例析计数原理的常见错误-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

中学生表理化然氨学易异类析 例析计数原理的常见错误 ■河北正中实验中学 高印涛 计数原理是高考数学考查的重要内容之 男医生和1名女医生组成4人小组，参加省 一，该模块具有题型多、方法多、变化多、交汇 人民医院组织的交流会，测所有不同的选派 多的特点，解题时，稍不注意就会出现这样或 方案有( )。 那样的错误，而且有的错误往往令人难以察 A.180种 B.56种 觉。基于此，下面梳理常见易错点，以帮助同 C.29种 D.15种 学们加深对有关基本知识和解题思维的准确 错解：从急诊科选派1名男医生和1名 理解，进一步提升解题能力。 女医生有3×3=9（种）方案： 易错点1：主体错位 从内科选派1名男医生和1名女医生有 例14封不同的信要寄出去，现有3 5×4=20(种)方案。 个不同的信箱可以投放，有多少种不同的投 根据分类加法计数原理，该医院总共有 放方法？ 9十20=29（种）不同的选派方案。 错解：每个信箱可以接收4封信中的任 故选C。 错因剖析：错解的原因是没理解分步乘 意封信，有4种接收方法，由于有3个信箱， 法计数原理。第一步，需从急诊科选派1名 根据分步计数原理，3个信箱接收信的方法 男医生和1名女医生，第二步，从内科选派1 共有4×4×4=64（种）。 名男医生和1名女医生，只有两步完成才算 错因剖析：错解在于考虑的主体错位，因 整个事情结束，需用乘法。 为1封信投进1个信箱后，就不可能再投入 突破点：在综合应用两个原理解决问题 别的信箱。也就是说，如果某个信箱接收了 时应注意：(1)仔细区分是“分类”还是“分 这封信，别的信箱就不可能再接收它了。 步”，这是运用两个原理的关键；(2)一般是先 突破点：换个角度思考这个问题，以信为 分类再分步，在分步时可能又用到分类加法 主体来考虑，这道题就很容易求解。 计数原理；(3)对于较复杂的两个原理综合应 正解：以信为主体考虑，每封信可投入3 用的问题，可恰当地列出示意图或表格，使问 个信箱中的1个，则每封信有3种投放方法， 题形象化、直观化。 共有3×3×3×3=81（种）投放方法。 正解：从急诊科选派1名男医生和1名 易错点2：没有理解两个基本原理出错 女医生有3×3=9（种）方案； 例2某市人民医院急诊科有3名男 从内科选派1名男医生和1名女医生有 医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女 5×4=20(种)方案。 医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名 根据分步乘法计数原理，该医院总共有 38 器脑登景城日黎翻折中学生表理化 9×20=180(种)不同的选派方案。 复数字的比1000大的奇数共有( 故选A。 A.36个 易错点3：重复计算出错 B.48个 例3小明需要从物理、化学、生物、政 C.66个 治、历史、地理中选择三科作为自己的兴趣科 D.72个 目，物理和历史不能同时选择，则小明不同的 错解：易知最后一位只能是1或3，有2 选科情况有种。 种取法。第1位不能是0，在最后一位取定后 错解：由题意知，从物理、化学、生物、政 只有3种取法。剩下3个数排中间两个位置 治、历史、地理中选择三科作为自己的兴趣科 有3×2=6（种）排法。共有2×3×6=36 目，且物理和历史不能同时选择，可分为 (个)满足题意的奇数，选A。 三类： 错因剖析：错解只考虑了四位数的情况， (1)若物理和历史同时不选，共有4× 而比1000大的奇数还可能是五位数 3×2=24(种)选法； 突破点：分类要做到“不重不漏”，分类后 (2)若选物理，不选历史，共有4×3=12 再分别对每一类进行计数，最后用分类加法 (种)选法； 计数原理求和，得到总数。 (3)若不选物理，选历史，共有4×3=12 正解：任一个五位的奇数都符合要求，共 (种)选法。 有2×3×3×2×1=36（个）。前面分析的四 由分类计数原理可得，不同的选科情况 位数个数和这五位数个数之和为72，选D。 共有24+12+12=48（种）。 易错点5：未考虑特殊情况出错 故答案为48。 例5现有1角、2角、5角、1元、2元、 错因剖析：分类讨论时，各类的计算有重 5元、10元、50元人民币各一张，100元人民 复，选出的三科之间是没有顺序的。 币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币 突破点：根据题意，可分为三类：(1)若物 值有()种。 理和历史同时不选；(2)若选物理，不选历史； A.1024 (3)若不选物理，选历史。各类的计算，没有 B.1023 顺序，结合分类计数原理，即可求解。 C.1536 正解：由题意知，从物理、化学、生物、政 D.1535 治、历史、地理中选择三科作为自己的兴趣科 错解：因为共有人民币10张，每张人民 目，且物理和历史不能同时选择，可分为三类： 币都有取和不取2种情况，减去全不取的1 (1)若物理和历史同时不选，共有4种 种情况，共有2°-1=1023（种），选B。 选法； 错因剖析：这里100元面值比较特殊，有 (2)若选物理，不选历史，共有4×3=6 两张，在错解中被计算成4种情况，实际上只 2 有不取、取一张和取两张3种情况。 (种)选法； 突破点：解决排列问题时特殊元素优先 (3)岩不选物理，选历史，共有3=6 安排，即先安排有限制条件的元素或有限制 条件的位置，对于分类过多的问题可以采用 (种)选法。 间接法。 由分类计数原理可得，不同的选科情况 正解：除100元人民币以外，每张均有取 共有4十6+6=16（种）。 和不取两种情况，100元人民币的取法有3 故答案为16。 种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有 易错点4：遗漏计算出错 2"×3-1=1535(种)，选D。 例4用数字0,1,2,3,4组成没有重 (责任编辑徐利杰) 39