圆锥曲线中的非对称型韦达定理-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

圆锥曲线中的非 0M/ ■河南省实验 在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题 中，我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程， 消去x或y,得到一个一元二次方程，例如， 消去y,得到一个两根分别为x1,x2的一元 二次方程Ax2十Bx十C=0(A≠0)，则由根 与系数的关系，得x1十，=一2， A:-A 此为韦达定理。对于形如x+x,+ x,x 上十】，x1一x…的问题，它们的结构特 点是：将x1与x2互换之后结果不变，即具有 “对称性”，我们称此类问题为“对称型韦达” 问题，稍作变形，就可以直接利用韦达定理的 结果整体代入，快速求解。但在某些问题中， 我们也会遇到两根不对称的结构，如 kx1x2十3x1-2x2 入x1十ux:(A≠μ)，kE1x,-3x,+2x myy一3”，…的问题，就相对较难直接应 myiy:+2y2 用韦达定理来处理，我们称这类问题为“非对 称型韦达”问题。 一、两根之比型如，等 例1设椭圆c后+ =1(a>b> 0)的左焦点为F,过点F的直线！与椭圆交 于A,B两点，直线L的倾斜角为60°，A下= 2FB,求椭圆C的离心率。 解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意 知y1>0,y2<0。 直线l的方程为y=√(x十c),其中c= √Ja'-b。 y=√3(.x+c), 联立 消去x整理得 知识管微科学备考新指肩中学生教理化 高三数学2026年3月 对称型韦达定理 中学白文明 (3a2+b2)y2-2√3bcy-3b=0,由韦达定 理得十-中63a十6 213b'c -3b 由A京=2FB,得y1=-2y20 方法一：由y1=一2y2,得兰=一2，所以 兰+兴=-名mt 1 yiy2 ，所以 12b1c2 （3a2+b)3·3a+b--4c 1 -3603a2+6=- 2,整理 得8c2=3a2+b2,即8c2=3a2+a2-c2,即 0c2=4a2,所以e=33 方法二：由y1=一2y2,得y1十y2=一y2, y1y2=一 2y,所以y十y)”=(-y) yiy2 -2y 1 2 2√5bc y1+y2 1213b'c 3a2+b’ 将 代人得 3a2+b) -36 -3b1 yy=3a2+62' 3a2+b2 2,所以 12b'c? 1 a+b·-3b= 之，整理得 8c2=3a2+b2,即8c2=3a2十a2-c2,即9c2= 4a,所以e= 2 方法三：由y1=-2y2,得y1十y2=一y2 =236c 3a2+b,y1y:=-2y= -3b1 3a2+6,所以 2236c1 3b1 3a2+b2/ -3a十6，整理得8c2=3a2十 b2,即8c2=3a2+a2-c2,即9c2=4a2,所以 2 e=. 3 规律方法总结：方法一是将出=一2取 3 中学生表理化架学多幸新的 倒数相加得到兰+兴=一多，将不对称式转 化为对称式，用韦达定理整体代入求解；方法 二是利用条件y1=一2y2,通过齐次化构造， 得到y1十y2与y1y,的关系，仍然是转化为 对称式后利用韦达定理求解；方法三是将y =一2y2代人y1十y2,y1y?的表达式，从而 消元求解。 二、系数不等型（如入x1十ux2=m,其中 入≠4，m≠0) 例2已知抛物线C:y2=4x,过定点 P(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两 点，且有A矿-P或，求直线1的斜率。 解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),由条 件A市=号P馆，即(2-11-y)=7（x: 2,y2一1)，可得7(1-y1)=y2-1,所以y2= -7y1+8。 假设存在系数入，使得y2一1=入(y1 1),易得入=-7，所以y2-1=一7(y1-1)。 因为y1一1≠0，所以一 y1-1 =一7，取倒 数相加得-7-一号+司 y2-1 (y1-1)2+(y2-1)2 (y1十y2-2) (y1-1)(y2-1) y1y2-(y1+y2)+1 一2，故 (y1+y2-2)2 36 1y2-(y1+y)+1= 79 (￥) 设直线l:x一2=m(y一1)，代人抛物线 C:y2=4x,化简得y2一4my十4m一8=0，则 y1十y2=4m,y1y2=4m-8,代入（￥）式得 16m2-16m十4= 3 -7 7,解得m=2或m= -1。 所以直线1的斜率为2或-1。 