概率统计与递推数列交汇例析-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

解数华新跨翠器贾中学生表理化 概率统计与递推数列交汇例析 ■甘肃省会宁县第二中学 张学弼 概率统计与数列的交汇涉及面广，内涵 1 P+ 1 Pn),即Pw+1= 丰富，是近几年高考和各省模拟卷追逐的热 5 点。这一考点对同学们分析阅读、模型识别、 数学抽象等关键能力提出了更高要求。 一、pn+1=p·巾n十q型 因为P,=子，所以数列{P。-号}是以 2 例1甲、乙两人玩一种游戏，游戏规 P1 号-言为首项，为公比的等比数列。 2 则：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人 在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中 固此，-号=×（分）即 纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则 游戏失败，换为对方投篮。已知第一次投篮 +×()-+品×（） 的人是甲、乙的概率分别为号和子，甲、乙两 二、p+1=p·pn十f(n)型 例2A、B、C、D4人互相传球，由A开 人每次游戏成功的概率分别为品和 4 始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后， (1)求第二次投篮的人是甲的概率。 球仍回到A手中，则不同的传球方式有多少 (2)记第n次投篮的人是甲的概率为 种？若有个人相互传球次后又回到发球 Pm。(i)用Pn表示Pm+1;(ii)求Pm。 人A手中，则不同的传球方式有多少种？ 解析：(1)第二次投篮的人是甲包含两种 解析：4人传球时，传球k次共有3种传 情况： 法。设第k次将球传给A的传法共有ae(∈ ①第一次甲投篮且游戏成功，其概率为 N)种，则不传给A的传法有3一a种，故 a1=0。 且不传给A的下次均可传给A,即a+i ②第一次乙投篮且游戏失败，其概率为 3×(1-专)= =3-…两边同除以3，得器=一· 由全概率公式得，第二次投篮的人是甲 +司 3 的概率P+站 令6：=，则6：=0,61一 (2)(i)第n十1次投篮的人是甲包含两 种情况： ①第n次甲投篮且游戏成功，其概率为 所以a:-号+ 4 (-1)。 P×品 当k=5时，a5=60。 ②第n次乙投篮且游戏失败，其概率为 当人数为n时，分别用n一1，n取代3， 1-p.)x(1-)- 4,可得a4=01D+”1(-1D 三、pn十1=力·pn十g·pn-1型 由全概本公式得P1=品P,十号1 7 例3某人玩硬币走跳棋的游戏，已知 39 中学生表理化餐皱学创新程源 硬而出现正反面的概率都是，棋盘上标有 -×-()] 第0站、第1站、第2站、…、第100站。一枚 棋于开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋于 ×1-()] 向前跳动一次。若掷出正面，则棋于向前跳 因此，玩该游戏获胜的概率为 一站；若掷出反面，则棋于向前跳两站。直到 号×-（侵）门 棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站 (失败大本营)时，该游戏结束。设棋于跳到 四、pn=a力n-1十bpm-2十cpn-3型 第n站的概率为P。 例4甲、乙两人组团参加答题挑战赛， (1)求P。、P1、P2的值； 规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答 对，则该团队得1分；若只有一人答对，则该团 ②)求证：P,P=2（P 队得0分；若两人都答错，则该团队得一1分。 Pm=2); 假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为 (3)求玩该游戏获胜的概率。 32 43 解析：(1)依题意得，P。=1,P,=2 (1)记X表示该团队一轮答题的得分， 求X的分布列及数学期望E(X)。 (2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题 (2)依题意，棋于跳到第n站(2≤n≤99) 相互独立。