无圆中见圆，繁题中得简-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

中学生表理化架设学剂幸新 无圆中见圆 ■河南省实验中 隐圆是高考解析几何的高频考点，多以 选填压轴题的形式出现，核心考查数形结合 与转化思想。在高考中，题目背景往往是角 度、距离、斜率等，不会明确要求用圆的相关 知识点去解决问题，如果通过题设条件识别 并构造出这个隐藏的圆，就能将复杂的动态 问题、最值问题、轨迹问题转化为熟悉的圆的 性质问题，从而快速解题。然而由于其“隐蔽 性”，同学们在做题时往往联想不到圆，因此 本文将从一些关于隐圆的定义出发介绍解题 策略。 一、到定点的距离等于定长 平面内到定点（圆心）的距离等于定长 (半径)的点的运动轨迹，核心条件是“定点十 定长”。这是圆的原始定义，最直接。 例1在平面直角坐标系中，已知点 A(-a,0),B(a,0),动点P满足|PA十PB =2a(a>0),记线段PB的中点为M,则 cos∠BAM的最小值为■ 分析：先结合题给条件推出点P的运动 轨迹为圆，然后求出cos∠BAM的表达式， 利用函数单调性得到其最值。 解法1：已知点A(一a,0),B(a,0),设 点P(x,y),因为AB的中点为O,所以|PA +PB1=|2Pδ1=2a,所以|Pδ1=a,即 x2十y2=a2,所以点P的轨迹是以(0,0)为 圆心，a为半径的圆。 因为M为线段PB的中点，所以 M(士，）则A=(士，) 因为AB=(2a,0),所以cos∠BAM AB.AM a(x+3a) IABIAM 2a· x十3a √(x十3a)+y 令t=x十3a,则x=t-3a。 6 繁题中得简 学 高尚 由x2十y2=a2,得y2=a2-(t-3a)2。 t 故cos∠BAM= √2+a2-t2+6at-9a √6at-8aF 因为y≥0，所以a≥(t-3a)2,则2a≤ t≤4a。 巨知a>0,令m三2，则2≤m≤ cos∠BAM= t m W6at-8a√6m-8 设f(m)= 6m-8m∈[2,4幻，求导得 f'(m)= 3m-8 (6m8)多 因为m∈[2,4]，所以6m-8>0。 令f'(m)=0,得m= 8 3 故m的极值为f(倍)-22 3 又因为f(2)=1,f4)=1,2y2<1,所 3 以fm)的最小值为f(）-2是 39 故(cos∠BAM)m= 2W2 39 解法2：已知点A(一a,0),B(a,0),设 点P(x,y),因为AB的中点为O,所以|PA +PB|=|2Pò|=2a,所以|Pò|=a,即 x2十y2=a,所以点P的轨迹是以(0,0)为 圆心，a为半径的圆。 设M(x,y),P(xoyo),B(a,0)。 因为M是PB的中点，所以 ,+a=2x∵即=2x-a y0=2y, yo=2y。 所以(2x一a)2十(2y)=a2,化简整理得 所以点M的轨迹是以（受，0）为圆心，受 为半径的圆。 由对称性知，只需研究x轴上方的图形 即可，此时∠BAM∈(O,受) 当AM与点M的轨迹相切时，∠BAM 的值最大，cos∠BAM的值最小，此时 Cos∠BAM=2 39 点评：本题较为综合，将向量、轨迹、中点 及最值问题结合起来，考查同学们综合运用 知识的能力，且对计算能力有一定的要求。 二、直角所对弦为直径 在平面内，若∠APB=90°(P为动点， A、B为定点)，则点P的轨迹是以AB为直 径的圆（除去A、B两点）。此定理的逆定理 同样重要。在复杂条件中，只要发现直角，就 能找到隐藏的圆。 例2已知直线1：Ax十2y十入=0，直 线l2:2x一入y一2=0，若l1与l2的交点为 P,且Q(2,√5)，则|PQ|的最小值为。 分析：通过直线方程求出两条直线所过 的定点，再根据条件判断两直线垂直，进而确 定点的轨迹，最后结合点Q的位置求出 |PQ|的最小值。 解：直线l1可变形为入(x十1)十2y=0。 x+1=0, 由 2y=0 可得一1， y=0,“所以直线1 恒过定点A(一1,0)。 同理可得，直线l,恒过定点B(1,0)。 因为入·2十2·（一入）=0，所以l1⊥l2, 此时点P的轨迹是以AB为直径的圆：x2十 y2=1。又因为直线11的斜率一定存在，所 以除去点（一1,0）。 由条件知OQ|=3,结合 图1知，当点P在线段OQ 上时，PQ|的值最小，其最 小值为3一1=2。 ,点评：将直线系过定，点 图1 转化为圆的轨迹，再结合点 到圆的距离求最值，是解析几何的典型考法。 阳数型学备者钳肉中学生款理化 三、到两定点距离平方和为定值 若PA2十PB=定值(P为动点，A、B 为定点)，则点P的运动轨迹是圆。 例3已知△ABC中，A(-1,0), B(√7,3√2)，C(1,0),若动点M满足MA· MC=3,则|MB|的取值范围为。 