圆锥曲线场景创设，定值问题类型应用-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

塑华新碧捏费滑中学生表理化 S©©©©©©©©© 圆锥曲线场景创设，定值问题类型应用 ■江苏省扬州市江都区大桥高级中学 王晓亮 涉及圆锥曲线中的定值及其综合应用问 题，是解析几何模块知识中考查的一类难点 因为点M,N在双曲线C:千- 31 问题，主要包括某些几何量及相应代数关系 yi 上，所以kk:=十2·-2=-4 式的求值等。问题场景变化多端，设问方式 形式各样。特别地，在解答题中出现的圆维 主(xi-4) 3 3 曲线中的定值及其综合问题，经常是压轴题。 x1-44。 一、与斜率、角度有关的定值问题 设直线MN的方程为x=my十4，联立 例1(2025年河北邯郸模拟)已知双 x2_y2 曲线C若-若-1a>06>0)的左顶点和 =1消去x整理得(3m-4)y十 x=my+4, 右顶点分别为A(一2,0)，B(2,0),离心率为 24my十36=0，则3m2-4≠0，△=144(m2十 -24m 36 √7 。过点(4,0)的直线1与C的右支交于 4)>0,y1十y2= 3m2-4y1y2= 3m2-4° M,N两点，设直线AM,BM,BN的斜率分 所以kk=y二 x1-2 x2-2 别为k1,k2,k。 yiy2 1 (my1+2)(my2+2) (1)若k,=2,求k: yiy (2)证明：k2(k1十ka)为定值。 m2y1y2+2m(y1+y2)+4 解析：(1)由题意知，a=2,= 36 a之，则 3m2-4 9 36 4。 c=√7，b=√-a=√5，所以双曲线C的 m2. 3m4+2m. -24m 3m24+4 方程为女一 4-3 1。 所以k:(k十k:)=k1k2十：：= 4 由条件知直线AM的方程为y=之(x+ (一号)=一是为定值。 ( ,点评：解决此类解析几何中的定值问题， 2),联立 431, 消去y整理得x2一 常见的处理技巧有：(1)思路：可从特殊情况 1 p=2x+2), 入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表 2.x-8=0,解得x=4或x=一2。 达式中变量的个数，以利于向目标靠拢。 因为A点坐标为（一2,0），所以M点坐 二、与参数、系数有关的定值问题 标为(4,3)。 又直线MN过点(4,0)，所以直线MN 例2已知椭圆C的中心为坐标原点 O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右 的方程为x=4,则N(4,一3)，6：=一多 焦点F的直线交椭圆于A,B两点，OA十OB (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则k1= 与a=(3,一1)共线。 (1)求椭圆C的离心率； x1十2k:=x1-2k=x-2 (2)设M为椭圆C上任意一点，且OM 27 中学生表理化学新摩程猜 =OA十：OB(入，∈R),证明：入十u为定值。 变量及消参方法，就可以得出定值。解答解 解析：(1)由题意可设椭圆C的方程为 析几何问题时，方法的选择至关重要，如果方 2 方=1(a>b>0),F(c,0),则直线AB 法选择不当，就会导致计算量过大，不易得到 正确的运算结果，需要在分析清楚解题思路 的方程为y=x一c。 的基础上，树立优化意识，即通过算法的内在 y=x一c, 联系来优化解法。 联立 ≥，消去y整理得a十 三、与周长、面积有关的定值问题 b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0,△>≥0。 例3已知椭圆c:若+若-1a> 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的 b>0)的左焦点和右焦点分别是F1,F2,以原 关系得x1十x? a+6x1x2=a(c2-b) 2a'c 点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直 a2+b2 由OA+OB=(x1十x2,y1十y)与a 线y=√2x十3相切，点P在椭圆C上， (3,-1)共线，得3(y1十y2)十(x1+x2)=0。 |PF1=2,∠F1PF2=60°。 (1)求椭圆C的方程。 又因为y1=x1一c,y2=x2一c,所以 (2)若直线l:y=kx十m与椭圆C相交 3(x1十x2-2c)十(x1十x2)=0,则x1十x2= 3cm2ac。一2，可可得a3b—3(a2 于A,B两点，且k·k心= a,试判断： c22 △AOB的面积是否为定值？若是，求出定 值；若不是，请说明理由。 