均 为一c,代入双曲线C的方程得 b b yp=- a'y= ,即|PF1= 图1 b2 在R△PAF中，有（会） +(c-a)2 12b (√10)2，又SAPAG=2 -·(c-a)=3,结 合c2=a2十b,解得a=1,b=3,c=2,所以 双曲线C的方程为x一兰=1 (2)当直线PQ的斜率不存在时，以PQ 为直径的圆的方程为(x十2)十y2=9;当直 线PQ的斜率为零时，以PQ为直径的圆的 方程为x2十y2=1。联立两圆方程解得两圆 的交点为E(1,0)。下面证明以PQ为直径 的圆过定点E(1,0)。 极数學典题赛壁的青中学生款理化 点问题的求解策略 二中学 罗淑英 由(1)知，当直线PQ的斜率不为零时， 设直线PQ的方程为x=my-2,P(x1,y1), Q(x2,y2）。 x=my-2, 联立 消去x整理得(3m 3x2-y2=3, 一1)y2一12my+9=0,则3m2一1≠0，△= 12m 36m2+36>0,y1+y2= 3m2-1'y1y2= 9 3m2-1 因为EP·Ed=(x1-1)(x2-1)十 y1y2=x1x2-（x1+x2)+1+y1y2=(my1 2)(my2-2)-(my1-2+my2-2)+1+ y1y2=(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+9= 9 (m2+1)· 3m21-3m 3m=7+9=0,所 12m 以以PQ为直径的圆经过定点(1,0)。 综上可得，以PQ为直径的圆经过定点 E(1,0)。 评注：本题的定，点问题采用“特殊到一 般”的策略，先求出“斜率为0”及“斜率不存 在”这两种特殊情形下圆的方程，联立后得定 点，再去证明一般情形下以PQ为直径的圆 过该定点。这种策略先通过特殊情况提供 “直观猜想”，再通过一般证明保证“结论普 适”，既符合数学“先猜后证”的思维规律，也 契合高考对“严谨性”的要求。 二、引进参数法 1.推导直线斜率与截距的关系 例2已知椭周c号+若-1a> b>0),A(2,0),B(0,1)分 别为椭圆C的右顶点和 上顶点，如图2，过椭圆C 上的一点M(异于点A, B)且斜率为2的直线与 图2 直线AB交于点Q,M反=QP,直线AP与椭 圆C的另一个交点为N。 (1)求椭圆C的方程； 41 中学生表理化学怒聚酸方祛 (2)证明：直线MN经过定点。 解析：(1)由题意知a=2,b=1,所以椭 圆C的方程为+y=1。 (2)由题意知直线MN的斜率存在，设 直线MN的方程为y=mx+n,M(x1,y1), N(x2,y2),P(xo,yo)。 由题意知直线AB的方程为x十2y=2,斜 率为一子又直线MD的斜率为2，所以km· kAB=一1。因为M忘=QP,所以点M,P关于 十+2.4少=2， 2 2 直线AB对称，则 解 y1一y=2, x1—x0 4+3x1一4y1 To= 5 得 8-4x1-3y1 yo= 5 又因为AP=(x。-2,y。),AN=(.x2 2,y2),且AN∥AP,所以y2(x0-2)=(x2 2)yo,即y2( 4十3x1一4y-2）=(x:-2)· 5 8一4x1一3y,将y1=mx1十n,y=mx:十， 5 代入整理得（一4m2十6m十4）x1x2-(4mn十 6m+8-3n)(x1十x2)-4(n2+3n-4)=0。 x 联立 4 +y2=1, 消去y整理得(4m2十 y=nx十n, 1)x2十8mnx十4n2-4=0,则x1十x2= -8mn 4n2-4 4m+1212:-4m+1 所以(-4m'+6m十4)·4n-4 4m2+1 (4mn+6m+8-3n)· 4m2+1-4(n2+3n -8mn 4)=0,化简得(2m十n)[10m十3(n-1)]= 0,解得n=-2m,或10m十3n=3。 若n=一2m,则直线MN的方程为y= m(x一2)，直线MN过定点(2,0)，此时点M 与点A重合，不符合题意，故舍去； 若10m十3n=3,则直线MN的方程为 y=m（x一 9）)+1,所以直线MN过定点 42 ) 评注：本题的定点问题通过在直线的斜 截式方程中引进参数，采用“推导直线斜率与 截距的关系”的策略解决动直线定点问题，先 设动直线MN的斜截式方程为y=mx十n, 将直线的“动”转化成参数m、n的变化，再将 “直线过定点”的几何问题转化为“推导m与 的约束关系”的代数问题。