奇偶项问题创设，数列交汇题应用-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

中学生教理化餐学自斯超费 奇偶项问题创设， ■江苏省江都中 数列中有关通项的奇偶项及其综合应用 问题，是基于数列的应用场景，利用数列奇偶 项的表示形式来考查同学们的综合运用能力 与探究问题能力。解决数列奇偶项及其综合 问题的难点在于合理挖掘问题的内涵与实 质，搞清数列中奇数项和偶数项各自的首项、 项数、公差、公比等，需要特别注意分类讨论 思想在解题中的灵活运用。此类问题以创新 的形式来设置，通过数列递推公式的结构特 征与表达形式，合理观察，巧妙归纳，从而确 定相关奇数项或偶数项的规律与性质，全面 渗透函数与方程思想、分类讨论思想等，成为 数列模块命题的一个热点，备受各方关注。 一、已知数列奇偶项的通项公式 此类数列奇偶项问题，借助数列的函数 性，以“分段函数”的形式来创设，合理给出对 应的数列通项公式，在此场景与条件下来实 现数列与函数的交汇与融合。 例1记等差数列{an}的公差为d,前 n项和为Sn;等比数列{bn}的公比为q,前n 项和为T,。已知b3=4a1,S1=b3十6，T3= 7aio (1)求d和q; (2)若a1=1,q>0,数列{c,}满足cn= 一anbn+1,n为奇数， 求{cn}的前2n项和。 anbn,n为偶数， 解析：(1)由题意知，b1q°=4a1,4a1十6d =b1q2十6，联立可解得d=1。 7 又T=b1+b1q+b192=7a1=4b1g°， 4 化简得，一9士产=7，所以3q一4g一4=0， 解得g=2或q=一3· 2 (2)当q>0时，由(1)知q=2,则b1= a1=1,所以an=n,bn=2”-1。 {一n·2”,n为奇数， 所以c,= n·2m-1,n为偶数。 20 数列交汇题应用 学 冯进 而cm-1十c2n=-(2n-1)·22-1十2n· 22-1=22-1,故{cn}的前2n项和G2n=c1十c2 十c3十c1十…十c2m-1十c2n=(c1十c2)十(c3十 c1)十…十(c2m-1十c2n)=2十23十2十…十 29”号4-w. 点评：解决此类涉及奇偶项特征的数列 问题，关键在于抓住题设条件中对应数列的 奇偶项之间的递推关系式或函数表达式等， 结合数列的函数性，回归数列的基本概念、基 本公式与基本类型等来综合与应用。在实际 分析与求解过程中，经常借助连续两项和的 表达式来进行整体化思维与分析，可以更加 有效地、直接地回归特殊数列（等差数列、等 比数列或常数列等)的本质来综合与应用。 二、已知连续两项和或积的形式 此类数列奇偶项问题，借助数列关系式 的创设，以数列中连续两项和或两项积的形 式给出条件，进而借助数列项的变化写出后 一项所对应的关系式，利用作差或作商运算 来分析与切入。 例2已知等差数列{an}满足am十 am+1=4n,n∈N*。 (1)求数列{a}的通项公式； (2)在数列{bn}中，若b1=1,且满足bn+1 an,n为奇数， 求数列{bn}的前2n {一bn十2”，n为偶数， 项和S。 解析：(1)由am十am+1=4n,可得am+1十 am+2=4(n十1)，两式相减得an+2一an=4。 设等差数列{an}的公差为d,则an+2一 an=2d=4,所以d=2。 当n=1时，由a1十a2=a1十a1十d=4, 可得a1=1,所以an=1十2(n-1)=2n-1。 (2)当n为奇数时，b+1=an=2n一1； 当n为偶数时，bn+1十bn=2”。 所以S2n=b1十b2十b4十b1十…+b-1 十bm=b1十(b2十b3)十(b1十b5)+…十 (b-2+b-1)十bn=1十22十21十…+22m-2 +2(2m-1)-1=1×(1-4) 1-4 十4n-3= 3(4”-1)+4n-3. 1 ,点评：解决此类涉及奇偶项特征的数列 问题，关键在于依托给定数列中的连续两项 和或两项积的表达式，巧妙借助数列中的递 推关系式，利用递推关系推理并“复制”出另 一个对应的递推表达式，通过两个数列递推 表达式的作差或作商运算，构建涉及奇偶项 自身关系特征的表达式，给回归数列的基本 概念与应用创造条件。 三、已知通项中含有（一1）”的形式 此类数列奇偶项问题，借助通项公式含 有（一1）”，或具有相同性质的形式，结合正整 数n的奇（或偶）数的不同取值来呈现对应的 递推关系式，从而创设对应的数列情境，实现 数列问题的综合与应用。 例3如图1所示，已 知△ABC的面积为1，D,E, F分别为线段AB,AC,BC 的中点，记△DEF的面积为 a1;G,H,I分别为线段AD, 图1 AE,DE的中点，记△GHI 的面积为a2；…;以此类推，第n次取中点 后，得到的三角形的面积记为a,。 (1)求a1,a2,并求数列{am}的通项公式； (2)若bn=1ogan,求数列{（一1）bn}的 前n项和S,。 解析：(1)由题意知，a:=SAu=子S△u ⊙、 4:a:== 1SAOE-10 a,…,以此类 1 推，a+1= 4a,。 故数列（口，}是首项为子，公比为子的等 比数列，所以a,=(仔)广。 (2)由(1)可知am=（4 ,则bn=log2an 解氧数额造是器酒中学生教理化 =1og:()广=-2m,即(-1)6，=(-1)4· 2n。 