几种非线性回归模型及其线性化方法-《中学生数理化》高二数学2026年5月刊

知识篇新高考名师护航中学生数理化 高二数学2026年5月 几种非线性回归模型及其线性化方法 ■广东省深圳市南头中学 田彦武 在日常生活中，我们常遇到变量之间并非 参考公式：对于一组数据(x1,y1),(x, 简单的直线关系。如人口增长、细菌繁殖等往 y),…,(xyn),其经验回归直线y=bx十a 往呈现“越来越快”的趋势：而学习效率、记忆保 的斜率与截距的最小二乘法公式为石= 持等则可能随时间的增加“先快后慢”。如何用 数学工具描述这些关系呢？下面介绍三种常见 xy:一nxy i=1 a=y-b.x。 的非线性回归模型一一指数函数模型、幂函数 xi-nz 模型与对数函数模型，采用“化曲为直”的数学 解：(1)令t:=lny:,则模型线性化为t= 思想，通过巧妙的“线性化”变换，将它们转化为 lna+xlnb。 熟悉的一元线性回归问题，从而轻松求解。 易知t=1 2t,=1.602,x= 一、指数函数模型 5= 5×(1+ 指数函数模型主要有以下两种形式。 2+3+4+5)=3。 1.y=ab型(a,b为非零常数) 由2x=12+22+32+4+5=55,5x2= :=1 这种模型通过对数运算，将指数关系转 5×3=45,得2x-5x2=55-45=10. 化为线性关系。由y=ab,得lny=lna+ =1 xlnb,令lny=心，lna=v,lnb=u,则可转 由2x,t=25.107,5xt=5×3×1.602= 化为一元线性方程之=ux十v。 24.03,得之xt:-5.xt=25.107-24.03= 例1随着国内人均收入的增加，居民 1.077。 的健康意识也不断增强，健身器材行业发展 迅速，表1为2020一2024年中国健身器材市 1.077 故lnb 6 =0.1077 场规模（单位：百亿元）。 2x-5x 10 =1 表1 ≈0.108，lna=t-lnb·x≈1.602-0.108 年份20202021202220232024 ×3=1.278。 年份代码x 12345 则6≈e1o8=1.114≈1.11，a≈e278= 市场规模y4.14.44.85.56.3 3.590=3.59,故y关于x的回归方程为y= (1)由上面数据可知，可用指数函数模型 3.59×1.11。 y=ab拟合y与x的关系，请建立y关于x 的回归方程(a,b的值精确到0.01)； (2)X服从二项分布，即X一B(3,) (2)数据显示2024年购买过体育用品类 p(x=0)=c×()广×()= 的消费者中购买过运动防护类的占比为子， 用频率估计概率，现从2024年购买过体育用 px=w=G×()x(什)广=是： 品类的消费者中随机抽取3人，记购买过运 P(x=2)=C×()×()广-器， 动防护类的消费者人数为X,求X的分布列 与数学期望E(X)。 p(X=3=C×()×(日)”- 参考数据：如表2，其中t:=lny:。 故X的分布列如表3所示。 表2 表3 e人278 e.1og 123 1 P 92727 1.602 25.107 3.590 1.114 64646464 5 中学生款理化智薇学新高彩条颗护 数学期望E(X)=3×3=9 4=4。 参考数据：√237.16=15.4，e2≈80。 点评：本题给出了如何通过对数变换将 (u,-u)(y:一y） 解：(1)r1= 指数函数模型线性化。先取lny=lna十 xlnb,转化为一元线性方程，再利用最小二 21500 21500 乘法估计参数，计算中注意由lna、lnb反推 =0.86。 √/3125000×200 25000 a、b。(2)问结合二项分布，基于频率估计概 率，完整呈现“数据建模→概率应用”的过程。 克(x,-x)(0,-0) 2.y=aer+c型(a,b,c为非零常数) (x-x) 12 这种模型取对数后即可得到线性形式。 14 15,4≈0.91 14 由y=aer+c,得lny=lna+bx+c,令lny √770×0.308 =之，Ina十c=o,则可转化为一元线性方程 因为0.86<0.91，所以|r1<|r|,故从 =bx十0。 