数学解题的魔法：一题多解的魅力-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

数学解题的魔法： ■河南省邓州市教育 数学具有简洁、自然之美。用数学素养解 决实际问题充满乐趣。比如数学中的最值问 题，本质上是现实生活中效益最大化或损失最 小化等需求的抽象，需建立数学模型寻找最优 解。素养产生在课堂上，产生在真实情景中， 产生在解决问题的过程中。尤其是解决复杂 的问题，需要系统化地思考，需要网络化、联络 化、结构化的知识体系和思维方式。本文探索 一题多解，启迪同学们网络化、联络化、结构化 的思维，培养同学们科学高效的思维方式。 题目已知x2十y2=100,求x十y的最 大值。 思维引导：看到已知条件，同学们想到了 什么？有的说，想到了勾股定理；有的说，想 到了圆。非常好。简单以圆讨论：圆是轴对 称图形、中心对称图形，设P(x,y)是圆上第 一象限内的任意一点，则第二、三、四象限的 对称点中，至少有一个坐标值小于x或y,故 最大值只能在第一象限取得，即x>0,y>0。 当圆与坐标轴相交时，能取最大值吗？可用 三角形三边的关系快速排除掉。 解析：方法一（完全平方公式法） 同学们看到已知条件含有平方项，最容 易联想到完全平方公式。 因为(x-y)≥0，所以x2+y≥2xy。 因此(x十y)2=x2十y2十2xy≤2(x2+ y2)=200。 故(x十y)mx=10√2。 方法二（经典不等式法） 若a>0,b>0,则： 2 a'+b 工+ ≤√ab≤a十bs 2 2,当且 仅当a=b时等号成立。 调和平均数≤几何平均数≤算术平均 数≤平方平均数。 代入对应公式可得： x十y≤2N x+y? 2 =10√2。 知设数要商名细护背中学生表理化 一题多解的魅力 体育局李秀清 经检验，等号成立时x,y的值存在。 故(x十y)mx=10√2。 方法三（柯西不等式法） 若a,b,x,y都是实数，则(a2十b)· （+y)≥(ax+y,当且仅当号-5时， 等号成立。 观察后可令a=b=1,代人公式得： (x十y)2≤(12+1)(x2十y2)=200。 故x十y≤10√2 经检验，等号成立时x,y的值存在。 故(x十y)mx=10√2。 方法四（权方和不等式法）】 若a>≥06>0，则后+若≥+ atb 一，当 且仅当后=岩时，等号成立。 观察后令a=b=1,代人公式得： 子+芳 2 而x2十y2=100,故x十y≤10√2。 经检验，等号成立时x,y的值存在。 故(x十y)mx=10√2。 方法五（对偶式法） 易知(x-y)2=x2+y2-2xy。 (x+y)2=x2+y2+2xy。 (x+y)2=2(x2+y2)-(x-y)2≤ 2(x2+y2)=200。 故(x十y)max=10√2。 方法六（万能k值法） 设x十y=k,则y=一x十k。 代入x2+y2=100,可得： 2x2-2kx十k2-100=0。 △=(-2k)2一4×2(k2-100)= -4k2+800≥0。 解得k≤10√2。 故(x十y)mx=10√2。 方法七（中值换元法） 令x2=50+t,y2=50-t(t≤50)。 11 知识篇新高考名师护航 中学生数理化高数学22年3月 则x十y=√50+t+√50一t。 用柯西不等式或权方和不等式可得： (.x十y）mx=10√2。 方法八（三角函数参数法） 不妨设x=10sina,y=10cosa,a∈ b] x+y=10sin a+10cos a =10 [sina+sin(经-a)】] =10×2sin开cas(a-F) ≤102，当a= π时，等号成立。 故(x十y)x=10√2。 方法九（数形结合法） 设x十y=b,则y=一x十b。 如图1，当直 ◆y 线y=一x十b与 圆x2十y2=100 在第一象限相切 时，截距b最大。 0 此时直线的 斜率k=一1，故 直线与y轴的夹 角0=45°。 图1 易得b= 10√2。 故(x十y)mx=10√2。 方法十（圆高法） 设PA=x,PB=y。 如图2，无论点 P如何移动，以下 结论恒成立： ∠APB=90°， AB=10. 由定角对定弦 知，P、A、B三点 共圆。 图2 因为∠APB=90°，所以AB为直径。 (PA+PB)'=PA'+PB2+2PA.PB =PA2+PB2+2AB·h≤200，h为 12 △APB中AB边上的高。 故(x十y)mx=10√2。 方法十一（定角对定弦，化折为直） 设PA=x,PB=y,∠APB=90°。 如图3，延长AP至 ..c 点C,使PC=PB。 无论点P如何运 动，以下结论恒成立： ∠C=45°，AB=10。 B 由定角对定弦知， A、C、B三点共圆。 图3 圆中直径是最长的 弦，即AC为直径。 在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°， AB=10,解得AC=10√2。 故(x十y)mx=10√2。 方法十二（拉格朗日乘数法） 设L(x,y,A)=x十y十A(x2十y2 100)。 L分别对x、y、入求导，令导数的值等于 0,可得： L(x)=1+2λx=0, L'(y)=1+2y=0, L'(λ)=x2+y2-100=0。 解得x=y=士5√2。 故(x十y)mx=10√2。 同学们在平时学习中要注重知识的积 累、方法的总结，做到厚积薄发。同学们可在 已有的方法中，选择适合自己的方法，并应用 在学习中。希望同学们在今后的学习探索 中，把一题多解的理念坚持下去，发展数学核 心素养，这有利于同学们学会用数学的眼光 观察世界，用数学的思维分析世界。亲爱的 同学们，请大家对数学保持好奇的初心、探索 的恒心、必胜的信心，你一定能领略数学的有 用、有味、有趣。愿此文能对广大学子兴趣之 培养、视野之拓展、智慧之增益带去一点启 迪，这也是一位教有工作者的些许心愿和深 深祝福。同学们，加油！ (责任编辑徐利杰)