圆锥曲线中含向量共线条件问题的突破-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

中学生表理化学经圣酸方法 圆锥曲线中含向量共线条件问题的突破 ■湖南省郴州市第二中学 旷东北 圆锥曲线是高中解析几何的核心载体， 而向量共线条件的嵌人，常常让曲线与点、线 设A(,8),B(:,专)，则A( 的关系更隐蔽—看似是向量的方向关联， 2),Ad=(-x12).O=(,) 实则是坐标的代数约束，成为同学们“能看懂 由A1,O,B三点共线，得A1♂OB,所 条件，却摸不清转化路径”的解题痛点。向量 共线条件在圆锥曲线中呈现出不同的复杂 以（无）：82x=0,解得zx=16 度，从三点联动的共线，到多组向量交织的 “双共线”，本文聚焦这两类典型场景，拆解向 易知直线A0的方程为y-令·，直线 量共线条件的转化技巧，最终实现圆锥曲线 中含向量共线条件问题的突破。 B0的方程为y-专·x, 一、含三点共线条件 当题目中出现三点共线条件时，转化成 所以M(-,-2(,-2)于 共点的两个向量共线，避免了斜率不存在的 是=(，4，市=(4)，M市.N 特殊情形。譬如，若P(x1,y1),Q(x2,y2), 256 R(x,y)三点共线，则P反∥P求，所以(x2 +16=0,则M币⊥NP」 xIx? x1)(ya-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0。 因此点P在以MN为 例1已知与圆P:x2+(y一2)”=1 直径的圆上，如图1。 内切，且与直线1：y=一3相切的动圆Q的 设直线l,:y=一2与 圆心轨迹为曲线C,直线（与曲线C交于A, y轴交于点H(0,一2)，由 B两点，O为坐标原点，延长AO,BO分别与 Rt△PMH∽Rt△NPH, 直线l2:y=一2交于点M,N。 得|HM·|HN|=|HPI 图1 (1)求曲线C的方程。 =16,则|MN12=(HM- (2)过点A作AA1⊥12于A1,若A1,O, HN):=HM+HN -2HM.HN= B三点共线，试探究：线段MN的长度是否 HM:+|HN2+2|HIM|·IHN|≥ 存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果 41HM1·HN1=64,即|MN|≥8，当且仅 不存在，请说明理由。 当|HM|=HN|时，等号成立，所以线段 解析：(1)依题意，动圆Q在圆P外，设 MN的长度存在最小值，且最小值为8。 动圆Q的半径为r,且>1。 评注：第(1)问考查了圆与圆的位置关 由圆Q与圆P内切，得|QP|=r一1。 系、圆与直线相切及抛物线定义，核心是用定 由圆Q与直线1：y=一3相切，可知点Q到 义法求轨迹方程，凸显掌握抛物线定义的重 点P(0,2)的距离等于点Q到直线l2:y= 要性。第(2)问针对A1,O,B三点共线，联 一2的距离，即曲线C是以P(0,2)为焦点， 想到向量共线的定义，将其转化为A1δ∥ 直线l2:y=一2为准线的抛物线，所以曲线 O庐，再通过向量共线的坐标表示得到x1x2 C的方程为x2=8y。 为定值。解题亮点是避开了联立直线与抛物 (2)线段MN的长度存在最小值，理由 线方程的烦琐代数计算，而是利用相似三角 如下： 形得|HM|·|HN|为定值，体现了“几何简 36 解数学典题资壁内清中学生表理化 化代数”的核心思想。 同理，由PB=nBQ,可得4(t2一1)n2十 二、含向量双共线条件 8(t-1)n-1=0。 当题目中出现向量双共线条件时，可通 故m,n是一元二次方程4(t2一1)x”十 过向量数乘运算转化成两组向量的坐标对应 8(t一1)x一1=0的两个解，所以t2一1≠0， 分量相等。譬如，若P石=mAB,M术=nC) 2 m十n= (m,n≠0)，则{0-xp=m(xB-xA), t十19 和 显然直线AB的斜率存在，故可设直线 yo-yp=m(yB-yA), AB的方程为y一1=k(x一1)，即y=kx一 xN-xM=n(xD一xc）, k+1。 lyN-yM=n(yD-yc）。 /y=kx-k十1， 份2已知双曲战C若- =1(a> 联立 x2-y? 1, 消去y整理得 0,b>0),点P(1,1)到C的两条渐近线的距 (4-k2)x2十2k(k-1)x-k2+2k-5=0。 离之比为1：3，过点P的直线（与C交于 由直线AB与双曲线C交于右支得4一 A,B两点，且当L的斜率为0时，|AB|= k2≠0，△=[2k(k-1)]2-4(4-k2)(-k2十 5。 (1)求双曲线C的方程； 2k-5)>0,x1十，=-2k61>0,x1x 4-k2 (2)若点A,B都在C的右支上，且1与 x轴交于点Q,设PA=mA反，PB=nBQ,求 =一k+26一5>0，解得k<-2或2<k< 4一k2 m十n的取值范围。 