样本相关系数的角度，模型y=e+中y与 例2某研发团队实现了从单点光谱 x的相关性较强。 仪到超光谱成像芯片的跨越。为制定下一年 (2)(i)由y=e+,得lny=t+入x,即 的研发投入计划，该研发团队需要了解年研 =t十入x。 发资金投入x(单位：亿元)对年销售额y(单 位：亿元)的影响。结合近12年的年研发资 (x,-x)(0:-0) 14 因为天= =1 770 ≈ 金投入x和年销售额y,该团队建立了两个 函数模型：①y=a十y/亿元 0.02,所以t=0-ix=4.20- 14 Bx2,②y=e+',其 80 770×20≈ 75 中a,B,入，t均为常 70 3.84。 65 数，e为自然对数的 故。关于x的线性回归方程为= 60 底数。对数据初步 0i202307忆元 0.02x+3.84,即1ny=0.02x+3.84,所以y 处理，得到散点图 关于x的回归方程为y=e.o2+.4。 图1 (图1)。令u:=x, (i)将y=80代入y=e.2x+.“,得80= ℃：=1ny:(i=1,2,…,12),计算得到如表4 e.02r+.。又e2≈80，故0,02x十3.84≈ 所示的数据。 4.382,解得x≈27.1。故预测下一年的研发 表4 资金投入是27.1亿元。 点评：本题重，点在于模型选择，通过计算 2(y,-y (x:-x)(:-v 两个备选模型的样本相关系数，选取|更接 2066 770 200 14 近于1的指数函数模型。求解时取对数得线 (u,-) (u,-2 5(u,-u)y,一 性形式lny=t十Ax,用最小二乘法拟合参 =1 =1 4604.203125000 0.308 21500 数，并利用指数与对数的关系进行反向预测， (1)设变量u和变量y的样本相关系数 体现了相关判断在实际建模中的决策作用。 为r1,变量x和变量o的样本相关系数为r, 二、幂函数模型 请从样本相关系数的角度，选择一个y与x 幂函数模型主要有以下两种形式。 相关性较强的模型。 1.y=ax型(a,b为非零常数) (2)()根据(1)的选择及表中数据，建立 对y=a.x两边取对数得lny=lna+ y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； blnx,令lny=之，lna=o,lnx=u,则可转 (i)若下一年销售额需达到80亿元，预 化为一元线性方程之=bu十v。 测下一年的研发资金投入。 例3某企业加强科技研发投入的力 知登高考务师护背中学生表理化 度，为确定下一年对某产品进行科技升级的 解：(1)根据散点图可判断，y=cx更适 研发费用，需了解该产品年研发费用x(单 合作为y关于x的回归方程模型。 位：千万元)对年销售量y(单位：千万件)的 (2)由y=cx,得lny=lnc+dlnx,即 影响。根据市场调研与模拟，对收集的数据 o=1nc+du。 (x:,y:)(i=1,2,3,…,10)进行初步处理，得 由表中数据得o=u=1.5,所以a= 到散点图（图2）及一些统计量的值（表5）。 2u::-10 30.5-10×1.5×1.5_1 w:-10u 46.5-10×1.5×1.53 8 =1 4 · 故lnc=odu1,5二3×1.5=1，解得 246810i214161820222426 图2 c=e。所以y关于x的回归方程为y=ex 当x=27时，y=3e≈8.1，即年研发费 表5 用为27千万元时年销售量为8.1千万件。 u:v: (3)因为4一26=0.5，十。=0.53，所以 P(0.50X0.53)=P(u一2oX4+o)= 30.5 15 1546.5 P(u-26<X≤-o)+P(u一o<X≤十o)= 表中：=lnx:,o:=lny:。 (1)根据散点图判断，y=a+bx与y= 0.9545-0.6827+0.6827=0.8186,P(X> 2 cx哪一个更适合作为年销售量y关于年研 0.53)=P(X>4+o)=1-0.6827 =0.15865。 发费用x的回归方程模型（给出判断即可，不 必说明理由)。 所以E(Y)=0+2×0.8186+4× (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建 0.15865≈2.27。 