圆锥曲线创设，“三定”问题突破-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

中学生表理化学创新辞餐膏 圆链曲线创设 ■江苏省扬中市第二 基于圆锥曲线场景设置下的定点、定值 与定线问题（统称“三定”），是历年高考数学 中的常见题型之一，也是备受师生关注的焦 点问题之一。其立足圆锥曲线的应用场景， 融合其中相关的点、线、曲线等相关元素，构 建“动态”与“静态”之间的和谐统一，联系“变 量”与“常量”之间的等价转化，同时合理交汇 其他相关知识，成为全面考查能力与综合应 用的一大重要类型。 一、定点问题 圆锥曲线中的定点问题，往往是判断或 证明相关要素、曲线系等过定点，如常见的直 线、圆等对应的曲线过定点，由此构建相应的 直线系或圆系等问题，是“运动”与“静止”的 和谐统一 例1已知A1(-1,0),A2(1,0),直线 A1P,A2P相交于点P,且它们的斜率之积是 4,记点P的轨迹为曲线C。 (1)求C的方程； (2)不过A1,A2的直线l与C交于M, N两点，直线MA1与NA,交于点S,点S 在直线x=号上，证明：直线1过定点。 2 解析：1)设P(x,y),则4-十 (x≠-1)，kA.=y(x≠1)。 x-1 由题意知十·之=4(x≠士1)，故 y C的方程为x一 =1(x≠土1)。 4 (2)设M(x1,y1),N(x2, y2)。 若直线（的斜率为0，则 直线MA1与NA2的交点在y 轴上，与已知矛盾。 所以可设直线（的方程 为x=my十n(n≠士1)，如图 图1 1所示。 22 “三定”问题突破 高级中学汪勇 x=ny十n, 联立 消去x整理得(4m2 4x2-y2=4, -1)y2+8mny十4n2一4=0，则△=16(4m2 +n-1)>0y1+y=8m2 4m2-1'y1y2= 4n2-4 4m2-1° 由点s在直线x=上，可设s(径)小， 则kA,M二 t=2」 t-=-2t >十一五32”人一一 所以kAN=一3kA,M。 又kA,N·kAN=k4,N·(一3kA,M)=4,即 音即‘一合所 以-3y1y2=4(x2+1)(x1+1)=4(my2+ n十1)(my1十n+1),变形得(4m2十3)· y1y2+4(mn+m)(y1+y2)+4(n+1)2=0, 、所以4m2+3十4(mn+m)8m” 4m2-1 十4(n十1)2=0，整理得n2一n一2=0，解得 n=一1（舍去），或n=2。 所以直线l的方程为x=y十2，且过定 点(2,0)。 点评：破解圆锥曲线中的定点问题的常见 解法为：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动 线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量 与参数何时没有关系，从而找到定，点；(2)特殊 到一般法：先猜后证，可先考虑运动图形是否 有对称性及特殊（或极端）位置猜想，如直线的 水平或竖直位置，即k=0或k不存在。 二、定值问题 圆锥曲线中的定值问题，往往是判断或 证明相关要素、代数式或关系式等为定值，如 常见的距离（线段的长度、点到直线的距离 等)、平面向量的数量积、三角形的面积或周 长，以及相关的参数值或比值等相关几何量 是定值，是“变量”与“常量”的和谐统一。 y 例2已知双曲线C:=1(a 0,b>0)的离心率为2，右顶点D到一条渐近 线的距离为号。 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线！与双曲线C交于A,B两 点，且OA·OB=0,O为坐标原点，试证明： 点O到直线的距离为定值。 解析：(1)由题意知，双曲线C的渐近线 方程为y=±名x,右顶点为D(a,0)。 由a+6=c,誓 ab va'+b c,e= =2,可得b=3。 a 由a2十3=4a2,可得a2=1。 所以双曲线C的方程为x 3=1。 (2)设A(x1,y1),B(x2y2)。 当直线l和轴线平行时，|x1|=|y1|= |x2=|y2I,解得|x1|=y1|=|x2|=|y21 6 ,所以点O到直线L的距离为5。 当直线！和轴线不平行时，设直线l的 方程为x=my十t。 联立 消去x整理得(3m2 x=my+t, 1)y2+6mty+3t2-3=0,则△=(6mt)2 4(3m2-1)(3t2-3)=12(3m2+t2-1)>0, -6mt V1干y23m2-1y1y=3m。 又因为x1=my1十t,x2=my2十t,所以 OA.OB=z:+yy:=(my+t)(my:+ t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+ =0m+13-3+mt(36m）+2=0, 3m2-1 （3m2-1 解得2t2=3m2十3。 又因为点O到直线l的距离为d= t /m2+1 ，所以d=t m+1之，放d= 3 2 综上，点0到直线1的距离为定值。 