这种策略既通 过参数将动态问题静态化，又借助代数推导 保证结论的严谨性，同时也体现了“几何条件 代数化”的解析几何核心思想。 2.结合参数关系求直线的点斜式方程 例3已知抛物线C的焦点F(2,0), 过点F作斜率为k1,k,的两条直线分别交C 于M,N两点和P,Q两点，其 中k1十k2=1。设线段MN和 PQ的中点分别为A,B,过点 F作FD⊥AB,垂足为D,如 图3。 (1)求抛物线C的方程。 图3 (2)试问：是否存在定点 T,使得线段TD的长度为定值？若存在，求 出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由。 解析：(1)设抛物线C的方程为y=2px (p>0),由题意得)=2，所以力=4，故抛物 2 线C的方程为y2=8x。 (2)如图3，设直线MN的方程为y= k1(x一2)，M(x1,y1),N(x2,y:),则 A(,） (y=k1(x一2)， 联立 消去x整理得y2- y2=8.x, 8 y-16=0,则△=64(k十1)>0，y1+y,= Ey1y2=-16。 所以x,十x2=二十4=十4，故 k A(信+2是) 4 同理B(+2，) 44 k ko kik2 故AB三 (+2)-（+2 k1十k2 又因为k1十k2=1,所以kAB=k1k2。 所以直线AB的方程为y=k1k2· (-是-2)+是-(x-2)+0型 =k1k2(x一2)十4，故直线AB过定点E(2, 4)。 又FD⊥AB,所以点D在以EF为直径 的圆(x-2)2十(y一2)2=4上。 故存在定点T(2,2),使得线段TD的长 度为定值2。 评注：本题的定，点问题综合性较强，需先 求出直线AB过定，点，再结合题目中的垂直 条件及圆的定义求出定点T使得TD为定 长。在处理直线AB过定，点时，先采用参数 表示A,B的坐标，再写出直线AB的点斜式 方程，结合参数之间的关系k1十k2=1得到 直线AB过定点。这种策略是以“参数化”为 桥梁，让“动态几何对象”有了可运算的代数 戟体，降低了圆锥曲线中动直线过定，点问题 的分析难度。 三、齐次化处理法 例4已知点P(4,3)在双曲线C: 一岩1(a≥0b0)上，过点P作工至 平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于点 M,N,且|PM|·|PN|=4。 (1)求双曲线C的方程。 (2)直线（与双曲线C交于不同的两点 A,B,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2, 且k1k2=1。证明：直线l过定点。 解析：(1)因为点P(4,3)在双曲线C 上.所9是=1 过P作x轴的平行线y=3,与y=士二x 交于点M,N,记M(g,3N(-2,3) 所以1PM·1PN1=4-g· 解照信效经典题突破方清中学生表理化 高三数学2026年3月 4+0-h6-器-a9-引-a 4,即a=2。 将a=2代入9是-1，得6=尽 所以双南线C的方程为号一苦-1 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)。 令rx-4, 则口=x'+4, y'=y-3, yy43,双曲线C 的方程化为x'十4)y'+3 4 3 -=1,整理得 3x2-4y2+24x'-24y'=0。① 设直线l的方程为mx'十ny'=1,代入 ①式得3x2-4y'2+24(.x'-y')(mx'+ny') =0,整理得(3十24m)x'2十24(n-m)x'y' (4十24n)y”=0,两边同时除以x'2,得(4+ 24m)学)°-21n-m)学-(8+24m)=0. 面题意，片+兰=24a 4+24n 6nm2,当.