立y关于x的回归方程，并估计年研发费用 ,点评：本题采用对数变换，将幂函数线性 为27千万元时年销售量的值。 化为lny=lnc十dlnx,继而用最小二乘法 (3)科技升级后，该产品的效率X大幅 估计系数d和常数lnc。(3)问融入正态分 提高，经试验统计得X大致服从正态分布 布，根据区间概率计算奖励期望，展现了回归 N(0.52,0.01)。企业对科技升级团队的奖 分析与概率统计的综合应用，强调概率模型 励方案如下：若X不超过50%，则不予奖励； 在实际生产评估中的应用。 若X超过50%，但不超过53%，则每件产品 2.y=a十bx型(a,b,c为非零常数) 奖励2元；若X超过53%，则每件产品奖励4 解决的办法仍是先取对数再换元。由y 元。记Y为每件产品获得的奖励，求E(Y) =a+bx,得ln(y-a)=lnb+clnx,令 (特确到0.01)。 ln(y一a)=x,1nb=o,lnx=u,则可转化为 参考公式：对于一组数据(u,,o:)(i=1, 一元线性方程之=cu十口。 2,3,…,n),其回归直线元=u十a的斜率和 例4某企业新研发了一种产品，产品 截距的最小二乘估计分别为户= 的成本由原料成本及非原料成本组成。每件 之(u,-u)(m,-w）之u,u,-nu 产品的非原料成本y(单位：元)与生产该产 品的数量x(单位：干件)有关，经统计得到如 (u:-u) Zui-nu =1 i=1 表6所示的数据。 Bu。 表6 参考数据：若随机变量X一N(4,。2) 3 5 6 8 (o>0),则P(一<X≤h十o)≈0.6827， 112 44.5 30.5 28 25 24 P(一2o<Xμ+2o)≈0.9545。e≈2.7。 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高数学新2026年5月 根据以上数据绘制 y◆ 111· 当x=10时=0 +11=21,所以当 了散点图，如图3所示。 102 93 由图可知，两个变量 产量为10千件时，每件产品的非原料成本为 不具有线性相关关系，现 66 21元。 考虑用反比例函数模型 点评：本题属于幂函数模型，通过变量替 y=a十和指数函数模型 30 21 换4=】将反比例关系转化为线性形式，进 x 012345678 y=ce,分别对两个变量 图3 而用最小二乘法估计参数。通过计算并比较 的关系进行拟合。已求得 两个模型的相关系数，说明反比例函数模型 用指数函数模型拟合的回归方程为y= 的拟合效果更优。最后基于优选模型进行成 96.54e,,lny与x的相关系数r1=一0.94。 本预测，完整演绎“建模→比较→预测”的统 (1)用反比例函数模型求y关于x的回 计决策流程。 归方程： 三、对数函数模型 (2)用相关系数判断上述两个模型哪一 对数函数模型主要有y=a十blnx型 个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计 (a,b为非零常数)，解决的办法是直接换元， 产量为10千件时每件产品的非原料成本。 令u=lnx,则可转化为一元线性方程y=bu 参考数据：如表7，其中u:= 1 十a。 例5台州是全国三大电动车生产基 表7 地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优 势。某电动车公司为了抢占更多的市场份 W/0.61×6185.E 额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广 183.4 0.34 0.1151.53 360 22385. 61.4 0.135 告费x:(单位：百万元)和年销售量y:(单位： 百万辆)的关系如图4所示。令o:=lnx:(i 1 解：(1)令u= ，则y=a 6 可转化为 =1,2,…,5),将数据初步处理，得到表8。 ◆年销伟量/百万辆 y =a+bu。 因为y= 360 10 8 =45,所以6= uy:一8uy 183.4-8×0.34×45_61 42 年广告费/百万元 =1 1.53-8×0.115 0.61 12345 图4 =100,则a=y-bu=45-100×0.34=11, 表8 即y=11+100u。 