记P。表示“没有出现连续三轮每 有两种可能： 轮得1分”的概率，Pm=aP-1十bPm-2十 第一种，棋于先到第n一2站，又掷出反 cP。-(n≥4)，求a,b,c。并证明：答题轮数 面其概率为2P 越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得 1分”的概率越大。 第二种，棋于先到第n一1站，又掷出正 解析：(1)由题意可知，X的取值为一1,0， 面，其概率为2P。1… 1 1 1 1 P(x=-1)=(1-)×(1-)=2 故P。=2P1+2P.- 1 P(x=)=是×(1-子)+(1-)× 变形得P。一P。-= P+ 2 25 1 1 Pw-1 312 P(X=1)= 3 21 即Pm一Pm-1= 1 2(P.-1-P.-)(2≤ ×3=2 故X的分布列如表1所示。 n≤99). 表1 (3)由(2)可知数列{P一P.-1}(1≤n≤ X -1 0 1 99)是首项为P,一P,=一号，公比为-2的 1 P 12 等比数列。 5 1 于是有P=P。十(P,一P。)+(P。 则E(X)=-1×12+0×2+1× P1)十(Pg一P2)十…十(Pg-Pgg) 5 2 =1+(-2+(-3)+(-2)°+… (2)由题意可知，P1=1,P2=1,P=1 +()” (》-名P=1-8x()-是 40 解题篇创新题追根溯源 高二数学2026年5月 中学生数埋化 经分析可得： P(X=3)= 若第n轮没有得1分，则卫.=2P,1。 C·C￥·C 15 A 若第n轮得1分，且第n一1轮没有得1 所以X的分布列如表2所示。 分则P=P: 表2 23 若第n轮得1分，且第n一1轮得1分， 2 1 15515 第n一2轮没有得1分，则P,=8P。- 8 故P=P+ 1P-+ 所以E(X)=1×6+2 号+8x器 4 8P-(n≥ (2)不妨令绳头编号为1,2,3,4，…，2n, 1 11 4),对应a= 2,b= 可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除1,2 8 外，有2n一2种可能。 因为P.=P+P+P所 41 假设绳头1与绳头3打结，那么相当于 1 对剩下n一1根绳于进行打结。 令n(n∈N')根绳于打结后可围成圈的 故P1-P=-P+P1十 种数为a。,那么经过一次打结后，剩下n一1 根绳于打结后可围成圈的种数为α，-1。由此 P:=-（P+P4+P,)+ 可得，am=(2n-2)am-1,n≥2。 子P.+gP=-P.<0 所以1=2n-2,0L=2n-4,…, an-1 an-2 故Pm+1<Pm(n≥4)，且P1=P:>Pg> a2。 P,则P1=P>P>P>P>…。 所以答题轮数越多（轮数不少于3），出 所以2=(2n-2)×(2n-4)×…×2= 现“连续三轮每轮得1分”的概率越大。 2-1·(n-1)1,n≥2。 五、pn+1=f(n)pn型 显然a1=1,故am=2”-1·(n一1)！。 例5某中学在运动会期间，随机抽取 另一方面，对2个绳头进行任意2个绳头 了200名学生参加绳于打结计时的趣味性比 打结，总共种数为N= 赛，现有n(n∈N")根绳于，共有2n个绳头， C。·C-2·C。-4·…·C 每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳 n！ 头，所有绳头打结完毕视为结束。 2n·(2n-1)·(2n-2)·…·2·1(2n)1 (1)当n=3时，记随机变量X为绳于围 2”·n！ 2"·n！ 成的圈的个数，求X的分布列与数学期望； 所以P= 2"-1·(n-1)! N (2n)1 (2)求证：这n根绳于恰好能围成一个圈 2m·n1 的概率为2·！(1一1)！ (2n)！ 22m-1·n！(n-1)1 (2n)1 解析：(1)由题意知，随机变量X的所有 注：解决本题第二问的关键是利用分步 可能取值为1,2,3。 计数原理得到数列的递推式，从而利用数列 C·C P(X=1)= 8 c·c·C-i5 的累乘法求得结果。 A 解决概率与数列结合的题目，要从实际 C·2 62 问题出发，利用概率知识合理构造数列，再利 P(X=2)= C·C·C815=5 用数列知识进行求解。 A (责任编辑徐利杰) 41