当=-（3+24m 1+6n'x1x2 4十24n 因为k4=,一3= 1-4=7,km=,-3 x2-4 所以·=了 · 一(3十24m）=1,解得n=一24 4+24n -m。 因为直线l的方程为m(x一4)+n(y 3)=1,所以直线l的方程为m(x一4)十 (员-m)水y-3)=1,即mx-y-1)+ x-y-1=0, x=7 所以 1 解得 24y- 8 =0, 3 y-- 所以直线1过定点（号，一）。 评注：本题的定，点问题是采用“齐次化处 理”的策略：首先，通过坐标变换，将原双曲线 转化为新坐标系的方程；其次，设直线！的方 程为mx'十ny'=1,利用“1”的代换得到关于 x'、y'的二次齐次方程；最后，将齐次方程转 43 中学生数理化演练篇核心考点演练 高三数学2026年3月 解析几何”试题精选 ■陕西省宁强县天津高级中学 李雪婷 ■陕西省汉中市四○五学校 侯有岐（特级、正高级教师） 1.已知双曲线C:云 .y2 标xD的取值范围及点D的轨迹方程。 =1(a,b>0》 4.已知双曲线C:一y =1(a,b>0) 过点(32)，且离心率为2y5 3 过点(2，√6)，且其一条渐近线与双曲线C1: (1)求双曲线C的方程； z'y (2)已知M是直线x-号上一点，直线 年一之=1的一条渐近线垂直。M,N分别 为双曲线C的左顶点和右顶点。 MF(其中F为双曲线C的右焦点)交双曲线 (1)求双曲线C的方程。 C于A,B两点（点A在第一象限），O为坐 (2)设过点D(2,0)的动直线L交双曲线 标原点，过点M作直线OA的平行线1，l与 C的右支于A,B两点（点A在第一象限）。 直线OB交于点P,与x轴交于点Q,证明：P 为线段MQ的中点。 “是否为定值？若是，求出 ①试探究：k 2.过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点 这个定值；若不是，请说明理由。 F作直线！与抛物线C交于A,B两点，当点 ②求S△O4B的最小值。 A的纵坐标为2时，AF1=1。 5.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0) (1)求抛物线C的方程； 的焦点，P,Q分别为抛物线C上的点（点P 在点Q的上方)，当△OPQ为正三角形时，其 (2)若E是直线y=x一4上的动点，过 点E作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中 面积为48√3。 P,Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点， (1)求抛物线C的方程。 并求出该定点的坐标。 (2)过点F的直线l与抛物线C交于A, 3已知F,R为椭圆C:若+若=1 B两点，点A在x轴上方，AM,BN均垂直 于抛物线C的准线，垂足分别为M,N。 (a>b>0)的左焦点和右焦点，且|F1F2| ①当|AB|=3|BN|时，求直线l的方 4,若P,Q为椭圆C上的两个动点，且|PF: 程： +PF2|=6。 ②已知O为坐标原点，证明：|OA· (1)求椭圆C的方程； OB|=|OM|·|ON|. (2)若P,Q两点的横坐标之和为号，设直 已知A,B分别为椭圆E:号+y=1 线（为线段PQ的中垂线，过椭圆C的左顶点 的左顶点和右顶点，P为直线x=4上的动 A作直线AD⊥l,垂足为D,求垂足D的横坐 点，PA,PB与椭圆E的另一个交点分别为 /a个0·0·6/0gg·006·/0·o006·0·o0·0·0·0·o0个0·0·00个0、0g。·00006·00g060g 化为关于斜率的一元二次方程，结合韦达定 纽带。本文梳理了定点问题的核心思路，揭 理解决定点问题。这种策略常用来处理圆锥 示其“变化中寻不变”的本质。同学们在平时 曲线中涉及斜率和或积的定，点问题，避免了 学习过程中要深化对圆锥曲线的理解，提升 复杂的韦达定理展开，简化了计算。 化繁为简、数形结合的能力，为后续学习奠定 总之，圆锥曲线中的定点问题，既是解析 基础。 几何中的核心内容，也是连接代数与几何的 (责任编辑王福华) 44