故y关于x的回归方程为y=11+100 含 2(x,-x) 2(y:-y) (2)y与】的相关系数： 44 4.8 10 40.3 之u,y:-81uW =1 (u,-)》月 含u-0 含g-0 √u-82)(之y-8) 1 (y:-y) (u:-u) 61 ≈0.99。 √/0.61×6185.5 1.612 19.5 8.06 因为|r1|<|r:,所以反比例函数模型 的拟合效果更好。 现有①y=b.x+a和②y=nlnx+m两 8 知识篇新高考名师护航 高二数学2026年5月 中学生数理化 种方案作为年销售量y关于年广告费x的回 归分析模型，其中a,b,n,n均为常数。 (2)因为n=1 (m,-o)(y一y) 8.06 2(u,-o) 1.612 (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模 i= 型的拟合程度更好？ =5,0= 10,=0.96,y三52y:=8.8,所 5=1 (2)根据(1)的分析，选取拟合程度更好 以m=y-n0=8.8-0.96×5=4,故y=50 的回归分析模型，求出y关于x的回归方程， 十4。因此y关于x的回归方程为y=5lnx 并预测年广告费为6百万元时产品的年销 +4。 售量。 当x=6时，y=51n6+4≈13，因此当年 (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆 广告费为6百万元时，产品的年销售量大概 200元（不含广告费、研发经费）。该公司在 是13百万辆。 加大广告投入的同时也加大研发经费的投 (3)易知年净利润为200×(5lnx+4)一 入，年研发经费为年广告费的199倍。电动 200x一ξ。 车的年净利润除受年广告费和年研发经费影 令g(x)=200×(51nx+4)-200x-ξ， 响外，还受随机变量专的影响，设随机变量 服从正态分布N(600,。),且满足P(> x>0,则g'(x)=1000 x 200。 800)=0.3。在(2)的条件下，求该公司年净 故g(x)在(0,5)上为增函数，在(5， 利润的最大值大于1000百万元的概率。 十∞)上为减函数。 (年净利润=毛利润×年销售量一年广告费 所以g(x)mx=g(5)=200×(5ln5+ 一年研发经费一随机变量) 4一5)一≈1400-。 参考公式及数据：相关系数= 由题意得1400->1000，即<400， 2(x:-x)(y:一y） 则P(<400)=P(>800)=0.3,即该公司 =1 回归直线y= 年净利润的最大值大于1000百万元的概率 含,-)Vy,-y 为0.3。 (x-x)(y:一y） ,点评：本题先依据相关系数判断对数函数 a十bx,其中b= i=1 a=y- 模型的拟合效果更佳，再令U=1nx转化为线 2(x:-x) i=1 性方程，然后建立年净利润函数并利用导数求 bx。√40.3×1.612=8.06，V403≈20.1， 最值，最后结合正态分布的对称性求解概率问 ln5≈1.6，ln6≈1.8。 题，体现了概率与统计在经济学优化问题中的 解：(1)设模型①和②的相关系数分别为 应用，突出数学模型的实际解释力。 r1,r。由题意可得： 通过上述例于，我们掌握了三种常见的 (x-x)(y-y） 非线性模型的“线性化”技巧：指数函数模型 ；=1 与幂函数模型均是先取对数再换元，对数函 ∑(x:一x) (y:-y) 数模型则是直接换元。这种“化曲为直”的 19.519.5 思想是数学建模中的重要策略，它使我们能 /403 20.1≈0.97： 够利用熟悉的最小二乘法，解决更复杂的实 (y,-y)(u:-0） 际问题。从市场规模预测到生成成本分析， =1 r: 从研发投入到广告效益，数学建模无处不 在。希望同学们不仅能掌握这些方法，更能 8.06 8.06 =1。 理解背后的思想一将复杂的世界抽象为 √40.3×1.612 8.06 简洁的数学关系，再用这些关系去洞察、预 所以|r1|<|r:,即模型②的拟合程度 测和优化现实。 更好。 (责任编辑赵倩) 9