当n为偶数时，S,=一b1十b,一b:十b, -…-bm-1十bn=2-4+6-8+…+2(n-1) -2n=(2-4)+(6-8)+…+[2(n-1)- 2]=2×空=-； 当n为奇数时，S,=一b1十b2一b3十 b1一…十bn-1一bn=S。-1+2n=-(n-1)+ 2n=n+1。 n十1，n为奇数， 综上可得，Sn={ 一n,n为偶数。 ,点评：解决此类涉及奇偶项特征的数列 问题，往往是依托通项公式含有（一1）”，或具 有相同性质，分别构建与之对应的通项公式 与求和公式等，结合代数式的结构特征与数 列规律来进行数学运算与逻辑推理。而在这 个过程中，经常借助构建各自特殊的数列类 型（等差数列、等比数列或常数列等），回归特 殊数列来分析与求解。 四、已知条件或过程的奇偶特征 此类数列奇偶项问题，是在题设条件中 给出明确的数列奇偶项特征，或在解题过程 中通过分析与推理确定数列奇偶项特征，结 合条件或过程的奇偶特征加以逻辑推理或数 学运算，实现数列问题的综合与应用。 例4已知数列{a,}中，对任意 k∈N”,均有关系式a+1十a=4k十3恒成 立，试求a1十a2o20的值。 解析：由a+1十ak=4k十3，可得ak+2十 a+1=4(k十1)十3=4k十7，两式相减可得 a5+2一ak=4。 根据等差数列的定义，可知数列{a2}、 {a-1}均是以4为公差的等差数列，利用等 差数列的通项公式知a%=a2十4(k一1)。 由ak+1十a:=4k十3，可得a2十a1=4X 1十3=7，所以a张=a,+4(k-1)=7一a1+ 4(k-1)=4k+3-a1,即a1十a张=4k十3。 所以a1十a2o20=4×1010+3=4043。 ,点评：解决此类涉及奇偶项特征的数列 及其综合应用问题，往往要通过题设条件加 21 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年2月 剖析破解三角形最值问题的基本思维策略 ■江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 赵阳 作为高考命题中的主干知识之一的解三 √5 sin Csin Bcos A。 角形及其综合应用，其中相关目标对象，诸如 因为sinC>0,sinB>0,所以sinA= 对应元素（边长的大小、内角的三角函数值） √3cosA,故tanA=√3。 或代数式的最值（或取值范围）等的设置与考 查，是命题中最为常见的一类综合问题，也是 因为A∈(0，π)，所以A= 39 高考中的一个热点与重点问题。此类问题的 b 求解方法多样，选取合适的技巧与方法，成为 (2)由正弦定理 sin A sin B sin C 突破与解决问题的关键。 2R=2√3，得b=2√5sinB,c=2√3sinC,故 一、三角函数思维 2c-b=4√3sinC-2√5sinB=2√3(2sinC 利用三角函数思维处理解三角形及其综 -sinB)。 合问题的关键是构建所求目标对象的三角函 数表达式，结合题设条件中角参的取值限制 因为A十B十C=元，所以B=-C, 及三角函数的有界性等来确定目标对象的最 c∈(o,）,所以2e-b=25[2sinC 值或取值范围。 例1已知△ABC中，角A,B,C的 sin(-c门=25（侵sinc-复osc)- 对边分别为a,b,c,且满足acos(B一C)+ acos A-23csin B cos A=0. 6sin(c-g)。 (1)求角A的大小： (2)若△ABC的外接圆的直径为2√3， 又因为c∈(o,),所以c-吾∈ 求2c一b的取值范围。 (-若，)，所以2c-b=6sin(c-)∈ 解析：(1)由A十B十C=π，得A=π (一3,6)，即2c一b的取值范围为（一3,6）。 (B十C),所以cosA=-cos(B+C)。 ,点评：在利用三角函数思维处理解三角 所以acos(B-C)-acos(B+C)= 形及其综合问题时，需将所求的目标对象转 2√5 csin Bcos A,即acos Bcos C+asin B· 化为含有一个角参的三角函数问题，通过对 sinC-a cos Bcos C+asin Bsin C=2√3c· 应角参的取值范围及其限制条件，借助三角 sin Bcos A,即asin Bsin C=√3 csin B· 函，数的图像与性质（特别是三角函，数的有界 cosA。 性)进行合理放缩与转化，进而确定目标对象 由正弦定理可得sin Asin Bsin C= 的最值或取值范围。 以合理深入探究，借助数列的递推关系式及 还可以以更加创新、新额的形式来展示，关键 新得到的关系式加以推理分析，进而利用数 在于把握问题的本质，以不变应万变，合理剖 列的定义与结构特征来分析其相关的变化规 析问题的内涵，将对应问题转化为涉及通项 律。特别是涉及奇偶项分别满足不同数列特 公式或求和问题的分奇数项与偶数项的表达 征的形式及应用。 式。在此基础上，合理考查同学们的“四基”， 其实，此类数列中的奇偶项混合及其综 以及数学思想方法、数学能力等，从而实现 合应用问题，除以上儿种比较常见的类型外， “四能”的提升与应用。（责任编辑王福华） 22