解析：(1)双曲线C的渐近线方程为 2。 bx±ay=0。 由题意知，P,A,Q,B四 点共线，如图2所示。 由题意得 b-a b+al 3,则(2a-b)(a 1 所以k=kQ= 1 2b)=0,解得a=2b或b=2a。 1, 则 当l的斜率为0时，得1的方程为y=1, =1-,所以m十= 一2 图2 代人双曲线方程得x=士a,√1十 b2。 -2 19 2一k 由条件知2a√1+ 1 b2 =5,则 +a 5 因为k<-2或2<k<号，所以2<2- 40 <政<2< 若a=2b,则a=-1, 4,舍去： 若b=2a,则a=1,b=2。 所以m+n的取值范围为(-1，一专)U 所以双商线C的方程为一苦-1。 (2)设点A(x1y1),B(x2,y2),Q(t,0)。 评注：第(1)问的核心思路是先利用，点到 由PA=mAd,可得(x1-1,y1-1)= 渐近线的距离公式，再结合距离比条件，建立 mt-x1,-y),则-1=m-x1), a,b的关系，最后借助弦长条件及a2>0进 所 y1-1=-my1, 行取舍，即可确定a,b的值。第(2)问针对 以A(牛中)，代入双曲线方程并整 PA=mAd及PB=nBd,由向量坐标的数 乘运算，转化成点的坐标关系，由对应分量相 理得4(t2-1)m2十8(t-1)m-1=0。 等可得到A,B的坐标。解题亮，点是将A,B 37 中学生数理化贺韁学怒典翠破方法 圆锥曲线中特殊图形存在性问题的转化与求解 ■湖南省郴州市第二中学 颜胸晖 圆锥曲线中特殊图形存在性问题是连接 1=0。 几何直观与代数运算的重要纽带，也是高考 y2=4x, 联立 x十y-1=0, 消去y整理得x2一 命题的热点。这类问题需要把握特殊图形的 特征，结合圆锥曲线的定义、性质，联立直线 6x+1=0,解得x=3士2√2。 与圆锥曲线方程，通过代数方法来探究满足 设D(x1,y1),E(x2,y2),由图1知， 特定几何条件的图形是否存在，或者求已知 x1<x2,所以x1=3-22,则y1=2√2一2， 特殊图形存在时满足的条件。在日常学习过 所以D(3-2√2,2√2-2)。 程中，同学们在解决此类问题时，常面临几何 若存在点G,使得△DEG是以D为直角 条件转化困难、代数运算烦琐、分类讨论不全 顶点的直角三角形，则DE⊥DG,所以kpG= 等挑战。本文将结合具体实例，系统梳理圆 锥曲线中特殊图形存在性问题的转化与求 1,故直线DG:y-2√2十2=x-3+2√2，即 解，为同学们突破这类问题提供思路参考。 x-y+4√2-5=0。 一、直角三角形存在性问题 联立 y2=4.x, 消去y整理 例1已知动点M到点F(1,0)和直 x-y+4W2-5=0, 线x=一1的距离相等。 得x2+2×(4√2-7)x+57一40√2=0，因为 (1)求动点M的轨迹C的方程。 △=96一64√2>0，所以存在点G,使得 (2)过点F的直线l与轨迹C相交于D, △DEG是以D为直角顶点的直角三角形， E两点（点D在第一象限），若DE的中点为 此时直线DG的方程为x一y十4√2一5=0。 H(3,一2)，试判断：轨迹C上是否存在一点 点评：本题是抛物线与直角三角形存在 G,使得△DEG是以D为直角顶点的直角三 性问题结合的典型例题，将△DEG是以D 角形？若存在，求出直线DG的方程；若不存 为直角顶，点的几何垂直关系转化为DG⊥ 在，请说明理由。 DE的代数斜率关系，把抽象的“直角”转化 解析：(1)由抛物线定义知，动点M的轨 为可计算的斜率关系。解题的关键是结合，点 迹是以F(1,0)为焦点，直线x=一1为准线 D在第一象限的限制条件，通过联立直线 的抛物线，所以轨迹C的方程为y2=4x。 DE与抛物线方程，确定顶点D的坐标，为后 (2)由题意知，D,F,H,E 续构建直线DG和验证存在性奠定基础。 四点共线，如图1所示。 二、等腰三角形存在性问题 设直线DE的斜率为k, 由F(1,0),H(3,一2)，可得 例2已知椭圆C:。+=1(a二 k=kHF- -2-0 3-1 =一1，所以 图1 >0)过点(2,0)，且离心率是2 2 直线DE的方程为y=一(x-1),即x十y (1)求椭圆C的方程和短轴长。 入入入小入入入入入入入入入入入入入入入入入入入入小入入入入入入入 的坐标代入双曲线方程后，利用同构思想可 的问题，关键是抓住向量共线的坐标对应关 得m,n是一元二次方程4(t2一1)x2十8(t 系，完成条件“翻译”，让向量共线条件化隐为 1)x一1=0的两个解，再由韦达定理得到用t 显，为解决直线与圆锥曲线相交的综合问题 表示m十n的表达式。 提供重要线索。 总之，解决圆锥曲线中含向量共线条件 (责任编辑王福华) 38