复合型三角函数最值问题的求解策略与路径探究-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

中学生表理化学聚破方法 复合型三角函数最值问题的求解策略与路径探究 888鳳 ■贵州省天柱民族中学 龙成芳 三角函数作为高中数学的核心知识之一， 不仅是高考必考内容，更是同学们普遍反映的 令2x+=，则∈[ 元4元 ,函数变 难点和易错点。在复合型三角函数的考查中， 为g(t)=cost十。 最值问题始终占据核心地位。本文系统梳理 根据余弦函数的单调性变化规律可知， 了复合型三角函数最值问题的三种主要题型： 三角函数与一次函数复合型、三角函数与二次 函数g)=01十2在[晋网上单调递减， 函数复合型，以及三角函数与其他函数的加 减或乘除复合型，并针对这些题型展开深人 在(，] 上单调递增，所以g(t)x= 探讨，分析其常用的解题方法与技巧，旨在为 (）=cos+ 1 同学们的复习提供切实有效的参考。 =1,g(t)mn=g(x)= 题型一、三角函数与一次函数复合型 1 此类题型作为复合型三角函数最值问题 2 2 中的典型代表，其函数形式主要表现为∫(x) 因为前面代换2x十三-1，所以f(x) =Asin(wx十p)十b的标准化结构，是三角函 数与一次函数的复合形式。解题时需先构建 ，即函 1 =g(t)mx=1,f()min=g(t)min=- 分析框架：基于初等三角函数y=sinx或y =cosx的单调性特征，通过相位变换和振幅 数：)的最大值为1，最小值为一之 调整，推导出复合函数f(x)=Asin(awx十p) 点评：本题是在平面向量的情境中，考 十b的单调变化规律，最终依据单调性即可 查三角函数的周期和最值的求解问题。解 确定函数的最值。这种解题方法既体现了三 题时的具体步骤为：首先，通过函数化简将 角函数性质的核心应用，又展现了数形结合 其转化为标准形式f(x)=Asin(wx十p)十 思想在函数最值问题中的实践价值。 b:其次，基于初等三角函数性质，结合给定 例1已知向量a=(cos3sinx), 区间分析函数的单调变化规律；最后，依据 b=(cosx,一cosx)。函数f(.x)=a·b。 单调性确定最值点并完成求解。解题过程 (1)求函数f(x)的最小正周期； 中需特别注意两个要点：其一，函数化简必 (2)当x∈[o,]时，求函数fx)的最值. 须确保达到标准形式，这是后续分析的基 础；其二，在运用初等三角函数的单调性时， 解析：(1)已知向量a=(cosx, 既可直接推导复合函数的单调区间，也可通 √5sinx),b=(cosx,一cosx),所以函数 过换元法将问题转化为简单三角函数的最 f(x)=cos'x-3 sin xcos x= 2 cos 2x+ 值求解。 1√3 2 in2x=cos2x+）+ 题型二、三角函数与二次函数复合型 此类题型的函数主要表现为二次函数与 故函数f(x)的最小正周期T=2红=元 三角函数的复合形式，其典型结构为f(x)= asin'x十bsin x十c(a≠0)。解题时需采用换 (2)因为x∈[，]，所以2x+吾∈ 元法将三角函数转化为二次函数，具体实施 「元4π] 步骤为：首先，令t=sinx,将原函数转化为 L33 关于t的二次函数f(t)=at+bt十c(a≠ 36 解数学典题资壁方清中学生表理化 0);其次，根据t的取值范围确定二次函数的 加减或乘除复合为典型特征，其最值求解 定义域；最后，运用二次函数的最值求解方 通常采用导数法：先对函数求导，再分析导 法，通过顶点公式或配方法即可求得函数的 函数的符号变化确定原函数的单调性，进 最值。这种解题策略既体现了转化思想的数 而依据单调性变化规律确定极值点位置， 学思维，又展现了函数复合问题的系统性求 最终求得函数的最值。这种解题方法既体 解方法。 现了导数工具在函数分析中的核心作用， 例2已知函数f(x)=-2cosx十 又展现了数形结合思想在极值问题中的实 4sinx-1,当x∈[0，π]时，函数m(x)= 践价值。 f(x)一a≥0恒成立，求实数a的取值范围。 例3已知函数f(x)=e'cosx,g(x) 解析：已知f(x)=一2cosx+4sinx一1 sin x+cos x-2x-2 =-2(1-sin'x)+4sin x -1=2sin'x+ 4sinx-3。 (1)求函数∫(x)在区间 [0,]内的最 令sinx=t,因为x∈[0，π]，所以t∈ 大值； [0,1],设g(t)=2t2+4t-3。 (2)若函数y=g(x)一a在区间（一2π， 因为二次函数g(t)=2t2+4t一3的对 2π)上有2个零点，求实数a的取值范围。 称轴为t=一2庄[0,1]，所以函数g(t)=2t 解析：(1)对函数f(x)求导，得f'(x)= 十4t一3在[0,1]内单调递增，所以g(t)mim= g(0)=一3」 e'cos -e'sin ecos() 所以函数f(x)的最小值为一3。 