解析：(1)依题意有b= 3 放椭圆C的离心率一台一√号-兮 =√3。 √2+1 (2)由(1)知a2=3b,所以椭圆C的方 由|PF1|=2及椭圆的定义得|PF2|= + 2a一2，由余弦定理得|PF112+|PF2|2- =1可化为x2十3y2=3b2。 2|PF1I·|PF2|cos∠F1PF2=|F1F2I2,即 设OM=(x,y),由OM=aOA+uOB a2-3a十3=c2,则3a-3=a2-c2=b2=3, 得(x,y)=A(x1,y1)十H(x2,y2),所以 所以a=2,故椭圆C的方程为养十兰】 x=入x1十uxg 3 y=入y1十y2。 又M(x,y)在椭圆上，则（入x1十x2)十 (2)易知m≠0，联立 3(入y1+y2)=3b2,即入(x+3y)+(x y=kx十m, 整理得(3十4k2)x2+8kmx+4m2一12=0，则 +3y)+2入u(x1x2+3y1y2)=3b2。① 8km 4(m2-3) 由(10知，十，=5.2=2c,6 x1十x2= 3十4k2,x1x2= 3十4k2,4= 48(3+4k2-m2)>0。①D 名c,则1， ac2-a2b-3c,故x+ a2+b2 所以y1y2=(kx1十m)(k.x2+m)= 3y1y2=x1x2十3(x1-c)(x2-c)=4x1x2- kx1x十mk(x1+x)十m2=3(m-4k2) 3十4k2 at=昌+3=0 由k·kw=兰.2=一b 3 ,可 4 又x1+3y=3b2,x+3y=3b2,代人① 1 T? 式得入2十2=1。 得y1y2= x1x,即3(m-4k) 3 3 3+4k 4 故入2十2为定值1。 3十46，化简得2m2-4k=3,满足①式。 4(m2-3) 点评：本题中的定值问题，从代数角度 看，定值与参数的取值无关，通过选择适当的 28 塑學描阳*朝折中学生表理化 抛物线中的最值问题的题型梳理及易错点探秘 ■山东省惠民县第一中学 李素梅 圆锥曲线作为高中数学的核心知识模 的掌握程度，又考查数学建模能力。 块，其中有关抛物线的最值问题始终是高考 例1已知A是抛物线C:x2=4y上 考查的重点与难点。本文聚焦该热点题型， 任意一点。 通过系统梳理抛物线中的最值问题的考查形 (1)求点A到直线l:3x十4y+12=0的 式，归纳总结典型题型结构，深入探究解题策 最小距离； 略与易错点规避方法，旨在为同学们提供兼 (2)设直线m:x十4y十1-n=0,若点A 具系统性与实用性的解题指导。 到直线m的最小距离为√7，求n的值。 一、抛物线上的点到直线的距离的最值 解析：(1D设点A(,),点A到直线 这类问题主要考查抛物线的几何性质、 l:3x+4y+12=0的距离为d1,则有d1= 点到直线距离公式的应用及函数最值思想。 解题时通常遵循以下步骤：首先，设出抛物线 3x十4· |3x。+x8+12 上的动点坐标，利用抛物线方程将坐标参数 √32+4 5 化；其次，建立距离函数模型，通过代数运算 4×12-3 将几何问题转化为函数最值问题；最后，运用 |x6+3x。+12 4 39 5 20,故点A 导数法或配方法求解最值。整个解题过程体 现了数形结合的核心思想，既检验基础知识 到直线1：3x十4y十12=0的最小距离为39 209 利用弦长公式可得|AB|= 其实，涉及圆维曲线及其综合应用中的 /(1+k2)[(x1+x2)2一4x1x2] 定值问题，抓住定值的应用场景，最常用的还 是函数方法来处理相关的定值问题：(1)从特 8km (1+k2) 3+4k2 4×4m12 3十4k2 殊人手，先根据特殊位置和数值求出定值，再 25·√+k 证明这个值与变量无关：(2)从一般人手，借 m 助合理的代数运算与逻辑推理等进行求值。 设原点到直线l的距离为d,则d= 当然，实际应用时，还可以采用参数法（包括 m 设线法、设点法等)、特殊思维法等，关键在于 √1+k2 利用问题中相关点、直线、曲线等“动”与“静” 所以SA=之·d·1AB= 1 1 的结合与转化。利用圆锥曲线场景中的“动 态”背景，通过解析几何中相关点、直线、曲线 2√5·√1+k 等要素的运动变化，构建对应的关系式或表 =3。 √1+k 达式，利用直线与圆锥曲线的位置关系与变 故S△aoB为定值V3。 化规律等情况加以代数运算或逻辑推理，从 点评：涉及解析几何中相关平面几何图 而探求“定值”规律，实现“静态”问题的定值 形的周长或面积的定值问题，往往是基于相 求解与应用。基于“动”“静”的结合与转化， 关的参数，构建对应的周长或面积的表达式， 全面夯实数学基础，发展数学思维，提高数学 并利用参数之间的关系加以合理的转化与应 能力，提升数学品质，培养数学核心素养。 用，进而得以确定对应的定值问题。 (责任编辑王福华) 29