解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:x-2=m(y一1)，代人抛物线C:y2=4x, 化简得y2一4my十4m一8=0，则y1十y2= 4m,y1y2=4m-8。 由条件A市-号P成，即(2-x1,1-y) =7(-1-10,可得701-)= 1,所以y2=一7y1十8。 所以y1十y2=一6y1十8=4m,则y1= 4-2m 3 所以yy:=-7+8y=-7(2m) 十8·4-2m=4m一8，解得m=2或m= 3 -1。 所以直线1的斜率为2或-1。 规律方法总结：方法一是取倒数后相加， 转化为对称型韦达定理进行求解；方法二是 联立消元，也不失为一种好方法。 三、分式上下不对称型（如，十 m122十x2' 德 例3已知椭圆C,若+若-1u> b>0)过点P(22),且离心率为 2 (1)求椭圆C的方程。 (2)记椭圆C的上顶点和下顶点分别为 A,B,过点(0,4)且斜率为k的直线与椭圆C 交于M,N两点。证明直线BM与直线AN 的交点G在定直线上，并求出该定直线的方 程。 解析：营苦-1.（过程降) (2)由(1)可知A(0,2),B(0,-2),直线 MN的方程为y=kx十4。 设M(x1,y1),N(x2,y2),联立 (y=kx+4, 2 73+一1消去、整理得(1十26)x十 -16k 16kx+24=0,所以x1十x=1+21x:= 24 1+2k2 又直线AN的方程为y一2=二2.x, 直线BM的方程为y十2=1十2 ·x,联立 y2=y22 ·x T2 得y-2=（y:-2)x y+2=1+2 y+2 (y1十2)x2 (kx十2)x_x1x十2（x1,,的系数出 (k.x1+6)x2kx1x2+6x2 现了不对称) 方法一：（暴力法）由(1十2k2)x2十16kx 十24=0，不妨设x1= -8k-2√J4k-6 1+2k2 一8k+2√4k-6 x2= 1+2k 代人得y一2 y+2 24k +-16-4V46-6 kx1x2十2x 1+2k 1+2k2 kx1z:+6x2 24k -48k+12√4k-6 1+2k 1+2k 8k-4√4k一6 1 3 (这里x1,x2 -24k+12√4k-6 的值可以交换)，解得y=1。 所以直线BM与直线AN的交点G在 定直线y=1上。 方法二：(x1,x2保留一个)由根与系数 -16k 24 的关系知x1十x2= 1+2k,x1x2= 1+2k2, 一16k 所以x1= 1+2k 一x,代人得y一2 y+2 24k -16k kx1x:+2x1 1+2k+2( 1+2k2 -x2 kx1x:+6x: 24k 1+26+6x, 一8k-(2十4k)x2_ 3,解得y=1。 24k十(6+12k2)x2 所以直线BM与直线AN的交点G在 定直线y=1上。 方法三：(x1,x2,x1x2中，把x1x2转化 为x1十x2)由根与系数的关系知x1十x?= -16k 24 1+2621x:-1+26,所以kxx= 3 2 (x十x),代入得y一2 kx1x2十2x1 y+2 kxx26x3 3 (x1+x2)+2x x1一3x2 1 3 (x1十x2)+6x2 -3x1+9x2 3, 阳数型学将相月中学生款理化 解得y=1。 所以直线BM与直线AN的交点G在 定直线y=1上。 方法四：（代点转化）注意到点M(x1,y), N,都在椭圆C上，所以哈+兰-1. 所以答-1-￥=2+)2-，整 4 4 理得2十y1 2(2-y1) o 1 所以 y-2 (y2-2)x1 y+2 = (y1+2)x2 -2(y2-2)(y1-2) T1x2 -2[y1y2-2(y1+y2)+4] TIT2 -16k 24 由x1十x:=1+2x1x:=1十2，得 8 1十y:=k(x十x:)+8=1+2k,y1y:= (kx1十4)(kx2十4)=k”x1x2十4k(x1十x2) +16= -8k2+16 1十2k2。 -8k2+16 将y1+y:= 8 1+2k2'1y2= 1+2k2 代入得y一2 -2[y1y2-2(y1+y2)+4] y+2 TIT2 -8k2+16 16 -2 1+2k2 1+26+4月儿 1 24 ,解得 1+2k y=1。 所以直线BM与直接AN的交点G在 定直线y=1上。 规律方法总结：方法一是暴力法—应 用求根公式，简单粗暴，计算量大；方法二是 配凑半代换法一对能代换的部分进行韦达 代换，剩下的部分进行配凑；方法三是和积转 换法一找出韦达定理中的两根之和与两根 之积的关系（一般积化和）；方法四是代点曲线 代换法—转化为对称型韦达定理进行求解。 总之，非对称韦达定理是近几年高考的 热点和难点，本文从三个方面，多种角度给出 了解决方法，希望可以给复习备考的高三学 子一些启发。 (责任编辑王福华) 5