当x∈[0，π]时，函数m(x)=f(x)一 令f(x)>0,即cos(x+于)>0，解得 a≥0恒成立，即f(x)mm一a≥0恒成立，所以 3+2k<x<T+2k,k∈Z。 4 一3-a≥0，解得a≤-3。 所以满足题意的实数α的取值范围为 又因为x∈[0，]，所以函数fx)在 (-∞，-3]。 点评：本题是根据函数有关的不等式恒 [0,]内单调递增，在（行，]内单调递减， 成立求参数取值范围问题，实质考查的是二 次函数与正弦函数的复合型函数求最值。解 2 题时的具体步骤为：首先，利用同角三角函数 (2)对函数g(x)求导，得g'(x)= 的平方关系将三角函数名统一，确保函，数结 构的规范性；其次，采用换元法，令sinx=t, (e")[(-sin &+cos z-2)e-(cos a+ 将原函数转化为标准的二次函数g(t)= sin x-2x-2)e]=1(2x-2sin x). 2t”十4t一3，同时根据正弦函数的性质确定t 的取值范围；最后，通过配方法或顶点公式求 设m(x)=x一sinx,则m'(x)=1 解该二次函数的最小值。解题过程中需特别 cosx>0,所以函数m(x)在R上单调递增。 注意三个要，点：其一，避免使用求导法处理， 又因为m(0)=0一0=0，所以当x∈ 应选择更基础的代数方法；其二，在换元前必 (一2π，0)时，m(x)<0,则g'(x)<0,即函数 须完成三角函数名的统一转换；其三，要明确 g(x)单调递减；当x∈(0,2π)时，m(x)>0, 则g'(x)>0,即函数g(x)单调递增。 换元前后函，数的最值具有等价性，确保解题 过程的严谨性。 所以g(x)mm=g(0)=一1。 题型三、三角函数与其他函数的加减或乘 又因为g(-2x)=[os(-2x)+ 除复合型 此类题型以三角函数与非常数函数的 sin(-2元)+4元-2]=4π1 ,g(2π)= 37 中学生表理化学聚整方法 边角互化与转化归一： 解三角形问题的通法研究 ■江苏省南京市第十二中学 金本平 三角形是连接几何直观与代数运算的枢 例1在△ABC中，角A,B,C的对 纽，更是高考屡考屡新的“分水岭”。命题愈 边分别是a,b,c,且bcos C=(2a一c)· 发灵活，常与函数、不等式等模块交织，综合 cosB。 度陡升，对同学们的能力提出更高要求。本 (1)求角B的大小： 文以典型例题为切入点，分类解析基本量求 (2)若b=3,sinC=2sinA,求△ABC 解、范围最值、三线性质等核心题型，系统梳 的面积。 理通性通法，并穿插“破题妙招”，帮助同学们 解析：(1)方法一：（正弦定理）由正弦定 高效突围，实现复习与解题能力的双向跃迁。 理得sin Bcos C=(2sinA-sinC)cosB= 一、边角互化：基本量求解的通法 2 sin Acos B-sin Ccos B。在△ABC中， 三角形的边、角、周长和面积等基本量， sin A=sin(B+C)=sin Bcos C++sin Ccos B, 构成了解决一切三角形问题的基础。高考据 所以sinA=2 sin Acos B。又因为sinA≠0 此设题，常以“给一半、求一半”的形式，检验 所以c0sB=合.又B∈0，)：放B=答· 同学们的运算与推理能力。在求解过程中， 方法二：（余弦定理）由余弦定理得b· 若条件含角的正弦或边的一次式，优先选用 a+b二c=(2a-c).a+c-b,化简得 正弦定理—边化角，简化运算；若条件给出 2ab 2ac 角的余弦或边的二次式，则宜先采用余弦定 a”十c2-b2=ac。又因为B∈(0，π)，所以 理一角化边，建立边的代数关系。两法互 0月-dB-数-合则B-青 2ac 通，本质是边角“翻译”成统一语言，审题瞬间 (2)方法一：（正弦定理）在△ABC中， 抓住关键字眼，择优而用，即可快、准、稳地补 齐所有基本量。 sinC=sim(B+A)=2simA,整理得多sinA (cos2x十sin2元-4π-2)=- 1 数、一次函数与指数函数的综合应用，问题为 含参函数存在两个零点，需先利用二阶求导 g(一2π)>g(2π)，所以要使函数y=g(x) 判断函数的单调性，确定最值后，再据此求解 a在区间（一2π，2π）上有2个零点，则一1< 参数的取值范围。这类题型既考查同学们对 a 4π十1 复合函数求导的掌握程度，又检验其对三角 e2m 函，数性质及其应用的熟练程度，同时凸显了 所以满足题意的实数a的取值范围为 导数工具在函数分析中的核心作用。 (1. 最后，本文针对复合型三角函数最值及 点评：本题作为新高考热，点题型，由两个 其应用问题展开系统性研究，从函数组合形 小问构成：第(1)问聚焦余弦函数与指数函数 式的角度切人，将相关题型划分为三种典型 的乘积形式，解题时需先求导，通过分析导函 结构。通过深入分析各类题型的内在规律与 解题要点，系统提炼出相应的解题策略与实 数符号以判断原函数的单调性，进而确定函 用技巧，旨在为高考备考提供具有针对性的 数的最大值；第(2)问涉及正弦函数、余孩函 解题思路和方法指导。（责任编辑王福华） 38