分析：设M(x,y),应用向量数量积的坐 标公式列方程求得x2十y2=4,利用定点到 圆心距离求定点到圆上点距离的范围。 解：设M(x,y),则MA·M乙=(-1一 x,一y)·(1-x,-y)=x2-1+y2=3,即 x2十y2=4,所以点M的轨迹是以O(0,0)为 圆心，2为半径的圆。 又因为|BO|=√7+18=5，所以 |MB=5-2=3,|MB|mmx=5十2=7，故 MB|的取值范围为[3,7]。 ,点评：本题涉及向量坐标运算、圆的轨迹 方程、，点到圆的距离最值等知识，点，既考查了 基础的向量运算能力，又考查了几何最值的 转化思维。 四、定角对定弦模型 在平面内，若∠APB=(0为定值，A、B 为定点)，则点P的轨迹是以AB为弦、对应 圆周角为θ的两段圆弧（除去A、B两点）。 当0=90°时，轨迹即为完整的圆；当θ≠90° 时，需注意优弧和劣弧两种情况。 例4已知向量a,b,c满足a|=√3， 1b=3a(0-a)=号，向最a-e与b-c 的夹角为牙，则c的最小值是一 分析：先求出a,b的夹角为石，设a,b,c 的起点为O,终点为A,B,C,画出示意图，由 向量a一c与b一c的夹角为，得∠ACB= 否，则点C在AB所对圆周角为的圆弧上， 求出圆心和半径，利用定点到圆上点的最值 即可求解。 解：由题意得，a·(b一a)=|a|b|· cos<a,b>-a=是将a=,b=3代 知识篇科学备考新指向 中学生数理化高三数学2026年3月 浅谈圆锥曲线中的定点问题 ■河南省实验中学 程建辉 圆锥曲线中的定点问题是解析几何中的 的右顶点M,求证：直线L恒过定点，并求出 常见题型，通常遇到的是直线与圆锥曲线相 该定点的坐标。 交，或者圆锥曲线自身的一些动态变化，而其 中某些点的位置却是固定不变的。解决这类 后+苦-1.（过程略） 解析：(1) 定点问题的通法是先联立直线和圆锥曲线的 (2)方法一：（通性通法）将直线AB的方 方程，得到一个关于x或y的一元二次方程， 程代人椭圆方程，结合韦达定理和MA·M 利用韦达定理及题干条件进行相应的推理和 =0,找出k与m的关系，进而求出直线AB 计算，进而得到定点坐标。圆锥曲线中的定 所过的定点。 点问题的解题策略较多，本文以两道圆锥曲 设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的 线题为例介绍一下定点问题的处理方法。 方程y=kx十m,代入椭圆方程x2十4y2=8, 例1已知椭圆C:之大 化简整理得(1十4k2)x2十8km.x十4m2一8= F6=1(a> 8km 0,则x1十x2= 1+4k,x1x2=4m2-8 1十4k2, 60)的离心率为号，且过点(2,1) △=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-8)>0→ (1)求椭圆C的方程； 8k2+2>m2。 (2)直线l:y=kx十m与椭圆C交于A, 因为以AB为直径的圆经过椭圆C的右 B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆C 顶点M(2√2,0)，所以MA·MB=(x1 格格经效效效效经格经效格格效效格效格格经经效0格经经格经效经效整效格格格经格效经格经经格 入得cos<a,b)=之.则a,b的夹角为元 60 AB+BE-2AB·BEcos-石 =1。 如图2，在Rt△OBD 同理可求∠AEB= 3,所以E即为圆 2 中，OD=2√3，OB=3,BD 心，半径BE=1。 =OA=AD=AB=√3， 所以1OC1m=|OE|一1=1，此时O,C, ∠AOB=若∠ADB= 3。 图2 E共线且点C在O、E之间，故|c|的最小值 令0A=a,Oi=b,O元 是1。 点评：本题巧妙运用“定角对定弦”模型， =c,则CA=a-c,CB=b一c,即向量a一c 将向量夹角条件转化为隐圆轨迹，化抽象为 与b-e的夹角为∠ACB=受 直观。通过几何法确定圆心与半径，将模长 最值问题转化为定点到圆心的距离，思路清 所以点C在AB所对圆周角为的圆弧 晰，解法典型。 上，其圆心角为否。 总之，隐圆题目的考法灵活，条件隐蔽， 本文介绍了隐圆的四种定义，因此，做题时要 在图2中，要使得|c|最小，显然在AB 先识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆 下方的圆弧上。 的某一定义，一旦确定，找到隐形圆，就可以 由于∠AB0=若，则在OB上取BE=1, 利用圆的性质来简化问题。这种方法能有效 转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。 由于AB=√5，由余弦定理可得AE= (责任编辑王福华) 8