极数华额恩费是膏中学生教理化 ,点评：破解圆推曲线中的定值问题的两 大途径为：(1)可由特例得出一个值（此值一 般就是定值)，然后证明定值；(2)先将式子用 动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满 足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消 或分子与分母约分得定值。 三、定线问题 圆锥曲线中的定线问题，往往是判断或 证明相关要素、动点等过定直线，如常见的两 直线的交点、三角形外接圆或内切圆的圆心 等相关点在定直线上，是“动态”与“静态”的 和谐统一。 例3已知双曲线C:a一京二1(a、 0,b>0)的离心率为2，过点E(1,0)的直线 与C的左、右两支交于点M、N(异于顶点)。 (1)若P为线段MN的中点，求直线OP 与直线MN的斜率之积(O为坐标原点)。 (2)若A、B分别为双曲线的左、右顶点， 且|AB|=4,试问：直线AN与直线BM的 交点G是否在定直线上？若是，求出该定直 线；若不是，请说明理由。 解折：1)由e=台=Ec=a十，可 得a=b。 设M(x1y1),N(x2y2),P(x0yo),则 1a一6=1，两式作差得y一y xi yi xi yi a26京=1， x1一xg =b.1十x2=b. a'y1+y:a yo 因为长w=二斗-久，，km=兰， x1-x2 a 所以askor一=1。 (2)因为2a=4,所以a=b=2,则 A(一2,0)，B(2,0)。 设直线l:x=1十ty,t≠0，M(x1,y1), x=1+ty(t≠0)， N(x2,y,),联立 x2-y2=4, 消去x整 理得(t2-1)y2+2ty-3=0,则△=16t2-12 -2t -3 >0,t2-1≠0y1+y=2-7yy=-1 所以ty1y2= 3(y1+y2) 2 23 中学生煮款理化智皱学创新鼻餐滑源 基于圆锥曲线场景， 22 ■山东省博兴第 基于“三新”的深人，高考命题对同学们 的数学基础知识的迁移能力、数学思维能力、 探究创新能力等的考查不断加强与提升，圆 锥曲线中的创新类及其综合应用问题也就成 为高考命题的热点之一。圆锥曲线中的创新 形式类问题一般是新定义曲线、新定义关系、 新定义交汇等。对于此类创新形式问题，要 充分研透“新定义”的实质，联系学过的圆锥 曲线的基础知识，与创新定义加以交汇，切实 契合“在知识交汇处命题”的高考精神，同学 们需多加关注。 一、新定义曲线类型 例1在平面内，若直线1将多边形分 为两部分，多边形在！两侧的顶点到直线( 的距离之和相等，则称1为多边形的一条“等 线”。已知O为坐标原点，双曲线E:二- =1(a>0,b>0)的左焦点和右焦点分别为 F1,F,,E的离心率为2，P为E右支上一动 易得直线AN的方程为y=: x2+2（x十 2x-2),所 2),直线BM的方程为y=1 以+=」 ,+2=y(ty+3》 x-2 12· y2 (ty1-1)y2 9 3 1v+3y=2y1十z -=3,解得x=4。 tyiy2-y2 31 2y1+2y: 故直线AN与直线BM的交点G在定 直线x=4上。 ,点评：破解圆锥曲线中的定线问题的常 见解法为：(1)设点法：主要用于处理动点在 定直线上，是圆锥曲线的常规题型之一，通过 已知，点的轨迹，消去参数，从而得到轨迹方 24 创新形式综合应用 中学王娜 点，直线m与E相切于点P,且与E的渐近 线交于点A,B,当PF,⊥x轴时，直线y=1 为△PF1F2的等线。 (1)求双曲线E的方程； (2)若y=√2x是四边形AF1BF,的等 线，求四边形AF1BF,的面积。 解析：(1)由题意知，F1(一c,0),F(c, 0,当PF:上x轴时，有P(合)，显然点P 在直线y=1的上方。因为直线y=1为 △PF,F:的等线，所以会-1=2，结合e=日 =2,c2=a2十b2,解得a=1,b=√3。 所以双曲线E的方程为x一 31。 (2)设P(x,y),直线m:y-y。=k(x 一x,代入x一苦-1整理得(3)x十 2k(k.x0-y0)x-(k2x8十y8-2kx0yo十3)= 0,故△=4k2(kx0-yo)2十4(3-k2)(k2x8+ ×XXX×XXX×XXX×XXX×KXXXXXXXK× 程；(2)待定系数法：设出含参数的直线方程， 利用待定系数法求解出系数；(3)先猜再证 法：面对复杂问题时，可从特殊情况入手，先 确定可能的定直线，再验证该直线对一般情 况是否符合。 其实，探究与解决圆锥曲线中的“三定” (定点、定值与定线)问题，能够巧妙联系起平 面解析几何中众多的基本要素，可以发现圆 锥曲线中的点、直线、曲线等几何元素间的内 在规律与联系，借助定量关系，实现几何与代 数之间的恒等转化与巧妙应用，全面实现“动 态”与“静态”的结合，“变量”与“常量”的对 应，构建和谐统一的整体。 (责任编辑王福华)